西北师大附中2018届高三冲刺诊断考试
数学（理科） 命题人： 审题人：
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）. 1、设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z = （ ）
A ．
12
B ．
2
C
D ．2
2、下列推理是归纳推理的是 （ ）
A ．,A
B 为定点，动点P 满足2PA PB a AB -=<(0)a >，则动点P 的轨迹
是以,A B 为焦点的双曲线；
B ．由12,31n a a n ==-求出123,,,S S S 猜想出数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式；
C ．由圆2
2
2
x y r +=的面积2
S r π=，猜想出椭圆22
221x y a b
+=的面积S ab π=；
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇．
3、已知向量BA →＝? ????12，32，BC →＝? ????32，12，则∠ABC 等于 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120° 4、若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2
＋y 2
＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2
＋(b －2)2的最小值为 （ ）
A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10
5、第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ ）
A. 540
B. 300
C. 180
D. 150
6、已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 （ ）
7、将函数y ＝sin ? ????2x －π3 图象上的点P ? ????π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则 （ ）
A ．t ＝12，s 的最小值为π6
B ．t ＝32，s 的最小值为π
6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3
8、某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为 （ ）
A ．[15，60)
B ．(15，60]
C ．[12，48)
D ．(12，48]
9、古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为 （ ）
A ．10
B ． 9
C ． 8
D ． 7
10、已知小李每次打靶命中靶心的概率都是40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0
到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机摸拟产生了如下20组随机数：
321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965 据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为 （ ）
A 、0．25
B 、0．30
C 、0．35
D 、0．40
11、过双曲线()222210x y b a a b
-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222
x y a +=的切线，切点
为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若()
12
OE OF OP =+ （O 是坐标原点），则双曲线
的离心率为 （ ）
12、定义在R 上的函数)(x f 满足:()()1,(1)3,()f x f x f f x ''+>=是)(x f 的导函数, 则不等式1
2()1x f x e
->+
的解集为 ( )
A.(1,)+∞
B. (,1)-∞ C ．(,0)(1,)-∞?+∞ D. (0,)+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）.
13、已知20350x y x y -≤??
-+≥?，且22x y +-的最大值为log 3a ，则a = .
14、若2
018
2018
120
1
8(1
2)(
)x a
a x a x x R -=+++∈ ,
则201812
22018
222a a a +++ 的值为 .
15、在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝23，PA ＝2，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为 . 16、若关于x 的方程24
x
kx x =+有四个不同的实数解,则实数k 的取值范围是
三、解答题：本大题共5小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、（本题满分12分）
已知函数()2
2cos sin(2)6
f x x x π
=+-
（1）求函数
()f x 的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合；
（2）已知ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若()
3
,22
f A b c =+=，求实数a 的取值范围.
18、（本小题满分12分）
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学
习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? （3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
附：
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，
AB AD ⊥,//AB CD ,222AB AD CD ===,E 是PB 上的中点.
（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
（2）若二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
20、（本小题满分12分）
已知椭圆C :12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率为3
6
,过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆
C 于B A ,两点,N 为弦AB 的中点,O 为坐标原点.
(1)求直线ON 的斜率ON k ；
(2)求证:对于椭圆C 上的任意一点M ,都存在)2,0[πθ∈,使得θθsin cos +=成立.
21、（本小题满分12分） 已知函数1
()ln f x x x
=-
，()g x ax b =+． （1） 若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2） 若直线y ax b =+是函数1
()ln f x x x
=-
图象的切线，求a b +的最小值； 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程是2
2
x y ?=??
?
?=+??
(t 是参数)，以原点O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos 4πρθ??
=+ ??
?
. (1) 判断直线l 与曲线C 的位置关系；
(2) 设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设
()11f x x x =-++.
(1) 求
()2f x x ≤+的解集；
(2) 若不等式()121
a a f x a
+--≥
对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.
高三数学（理）试题答案
一．选择题: CBABD DABCB CA
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
1- 15. 20π 16. 1,4??
+∞ ???
三．解答题：本大题共5小题，
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：（1）21()2cos sin(2)cos 221sin(2)16226
f x x x x x x π
π=+-
=++=++, 2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，可得f (x )递增区间为[,]()3
6
k k k z π
π
ππ-
+
∈,
函数f (x )最大值为2，当且仅当sin(2)16
x π
+=，即226
2
x k π
π
π+
=+
，
即()6x k k Z π
π=+
∈取到∴{|}6
x x x k π
π∈=+.
(2)由3()sin(2)16
2f A A π
=+
+=
，化简得1
sin(2)62
A π+=, 5(0,) 266A A π
ππ∈∴+
=Q 3
A π∴=, 在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2=b 2+c 2-bc =(b +1)2-3bc, 由b +c =2，知bc ≤1,即a 2
≥1,∴当b =c =1时，取等号, 又由b +c >a 得a <2,所以a ∈[1,2).
18. 解：（1）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =， 由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 因为后四组的频数成等差数列， 所以后四组频数依次为27,24,21,18 ，
所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为82
1000820100
?
= . （2）22
100(4118329)300
4.110 3.8415050732773
k ??-?==≈>???,
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.