（十六）数学分析2考试题
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号，每小题2分，
共20分）
1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数
2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ??=-a a
a dx x f dx x f 0
)(2)( B 0)(=?-a
a
dx x f
C
??
-=-a a
a
dx x f dx x f 0
)(2)( D )(2)(a f dx x f a
a
=?-
3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A
?
1
1dx x
B ?
∞
+1
1dx x
C ?+∞
sin xdx D ?
-1
13
1dx x 4、级数
∑∞
=1
n n
a
收敛是
∑∞
=1
n n
a
部分和有界且0lim =∞
→n n a 的（ ）
A 充分条件
B 必要条件
C 充分必要条件
D 无关条件 5、下列说确的是（ ） A
∑∞
=1
n n
a
和
∑∞
=1
n n
b
收敛，
∑∞
=1
n n
n b
a 也收敛 B
∑∞
=1
n n
a
和
∑∞
=1
n n
b
发散，
∑∞
=+1
)(n n n
b a
发散 C
∑∞
=1
n n
a
收敛和
∑∞
=1
n n
b
发散，
∑∞=+1
)(n n n
b a
发散 D ∑∞
=1
n n a 收敛和∑∞
=1
n n b 发散，∑∞
=1
n n n b a 发
散 6、
)(1x a
n n
∑∞
=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ）
A )()('1'x a x a
n n
=∑∞
= B a （x ）可导
C
?∑?
=∞
=b
a
n b
a
n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞
=1
)(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续
7、下列命题正确的是（ ） A )(1x a
n n
∑∞
=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛 B
)(1
x a
n n
∑∞
=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛
C 若0|)(|lim =∞
→x a n n ，则
)(1
x a
n n
∑∞
=在[a ，b ]必绝对收敛
D
)(1
x a
n n
∑∞
=在[a ，b ] 条件收敛必收敛
8、
∑∞
=++-0
121
21
)
1(n n n
x n 的和函数为 A x
e B x sin C )1ln(x +D x cos
9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {}
0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x 10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题6分，共30分）
1、
?
=9
1
4)(dx x f ，求?+2
2)12(dx x xf
2、计算
?
∞
++0
2
221
dx x
x 3、计算∑∞
=1
1n n
x n 的和函数并求∑∞
=-1)1(n n n
4、设023
=+-y xz z ，求
)
1,1,1(x
z ??
5、求2
220
lim y x y
x y x +→→
三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）
1、 讨论??
???=≠+-=)
0,0(),(0)0,0(),(),(2
22
2y x y x y x y x xy
y x f 在（0，0）点的二阶混合偏导数
2、 讨论
∑∞
=+-2
21
sin 2)
1(n n n n n
x
的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分）
1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积，
),2,1()()(1 ==?+n dx x f x f b
a
n n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0
3、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明
?
?=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求
?
+π
2
cos 1sin dx x
x
x
参考答案
一、1、B 2、B3、A4、c 5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、
??
++=
+202
22
2)12()12(2
1)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，??==+9
12
02
2)(21)12(du u f dx x xf （3分）
2、?∞++02221
dx
x x =4
)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→∞→?A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =
∑∞
=1
1n n
x n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('
x f =x x n n -=
∑∞
=-11
1
1，)(x f =)1ln(110x dt t
x -=-?（2分）
，令1-=x ，得 2ln )1(1
=-∑∞
=n n
n 4、解：两边对x 求导02232
=--x x xz z z z （3分）x
z z
z x 2322
-=
（2分）2)
1,1,1(=??x z
（1分）
5、解：x y
x y
x ≤+≤||0222（5分）0lim 22
20
0=+→→y x y x y x （1分） 由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）
三、1、解、??
???=+≠++-+=000)
(4),(22222222
224y x y x y x y y x x y y x f x （2分） ??
???=+≠++--=000)
(4),(222
22222224y x y x y x y y x x x y x f y (4分） 1)0,0(),0(lim )0,0(02-=?-?=???→?y
f y f x y z
x x y
1)0,0()0,(lim )0,0(02=?-?=???→?x
f x f y x z
y y x （6分）
2、解：由于x n
x n
n n n n 221
sin 2|sin 2)1(|lim =-+∞→（3分）
，即1sin 22
>x 级数发散（7分） 所以原级数发散（2分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>?M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈?≤， （3分）从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f x a -≤≤?一般来 说，若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()! 1()()(1 ∞→--≤ -n n a b M x f n n ，所以)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分） ??? =+++=+a a T a T dt t f T t d T t f t T x dx x f 0 )()()()(（2）（4分） 将式（2）代入（1）得证（2分） 2、 y e x z y x 1=??， 2y x e y z y x -=??，（7分）则012=-=??+??y x ye y xe y z y x z x y x y x （3分） 3、 证明：令t x -=π ??? ?-=---=π ππ π πππ0 0)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7 分）8cos 1sin 2cos 1sin 2 020 2ππππ =+=+?? dx x x dx x x x （3分） （十七）数学分析2考试题 二、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在 [a,b ] 上可积的充要条件是（ ） A ?ε>0,?σ>0和δ>0使得对任一分法?，当λ（?）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间?x i 长度之和∑?x i <σ B ?ε>0,σ>0,δ>0使得对某一分法?，当λ（?）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间?x i 长度之和∑?x i <σ C ?ε>0,?δ>0使得对任一分法?，当λ（?）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间?x i 长度之和∑?x i <ε D ?ε>0,σ>0，?δ>0使得对任一分法?，当λ（?）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间?x i 长度之和∑?x i <σ 2、函数)(x f 连续，则在[a,b ]上?x dt t f dx d 21)(=（ ） A )2(x f B )2(2x f C )(2x f D )()2(2x f x f - 4、 =?-1 121 dx x （ ） A -2 B2 C 0 D 发散 4、0lim ≠∞ →n n a ，则 ∑∞ =1 n n a ( ) A 必收敛 B 必发散 C 必条件收敛 D 敛散性不定 5、若级数∑∞ =1n n b 是 ∑∞ =1 n n a 更序级数，则（ ） A ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞=1 n n b 同敛散 B ∑∞ =1n n b 可以发散到+∞ C 若∑∞ =1n n a 绝对收敛， ∑∞ =1 n n b 也收敛 D 若 ∑∞ =1 n n a 条件收敛， ∑∞ =1 n n b 也条件收敛 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]一致收敛，且a n (x )可导（n =1,2…），那么( ) A f （x ）在[a ，b ]可导，且∑∞ == 1 ' ' )()(n n x a x f B f （x ）在[a ，b ]可导，但)(' x f 不一定等于∑∞ =1 ' )(n n x a C ∑∞ =1' )(n n x a 点点收敛，但不一定一致收敛 D ∑∞ =1 ' )(n n x a 不一定点点收敛 7、函数项级数 )(1 x a n n ∑∞ =在D 上一致收敛的充要条件是（ ） A ?ε>0,? N （ε）>0，使?m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m n B ?ε>0, N>0，使?m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m n C ?ε>0,? N （ε）>0，使?m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m n D ?ε>0,? N （ε）>0，使?m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m n 8、 ∑∞ =-1)1(1 n n x n 的收敛域为（ ） A (-1,1) B (0,2] C [0,2）D [-1,1） 9、重极限存在是累次极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 10、 =??),(00|) ,(y x x y x f （ ） A x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 B x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 C x y x x f y y x x f x ??+-?+?+→?),(),(lim 00000 D x y x x f x ??+→?),(lim 000 三、计算题：（每小题6分，共30分） 1、 dx x x x ?-++1 1211 cos sin 2、计算由曲线2,0,1==+=xy y x y 和2 e x =围成的面积 3、求2 x e -的幂级数展开 5、 已知),(),,(v u f xy y x f z +=可微，求y x z ???2 6、 求 y x y x y x f +-= ),(在（0，0）的累次极限 三、判断题（每小题10分，共20分） 1、 讨论 ∑∞ =3 cos ln n n π 的敛散性 2、 判断∑∞ =+121n n n x x 的绝对和条件收敛性 四、证明题（每小题10分，共30分） 1、设f (x )是[-a ，a ]上的奇函数，证明 0)(=? -a a dx x f 2、证明级数∑∞ ==04)! 4(n n n x y 满足方程y y =) 4( 3、 证明S 为闭集的充分必要条件是S c 是开集。 参考答案 一、1、D 2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B 二、1、解： dx x x x ?-++1 1211cos sin =++?-dx x x x 1121cos sin dx x ?-+1 12 11（2分）由于2 1cos sin x x x +为奇函数dx x x x ?-+1 12 1cos sin =0（2分）dx x ?-+11211=2|arctan 1 1π=-x （2分）所以积分值为2 π （1分） 2、 解：两曲线的交点为（1，2）（2分） 所求的面积为：1/2?2?2+62 2 1 =? e dx x （4分） 3 、 解 ：由于 ++++=! !212n x x x e n x （3分）， +-++-=-! )1(!21242 2 n x x x e n n x （3分） 4、解：x z ??=y f f 21+y z ??=x f f 21+（3分） 22122112)(xyf f y x f f y x z ++++=???（3分） 5、解：1lim lim 000-=-=+-→→→y y y x y x y y x ，（3分）1lim lim 000==+-→→→x x y x y x y x y （3分） 三、1、解：由于2 2 2~ cos ln n n ππ （6分），又 ∑∞ =12 1 n n 收敛（2分） 所以原级数收敛（2分） 2、解：当1|| x x x ||12≤+，所以级数绝对收敛（4分） ， 当1||=x 时，2 1 12=+x n x x ，原级数发散（2分） 当1||>x 时，有∑∑∞ =∞ =+=+11 22) 1(1)1(1n n n n n n x x x x ，由上讨论知级数绝对收敛（4分） 四、证明题（每小题10分，共30分） 1、证明： ??? +=--a a a a dx x f dx x f dx x f 0 0)()()( （1）（4分） ??? -=---=-a a a dt t f t d t f t x dx x f 0 )()()()(（ 2）（4分） 将式（2）代入（1）得证（2分） 2、证明：所给级数的收敛域为),(+∞-∞，在收敛域逐项微分之，得 ∑∞ =--=114' )!14(n n n x y ∑∞=--=124'')!24(n n n x y ∑∞=--=134''')!34(n n n x y ∑∞=--=144) 4()!44(n n n x y （8分） 代入得证（2分） 3、证明：必要性 若S 为闭集，由于S 的一切聚点都属于S ，因为，对于任意的 c S x ∈。x 不是S 的聚点，也就是说，存在x 的邻域),(δx O 使得φδ≠?S x O ),(，即 c S x O ?),(δ，因此S c 是开集。 充分性 对任意的c S x ∈，由于S c 是开集，因此存在x 的邻域),(δx O 使得c S x O ?),(δ， 即x 不是S 的聚点。所以如果S 有聚点，它就一定属于S.
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