在现实生活中，一次函数的知识有哪些应用？
学过一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，还学过一次函数的性质．直线是最简单、最常见的几何图形，也是线段、射线的概念的基础，而两点确定一条直线、两点之间线段最短，于是，与直线或线段有关的最大或最小值问题，最多或最少等问题，必然反映到现实生活、生产实践或商品经济大潮中，摘选几例，予以说明．
[例1] 如图所示，两村的坐标位置各为A(－3，3)、B(5，1)．x轴表示一条运河，两村拟在河旁合建一座扬水站C，使C到两村所用的管道最省，试确定点C的位置(坐标单位：千米)．
点B关于x轴的对称点)．
解：作点B(5，1)关于x的对称点B′(5，－1)．由两点A、B′之间线段最短，连结AB′交x轴于点C，且CB′＝CB．
设直线AB′为y＝kx＋b，则点A、B′在这条直线上，于是
即扬水站建在图中的点C(3，0)处，可使C到两村所铺设的管道最省．
[例2] 已知A市和B市各存机床12台和6台，现运往C市10台、D市8台．若从A市运一台到C市、D市各需4万元和8万元，若从B市运一台到C市、D市各需3万元和5万元．
(1)设B市运往C市x台，求总费用y关于x的函数关系式．
(2)若总费用不超过95万元，问共有几种调运方法？
(3)求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？
解：(1)由题意，得B市运往D市(6－x)台，A市运往C市(10－x)台，A市运往D市[12－(10－x)]台，于是
y＝3x＋(6－x)×5＋(10－x)×4＋(2＋x)×8，
即
y＝2x+86(0≤x≤6)．
(2)根据题意，得2x＋86≤95．
解得x≤4．5，由实际意义，应取x≤4．
结合原函数的x取值范围，得0≤x≤4．
所以x可取0，1，2，3，4这五个数，即总费用不超过95万元的调运方法共有五种．
(3)由一次函数y＝2x＋86的性质知，y随x的增大而增大，而0≤x≤4，所以x＝0时，y取最小值86．即最低费用是86万元，调运方法是B市运往D市6台，A市运往C市10台、运往D市2台．
说明：本题用到了某个范围内的一次函数的最值的性质：
当m≤x≤n(m＜n)、k＞0时，若x＝m，则y＝kx＋b取得最小值km＋b；若x＝n，则y＝kx＋b取最大值kn＋b．
当m≤x≤n(m＜n)、k＜0时，若x＝m，则y＝kx＋b取得最大值km＋b；若x＝n，则y＝kx+b取最小值kn＋b．
下面给出练习思考题：
(1)在边防沙漠区，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车装载供行驶14
天的汽油．现有5辆巡逻车同时由驻地A出发，完成任务再返回A．为让其余3辆尽可能向更远距离巡逻(然后一起返回)，甲、乙两车行至途中B后，仅留足自
己返回A必须的汽油，将多余的油给另3辆用，问另3辆行驶的最远距离是多少千米．
(2)30名劳力承包75亩地，这些地可种蔬菜、玉米和杂豆．每亩蔬菜需0.5个劳力，预计亩产值2000元；每亩玉米需0.25个劳力，预计亩产值800元；每亩杂豆需0.125个劳力，预计亩产值550元．怎样安排种植计划，才能使总产值最大？最大产值是多少元？
提示与略解：
(1)设巡逻车行至B处用x天，从B到最远处用y天，则2[3(x＋y)＋2x]＝14×5，即
又x＞0，y＞0，14×5－(5＋2)x≤14×3，
所以x＝4时，y取最大值5．另三辆车行驶最远距离：(4＋5)×200＝1800(千米)．
(2)设种蔬菜、玉米、杂豆各x、y、z亩，总产量u元．则
所以45≤x≤55，即种蔬菜55亩，杂豆20亩，最大产值为121000元．
数学教学中的生活教育反思 ――函数在现实生活中的应用 钱学恒 一，不同函数在生活中的运用 1，一次函数在生活中的运用一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。 比如，有一次在美廉美超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，有一次看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3
只以上（茶壶20 元/个，茶杯5 元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到 底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。 设某顾客买茶杯x只，付款y元，（x>3且x € N），贝S 用第一种方法付款y1=4X20+（x-4） >5=5x+60; 用第二种方法付款y2=（20 X4+5x）刈0%=4.5x+72. 接着比较y1y2 的相对大小. 设d=y1-y2=5x+60-（4.5x+72）=0.5x-12. 然后便要进行讨论： 当d>0 时，0.5x-12>0, 即x>24; 当d=0 时，x=24; 当d<0 时，x<24. 综上所述，当所购茶杯多于24 只时，法（2）省钱；恰好购买24 只时，两种 方法价格相等；购买只数在4—23 之间时，法（1）便宜. 可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！2，二次函数在生活中的运用 由于二次函数拥有一个极点，通过这个点可以求出这个函数的最大值或者最小值来解决一些问题。 比如说，建粮仓的问题，列如：一个农场打算建一个粮仓，但是由于原料有限，必须利用有 限的资源来达到最大的效益，下面是一些数据： 已经有了一堵墙，材料总长为120米，粮仓必须是正方形或者长 方形，问如何建面积最大。
一次函数在生活中的应用 所谓一次函数在生活中的应用，就是指运用一次函数的有关概念、性质去解决实际问题。它的基本思路是通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系，将文字语言转化为数学语言，再运用函数的思想方法来建立实际问题中的变量间的函数关系。 下面，以中考题为例说明，希望能够对大家有所帮助。 例1 我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售。按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题： （1）设装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。 分析：利用题中数量关系，先确定y 与x 之间的函数关系式，再分类讨论。 （1）根据题意，装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，那么装运C 种脐橙的车辆数为()y x --20，则有： ()10020456=--++y x y x 整理得：202+-=x y （2）由（1）知，装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、202+-x 、x ，由题意得：???≥+-≥4 2024x x ，解得：4≤x ≤8，因为x 为整数，所以x 的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种。 方案一：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车； 方案二：装运A 种脐橙5车，B 种脐橙10车，C 种脐橙5车； 方案三：装运A 种脐橙6车，B 种脐橙8车，C 种脐橙6车； 方案四：装运A 种脐橙7车，B 种脐橙6车，C 种脐橙7车；
一次函数在实际生产生活中的应用举例 运用函数知识解决简单的实际问题，体会函数是解决实际问题的数学模型和方法，既是新课程标准的要求，也是中考命题的热点，近几年的中考试题对一次函数的考查力度呈加大 趋势，热点问题集中在一次函数的实际应用上，应该引起同学们的关注．现就应用一次函数 知识在生活、生产实际中解决实际问题举几例说明． 1在日常生活中的应用 一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛．例如，当我们购物、租车、住宿、缴水电 费时，会为我们提供两种或多种优惠方案，这些问题往往可利用一元一次函数解决．例1为加强公民的节水意识，某市制定如下的用水标准：每月每户用水未超过7 m3时，每立方米收 1.0元并加收0.2元污水处理费；超过7 m3时，超过部分每立方米收 1.5元并加收0.4元污水费，设某户每月的用水为x m3，应交水费y元． (1)写出y与x之间的函数关系式． (2)若某单元所在小区共有50户，某月共交水费541.6元，且每户用水均未超过10 m3，这个月用水未超过7 m3的用户最多可能有多少户？ 解(1)由题意可知，当0≤x≤7时，y＝1.2x． 当x>7时，y＝1.9（x－7）＋7×1.2＝1.9（x－7）＋8.4． 所以y与x之间的函数关系式为 (2)设月用水量未超过7 m3共有x户． 因为月用水7 m3的应交水费8.4元，用水10 m3的应交水费(5.7＋8.4)元， 根据题意，得 (50－x)(5.7＋8.4)＋8.4x＝541.6．
解得x≈28. 67． 若x＝29时，交费的最大额数为29×8.4＋21×14.1＝539.7<541.6． 所以x＝28（户）．即月用水量未超过7 m3的用户最多有28户． 2在市场经济中的应用 随着市场经济体制的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩．买与卖， 存款与保险，股票与债券,,都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学， 利息与利率，统计与概率，运筹与优化等，都将在数学课程中呈现出来． 例2某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100 t到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以 下问题： (1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B，种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？写出每种 安排方案； (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值． 解(1)根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为（20－x－y），则有 6x＋5 y＋4（20－x－y）＝100． 整理，得y＝－2x＋20．
幂函数在生活中的应用 例1：按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数。如果存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.01元） 解析：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。 已知本金是a元，一期后的本利和为； 二期后的本利和为； 三期后的本利和为； …… x期后的本利和为。 将a＝1000元，r＝2.25％，x＝5代入上式得： （计算器算出） 答：复利函数式为，5期后得本利和为1117.68元。 点评：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，就可以用公式表示，解决平均增长率问题，就需要用这个函数式。 例2：设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系是，其中c, k是常数，测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压强为0.90×105 Pa，求600 m 高空的大气压强？（保留3个有效数字）解析：由题意，得：，由①得：c ＝ 1.01×105，代入②，得： ，利用计算器得；1000k＝－0.115，所以k＝－1.15×10－4， 从而函数关系是。再将x＝600代入上述函数式得，利用计算器得：y≈9.42×104
答：在600 m高空得大气压强约为9.42×104 Pa。 点评：本题主要考察求函数解析式，再由解析式求函数值，某些计算必须借助计算器才能完成。 例3：20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1） （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）？ 解析：（1） 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。 （2）由可得 当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107。6； 当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105。 所以，两次地震的最大振幅之比是 故7.6级地震最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍。 点评：正确理解题意是本题的关键，对对数运算技巧的掌握是解决本题的基本保证。
1 幂函数及函数应用（习题） 1. 下列函数属于幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =- 2. 幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ） 3. A ．p ，q 均为奇数，且 0p q > B ．p 是奇数，q 是偶数，且0p q < C ．p 是偶数，q 是奇数，且0p q > D ．p 是偶数，q 是奇数，且 0p q < 4. 已知幂函数()y f x =的图象过点1(22 ，，则2log (2)f 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 5. 下列不等式在0a b <<的条件下不成立的是（ ） A ．22 b a < B ．1133 a b < C ．223 3 a b - - > D ．11a b --> 6. 若幂函数35()m f x x m -=∈N （）在(0，+∞)上是减函数，且满足()()f x f x -=， 则m 的值可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7. 函数3()32f x x x =-+的零点为（ ） A ．1，2 B ．±1，-2 C ．1，-2 D ．±1，2
2 8. 已知函数2()2x f x x -=+，那么方程()3f x =的实数解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10. 设()lg 3f x x x =+-，用二分法求方程lg 30x x +-=在(2，3)内近似解的过程 中得f (2.25)<0，f (2.75)>0，f (2.5)<0，f (3)>0，则方程的根落在区间（ ） A ．(2，2.25) B ．(2.25，2.5) C ．(2.5，2.75) D ．(2.75，3) 12. （1）函数2 y x - =的定义域为______________． （2）函数y =_______________． 13. 已知函数021 ()0x x f x x -?-?=>≤（）（） ，则((2))f f -=_________． 14. 如图，点2)在幂函数()f x 的图象上，点1 (2)4 -，在幂函数g 上，若()()f x g x =，则x 的值为___________． y
本科生毕业论文（设计） 题目： 浅谈函数模型在生活中的应用 院 （系） 数学与统计系 专 业 班 级 数学与应用数学2009级2班 学 生 姓 名 雒 兴 指导教师（职称） 王彦海（副教授） 提 交 时 间 二〇一三 年 五 月 学 号 2009211336 分类号 242
安康学院学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安康学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意. 作者签名：日期： 安康学院学位论文使用授权声明 本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属安康学院.本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为安康学院.学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版. 作者签名：日期：
浅谈函数模型在生活中的应用 雒兴 （安康学院数学与统计系，陕西安康，725000） 摘要函数模型是数学模型重要的组成部分之一。（Mathematical Model）这个名词早就为科学界、工程界，甚至经济学界所熟知，因为他们就是用这种方法来研究他们要处理解决的问题的。今天人类社会正处在由工业化向信息化社会的过渡的变革。以数字化为特征的信息社会有两个显著特点：随着计算机技术的飞速发展与广泛应用；数学的应用向一切领域渗透。随着计算机技术的飞速发展，科学计算的作用越来越引起人们的广发重视，它已经与科学理论和科学实验并列成为人们探索和研究自然界、人类社会的三大基本方法。为了适应这种社会的变革建立数学模型就应运而生并且成为了一门学科。数学建模时对现实世界的特定对象，为了特定的目的，根据特有的内在规律对其进行必要的抽象、归纳、假设和简化，运用适当的数学工具建立的一个数学结构。而在这门学科中函数是最重要的工具性知识之一，其涉及的内容十分广泛。在生产、生活实际中，有大量的实际问题必须依赖函数的模型加以解决，比如经济中的利润最值问题，生物的细胞分裂文图，测量问题等等。 关键词数学模型函数模型人口模型
一次函数在生活中的应用 + 孙岩 即墨市第二职业中专
一次函数在生活中的应用 一问题背景: 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 二问题再现: 冬季快到了,大润发商场的保暖内衣开始搞促销活动了.每套保暖内衣原价是60元,优惠方式1:每套内衣打九折。优惠方式2:当购买套数多于10套,购买总价减去两套的价钱.采用哪种优惠方式可以达到省钱的目的? 三解决方案: 在教学过程中,根据学生在前面已经学习了函数的定义,函数的表示方法,及函数的性质等知识后,学生可以根据以上知识,解决一次函数的应用问题.我采用”自组织教学法”提出以下几个问题: 1分别写出付款总额的函数的表达式 2比较两种付款总额的大小 3通过分析数据得出结论 4归纳本题的函数模型 5进一步探讨,有没有更简洁明了的分析方法. 6能否再举一个类似的生活实际应用例子.. 四解决过程:
学生1:写出优惠方式一的付款总额的函数表达式:设顾客买的套数为X（X为正整数）,则付款总额为Y1=60*0.9*X=54X 学生2:写出优惠方式二的付款总额的函数表达式Y2=(X-2)*60. 共同比较：(1)当两种方式付款总额相等时:54X=(X-2)*60,得出X=20 (2)Y1>Y2,X<20,学生答第二种方法省钱. (3) Y1 一、幂函数图像的分布规律 幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现， 分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征 线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区 域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区 域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。 二、幂函数图像的应用 1.识别图像 例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数 例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。 三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要： 三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点， 黄岩中学 2006学年第一学期 高一第一次过关测试题 数 学（实验班） （命题人：王建华 鲍德法 时间：2006/10） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的. 1.集合{ }3,2,1的真子集个数是 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2. 函数3 1 -= x y 的定义域是 （ ） A.[)+∞,3 B. [)+∞,0 C.()()+∞∞-,3(3,Y D. ()+∞,3 3.下列函数中，在区间()2,0上是增函数的是 （ ） A ．x y = B ．1+-=x y C ．542+-=x x y D ．x y 2 = 4．已知幂函数)(x f 的图象经过点??? ? ??22, 2，则)4(f 的值为 （ ） A ．16 B ． 161 C ．2 1 D ．2 5.如果函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A.3a ≥- B ．3a ≤- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 6.设2log 3t =,那么3log 4= ( ) A ．1 t B ．2t C. 232t D ．223 t 7.0.7 0.8 a =, 0.9 0.8b =,0.8 1.2 c =的大小关系是 ( ) A.a b c >> B. c a b >> C.b c a >> D. b a c >> 8.若函数()log a f x x = (01a <<)在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍,则a = ( ) A. 4 B. 2 C. 12 D. 14 9．函数2 ()lg( 1)1f x x =-+的图像 ( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y x =对称 10．若1,10-<<- 12.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函 数为“同族函数”，那么函数解析式为2x y -=，值域为{-1，-9}的“同族 函数”共有 ( ) A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上. 13.已知函数5(6) ()(2)(6) x x f x f x x -≥?=?+=-a a x a a x 的解的个数是 . 16.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2 ()2f x x x =-,则当0x <时的表达式为()f x = . 函数在日常生活中的应用 函数不仅在我们的学习中应用广泛，日常生活中也有充分的应用。在此举出一些例子并作适当分析。 当人们在社会生活中从事买卖活动或其他生产时，其中常涉及到变量的线性依存关系，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。总之，函数渗透在我们生活中的各个方面，我们也经常遇到此类函数问题，这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，用函数解决。如： 1.一次函数的应用： 购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。此类问题非常基本，却也运用最为广泛。 2.二次函数的应用： 当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起点等。 3.反比例函数的应用: 反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。 4.三角函数的应用： 实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。 在日常生活中，我们往往需要将各种函数结合起来灵活运用，以解决复杂的问题。要时刻将函数的解析式与其图形联系起来，以得到最简单的解决办法。 一元一次函数生活中应用 一元一次函数一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。 随着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”逐渐被越来越多的经营者采用。一次，我去“物美”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。 我在纸上写道： 设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则 用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60; 用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72. 接着比较y1y2的相对大小. 设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12. 然后便要进行讨论： 当d>0时，0.5x-12>0,即x>24; 当d=0时，x=24; 当d<0时，x<24. 综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜. 可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！ 二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加元，日均销量减少40瓶； 当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大最大日均毛利润为多少元 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷]＝1 360－80x， y＝(x－9)(1 360－80x) ＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)． －b 2a＝－2 080 2×（－80）＝13， ∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值， y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)． 答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元． 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论． 【中考变形】 1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时， 销售量相应减少__20__件； (2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1 幂函数及函数应用（讲义） ? 知识点睛 一、幂函数 1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2. 函数图象及图象性质 （1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3 ，12 y x =，1y x -=的图象： （2）图象性质 （3）幂函数图象的画法 第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势． ①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如 1 2 y x =； ③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况． ① 当m n α= （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． ② 当m n α=- （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． 3. 幂函数指数变化与图象分布规律 函数y x α=在第一象限的图象： ①a y x =；②b y x =；③c y x =；④d y x =；⑤e y x =；⑥f y x =， 则有a 生活中的一次函数 一、学习目标 1、掌握一次函数解析式的特点及意义，知道一次函数与正比例函数关系。 2、通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性，利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系。 教学重点、难点： 重点：一次函数解析式的特点，熟练作出一次函数的图象。 难点：正确理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 二、学法指导 利用学生描点作图经历体验并发现问题，分析问题和进一步归纳总结，让学生在探索中体验知识的生活过程，培养学生独立思考能力，阅 读能力和自主探究的学习习惯 三、教学过程 （一）提出问题，创设情境 出示问题，由学生列出函数表达式，导入新课。 函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，如： 1、某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米 （1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表： x/千克012345 y/厘米 （2）你能写出x与y之间的关系式吗？ 2、某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千克耗油9升。 （1）完成下表： 5 汽车行驶路程x/千米0 100150200300 油箱剩余油量y/升 （2）你能写出x与y之间的关系吗？ 3、把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，你能你能写出长方形的面积y与x之间的关系吗？ （二）尝试探索、体验新知： 从学生比较熟悉的情景（弹簧的长度、汽车油箱中的余油量）出发，便于学生从情境中直接列出相应的代数表达式，在情境中设计了一个填表 活动，一方面让学生感受到x的变化引起y的变化情况，另一方面通过对这个变化情况的观察，帮助学生获得关于变化规律的猜想，通过对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数： 上面所列的函数的形式都是自变量x的k （常数）倍与一个常数的和。 一般地，形如y=kx+b （k、b是常数，k*C?）的函数，？叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 学生练习：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ ①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y （千米）与行驶时间x （时）之间的关系式； ②圆的面积y （厘米2）与它的半径x （厘米）之间的关系； ③一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y （厘米） 一次函数的情景创设与实际生活的联系 --------嵩县纸房镇中宋俊杰 【摘要】数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，世界永远是处于运动变化之中的，因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题。函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际。 【关键词】：数量关系空间形式运动客观实际综合应用首先，函数来源于实际生活，它作为学习抽象概念的实际背景。 例如：（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为5千米，行驶时间为t小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示s. （2）每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张票，午场售出205张票，晚场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？这两个问题引导学生通过填表和列式表示问题中相关的量，从中认识常量和变量的主要特征，学会区别它们，了解问题中的两个变量互相联系。当其中一个变量取定一个值时，另一变量有唯一确定的对应值。现实生活中的心电图、人口统计表等问题也体现了变化与对应的关系。 其次，函数在实际生活中有广泛的应用。 1、在古代的应用。 如下图是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，用图表示一段时间内y与x的函数关系。 2、成语故事中的应用。 小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： （1）放入一个小球，量筒中水面升高 cm 。 （2）求放入小球后量筒中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）之间的一次函数关系式，量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 3、行程问题中的应用 某校组织学生到距学校6千米的光明科技馆参观，学生王红因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车收费标准如下： （ 1）写出出租车行驶的里程数x 与费用y 之间的函数关系式。 （2）王原同学身上仅有14元钱，出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由。 4、销售问题中的应用 分) 生活中的函数问题 教学目标： 通过对函数知识的学习，能学会用数学的思想、方法去观察、研究和解决日常 生活中所遇到的社会问题、经济问题等。 教学难点： 对函数的意义和函数的表示法的了解。进一步认识数形结合的思想和方法。 教学策略： 通过对函数实例的探究，对用表格、关系式和图象法所表示的函数认识有初步 的了解。并培养学生的阅读理解能力。 教学过程： 一、知识整理： 我们学过哪几种函数？它们的解析式是怎样的？有哪些性质？ 一次函数解析式：y=kx+b (k ≠0) 反比例函数解析式:y= x k (k ≠0) 二次函数的解析式 ①一般形式y=ax 2+bx+c ②顶点式y=a(x-h)2+k ③交点式y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0） 函数性质可从函数图象上与学生交流。 二、实例引入： 我们在观看了一些风景优美的画面后，不禁有一种想亲近大自然的冲动。我们 去旅游！那么我们找哪家旅行社呢？请同学们为老师做参谋！ 例1．我们计划国庆期间组织去杭州旅游。甲、乙两旅行社的服务质量相同， 且组织到杭州旅游的价格都是每人200元。为促进旅游发展，甲旅行社表示可给予 每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去两位游客的旅游费用，其余游客八折 优惠。我们应怎样选择，使支付的旅游总费用较少？ 教师：根据旅行社给的条件，你会如何选择呢？ 学生1：我们可以根据人数来确定选择哪家旅行社。 教师：我们将如何确定呢？ 学生2：分析：设去旅游的为x 人。 则Y 甲=200×0.75×x Y 乙=(x-2) ×200×0.8 当Y 甲= Y 乙时，即200×0.75×x=(x-2) ×200×0.8 x=32 都可选； 当Y 甲＞ Y 乙时，得x ＜32 选乙； 当Y 甲＜ Y 乙时，得x ＞32 选甲 [评注]：本题的关键是要确定参加旅游的人数，从而决定选择哪家旅行社。要分情 况讨论。 我们知道在外出旅游期间，要特别注意安全，如果找不到集合地点要及时和老 师取得联系。我们联系的方式会常常使用手机，下面是两种不同的通讯业务，你如 何选择？ 例2．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月 基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通 话1分钟，付话费0.6（这里均指市内通话）。若一个月内通话x 分钟，两种通讯方 式的费用分别为y1元和y2元。 （1）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ （2）若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式教合算？ 教师：我们认真了阅读了两种不同的通讯方式后，应怎样解决这个问题呢？如果我 们假设一个月内通话x 分钟，则y1与y2各是多少？ 学生3：y 1=50+0.4x ； y 2=0.6x 学生4：由题意：50+0.4x= 0.6x x =250 当一个月内通话250分钟，两种通讯方式的费用相同。 教师：若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式教合算？ 学生5：我们要计算两种通讯方式的通话时间，并比较大小。当y 1=200时，即 50+0.4x=200 x 1=375 当y 2=200时，即 0.6x=200 x 2= 全球通合算 。 例3．某城市为了尽快改善职工住房条件，积极鼓励个人购房和积累建房基金， 决定住公房的职工按工资的高低交纳建房公积金。办法如下： 3 1000 学科教师辅导讲义 教学主任签字：学员编号：年级：高一课时数：2课时学员：浩翔辅导科目：数学学科教师： 授课日期及时段2017年2月11日 教学目标1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。 2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。 重点难点会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题 一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． [化解疑难] 1．幂函数的特征 (1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)xα前的系数为1，且只有一项． 2．指数函数与幂函数的辨析 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数. ：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x 1 2 ，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象． [化解疑难] 常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝x 1 2 图象 定义域 R R R {x |x ≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y |y ≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在(－∞，＋ ∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增 定点 (1,1) [化解疑难] 幂函数的性质归纳 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． [例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝? ?? ??12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，(x ≠0)或y ＝x 0(x ≠0)． [类题通法] 判断一个函数是否为幂函数的方法赏析幂函数的图象特征及应用
三角函数在实际生活中的应用
幂函数的运算及应用题
函数在日常生活中的应用
一元一次函数生活中应用一元一次函数一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛
二次函数在实际生活中的应用
幂函数及函数应用(讲义)
生活中的一次函数
浅谈一次函数与实际生活的联系
生活中的函数问题
幂函数及应用全部
相关主题
文本预览