n n n
n 解排列组合应用题的解法·技巧
引言：
1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧
2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合
一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径
(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素
(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.
(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果， 任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列， 无序组合．
（一）排列组合应用题的解法
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一. 运用两个基本原理
二. 特殊元素（位置）优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法
一. 运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n
果，……；n 个人通过，有C n 种结果。所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。
解法 2：用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第 n 个人也是这样。所以一共有2n 种可能的结果。
例 2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡， 则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
（A ）6 种 （B ）9 种 （C ）11 种 （D ）23 种
解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为 a 、b 、c 、d 。
第一步，甲取其中一张，有 3 种等同的方式；
第二步，假设甲取 b ，则乙的取法可分两类：
（1） 乙取 a ，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，
（2） 乙取 c 或 d （2 种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有3 ? (1 + 2) = 9 种分配方式。
二. 特殊元素（位置）优先 --- (优待法)
所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时，对于有限制条件的元素(或位置)
要优先考虑．
例3：从0，1，……，9 这10 个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数
字的五位偶数多少个？
解：个位选0，有P 4个，个位不选0 且万位不能选0，有C1C1P 3个，所以一共可以得
9 4 8 8
到P 4+C1C1P 3= 13776 个偶数。
9 4 8 8
注0，2，4，6，8 是特殊元素，元素0 更为特殊，首位与末位是特殊的位置。
例4：8 人站成两排，每排4 人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？
解：先排甲，有P1种排法。再排乙，有P1种排法，再排其余的人，又有P 6种排法，
4 5 6
所以一共有P1P1P 6= 14400 种排法。
4 5 6
【eg】在由数字 0、1、2、3、4、5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5
整除的数共有( )个．
（解法一）元素优先数字0、1、2、3、4、5 中含有0 元素，组成四位数时，0
不能放在首位．又所求四位数不能被5 整除，因而可以根据是否含有0 和5 两个元
素将所求四位数分成四类：第一类：含0 不含5 的四位数，共有=48(个)；第二类：含5 不含0 的四位数，共有=72(个)；第三类：含0 也含5 的四位数，共
有＝48(个)；第四类：不合0 也不含5 的四位数，共有＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).
（解法二）位置优待根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解答：第一步：排个位——个位上的数字只能从 1、2、3、4 这四个数字中任选一个，
共有种选法；第二步；排首位——首位上的数字只能从 1、2、3、4 这四个数字被个位选掉后剩余的三个数字及数字 5 中任选一个，共有种选法；第三步：排中间两位，中间两柱可以从个位和首位排好后剩余的数字四个数字中任选两个，共有
种排法．所以符合条件的四位数共有=4×4×4×3=192(个)．
〔注〕这道例题是典型的限制排列组合题．解题时，若从元素入手(即元素优先)，常要分类讨论，分类时要注意堵漏防重；若从位置入手(即位置优待1，常要分步解答，分步时要注意分步完整，各步相连．
三. 捆绑法
在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个
大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．例5：8 人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
解：把甲、乙、丙先排好，有P 2种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与
2
5 8 8 100
其余 5 个人相当于 6 个人排成一排，有 P 6 种排法，所以一共有 P 2 P 6 =1440 种排法。 6 2 6
〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．
四. 插空法
不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．
例 6：排一张有 8 个节目的演出表，其中有 3 个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
解：先排 5 个不是小品的节目，有 P 5 种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有 6
个空隙，将 3 个小品插入进去，有 P 3 种排法，所以一共有 P 5 P 3 =7200 种排法。 5 5 5
注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题
【eg 】用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 与 2 相邻，2 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答)
解：由于要求 1 与 2 相邻，2 与 4 相邻，可将 1、2、4 这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排 2，两边排 1 和 4，因此大元素内部 共有 种排法，再把 5 与 6 也捆绑成一个大元素，其内部也有 种排法，与数字 3
共计三个元素，先将这三个元素排好，共有 种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字 7 和 8 插入即可，共 有 种插法，所以符合条件的八位数共有 ＝288(种)．
〔注〕运用插空法解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置． 五. 正难则反——排除法
对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论， 可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．
例 7；求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
解：从 8 个点中取 4 个点，共有C 4 种方法，其中取出的 4 个点共面的有6 + 6 = 12 种，
所以符合条件的四面体的个数为C 4 - 12 = 58 个。
例 8：100 件产品中有 3 件是次品，其余都是正品。现在从中取出 5 件产品，其中含有次品，有多少种取法？
解：从 100 件产品中取 5 件产品，有C 5 种取法，从不含次品的 95 件中取出 5 件产品
有C 5 种取法，所以符合题意的取法有C 5 - C 5 = 17347001 种。 95 100 95
例 9：8 个人站成一排，其中 A 与 B 、A 与 C 都不能站在一起，一共有多少种排法？
解：无限制条件有 P 8 种排法。A 与 B 或 A 与 C 在一起各有 P 2 P 7 种排法，A 、B 、C 8 2 7
8 14
21 三人站在一起且A 在中间有 P 2 P 6 种排法，所以一共有 P 8 - 2 P 2 P 7 + P 2 P 6 =21600 种排法。 2 6 8 2 7 2 6
【eg 】从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．
A ．140 种
B ．80 种
C ．70 种
D ．35 种
解：在被取出的 3 台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符 合题意的抽取方法有 =70(种)，故选 C ．
应该指出的是，上述介绍的各种方法并非绝对的。同一问题有时会有多种解法， 这时，要认真思考和分析，灵活选择最佳方法．
〔注〕这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题
六. 机会均等法
例 10：10 个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？
解：甲、乙、丙三人排列一共有 6 种排法，在这 6 种排法中各种排列顺序在 10 个人的 所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为 1 P 10 = 604800 。
6 10
例 11：用 1，4，5， x 四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为 288， 求 x 。
解：若 x 不为 0，在每一个数位上 1，4，5， x ，出现的机会是均等的。由于一共可以得到 24 个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现 6 次，于是得到：
6 ? 4 ? (1 + 4 + 5 + x ) = 288 ，解得 x = 2 。
若 x 为 0，无解。
七. 转化法
例 12：一个楼梯共 10 级台阶，每步走 1 级或 2 级，8 步走完，一共有多少种走法？ 解：10 级台阶，要求 8 步走完，并且每步只能走一级或 2 级。显然，必须有 2 步中每 步走 2 级，6 步中每步走一级。记每次走 1 级台阶为 A ，记每次走 2 级台阶为 B ，则原问题就相当于在8 个格子中选2 个填写B 。其余的填写A ，这是一个组合问题，所以一共有C 2 = 28 种走法。
例 13：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？
解：动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为 14，把动点运动 1 个单位看成是 1 步，则动点走了 14 步，于是问题就转化为在 14 个格子中填写 6 个“上”和 8 个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有C 6 = 3003 种走法。 八. 隔板法
例 14：20 个相同的球分给 3 个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？ 解：将 20 个球排成一排，一共有 21 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可 以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给 3 个人，则每一种隔
法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为C 2 = 210 种方法。
9 6 4 5 注：本题可转化成求方程 x + y + z = 20 的非负整数解的个数。
【eg 】 10 张参观公?的门票分给 5 个班，每班至少 1 张，有几种选法？
解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把 10 张票看成 10 个相同的小球放入 5 个不同的盒内，每盒至少 1 球，可先把 10 球排成一列，再在其中 9 个间隔中选 4 个位置插入 4 块“档板”分成 5 格(构成 5 个盒子)有 C94 种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
【e g 】10 个相同的球各分给 3 个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；分析：显然，直接讨论分配方案复杂而又易错，采用隔板模型法，能化繁为简：取 10 枚棋子排成一列， 在相邻的每两枚棋子形成的 9 个空隙中选取 2 个空隙，分别插入 1 个隔板（共两个隔板），讲 10 枚棋子分割成 3 部分，因此名额分配方案的种数与隔板插入的组合数相等为C 2 = 36
如果没人至少两个，可以这样理解：先每人发一本，然后剩下 7 本每人至少 1 本按上面的方法有
C 2 = 15 种方法。
（二）排列、组合、解题技巧
排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握， 实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的解答策略．
1．相邻问题并组法 2．相离问题插空法 3．定序问题缩倍法
4．标号排位问题分步法 5．有序分配问题逐分法 6．多元问题分类法
7．交叉问题集合法 8．定位问题优先法 9．多排问题单排法
10．“至少”问题间接法 11．选排问题先取后排法 12．部分合条件问题排除法
13、均匀分配问题-均分法
1. 相邻问题并组法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
【例 1】A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果 A 、B 必须相邻且 B 在 A 的右边， 那么不同的排法种数有
A ．60 种
B ．48 种
C ．36 种
D ．24 种
分 析 把 A 、 B 视 为 一 人 ， 且 B 固 定 在 A 的 右 边 ， 则 本 题 相 当 于 4
人全排列，P 4 ＝24种，故选D ．
2. 相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．
【例 2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是
A ．1440
B ．3600
C ．4820
D ．4800
分析 除甲、乙外，其余5个排列数为P 5
种，再用甲、乙去插 6个空位有P 2 种，不同排法种数是P 5P 2 ＝3600种，故选B ． 6 5 6
3. 定序问题缩倍法
14
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
【例 3】A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站 A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有
A ．24 种
B ．60 种
C ．90 种
D ．120 种
分析 B 在 A 右边与 B 在 A 左边排法数相同， 所以题设的排法只是
5个元素全排列数的一半，即 1 P 5＝60种，故选B ． 2 5
4. 标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
【例 4】将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则 每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A ．6 种
B ．9 种
C ．11 种
D ．23 种
分析 先把 1 填入方格，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3×3 ×1＝9 种填法，故选 B ．
5. 有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．
【例 5】有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需 1 人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法总数有
A ．1260 种
B ．2025 种
C ．2520 种
D ．5040 种
分析 先从 10 人中选出 2 个承担甲项任务，再从剩下 8 个中选 1 人承担乙项任务， 第 三 步 从 另 外 7 人 中 选 1 个 承 担 两 项 任 务 ， 不 同 法共有C 1 C 1C 1 ＝2520种，故选C ． 10 8 7
6. 多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算， 最后总计．
【例 6】由数字 0，1，2，3，4，5 组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于 十位数字的共有
A ．210 个
B ．300 个
C ．464 个
D ．600 个
分析 按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，
分别有P 5个，P 1P 1P 3个、P 1P 1P 3个、P 1P 1P 3个、P 1P 3个，合并总计得300
5 个，故选B ．
4 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3
【例 7】从 1，2，3，…100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除， 这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？
分析 被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，它们的乘积就能被 7 整除，将这100 个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被 7 整除的数的集合记作 A ，则 A ＝｛7， 14，…98｝共有 14 个元素，不能被 7 整除
的数的集合A = {1，2，…99，100}共有86个元素．由此可知，从A 中任取两数的取法，共有C 2 种；从A 中任取一个数又从A 中任取一个数的取 法，共有C 1 C 1 种，两种情形共得符合要求的取法有C 2 + C 1 C 1 = 1295 14 86 14 14 86
3 A 5 6 【例 8】从 1，2，…100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被
4 整除的取法(不计顺序)有多少？
分析 将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集 A ＝｛4， 8，…， 100｝；被 4 除余 1 的数集 B ＝｛1，5，…，97｝；被 4 除余 2 的数集为 C ＝｛2， 6，…98｝；被 4 除余 3 的数集为 D ＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含 25个元素；从 A 中任取两个数符合要求；从 B 、D 中各取一个数的取法也符合要求；从 C 中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都
不符合要求．由此即可得符合要求的取法共有C 2 + C 1 C 1 + C 2 (种)．
7. 交叉问题集合法 25 25 25 25
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n(A ∪B)＝n(A) ＋n(B)－n(A ∩B)
【例 9】从 6 名运动员中选出 4 个参加 4×100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
分析 设全集Ⅰ＝｛6 人中任取 4 人参赛的排列｝，A ＝｛甲第一棒的排列｝，B ＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A ∩B)＝P 4 - P 3 - P 3 + P 2 ＝252(种)．
8. 定位问题优先法 6 5 5 4
某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．
【例 10】1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有 种．
分析 老师在中间三个位置上选一个位置，有P 1种；然后4名同学 在其余4个位置上有P 4 种，共P 1P 4 ＝72种． 4 3 4
【eg 】书架上有 3 本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不变，再放上 2 本不同的书，有 种
不同的放法 分析：法一：分两部完成，第一步，固定 3 本不同的书前后顺序进行排列，设其排列数为 N ，第二步，
A 5
再对三本书进行内部排列，有 A 3 种不同的方法，由分布计数原理， A 5 = NA 3 ，所以 N = 5 = 20 3
5 3 3 3 种不同的方法。
法二：可理解为从 5 个位置中选 2 个进行排列 A 2
，三本书放剩余位置。 9. 多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．
【例 11】6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是
A ．36
B ．120
C ．720
D ．1440．
分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为 6 个不同元素
排成一排，共P 6＝720种，故选C ．
【例 12】8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排， 某 1 个元素要排在后排，有多少种排法？(高中代数甲种本第三册 P 82，23②)．
4
4
4 8
8
7
7 分析 看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有P 2 种；某1个元素在后半段四个位置中选一个，有P 1种；其余5个元素任 排在剩余的5个位置上有P 5种，故共有P 1P 2 P 5＝5760种排法．
5 10. “至多”、“至少”问题间接法
4 4 5
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．
【例 13】从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有
A ．140 种
B ．80 种
C ．70 种
D ．35 种
分析 逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取
另一种型号的电视机，故不同取法共有C 3 - C 3 - C 3＝70种．故选C ．
9 4 5
如从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人，至少有 2 名女同学当选的选法有
种（答：596）
提醒：亦可分类来求. 11. 选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．
【例 14】四个不同的球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 种
分析 先取四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有C 2
种；再排：在四个盒中每次排三个有P 3种，故共有C 2C 3 ＝144种． 4 4 4
【例 15】9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？
分析 先取男、女运动员各二名，有C 2C 2 种；这四名运动员混双练
5 4
习有P 2 种排法，故共有C 2C 2 P 2 种分组法． 2 5 4 2 如某种产品有 4 只次品和 6 只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4 只次 品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是 12. 部分合条件问题排除法
（答：576）。 在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．
【例 16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有
A ．70 个
B ．64 个
C ．58 个
D ．52 个
分析 正方体8个顶点，从中每次取四点，理论上可构成C 4 个四
面体，但 6 个表面和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所
以四面体实际共有C 4 －12＝58个，故选 C ． 【例 17】正六边形中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有 个．
分析 7个点中取三点的取法有C 3
种，但有三组三点共线不能构成三角形，故所求三角形C 3 －3＝32个．
13、均匀分配问题-均分法
【例 17】6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1） 分给甲、乙、丙三人，每人 2 本；
3 A （2） 分为三份，每份 2 本；
（3） 分为三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；
（4） 分给甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；
（5） 分给甲、乙、丙三人，每人至少 1 本
解：（1）根据分步计数原理得到： C 2C 2C 2 = 90 种； 6 4 2
（2） 分给甲、乙、丙三人，每人两本有C 2C 2C 2 种方法，这个过程可以分两步完成：第一 6 4 2
步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A 3
C 2C 2C 2
种方法．根据分步计数原理可得： C 2C 2C 2 = xC 3 ，所以 x = 6 4 2 = 15 ．因此，分为 6 4 2 3 3 3
三份，每份两本一共有 15 种方法．
点评：本题是分组中的“均匀分组”问题．
一般地：将 mn 个不同元素均匀分成 n 组（每组 m 个元素），共有
法． （3） 这是“不均匀分组”问题，一共有C 1C 2C 3 = 60 种方法． C m ? C m ? ? C m mn mn -m m 种方
n n 6 5 3
（4） 在（3）的基础上再全排列，一共有C 1C 2C 3 A 3 = 360 种方法．
（5） 可以分为三类情况： 6 5 3 3
①“2、2、2 型”即（1）中的分配情况，有C 2C 2C 2 = 90 种方法； 6 4 2
②“1、2、3 型”即（4）中的分配情况，有C 1C 2C 3 A 3 = 360 种方法； 6 5 3 3
③“1、1、4 型”，有C 4 A 3 = 90 种方法； 6 3
所以，一共有 90+360+90＝540 种方法．
C 4C 1C
1 点评：本题第（3）种类型为部分均匀分组再分配，其分组总数为 6
2 1 ． 2
2
思考（1）：8 名球员住 A 、B 、C 三个房间，每个房间最多住 3 人，有多少种住宿方法？解： C 3C 3C 2 8 5 2 ? A 3 ． 2 3 2
思考（2）：六本相同的书发给甲、乙、丙三人，要求全部分完，不管三人是否均分到书．问有多少种不同的分法？
解：用档板法处理，○|○○|○○○，结果为C 2 = C 2 = 28 ．
6+2 8
点评：〖类题〗求不定方程 x 1 + x 2 + x 3 = 6 的非负整数解的个数？
A A A
4 3 n n -1 练习：（1）四本不同的书，分给三个人，每人至少一本，全部分完，有几种分法？
解：先分组，再分配有C 2 A 3 种．
（2） n 本不同的书，分给 n -1个人，每人至少 1 本，全部分完，有几种分法？
解：先分组，再分配有C 2 A n -1
种． （3） n 本相同的书，分给 n -1个人，每人至少 1 本，全部分完，有几种分法？ 解：共 n 种分法．
（4）10 个相同的小球放入编号为 1、2、3 的盒子中，球数不少于编号数的放法有多少种？
解：按要求放 6 个，其余 4 个按上题的方法放有C 2 = C 2 = 15 ．
4+2 6
【eg 】．3 名飞行员和 6 名特勤人员分别上 3 架不同型号的直升飞机执行任务,每机 11 中飞行员和两名特勤人员，有多少种分配方法？
C 2C 2C 2 C 1C 1C 1 解：先分组，再分配， 6 4 2 ? 3 2 1 ? A 3 ? A 3 ．
A 3 A 3 3 3
3 3 类题：20 名同学分两组，每组 10 人去某地社会实践，其中 6 名干部，每组 3 人，不同分法
C 3 C 7 总数是多少？解： 6 ? 14 ? A 2 ．
A 2 A 2 2 2 2
学习改变命运 求解排列组合应用题的“八字诀” 分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。 特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。 反——利用“正难则反”的原则解题。当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。 等——利用概率相等解题。充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。 化——注意用转化思想指导解题。许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。 捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。 插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。 推——运用递推关系解决排列组合应用问题。递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。 若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。下面通过几个例题的解答和评注，说明“八字诀”的具体应用。 例2．（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种 A ． 5544A A B ．554435A A A C ．554413A A A D ．5 54422A A A 解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数 4 4A . 第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数 55A . 第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数22A ，再把水彩画插在国画和油画之间1 1A . ∴满足条件的陈列方式有： 2 24544A A A ??种故选D 。 评注：由于本题的主要附加条件是“连在一起”，故容易相到使用“捆”的技巧。 例3．（2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 解评：由于正面考虑比较复杂，而问题的反面即为三个面两两相邻，一个顶点对应于一种取法，故用“正难则反”的方法解之，即1282083 6 =-=-C 种故选B 。 例4．五个成年人和两个小孩（一男一女）排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲（五个成年人之一）排在一起，问：有多少种不同的排法？ 解：第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为： 82 214=?A C 。 第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数：244 4=A
每周一计第三计——排列组合问题的解法 解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 （一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1 ： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有 种，0在十位有 种； 第二类，不含0：有1 223A A 种。 故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个 放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 故共有 练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m 接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单） （二）．排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去. 例２：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有543543 2A A A -+=78种． （三）.相邻问题“捆绑法” 对于某些元素要求相邻．． 排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有6365A A 种。 （四）。不相邻问题“插空法” 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的） 例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有 种。 注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素； ②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 例5： 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有3 5 C 种。 （五）。定序问题选位不排 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。 例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共有 =60种。 1345240A A =5354A A 25C 3 3 A 25C 3 3A 24 A 1123A A 111233 A A A 2111423330 A A A A +=24A
排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3
解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.E D C B A ,,,,五人并排站成一排，如果B A ,必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把B A ,视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列,4 4A =24种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种数是36002655=A A 种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.E D C B A ,,,,五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（B A ,可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即602 155=A 种，选B 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的 7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有25201718210=C C C 种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ A ） A 、44484 12C C C 种 B 、344484 12C C C 种 C 、33484 12A C C 种 D 、33 4448412A C C C 种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有363324=A C 种
★绝密 备战2014专题 主编：冷世平
排列组合的常见题型及其解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。 ◆处理排列组合应用题的一般步骤为： ①明确要完成的是一件什么事（审题）；②有序还是无序；③分步还是分类。 ◆处理排列组合应用题的规律 ⑴两种思路：直接法，间接法；⑵两种途径：元素分析法，位置分析法。 排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: ⑴使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 ⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。 ⑶复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 ⑷按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。 ⑸处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 ⑹在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。 总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等；其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 【策略1】特殊元素（位置）用优先考虑 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 【例1】6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有种不同站法。 【分析】解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 【法一】（优先考虑特殊元素）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有120种站法，故站法共有480种； A种方法；剩下四【法二】（优先考虑特殊位置）先从除甲外的五个元素中任取两个站在两端，有2 5 A种方法，共计有480种。 个人作全排列有4 4 用0,2,3,4,5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。30 【策略2】相邻问题用捆绑法 将相邻的元素内部进行全排列，绑成一捆，看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列。
组合应用题例题分析 ⒈100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法； （2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？ ⒉从8男4女中选出5名学生代表，按下列条件各有多少种选法: ⑴至少有一名女同学； ⑵至少有两名女同学，但女甲和女乙有且只有一人当选； ⑶至多有两名女同学； ⑷女生甲、乙不都当选； ⑸必须有女同学当选，但不得超过女同学的半数。 ⒊甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可 以排出多少种不同的值周表？ 4. 六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的方法？ （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分为三份，一份四本，另两份各一本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。
A B 5. 10个人分乘4辆相同的汽车，两辆汽车各坐3人，另两辆汽车各坐2人，有多少种分配方案？ 6．（1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ （2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 7．（1） 将6名运动员分到四所学校，每校至少一名，有多少种不同的分法？ （2）从四所学校选6名运动员，每校至少一人，有多少种不同的方案？ 8．一楼梯分10级，某人上楼一步可上一级，也可，规定8步走完，共有多少种不同的走法？ 变题1: 一楼梯分10级，某人上楼一步可上一级，也可上两级，一共有多少种走法？ 变题2: 若有n 个台阶又如何？ 9．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？ 10．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如 果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？ 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有)(21 7171228C C C A +种方法； ②若不取6，则有2 717A C 种方法， 根据分类计数原理，一共有)(217171228C C C A ++2 717A C ＝602种方法。 11．如图是由12个小正方形组成的43?矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同 路径之中，最短路径有 条。 12．平面内有10个点，其中有4个红点，6个白点，除了3个白点共线外，其余无三点共线，求过同色的点所作的直线条数？
排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得1 1 3434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5 2 2 522480A A A =种不同的排法 C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
排列组合问题的解题策略 关键词：排列组合,解题策略 ①分堆问题； ②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个. 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．30 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答） 解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．用三种颜色着色有=24种方法, 用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72. 六、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） A．种B．种
排列组合解法大全 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进 行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法 种数是：73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三个位
排列组合基础知识及习题分析 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. ***************************************************************************** 习题 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个 2、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？ （2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ （3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 3、七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600） （2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440） （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120） （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440） （5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）
解排列组合应用题的解法?技巧 引言： 1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧 2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 （2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则 （3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接 解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。 3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列, 无序组合. （一）排列组合应用题的解法 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目 中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五. 排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法 一.运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。 例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……； n个人通过，有C；种结果。所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。 解法2 :用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这 样，……，第n个人也是这样。所以一共有2n种可能的结果。 例2:同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A） 6 种（B）9 种（C）11 种（D）23 种 解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d o 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的， （2）乙取c或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有 3 （1 2） 9种分配方式。
排列组合应用题的解法 湖北省京山县第五高级中学高二（3） 李敏 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一、运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。 例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 分析1：用分类记数的原理：没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。所以一共有种可能的结果。 分析2：用分步记数的原理：第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。所以一共有种可能的结果。 二、特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例2：6人站成一排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在中间四个位置的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：=480（种） 三、相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 分析：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：=4320（种）。 四、相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例4：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
小学数学《排列组合的综合应用》练习题（含答案） 例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解：符合要求的选法可分三类： 不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15＋10＋ 6＝31种. 注运用两个基本原理时要注意： ①抓住两个基本原理的区别，千万不能混. 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. ③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式. 解：
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。
排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！ 35C ＝（5×4×3）/（3×2×1） 26 C ＝（6×5）/（2×1） 通过这2个例子 看出 n m C 公式 是种子数M 开始与自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N 的阶层作为分母 35P ＝5×4×3 66P ＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 n m P ＝从M 开始与自身连续N 个自然数的降序乘积 当N ＝M 时 即M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分 类：“做一件事，完成它可以有n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.
《排列组合》 一、排列与组合 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是 A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 5．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ （5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？ 二、注意附加条件 1.6人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？ （2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？ 2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？ 3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是 A.3761 B.4175 C.5132 D.6157
4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 A.30种 B.31种 C.32种 D.36种 5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是 A.230种 B.236种 C.455种 D.2640种 6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种 7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是 。 三、间接与直接 1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法？ 2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？ 3.已知集合A 和B 各12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C 的个数：（1）()C A B ? 且C 中含有三个元素；（2）C A ≠? ,?表示空集。 4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数 A.60种 B.80种 C.120种 D.140种 5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种？ 6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个？ 7. 对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对？ 四、分类与分步 1.求下列集合的元素个数． （1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤； （2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．