一、多选题1．题目文件丢失！
2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A ．||||||a b a b ?≤
B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3??-+∞ ???
3．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b
B a
=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>
B ．若a b >，则cos2cos2A B <
C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 5．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2
π 6．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3
π
，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）
A ．△ABC 的外接圆面积是493
π
； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；
C ．b ＋c 可能等于16；
D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大
值是
7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C =
B ．若sin 2sin 2A B =，则a b =
C ．若sin sin A B >，则A B >
D ．
sin sin sin +=+a b c
A B C
8．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b +
9．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ?=- B ．0OE O
C +=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
10．下列结论正确的是（ ）
A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ?=?，则a ⊥（-b c ）
B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为
12
b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 11．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =
B ．a b =
C ．a 与b 的方向相反
D ．a 与b 都是单位向量
12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的
坐标为（ ） A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
13．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ?=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ?≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ?=±
14．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB
BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=
15．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ?=-
二、平面向量及其应用选择题
16．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ?等于（ ） A ．72
B ．144
C ．150
D ．300
17．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ?+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
18．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等边三角形
19．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
20．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
21．在ABC ?中，设2
2
2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
22．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ?===
，点D 在边BC 上，且
27
sin 7
BAD ∠=
，则CD 等于（ ）
A 23
B 3
C 33
D 43
23．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B >
B ．cos cos A B <
C ．sin2sin2A B >
D ．cos2cos2A B <
24．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且
3
03
aGA bGB cGC ++
=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
25．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠?＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A ．62-
B ．1
(62)2
- C ．62
+
D ．
1
(62)2
+26．题目文件丢失！
27．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1
2
BD DC =
，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）
A ．m n +是定值，定值为2
B ．2m n +是定值，定值为3
C ．
11
m n +是定值，定值为2 D ．
21
m n
+是定值，定值为3 28．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
29．如图所示，设P 为ABC ?所在平面内的一点，并且11
42
AP AB AC =+，则BPC ?与ABC ?的面积之比等于（ ）
A ．
25
B ．
35
C ．3
4
D ．
14
30．在ABC ?中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ?的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?为等腰三角形；④0AC AB ?>，则
ABC ?为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
31．在ABC ?中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ?的外心，若
AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）
A ．
34
B ．
53
C ．
73
D ．
83
32．已知1a b ==，1
2
a b ?=
，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为
（ ） A ．(
,32?-∞+?
B ．)
32,?++∞?
C ．(
,32?-∞-?
D ．)
32,?-+∞?
33．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()
20c a c b ?--=，则b c ?的最大值为（ ） A ．
5
4
B ．2
C ．
174
D ．4
34．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，
BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）
A ．21
33AB AD - B ．
12
33AB AD - C ．21
33
AB AD -+ D ．12
33
AB AD -
+ 35．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=?==，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．123B ．3
C ．12
D ．183
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一、多选题
1．无 2．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=，则||||||a b a b ?≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -?=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
3．D 【分析】
在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或，
解得或.
故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查
解析：D 【分析】 在ABC 中，根据
cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.
【详解】
在ABC 中，因为
cos cos A b
B a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，
解得A B =或2
A B π
+=.
故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．ABD 【分析】
对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【
解析：ABD 【分析】
对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得
sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】
对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得
()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；
对于B ，若sin sin a b A B >?>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即
cos2cos2A B <，故B 正确；
对于C ，2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==???=，故C 错
误；
对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=--?，则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
5．CD 【分析】
对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解
解析：CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
(
)
()()
2
2
2
a b
a b ?≠?，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ?=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()
2
2
2
2
2
cos cos a b
a b a b αα?==，而()()2
2
2
2
a b
a b ?=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2
cos 1α≠，所以(
)
()()
2
2
2
a b a b ?≠?，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++?=+，所以
0a b ?=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是
2
π
，所以该命题是真命题.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
6．ABD 【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】
对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；
对于B ，根据正弦定
解析：ABD 【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】
对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理
2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是249
3
S R ππ==
，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为
2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．
对于C ，22(sin sin )2[sin sin(
)]3
b c R B C R B B π
+=+=+-
114(cos )14sin()223
B B B π=+=+
14b c ∴+≤，故C 错误．
对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得
11
sin 22
ad bc A =，即sin bc A
d a
=
，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．
7．ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断.
对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角
解析：ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在ABC ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；
对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π
+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错
误；
对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以
A B >，故C 正确；
对于D ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 8．AC
【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；
解析：AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；
222222b =+=，故B 错误；
2222
2cos ,21022a b a b a b
?<>=
=
=
?+?+，
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540?-?=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
9．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
解析：BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123
(0,),3),(1,),(,3
O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ，
所以13y y =-
，解得：y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
2OA OB OC OE OC OE ++=+=
=
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，
0AB CE ?=，所以选项A 错误；
1(3ED =，(1,BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +?==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
10．ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】
对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；
对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为
解析：ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】
对A ：因为()a b c a b a c ?-=?-?，又a b a c ?=?，故可得()
0a b c ?-=， 故()
a b c ⊥-，故A 选项正确；
对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1
212
a b ?=?
=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ??
?
?= ???
，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重
心，
故C 选项错误；
对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，
则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ?=?+?-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；
综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.
11．AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，
解析：AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；
对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；
对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】
本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.
12．ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为，
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得
解析：ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
13．ACD 【分析】
利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】
由向量加法的三角形法则可知选项A 正确； 当时，，故选项B 错误； 因为，故选项C 正确； 当共线同向时，， 当共线反
解析：ACD 【分析】
利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】
由向量加法的三角形法则可知选项A 正确； 当a b ⊥时，0a b ?=，故选项B 错误；
因为||cos ||||a b a b a b θ?=≤，故选项C 正确；
当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ?==，
当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ?=?=-，所以选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.
14．AB 【解析】 【分析】
根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；
，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B. 【点睛】
本题主要考查了向量加法的
解析：AB 【解析】 【分析】
根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0AB
BA AB AB
，正确；
AB BC
AC ，由向量加法知正确；
AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；
0,AB AB +=，所以00AB +=错误.
故选：A B . 【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.
15．CD 【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确；
由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】
解析：CD 【分析】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?.
由12cos12010a b ??=??=-≠，故B 错误，D 正确；
由()
2
2
2
21243a b
a a
b b +=+?+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；
由()()2
144440a b b a b b
+?=?+=?-+=，所以()
4a b b +⊥，故C 正确.
故选：CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
二、平面向量及其应用选择题
16．B 【分析】
首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求． 【详解】
解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =
，所以5sin 13
A =，所以1
||||sin 302
AB AC A ?=，得到||||626AB AC ?=?， 所以12
|||||cos 62614413
AB AC AB AC A =?=??=； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题． 17．C 【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()
0BC AB AC ?+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答
案. 【详解】
由题意，()()
2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()
0BC AB AC ?+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ?=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 18．D 【分析】
先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】
因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3
B π
=，
所以3
A B π
==，所以ABC 是等边三角形.
故选：D.
本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 19．B 【分析】
2222||2b ta b a bt a t -=-?+，令222()2f t b a bt a t =-?+，易得2cos b a b t a a
θ
?=
=时，222min 2
44()()14a b a b f t a
-?==，即222
||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】
2222||2b ta b a bt a t -=-?+，令222()2f t b a bt a t =-?+，因为t R ∈，
所以当2cos b a b t a a
θ
?==时，222min 2
44()()4a b a b f t a -?=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2
||b ta -的最小值也为1，即222
min
2
44()()14a b a b f t a -?==，
222||cos 1b b θ-=，
所以2
2
||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ
=，故若θ确定，则||b →
唯一确定. 故选：B 【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 20．A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan
2
C
，从而求得tan C ． 【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221
2sin 22
ab C a b ab c ??=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ?-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-?-===-，∴sin cos 12C C +=
， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴2
22tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ?===---，
【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 21．D 【分析】
根据已知条件可得()
2
2
2AC AB AC AB BC AM BC -=+?=?，整理可得
()
0BC MC MB ?+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线
上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】
()()()
2
2
2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+?-=+?=?
()
20BC AC AB AM ∴?+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ??-+-=?+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=
20BC ME ∴?= BC ME ?⊥
ME ?为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ?的外心 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 22．A 【分析】
首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值. 【详解】
AB =
3==，
222cos
22AB BC AC B AB BC +-∴===
?， 又因为角B 是三角形的内角，所以6
B π
=
，
90BAC ∴∠=，
sin 7BAD ∠=
，cos 7
BAD ∴∠==，
sin cos DAC BAD ∴∠=∠=
， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD B
AD BAD ?=∠，
在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC C
AD DAC
?=
∠，
(
)
1DC DC ?
=
，解得：
DC =
. 故选：A 【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型. 23．C 【分析】
由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】
设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；
sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；
2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 24．D 【分析】
由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入
303aGA bGB cGC ++=中可得3()0b a GB c a GC ??-+-= ? ???
,由,GB GC 不共线可