最佳云南旅游路线设计
摘要
本文主要研究最佳旅游路线的设计问题。在满足相关约束条件的情况下，花最少的钱游览尽可能多的景点是我们追求的目标。基于对此的研究，建立数学模型，设计出最佳的旅游路线。
第一问给定时间约束，要求为设计合适的旅游路线。我们建立了一个最优规划模型，在给定游览景点个数的情况下以人均总费用最小为目标。再引入0—1变量表示是否游览某个景点，从而推出交通费用和景点花费的函数表达式，给出相应的约束条件，使用lingo编程对模型求解。推荐方案：
第二问放松时间约束，要求游客们游遍所有的景点，该问题也就成了典型的货郎担（TSP）问题。同样使用第一问的模型，改变时间约束，使用lingo编程得到最佳旅游路线为：
本文思路清晰，模型恰当，结果合理.由于附件所给数据的繁杂，给数据的整理带来了很多麻烦，故我们利用Excel排序，SPSS预测，这样给处理数据带来了不少的方便。本文成功地对0—1变量进行了使用和约束，简化了模型建立难度，并且可方便地利用数学软件进行求解。此外，本文建立的模型具有很强普适性，便于推广。
关键词：最佳路线TCP问题景点个数最小费用
一问题重述
云南是我国的旅游大省，拥有丰富的旅游资源，吸引了大批的省外游客，旅游业正在成为云南的支柱产业。随着越来越多的人选择到云南旅游，旅行社也推出了各种不同类型的旅行路线，使得公众的面临多条线路的选择问题。
假设某一个从没有到过云南的人准备在假期带家人到云南旅游，预计从昆明出发，并最终返回昆明。请你们为他设计一条在云南旅游的最佳路线初步设想有如下线路可供选择：
一号线：昆明-玉溪-思茅
二号线：昆明-大理-丽江
三号线：昆明-大理-香格里拉
四号线：昆明-玉溪-西双版纳
五号线：昆明-玉溪-思茅-西双版纳-大理-丽江-香格里拉
每条线路中的景点可以全部参观，也可以参观其中之一。结合上述要求，请你回答下列问题：
一、请你们为游客设计合适的旅游路线，假设使游客在10天时间内花最少的钱尽可能的游更多的地方。
二、如果有游客的时间非常充裕（比如一个月），游客打算将上述旅游景点全部参观完毕后才离开云南，请你们为游客设计合适的旅游路线，使在云南境内的交通费用尽量地节省。
二问题分析
2.1问题背景的理解：
根据对题目的理解我们可以知道，旅游的总费用包括交通费用和在景点游览时的费用，而在确定了要游览的景点的个数后，所以我们的目标就是在满足所有约束条件的情况下，求出成本的最小值。
2.2问题一和问题二的分析：
问题一要求我们为游客设计合适的旅游路线，假设使游客在10天时间内花最少的钱游尽可能多的地方。在这里我们的做法是在满足相应的约束条件下，先确定游览的景点数，然后计算出在这种情况下的最小花费。这样最终会得出几种最佳方案，而游客可以根据自己的实际情况进行选择。
问题二实质上是在问题一的基础上改变了时间约束，即游客要游览所有的景点，我们完全可以使用与问题一同样的方法进行求解。
三 模型假设
1.所给的5条路线每条路线中的景点可以全部参观，也可以参观其一；
2. 游客使用旅游大巴安排他们往返于各个旅游景点，其交通费用、在景点的花费、在景点的逗留时间参照当地客运公司及旅行社的数据；
3. 游客们所乘坐的旅游大巴平均时速为50km/h ，平均费用为0.3元/km ；
4.一个景点直接到达另外一个景点是指，途中经过的其他景点只是一个转站地，而并不进行游览；
5.在限定的时间内，游客最终要返回昆明，并且假设昆明是游客们肯定要去的一个旅游景点；
6. 游客们在途中和游览景点的时间为12小时，而另外12小时为休息、用餐及其他琐事时间。
四 符号说明
i ,j ——第i 个或者第j 个景点， i ，j =1，2， (7)
分别表示昆明 玉溪 思茅 西双版纳 大理 丽江 香格里拉
c ——每个游客的旅游总花费；
i t ——每个游客在第i 个景点的逗留时间； i c ——每个游客在i 个景点的总消费；
ij t ——从第i 个景点到第j 个景点路途中所需时间； ij c ——从第i 个景点到第j 个景点所需的交通费用； ???=0
1ij r
其他个景点个景点到达第游客直接从第
j i
五 模型建立及求解 5.1 问题一：
5.1.1 目标函数的确立：
经过对题目分析，我们可以知道本题所要实现的目标是，使游客在10天时间内花最少的钱游览尽可能多的地方。显然，花费最少和游览的景点尽量多是该问题的两个目标。因此，我们的做法是在满足相应的约束条件下，先确定游览的景点数，然后计算出在这种情况下的最小花费。这样最终会得出几种旅游路线，而游客可以根据自己的实际情况进行选择。
游览的总费用由2部分组成，分别为交通总费用和在旅游景点的花费。我们定义：
m ——每个游客的旅游总花费；
1m ——每个游客的交通总费用；
2m ——每个游客的旅游景点的花费； 从而得到目标函数： Min m ＝1m ＋2m （1）交通总花费
因为ij c 表示从第i 个景点到第j 个景点所需的交通费用，而ij r 是判断游客是否从第i 个景点直接到第j 个景点的0—1变量，因此我们可以很容易的得到交通总费用为：
∑∑==?=717
1
1i j ij ij c r m
（2）旅游景点的花费
因为i c 表示游客在i 个景点的总消费，ij r 也可以表示出游客是否到达过
第i 个和第j 个景点，而整个旅游路线又是一个环形，因此()
∑∑==+?717
1
i j j i ij c c r 实际上将游客在所到景点的花费计算了两遍，从而我们可得旅游景点的花费为：
()∑∑==+??=717
1
221i j j i ij c c r m
从而我们可以得到目标函数为：
Min m ＝1m ＋2m
＝∑∑==?717
1
i j ij ij c r +()∑∑==+??717
121i j j i ij c c r
5.1.2 约束条件： ①时间约束
假设游客在云南的旅游时间应该不多于10天(120小时)，而这些时间包括在路途中的时间和在旅游景点逗留的时间。因为ij t 表示从第i 个景点到第j 个景点路途中所需时间，所以路途中所需总时间为∑∑==?7
17
1i j ij ij t r ；i t 表示
游客在第i 个景点的逗留时间，故游客在旅游景点的总逗留时间为
()∑∑==+??717
1
21i j j i ij t t r 。因此，总的时间约束为： ∑∑==?7
17
1
i j ij ij t r +()∑∑==+??717
121i j j i ij t t r ≤120 ②旅游景点数约束
根据假设，整个旅游路线是环形，即最终游客要回到成都，因此
∑∑==717
1
i j ij
r
即表示游客旅游的景点数，这里我们假定要旅游的景点数为n
（n =2，3，……，11）。因此旅游景点数约束为：
∑∑===717
1
i j ij
n r
（n =2，3， (7)
③0——1变量约束
我们可以把所有的景点连成一个圈，而把每一个景点看做圈上一个点。对于每个点来说，只允许最多一条边进入，同样只允许最多一条边出来，并且只要有一条边进入就要有一条边出去。因此可得约束：
=∑i
ij
r
1≤∑j
ij r （i ，j =1，2， (7)
当1=i 时，因为昆明是出发点，所以11
=∑=i ij r ；
1=j 时，因为游客最终要回到昆明，所以11
=∑=j ij r 。
综合以上可知，
=∑i
ij
r
1≤∑j
ij r （i ，j =1，2， (7)
11
=∑=i ij
r
11
=∑=j ij
r
同样，当i ，2≥j 时，根据题意不可能出现1==ji ij r r ，即不可能出
现游客在两地间往返旅游，因为这样显然不满足游览景点尽量多的原则。因此我们可得约束：
0=?ji ij r r （i ，j =2，3， (7)
5.1.3模型建立：
综上所述，我们可以得到总的模型为：
Min m ＝1m ＋2m
＝∑∑==?717
1i j ij ij c r +()∑∑==+??717
121i j j i ij c c r
约束条件：
∑∑==?717
1
i j ij ij t r +()∑∑==+??717
121i j j i ij t t r ≤120 ∑∑===717
1
i j ij
n r
（n =2，3， (7)
=∑i
ij
r
1≤∑j
ij r （i ，j =1，2， (7)
11
=∑=i ij
r
11
=∑=j ij
r
0=?ji ij r r （i ，j =2，3， (7)
5.1.4 模型求解与结果分析： 在这里我们引入以下符号：
ij d ——第i 个景点和第j 个景点之间的路程；
v ——游客所乘坐的旅游大巴的平均时速，v =50km/h ； m ——游客所乘坐的旅游大巴的平均费用，h =0.3元/h ；
通过上网查询资料，我们可以得到ij d 的具体值，根据公式ij t =ij d /v 可得到相应的ij t ，同样根据公式ij c =ij d ×m 可以得到相应的ij c （i ，j =1，2，……，7）。（ij d 、ij t 和ij c 的具体数值见附录）
同样，通过对云南的一些旅行社进行咨询，我们得出游客在第i 个景点的最佳逗留时间和游客在第i 个景点总消费：
t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7
(单位：小时) c1c2c3c4c5c6c7
(单位：元) 从而根据模型，使用Lingo编程，得出结果如下表：
旅游景点数n 2 3 4
每人总花费m
（单位：元）
路线
旅游景点数n 5 6
每人总花费m
（单位：元）
路线
旅游景点数n7
每人总花费m
（单位：元）
路线
（其中数字1，2，……，7；分别表示昆明玉溪思茅西双版纳大理丽江香格里拉）
对于上述结果，我们的推荐为：
路线一：
路线二：
路线三：
5.2 问题二
5.2.1 目标函数的确立：
此问与第一问大同小异，不同的是游客要完成所有景点的旅游，而目标函
数是求最少的交通费。由第一问结论可知，交通费用为：∑∑
==?
=
7
17 1
1
i j
ij ij
c r
m 因此，该问题的目标函数为：
Min ∑∑
==?
=
7
17 1
1
i j
ij ij
c r
m
5.2.2 约束条件：
①时间约束
该问与上一问相比，放宽了对时间的要求，不妨可以假定限制的时间为一个月（360个小时），同上一问可得：
∑∑==?
7 17 1
i j
ij
ij
t
r+()
∑∑
==
+
?
?
7
1
7
1
2
1
i j
j
i
ij
t
t
r≤360
②旅游景点数约束
由题目要求可知，因为游客时间充裕，因此他们打算游览完全部7个景
点。由第一问知道∑∑==717
1
i j ij r 表示游客游览的景点总数，因此该约束为：
∑∑===717
1
7i j ij
r
(i ，j =1，2， (7)
③0——1变量约束
根据假设，整个旅游路线是环形，即最终游客要回到昆明，因此我们可以把整个路线看做一个Hamilton （哈密尔顿）圈，这样该问题就归结为货郎担（TSP ）（哈密尔顿）问题，当然前提是我们已经知道了要旅游所有的景点。因此，对于Hamilton 圈中的每个点来说，只允许有一条边进入，同样，也只允许有一条边出去。用公式表示即为：
1=∑i
ij
r
1=∑j
ij
r
（i ，j =1，2， (7)
同样，当i ，2≥j 时，根据题意不可能出现1==ji ij r r ，即不可能出 现游客在两地间往返旅游，因为这样显然不满足游览景点尽量多的原则。因此我们可得约束：
0=?ji ij r r （i ，j =2，3， (7)
5.2.3模型建立：
综上所述，我们可以得到总的模型为： Min ∑∑==?=7
17
11i j ij ij c r m
约束条件：
∑∑==?717
1
i j ij ij t r +()∑∑==+??717
121i j j i ij t t r ≤360 ∑∑===717
1
7i j ij
r
（i ，j =1，2， (7)
1=∑i
ij
r
1=∑j
ij
r
（i ，j =1，2， (7)
0=?ji ij r r （i ，j =2，3， (7)
5.2.4 模型求解与结果分析：
根据模型，使用Lingo 编程，得出结果为：
旅游景点数n 7
每人总花费m
（单位：元）
路线
六 模型的评价、改进及推广
6.1．模型的评价
1.本文思路清晰，模型恰当，得出的方案合理；
2.本文成功的使用了0—1变量，使模型的建立和编程得以顺利进行；
3.在第二问中采用了TCP 算法，简化了模型的求解难度；
4.问题五由于数据庞大，对程序的要求很高，尽管经过了检验，但结果依然比较粗糙，有待进行进一步的改进。 6.2．模型的改进与推广：
1.实际情况中，两景点之间可能还有出公路外其他交通方式，如航班、铁路，
增加这些考虑后，结果会更加合理。
2.因数据资料搜集的不完整，准确性也有待商榷，而且没有对最终方案进行更为细致的讨论研究，这些方面有待
七 参考文献
[1]姜启源 谢金星 叶俊，《数学模型（第三版）》，北京：高等教育出版社，2003。
[2]谢金星 薛毅，《优化建模与LINDO/LINGO 软件》，北京：清华大学出版社，2005。
[3]周仁郁，《SPSS13.0统计软件》，成都，西南交通大学出版社，2005。
[4]李庆扬 王能超 易大义，《数值分析》，北京：清华大学出版社 施普林格出版社，2001。
八 附录
附录清单：附录1为搜集的一些数据
附录2为相关程序及运行结果
附录1：
网上查询到的一些数据及相应的计算出的数据：
[]
7
7?ij t = []
7
7?ij c =
附录2：程序及运行结果（由于数据庞大，只选择了部分数据） 第一问： （程序） sets:
jingdian/1..7/:c,t,l; !其中：1,2,...,7分别代表昆明 玉溪 思茅 西双版纳 大理 丽江 香格里拉 ；c ，t 分别表示旅行团在各景点的吃住消费和逗留时间；w 表示各景点选择性权重；l 是为了控制不出现两个以上环形回路而设的一个变量; links(jingdian,jingdian):r,cc,tt;
!其中：r 为0-1变量（0表示两景点不相连，1表示两景点相通）；cc 为两景点之间的交通费用；tt 为两景点之间的交通时间; endsets data:
t=7 24 18 12 36 30 12 9 15 24 17;
c=120 423 300 135 378 390 175 90 148 303 241;
tt=0 8.54 4.74 2.82 3.44 5.08 8.4 1.32 1.54 6.14 6.6
8.54 0 1.22 11.52 12.14 10.9 13.1 8.84 8.98 14.84
15.54
4.74 1.22 0 11.22 11.82 9.38 11.58 7.66 7.46 13.44
13.9
2.82 11.52 11.22 0 0.88 7.78 8.08 4.02 4.24 5.84 6.3
3.44 12.14 11.82 0.88 0 8.42 8.24
4.66 4.88 6 6.46
5.08 10.9 9.38 7.78 8.42 0 2.18 4.24 4.04 5.98
6.74
8.4 13.1 11.58 8.08 8.24 2.18 0 6.08 6.22 3.86 2.86 1.32 8.84 7.66 4.02 4.66 4.24 6.08 0 0.3 6.28 6.74 1.54 8.98 7.46 4.24 4.88 4.04 6.22 0.3 0 6.08 6.54 6.14 14.84 13.44 5.84 6 5.98 3.86 6.28 6.08 0 2.08 6.6 15.54 13.9 6.3 6.46 6.74 2.86 6.74 6.54 2.08 0;
!其中：主对角线为零,表示各景点到自身交通费用为零;
cc=0 128.1 71.1 42.3 51.6 76.2 126 19.8 23.1 92.1 99 128.1 0 18.3 172.8 182.1 163.5 196.5 132.6 134.7 222.6 233.1
71.1 18.3 0 168.3 177.3 140.7 173.7 114.9 111.9 201.6
208.5
42.3 172.8 168.3 0 13.2 116.7 121.2 60.3 63.6 87.6
94.5
51.6 182.1 177.3 13.2 0 126.3 123.6 69.9 73.2 90 96.9 76.2 163.5 140.7 116.7 126.3 0 32.7 63.6 60.6 89.7
101.1
126 196.5 173.7 121.2 123.6 32.7 0 91.2 93.3 57.9 42.9 19.8 132.6 114.9 60.3 69.9 63.6 91.2 0 4.5 94.2 101.1 23.1 134.7 111.9 63.6 73.2 60.6 93.3 4.5 0 91.2 98.1 92.1 222.6 201.6 87.6 90 89.7 57.9 94.2 91.2 0 31.2
99 233.1 208.5 94.5 96.9 101.1 42.9 101.1 98.1 31.2 0; !其中：主对角线为零,表示各景点到自身的交通时间为零;
n=?;
!其中：n表示计划游玩的景点数目;
enddata
min=@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)*(cc(i,j)+0.5*(c(i)+c(j)))));
!目标函数：表示计划游玩的景点数目为n时的最小费用;
@for(jingdian(i):r(i,i)=0);
!约束条件：表示各景点到自身没有路线相连的约束条件;
@for(jingdian(i)|i#ge#2:@for(jingdian(j)|j#ge#2:r(i,j)+r(j,i)<1));
!约束条件：表示除起点（成都）外，若旅行团从景点i到景点j去游玩（即r(i,j)=1），则不会再从景点j到景点i去游玩（即r(j,i)=0），也就是说除起点外每个景点只游玩一次;
a=@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)*(tt(i,j)+0.5*(t(i)+t(j)))));
@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)*(tt(i,j)+0.5*(t(i)+t(j)))))<120;
!约束条件:表示总的旅行时间（交通时间和景点逗留时间）不超过给定时间10
天120小时;
@for(jingdian(i):@sum(jingdian(j):r(i,j))=@sum(jingdian(j):r(j,i)));
@for(jingdian(i)|i#eq#1:@sum(jingdian(j):r(i,j))=1);
@for(jingdian(i)|i#ne#1:@sum(jingdian(j):r(i,j))<1);
!这三个约束条件：表示起点（成都）有且仅有一条路线出去和一条路线进来，
其它景点要么有且仅有一条路线出去和一条路线进来，要么既没有路线出去也没
有路线进来;
@for(links:@bin(r));
!约束条件:表示0-1变量约束;
@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)))=n;
!约束条件:表示旅游景点的数目为n的约束;
@for(jingdian(i):@for(jingdian(j)|j#gt#1#and#j#ne#i:l(j)>=l(i)+r(i,j)-(n-2)*(1-r(i,j))+(
n-3)*r(j,i)));
@for(jingdian(i)|i#gt#1:l(i)
!这两个约束条件：为了控制不出现两个以上环形回路，保证有且仅有一条环形
路线；
结果：（以n=5为例）
由于数据庞大，只剪切出重要的部分如下：
Global optimal solution found at iteration: 2042
Objective value: 949.1000
Variable Value Reduced Cost
N 5.000000
0.000000
R( 1, 4) 1.000000
169.8000
R( 4, 7) 1.000000
276.2000
R( 7, 9) 1.000000
254.8000
R( 8, 1) 1.000000
124.8000
R( 9, 8) 1.000000
123.5000
第二问：
sets:
jingdian/1..7/:c,t,l;
!其中：1,2,...,7分别代表昆明玉溪思茅西双版纳大理丽江香格里拉；c，t分别表示旅行团在各景点的吃住消费和逗留时间；l是为了控制不出现两个以上
环形回路而设的一个变量;
links(jingdian,jingdian):r,cc,tt;
!其中：r为0-1变量（0表示两景点不相连，1表示两景点相通）；cc为两景点之间的交通费用；tt为两景点之间的交通时间;
endsets
data:
t=7 24 18 12 36 30 12 9 15 24 17;
c=120 423 300 135 378 390 175 90 148 303 241;
tt=0 8.54 4.74 2.82 3.44 5.08 8.4 1.32 1.54 6.14 6.6
8.54 0 1.22 11.52 12.14 10.9 13.1 8.84 8.98 14.84
15.54
4.74 1.22 0 11.22 11.82 9.38 11.58 7.66 7.46 13.44
13.9
2.82 11.52 11.22 0 0.88 7.78 8.08 4.02 4.24 5.84 6.3
3.44 12.14 11.82 0.88 0 8.42 8.24
4.66 4.88 6 6.46
5.08 10.9 9.38 7.78 8.42 0 2.18 4.24 4.04 5.98
6.74
8.4 13.1 11.58 8.08 8.24 2.18 0 6.08 6.22 3.86 2.86 1.32 8.84 7.66 4.02 4.66 4.24 6.08 0 0.3 6.28 6.74 1.54 8.98 7.46 4.24 4.88 4.04 6.22 0.3 0 6.08 6.54 6.14 14.84 13.44 5.84 6 5.98 3.86 6.28 6.08 0 2.08 6.6 15.54 13.9 6.3 6.46 6.74 2.86 6.74 6.54 2.08 0;
!其中：主对角线为零,表示各景点到自身交通费用为零;
cc=0 128 71 42 52 77 126 20 23 92 99
128 0 18 173 182 164 197 133 135 223 233
71 18 0 168 177 141 174 115 112 202 209
42 173 168 0 13 117 121 60. 64 88 95
52 182 177 13 0 126 124 70 73 90 97
76 164 141 117 126 0 33 64 61 90 101
126 197 174 121 124 33 0 91 93 58 43
20 133 115 60 70 64 91 0 5 94 101
23 135 112 64 73 61 93 5 0 91 98
92 223 202 88 90 90 58 94 91 0 31
99 233 209 95 97 101 43 101 98 31 0;
!其中：主对角线为零,表示各景点到自身的交通时间为零;
enddata
min=@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)*(cc(i,j)+0.5*(c(i)+c(j)))));
!目标函数：表示计划游玩的景点数目为n时的最小费用;
@for(jingdian(i):r(i,i)=0);
!约束条件：表示各景点到自身没有路线相连的约束条件;
@for(jingdian(i)|i#ge#2:@for(jingdian(j)|j#ge#2:r(i,j)+r(j,i)<1));
!约束条件：表示除起点（昆明）外，若旅行团从景点i到景点j去游玩（即r(i,j)=1），则不会再从景点j到景点i去游玩（即r(j,i)=0），也就是说除起点外每个景点只游玩一次;
a=@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)*(tt(i,j)+0.5*(t(i)+t(j)))));
@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)*(tt(i,j)+0.5*(t(i)+t(j)))))<360;
!约束条件:表示总的旅行时间（交通时间和景点逗留时间）不超过给定时间30天360小时;
@for(jingdian(i):@sum(jingdian(j):r(i,j))=@sum(jingdian(j):r(j,i)));
@for(jingdian(i)|i#eq#1:@sum(jingdian(j):r(i,j))=1);
@for(jingdian(i)|i#ne#1:@sum(jingdian(j):r(i,j))<1);
!这三个约束条件：表示起点（昆明）有且仅有一条路线出去和一条路线进来，其它景点要么有且仅有一条路线出去和一条路线进来，要么既没有路线出去也没有路线进来;
@for(links:@bin(r));
!约束条件:表示0-1变量约束;
@sum(jingdian(j):@sum(jingdian(i):r(i,j)))=11;
!约束条件:表示旅游景点的数目为n的约束;
@for(jingdian(i):@for(jingdian(j)|j#gt#1#and#j#ne#i:l(j)>=l(i)+r(i,j)-(n-2)*(1-r(i,j))+( n-3)*r(j,i)));
@for(jingdian(i)|i#gt#1:l(i)
!这两个约束条件：为了控制不出现两个以上环形回路，保证有且仅有一条环形路线；
第二问结果（以n=5为例）：
Local optimal solution found at iteration: 390 Objective value: 3243.000
Variable Value Reduced Cost
R( 1, 4) 1.000000
0.000000
R( 2, 3) 1.000000
0.000000
R( 3, 1) 1.000000
0.000000
R( 4, 5) 1.000000
0.000000
R( 5, 10) 1.000000
0.000000
R( 6, 9) 1.000000
0.000000
R( 7, 6) 1.000000
0.000000
R( 8, 2) 1.000000
0.000000
R( 9, 8) 1.000000
0.000000
R( 10, 11) 1.000000
0.000000
R( 11, 7) 1.000000 0.000000
历年数学建模赛题题目 1992年 (A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基）1993年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年 (A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1995年 (A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾）1996年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年 (A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1998年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年 (A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年
回归分析——20121060025 吕佳琪 企业编号生产性固定资产价值(万元)工业总产值(万元) 1318524 29101019 3200638 4409815 5415913 6502928 7314605 812101516 910221219 1012251624 合计65259801 （2）建立直线回归方程; （3）计算估价标准误差; （4）估计生产性固定资产(自变量)为1100万元时总产值(因变量)的可能值。解: (1)画出散点图,观察二变量的相关方向 x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; plot(x,y,'or') xlabel('生产性固定资产价值(万元)') ylabel('工业总产值(万元)') 由图形可得,二变量的相关方向应为直线 (2)
x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; X = [ones(size(x))', x']; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0、05); b,bint,stats b = 395、5670 0、8958 bint = 210、4845 580、6495 0、6500 1、1417 stats = 1、0e+004 * 0、0001 0、0071 0、0000 1、6035 上述相关系数r为1,显著性水平为0 Y=395、5670+0、8958*x (3) 计算方法:W=((Y1-y1)^2+……+(Y10-y10)^2)^(1/2)/10 利用SPSS进行回归分析:
数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；
§15.4锁具装箱问题 [学习目标] 1.能表述锁具装箱问题的分析过程； 2.能表述模型的建立方法； 3.会利用排列组合来计算古典概型； 4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。 一、问题 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。 团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题： 1．每批锁具有多少个，能装多少箱？ 2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。 二、问题分析与建立模型 因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。 下面用一个5元数组来表示一个锁具： Key=（h1，h2，h3，h4，h5） 其中h i表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件： 条件1：h i∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
§6 决策树法 对较为复杂的决策问题，特别是需要做多个阶段决策的问题，最常用的方法是决策树法。决策树法是把某个决策问题未来发展情况的可能性和可能结果所做的预测用树状图画出来。其步骤如下： 1、用方框表示决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每条线代表一个行动方案，这样的直线或折线称为方案枝。 2、在各方案枝的末端画一个园圈，称为状态点，从状态点引出若干直线或折线，每条线表示一个状态，在线的旁边标出每个状态的概率，称为概率枝。 3、把各方案在各个状态下的损益期望值算出标记在概率枝的末端。 4、把计算得到的每个方案的损益期望值标在状态点上，然后通过比较，选出损益期望值最小的方案为最优方案。 例1某厂准备生产一种新产品，产量可以在三种水平n1、n2、n3中作决策。该产品在市场上的销售情况可分为畅销、一般和滞销三种情况，分别为S1、S2、S3。通过调查，预测市场处于这三种情况的概率分别为0.5、0.3、0.2。三种决策在各种不同市场情况下的利润见下表： 表1 基于各种决策的各种市场情况的利润表（万元） 我们可以计算每种决策下利润的期望值： 实行在水平n1下生产的利润的期望值为：90×0.5+30×0.3-60×0.2=42 实行在水平n2下生产的利润的期望值为：60×0.5+50×0.3-10×0.2=43 实行在水平n3下生产的利润的期望值为：10×0.5+9×0.3-6×0.2=6.5 由于在水平n2下生产利润的期望值最大，因而应选择产量水平n2生产。 可以应用决策树帮助解决这样的决策问题，把各种决策和情况画在图1上： 图1
图中的方框（□）称为决策点，圆圈（○）称为状态点，从方框出发的线段称为对策分支，表示可供选择的不同对策。在圆圈下面的线段称为概率分支，表示在此种对策下可能出现的各种情况。在概率分支上注明了该情况出现的概率。在每一个概率分支的末端注明了对应对策和对应情况下的收益（利润）。在计算时，我们把相应的期望值写在相应的状态点旁边，再由比较大小后选择最优决策，在图上用∥表示舍弃非最优的对策，并在决策点上注明最优决策所对应的期望利润。 图2 利用决策树还可以解决多阶段的决策问题。 例2 某公司在开发一种新产品前通过调查推知，该产品未来的销售情况分前三年和后三年两种情况。因此生产该产品有两种可供选择的方案：建造大厂和建造小厂。如果建造大厂，投资费用5000万元，当产品畅销时，每年可获利2000万元，当产品滞销时，每年要亏损120万元。如果建造小厂，投资费用1000万元，当产品畅销时，每年可获利300万元，当产品滞销时，每年仍可获利150万元。若产品畅销可考虑在后三年再扩建，扩建投资需2000万元，随后三年每年可获利1000万元；也可不再扩建。预测这六年该产品畅销的概率为0.6，滞销的概率为0.4。试分析该公司开发新产品应如何决策？ 根据问题的各种情况可以画出决策树如下：这是一个两阶段的决策问题。注意到图中有两个决策点，反映建小厂的方案中可以分成前三年和后三年两个阶段，并在后三年还要做出一次决策。 图3 把各种数据填到图适当的位置后，由后向前计算获利的期望值。由图可见应采用决策：建造大厂。 500 900 1000*3=3000 300*3=900 6.5
案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题： 目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换? 分析： 分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。 最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。 案例分析2：城市商业中心最优位置分析 问题： 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。
什么是回归分析 回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。 回归分析之一多元线性回归模型案例解析 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：（数据可以先用excel建立再通过spss打开） 点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：
中国研究生数学建模竞赛历届竞赛题目 第一届2004年题目 A题发现黄球并定位 B题实用下料问题 C题售后服务数据的运用 D题研究生录取问题 第二届2005年题目 A题HighwayTravelingtimeEstimateandOptimalRouting B题空中加油 C题城市交通管理中的出租车规划 D题仓库容量有限条件下的随机存贮管理 第三届2006年题目 A题AdHoc网络中的区域划分和资源分配问题 B题确定高精度参数问题 C题维修线性流量阀时的内筒设计问题 D题学生面试问题 第四届2007年题目 A题建立食品卫生安全保障体系数学模型及改进模型的若干理论问题 B题械臂运动路径设计问题 C题探讨提高高速公路路面质量的改进方案 D题邮政运输网络中的邮路规划和邮车调运 第五届2008年题目 A题汶川地震中唐家山堪塞湖泄洪问题 B题城市道路交通信号实时控制问题 C题货运列车的编组调度问题 D题中央空调系统节能设计问题 第六届2009年题目 A题我国就业人数或城镇登记失业率的数学建模 B题枪弹头痕迹自动比对方法的研究 C题多传感器数据融合与航迹预测 D题110警车配置及巡逻方案 第七届2010年题目 A题确定肿瘤的重要基因信息 B题与封堵渍口有关的重物落水后运动过程的数学建模 C题神经元的形态分类和识别 D题特殊工件磨削加工的数学建模 第八届2011年题目 A题基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真 B题吸波材料与微波暗室问题的数学建模 C题小麦发育后期茎轩抗倒性的数学模型 D题房地产行业的数学建模
第九届2012年题目 A题基因识别问题及其算法实现 B题基于卫星无源探测的空间飞行器主动段轨道估计与误差分析C题有杆抽油系统的数学建模及诊断 D题基于卫星云图的风矢场（云导风）度量模型与算法探讨 第十届2013年题目 A题变循环发动机部件法建模及优化 B题功率放大器非线性特性及预失真建模 C题微蜂窝环境中无线接收信号的特性分析 D题空气中PM2.5问题的研究attachment E题中等收入定位与人口度量模型研究 F题可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究 第十一届2014年题目 A题小鼠视觉感受区电位信号(LFP)与视觉刺激之间的关系研究B题机动目标的跟踪与反跟踪 C题无线通信中的快时变信道建模 D题人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究 E题乘用车物流运输计划问题 第十二届2015年题目 A题水面舰艇编队防空和信息化战争评估模型 B题数据的多流形结构分析 C题移动通信中的无线信道“指纹”特征建模 D题面向节能的单/多列车优化决策问题 E题数控加工刀具运动的优化控制 F题旅游路线规划问题 第十三届2016年题目 A题多无人机协同任务规划 B题具有遗传性疾病和性状的遗传位点分析 C题基于无线通信基站的室内三维定位问题 D题军事行动避空侦察的时机和路线选择 E题粮食最低收购价政策问题研究 数据来源：
摘要 回归分析和方差分析是探究和处理相关关系的两个重要的分支,其中回归分析方法是预测方面最常用的数学方法,它是利用统计数据来确定变量之间的关系,并且依据这种关系来预测未来的发展趋势。本文主要介绍了一元线性回归分析方法和多元线性回归分析方法的一般思想方法和一般步骤,并且用它们来研究和分析我们在生活中常遇到的一些难以用函数形式确定的变量之间的关系。在解决的过程中,建立回归方程,再通过该回归方程进行预测。 关键词:多元线性回归分析;参数估计;F检验
回归分析在数学建模中的应用 Abstract Regression analysis and analysis of variance is the inquiry and processing of the correlation between two important branches, wherein the regression analysis method is the most commonly used mathematical prediction method, it is the use of statistical data to determine the relationship between the variables, and based on this relationship predict future trends. introduces a linear regression analysis and multiple linear regression analysis method general way of thinking and the general steps, and use them to research and analysis that we encounter in our life, are difficult to determine as a function relationship between the variables in the solving process, the regression equation is established by the regression equation to predict. Keywords:Multiple linear regression analysis; parameter estimation;inspection II
历年全国数学建模试题及解法归纳 赛题解法 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工 神经网络 00B钢管订购和运输组合优化、运输问题 01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建
赛题解法 01B 公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图 论、0-1规划 08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分 析、回归分析 2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制 2009年B题眼科病床的合理安排排队论，优化，仿真，综 合评价 2009年C题卫星监控几何问题，搜集数据
第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。 根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。
1、 多元线性回归在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为 多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ） 多元线性回归模型的一般形式为： 其中k 为解释变量的数目，j β (j=1,2,…，k)称为回归系数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为： j β也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。 2、 多元线性回归计算模型 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。 设（ 11 x ， 12 x ，…， 1p x ， 1 y ），…，（ 1 n x ， 2 n x ，…， np x ， n y ）是一个样本， 用最大似然估计法估计参数： 达 到最小。
把（4）式化简可得： 引入矩阵： 方程组（5）可以化简得： 可得最大似然估计值：
3、Matlab 多元线性回归的实现 多元线性回归在Matlab 中主要实现方法如下： （1）b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值 其中 （2）[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检 验回归模型 ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差 ③rint 表示置信区间 ④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F 值、与F 对应的 概率p 说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；F>F1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F 越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率p<α 时拒绝H0，回归模型成立。 ⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) （3）rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间
1、 多元线性回归 在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ） 多元线性回归模型的一般形式为： 其中k 为解释变量的数目，j β (j=1,2,…，k)称为回归系数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为： j β也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。 2、 多元线性回归计算模型 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。 设（ 11 x ， 12 x ，…， 1p x ， 1 y ），…，（ 1 n x ， 2 n x ，…， np x ， n y ）是一个样本， 用最大似然估计法估计参数： 达 到最小。
把（4）式化简可得： 引入矩阵： 方程组（5）可以化简得： 可得最大似然估计值：
3、Matlab 多元线性回归的实现 多元线性回归在Matlab 中主要实现方法如下： （1）b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值 其中 （2）[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检 验回归模型 ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差 ③rint 表示置信区间 ④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F 值、与F 对应的 概率p 说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；F>F1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F 越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率p<α 时拒绝H0，回归模型成立。 ⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) （3）rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间
实习报告书 学生姓名： 学号： 学院名称： 专业名称： 实习时间： 2014年 06 月 05 日 第六次实验报告要求 实验目的： 掌握多元线性回归模型的原理，多元线性回归模型的建立、估计、检验及解释变量的增减的方法，以及运用相应的Matlab软件的函数计算。 实验内容： 已知某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据，见表1。请选择恰当的解释变量和恰当的模型，建立粮食年销售量的回归模型，并对其进行估计和检验。
表1 某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据 年份粮食年销售 量Y/万吨 常住人口 X2/万人 人均收 入X3/ 元 肉销售 量X4/万 吨 蛋销售 量X5/ 万吨 鱼虾销 售量 X6/万吨 197498.45560.20153.20 6.53 1.23 1.89 1975100.70603.11190.009.12 1.30 2.03 1976102.80668.05240.308.10 1.80 2.71 1977133.95715.47301.1210.10 2.09 3.00 1978140.13724.27361.0010.93 2.39 3.29 1979143.11736.13420.0011.85 3.90 5.24 1980146.15748.91491.7612.28 5.13 6.83 1981144.60760.32501.0013.50 5.418.36 1982148.94774.92529.2015.29 6.0910.07
1983158.55785.30552.7218.107.9712.57 1984169.68795.50771.1619.6110.1815.12 1985162.14804.80811.8017.2211.7918.25 1986170.09814.94988.4318.6011.5420.59 1987178.69828.731094.6 523.5311.6823.37 实验要求： 撰写实验报告，参考第10章中牙膏销售量，软件开发人员的薪金两个案例，写出建模过程，包括以下步骤 1.分析影响因变量Y的主要影响因素及经济意义； 影响因变量Y的主要影响因素有常住人口数量，城市中人口越多，需要的粮食数量就越多，粮食的年销售量就会相应增加。粮食销量还和人均收入有关，人均收入增加了，居民所能购买的粮食数量也会相应增加。另外，肉类销量、蛋销售量、鱼虾销售量也会对粮食的销售量有影响，这些销量增加了，也表示居民的饮食结构也在发生变化，生活水平在提高，所以相应的，生活水平提升了，居民也有能力购买更多的粮食。
曲线拟合与回归分析 1、有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下： （1）说明两变量之间的相关方向； （2）建立直线回归方程； （3）计算估计标准误差； （4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时的总资产 （因变量）的可能值。 解： (1)工业总产值是随着生产性固定资产价值的增长而增长的，存 在正向相关性。 用spss回归 （2）spss回归可知：若用y表示工业总产值（万元），用x表示生产性固定资产，二者可用如下的表达式近似表示： .0+ y =x 896 . 395 567 （3）spss回归知标准误差为80.216（万元）。 （4）当固定资产为1100时，总产值为： （0.896*1100+395.567-80.216~0.896*1100+395.567+80.216） 即（1301.0~146.4）这个范围内的某个值。 MATLAB程序如下所示： function [b,bint,r,rint,stats] = regression1 x = [318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]; y = [524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]; X = [ones(size(x))', x']; [b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0.05); display(b); display(stats); x1 = [300:10:1250]; y1 = b(1) + b(2)*x1; figure;plot(x,y,'ro',x1,y1,'g-');
§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下： （1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规 律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为 ???? ?? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5）
什么就是回归分析 回归分析(regression analysis)就是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛,回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析与多元回归分析;按照自变量与因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析与非线性回归分析。如果在回归分析中,只包括一个自变量与一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量与自变量之间就是线性关系,则称为多元线性回归分析。 回归分析之一多元线性回归模型案例解析 多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程 为: 毫无疑问,多元线性回归方程应该 为: 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示: 那么,多元线性回归方程矩阵形式为: 其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样) 1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。 2:无偏性假设,即指:期望值为0 3:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等 4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟
历年全国数学建模试题解法归纳 赛题解法 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划 94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论 96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划 98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局 0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题 01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建 01B公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化 04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化 06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化 07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图论、0-1规划08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分析、回归分析 09A 机械制动问题物理模拟、综合评价 09B 病床分配问题排队论、拟合、预测、综合评价 10A 储油罐问题数值方法、工程方法或几何方法等近似方法10B 世博会影响力问题 GM（1,1）、层次分析法、模糊综合评判 11A 城市表层土壤重金属污染分析插值拟合方法、聚类分析、特征线法 11B 交巡警服务平台的设置与调度 0-1规划、计算机模拟、图论 12A葡萄酒的评价数据收集和处理、相关系数法、聚类分析12B 太阳能小屋的设计多目标优化模型、数据处理 13A 车道被占用对城市道路通行能力的影响数据收集和处理、优化、统计分析