哈尔滨工业大学
电工学教研室
第3章正弦交流电路
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3.1 正弦电压与电流3.3 电阻元件、电感元件与电容元件3.4 电阻元件的交流电路3.5 电感元件的交流电路3.6 电容元件的交流电路
3.7 电阻、电感与电容元件的交流电路3.8 阻抗的串联与并联3.9 交流电路的频率特性3.10 功率因数的提高
目录
3.2 正弦量的相量表示法
3.1 正弦电压与电流
直流电和正弦交流电
前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小和方向是不随时间变化的。
I，U
O
t
直流电压和电流
t
i
u O
正弦电压和电流
实际方向和参考方向一致
实际方向和参考方向相反
＋
－
正半周
+
_
u R
⊕
i
负半周
+
_
u R
⊕
i
正弦交流电的电压和电流是按照正弦规律周期性变化的。
3.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T ）。每秒内变化的次数称为频率（），单位是赫兹（Hz ）。
我国和大多数国家采用50Hz 的电力标准，有些国家（美国、日本等）采用60Hz 。
小常识
正弦量变化的快慢还可用角频率来表示：f
T
ππω22==t
T
2
T 2
3T t
ωπ
π
2π3π
4T
2u i
O
f 频率是周期的倒数:
f =1/T
已知=50Hz,求T 和ω。
f 例题3.1
3.1.2 幅值和有效值
瞬时值和幅值
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如、u、e等。
i 瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示，如I
U m、E m等。
m、
有效值
在工程应用中常用有效值表示交流电的幅度。一般所讲的正
弦交流电的大小，如交流电压380V或220V，指的都是有效值。
有效值是用电流的热效应来规定的。设一交流电流和一直流
电流I 流过相同的电阻R，如果在交流电的一个周期内交流电和直
流电产生的热量相等，则交流电流的有效值就等于这个直流电的
电流I。
则?
=
T
dt
i T
I 0
2
1dt
R i T
2
?
交流
直流
RT
I 2
=根据热效应相等有：
正弦电压和电动势的有效值：2
2m
m E E U U =
= t I i m ωsin =由
可得正弦电流的有效值：2
m I I =
3.1.3 初相位
相位表示正弦量的变化进程，也称相位角。初相位t =0时的相位。
t
I i m ωsin =相位：
t
ω初相位：0
i
t
ωO
()
ψω+=t I i m sin 相位：
()
ψω+t 初相位：ψ
ψ
i
t
ω初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
说
相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。
则和的相位差为：
()()2
121ψψψωψω?-=+-+=t t 当时，比超前角，比滞后角。u ?i u i ?
ψψ>u i ()
2ψω+=t I i m sin ()
1ψω+=t U u m sin 正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不一定相同，设电路中电压和电流为：
ωt
u
i
?
O
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。反相:相位相反，相位差为180°。
总
结
描述正弦量的三个特征量：
幅值、频率、初相位
O
ωt
i
1i 2
i 3
i 下面图中是三个正弦电流波形。与同相
，与反相。1i 2i 1i 3i
3.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
三角函数式：()
ψω+=t I i
m sin ★★波形图：
i
t
ωO
★相量法：用复数的方法表示正弦量
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一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。
相量法
()
ψω+=t U u m sin ψ
ψ
m
U t
ωω有向线段的长度表示正弦量的幅值；
有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位;有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。
正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
有向线段可以用复数表示。
复数的加减运算可用直角坐标式，乘除法运算可用指数式或极坐标式。
j
+1
+O
r
a b
ψ
A
()
ψψsin cos j r jb a A +=+=ψ
j re
A =ψ
∠=r A 直角坐标式：
指数式：
极坐标式式：
有向线段OA 可用复数形式表示：
表示正弦量的复数称为相量
注意：相量用上面打点的大写字母表示。
由复数知识可知：j 为90°旋转因子。一个相量乘上+j
则旋转+90°；乘上-j 则旋转-90°。
复数的模表示正弦量的幅值或有效值复数的辐角表示正弦量的初相位
()ψ
ψψψ∠==+=m j m m m U e U j U U sin cos ()ψ
ψψψ∠==+=U Ue j U U j sin cos 正弦电压的相量形式为：
有效值相量幅值相量：()
ψω+=t U u m sin 一个正弦量可以用旋转的有向线段表示，而有向线段可以用复数表示，因此正弦量可以用复数来表示。
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图，它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
相量图
ψ２ψ１
?
Ι
U
电压相量比电流相量U
I 超前
?角
1. 只有正弦周期量才能用相量表示。
2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。
注意
[解](1)用复数形式求解
根据基尔霍夫电流定律：
(
)(
)
()().. sin cos sin cos 304521213052770770306030604510045100601002
1
--++=-++=+=+=+=
j j j m j m m m m j j j e
e
e
I e
I I I I ψψi
1
i 2
i 在如图所示的电路中，设：
A )sin()sin(A )sin()sin(?=+=?+=+=306045100221111－t t I i t t I i m m ωψωωψω求总电流。
例题3.2
i
（2）用相量图求解
画出相量图，并作出平行四边形，其对角线即是总电流。
+j
+1
m
I 1 m
I 2 m
I 70.7
40.7
70.7
52
122.7
30
45°18°20′30°
3.3 电阻元件、电感元件和电容元件
在直流电路中（稳态），电感元件可视为短路，电容元件（稳态）可视为开路。
在交流电路中，电感元件和电容元件中的电流均不为零。
电阻元件：消耗电能，转换为热能（电阻性）
电感元件：产生磁场，存储磁场能（电感性）电容元件：产生电场，存储电场能（电容性）返回
3.3.1 电阻元件
对电阻元件，其电压电流满足欧姆定律：
iR u R u
i == 或把上面两式相乘并积分，得：
?
?
=
t
t
dt
Ri uidt 0
2
由此可知，电能全部消耗在电阻上，转换为热能。金属导体的电阻值与其材料导电性及尺寸的关系为：
S
l R ρ
=其中：ρ、、S 分别为导体的电阻率、长度、横截面积。
l
3.3.2 电感元件
对于一个电感线圈，习惯上规定感应电动势的参考方向与磁通的参考方向之间符合右手螺旋定则。线圈的感应电动势为：
t
t ΦN e d d d d ψ-
=-=电感的定义
如果磁通是由通过线圈的电流产生的，则：
Li
N Φ==ψL 为线圈的电感，也称为自感。
i