小升初 第七讲(工程类问题)

第七讲小升初专项训练工程篇解析与答案一、小升初考试热点及命题方向罗巴切夫斯基是俄国数学家。

曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；若甲先做2天后，再和乙一起做，则共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？解：设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，由“甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成”知，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。

这个比例是不变的，所以，反过来说，当甲比乙多做2天时，他们都完成了一半。

由“若甲先做2天后，再和乙一起做，则共用7天可完成”知：甲做：7天，乙做：7-2＝5天，甲比乙多做2天，各完成工程的一半即：甲完成一半，用时7天；乙完成一半，用时5天。

所以：甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。

工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1”。

二、知识要点【基本数量】在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）工作效率（单位时间内完成的工作量）【基本公式】：这三个量之间有下述一些关系式：工作效率×工作时间＝工作总量；工作总量÷工作时间＝工作效率；工作总量÷工作效率＝工作时间。

为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。

【规律总结】：不要求记忆，但要求能够理解和运用。

（1）工效提高了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的100/(100+a)。

时间缩短了a/(100+a)。

（2）工效降低了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的100/(100-a)。

时间延长了a/(100-a)。

(3)工效提高了a/b, 工作总量不变的前提下，工时则变为原来的a/(a+b)。

时间缩短了b/(a+b)。

(4)工效降低了a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的b /（b-a）。

时间延长了a/(b-a)。

(5)当出现甲工作了一段时间a，乙工作了一段时间b，则通常是把条件处理为甲乙和干了a（或b时间）后甲单干（a-b）（或乙单干（b-a）段时间）三、典型例题解析1、涉及二者的工程问题【例1】（★★）一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。

小升初初之工程问题小升初数学之专题工程问题知识概述】在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时刻这三个量，它们之间的差不多数量关系是：工作效率×工作时刻＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时刻工作总量÷工作时刻＝工作效率在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”【典型例题】一、有具体的量的工程问题这类的问题一样比较容易，那个地点只列举两个比较专门的列子；例题1：加工一批零件，假如每天加工假如每天加工150个，则能够按期完成；若每天多加工30个，则能够提早5天完成，问这批零件有多少个？练习：1、修一条路，假如每天修1500米，则能够如期完成；由于建筑公司买了新的机器，工作效率提高了20%，最后提早了6天完成，问按期完成需要多少天？这条路有多长？2、师傅和徒弟加工一批零件，徒弟每天能够加工30个，师傅每天可加工的是徒弟的2倍少10个，假如由徒弟加工则能够按时完成；假如由师傅加工则能够提早10天完成，问假如由师傅和徒弟一起合作，则能够提早多少天完成？例题2：加工一批零件，原打算每天加工20个，15天完成。

实际加工了3天后，引进了新的加工设备，效率比原先提高了20%，问实际完成工作比打算提早了多少天？练习：加工一批零件，原打算每天加工15个，若干天能够完成。

当完成加工任务的35时，采纳新技术，效率提高20%。

结果，完成任务的时刻提早10天。

（1）原打算多少天完成任务？（2）这批零件共有多少个？二、没有具体量的工程问题这类型的题目一样只有工作时刻，那个地点我们一样把工作总量看是“单位1”；工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时刻里所干的工作量。

但在不引起误会的情形下，一样不写工作效率的单位。

具体的题目当中把时刻的倒数看做的工作效率；比如，一项工程甲单独完成需要10天，则甲每天完成这项工程的1 10；例题1：一项工程，由甲队做30天完成，由乙队做20天完成。

第7讲工程问题知识要点工程问题通常有两类，第一类问题是工作总量的具体数值在问题解决中无关紧要，常用1表示，然后去研究工作总量、工作时间和工作效率三个量之间的关系：工作总量=工作时间×工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率.第二类工程问题的工作总量不设为1，它决定于工作效率、工作人数及工作时间.工作总量=工作效率×工作人数×工作时间.工作效率指的是1个人在单位时间（日、小时等）内的工作量.解决这类工程问题，首先确定工作效率是关键.典例精讲典例1 甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可完成任务.如果甲单独加工，需要12小时完成.现在甲、乙两人共同加工了225小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续加工了420个零件才完成任务.问：乙一共加工了多少个零件？解设全部工作量为1，则乙单独加工，每小时加工111 81224 -=.甲调出后，剩下工作乙独做需要211848258245⎛⎫⎛⎫-⨯÷=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时，所以乙每小时加工零件844205÷个，那么 225小时乙加工零件84124206055÷⨯=个.因此乙一共加工零件60420480+=个.典例2 有甲、乙两项工程.张师傅单独完成甲工程需要9天，单独完成乙工程需要12天；王师傅单独完成甲工程需要3天，单独完成乙工程需要15天.如果两人合作完成这两项工程，最少需要多少天完成？解由张、位师傅作效率知，王师傅擅长做甲工程，所以让王师傅先做甲工程，张师傅先做乙工程，等王师傅做完甲工程再和张师傅共同合作做乙工程.依上述安排，计算式子为 31131358121215⎛⎫⎛⎫+-÷+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（天），故两人合作最少需要8天完成这两项工程. 典例3 一项挖土工程，如果甲队单独做，36天可以完成，乙队单独做45天可以完成.现在两队同时施工，工作效率提高20%.当工程完成 时，突然遇到地下水影响施工进度，致使每天少挖50方土，结果共用18天完成工程，问：整个工程共挖了多少方土？ 解 在遇到地下水前，两队合作时的工作效率为 ()113120364550⎛⎫+⨯+%= ⎪⎝⎭.出水后又干了 33188550-÷=天，这时的工作效率为3118520⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭. 与原工作效率相差315020-，所以整个工程要挖土315050005020⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭方.典例4 有一批工人进行某项工程'如果能调来8个人，10天就能完成；如果能调 来3个人，就要20天才能完成.现在只能调来2个人，那么完成这项工程需要多少天 ？解 将1个人1天完成的工作量称为1份，那么调来3个人与调来8个人相比，10天少完成（8-3）×10=50份.这50份还需要调来3个人工作10天完成，所以原来有工人501032÷-=人，全部工程有 ()2810100+⨯=份.所以调来2人完成这项工作需要 ()1002225÷+=天.典例5 筑路队原计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑路80米，这样在规定完成全路修筑任务的前3天，就剩下1160米未筑.问：这条路全长多少米？解 现在每天筑路72080800+=米.规定时间内多筑的路()7208031160+⨯-=2400-1160=1240 米，规定时间是 12408015.5÷=天，这条路的全长是 72015.511160⨯=米·典例6 为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工.第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的112倍，那么两队挖通这条隧道需要多少天？ 解 第一天两队共挖20米；第二天甲队挖了102⨯=20 米，乙队挖了3102⨯=15米；第三天甲队挖了202⨯=40 米，乙队挖了3451522⨯= 米； 第四天甲队挖了 40280⨯= 米，乙队挖了453135224⨯= 米， 还剩下451352753002020408015244⎛⎫-++++++= ⎪⎝⎭米， 第五天甲队可挖802160⨯= 米，乙队可挖1353405428⨯=米， 所以挖 2754 米还需27540511016048337⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭ 天 所以共需 11011044337337+= 天.水平测试A 卷一、填空题1.甲、乙两人从两地出发相对而行，甲走完全程要8小时，乙走完全程要6小时.两人同时出发1.5小时后，乙返回出发点用半小时取东西后再出发，乙再出发过 小时后两人相遇.2.原计划用24个工人挖一定数量的土方，按计划工作5天后，因为调走6人，于是剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务.原计划每人每天挖土 方.3.一项工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，甲、丙合做需15天完成.现在甲、乙、丙三人合做需要 天完成.4.一项工作，甲、乙合做要12天完成，若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这项工作的如果这项工作的 512.由甲、乙单独做，甲需要 天，乙需要 天. 5.甲管灌水速度是乙管的一半，同时开放甲、乙两根水管向游泳池灌水，12小时可以灌满.现在先开甲管向游泳池灌水若干小时，剩下的由乙管注9小时将池灌满.甲管注水的时间是 小时.6.如果甲、乙、丙三根水管同时往一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲乙两根水管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙丙两根水管，1小时15分钟可以灌满，那么乙单独灌水的话，灌满这一池水需要 小时. 7.一项工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成，甲、丁两人合作 天可以完成.8.甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程，B 工程的工作量比A 工程的工作量多A 工程工作量的14.如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A 工程所需要的时间分别是20天、24天、30天.现在让甲队做A 工程，乙队做B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B 工程若干天，然后再与甲队合做A 工程若干天，则丙队与乙队合作 天.9.筑路队原计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑路80米.这样在规定完成全路修筑任务的前4天，就只剩下1160米未筑，这条路全长 米.10.加工同一种零件王师傅需要2小时，工人小张需要3小时，工人小李需要4小时.现在有这种零件143个，如果三个人同时加工，各要加工 个才能同时完成.二、解答题11.一个装满了水的水池有一根进水管和三根口径相同的出水管.如果同时打开进水管和一根出水管，则60分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水管和两根出水管，则20分钟能把水池的水排完.关闭进水管并且同时打开三根出水管，需要多少分钟才能排完水池的水？12.一个蓄水池底部有一裂缝，上面有甲、乙、丙三根进水管.空池时，只开甲、乙两 管12小时可灌满，只开甲、丙两管10小时可灌满，只开甲管15小时可灌满.把裂缝堵住以后，只开乙、丙两管需要多少小时把空池灌满？B 卷一、填空题1. 加工一个零件甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟.现在需加工这样的零件1825个，他们三人同时加工零件，在完成任务时各加工零件 个.2.师徒两人合作加工一批零件，师傅每天能加工143个，徒弟每天能加工124个，师博每工作3天休息1天，徒弟每工作4天休息1天，如果师徒两人同时开始加工零件，9天后完成了任务，那么这批零件有 个.3.加工一批零件，师徒两人合作2小时可以加工34个．已知师傅加工3小时比徒弟加工4小时的零件数还多2个，师傅每小时加工零件 个.4.一份稿件甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需9小时完成，现在甲单独打字若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了8小时，那么甲打字用了小时.5.甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务，如果甲单独加工，需要12小时完成．现在甲、乙两人共同加工了225小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续加工了560个零件才完成任务，乙一共加工零件个.6.制造一批零件，按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后，工作效率提高了15，那么完成这批零件的一半一共需要天.7.甲、乙两水管同时打开，10分钟能灌满水池.现在打开甲管，9分钟后再打开乙管，4分钟就灌满了水池.已知甲管比乙管每分钟多灌入0.28立方米水，这个水池的容积是立方米.8.一批零件由师傅单独做，需5小时完成；由徒弟单独做，需7小时完成.两人合做，完成任务时师傅做的比总数的一半还多18个.这批零件共个.9. 2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的310，8个蟹将和10个虾兵在同样的时间里就能打扫完龙宫.如果单让蟹将去打扫与单让虾兵去打扫进行比较，那么要打扫完全部龙宫，虾兵比蟹将要多个.10.一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作.甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地，其他工人到乙工地.到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，这批工人有人.二、解答题11.一列快车从甲地开往乙地需要5小时，一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车多1 5.两列火车同时从两地相对开出2小时后，慢车停止前进，快车继续行96千米与慢车相遇.问：甲、乙两地相距多少千米？12.一个装满了水的水池有一根进水阀和三根口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水阀和两个排水阀，则10分钟能把水池的水排完.关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟才能排完水池的水？C卷一、填空题1.甲、乙两个工程队分别负责两项工程.晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%.实际情况是两队同时开、同时完工.那么在施工期间，下雨的天数是天.2.加工同一个零件，王师傅需要2小时，工人小张需要3小时，工人小李需要4小时.现在有这种零件286个，如果三个人同时加工，各要加工个才能同时完成.3.一项工程，甲、乙合做全工程的710，剩下的由甲单独完成，甲一共做了10.5天.这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做需要天.4.师徒三人合作承包一项工程，4天能够全部完成.已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作做所需的天数相等，而师傅与乙徒弟合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等，那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要天；乙徒弟单独做，完成这项工程需要天.5.有一水池装有甲、乙两根注水管，下面装有丙管放水.池空时，单开甲管5分钟可灌满，单开乙管10分钟可灌满；水池装满水后，单开丙管15分钟可将水放完.如果在池空时将甲、乙、丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，还要分钟可灌满水池.6.一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成.现在甲单独打字若干小时后因有事由乙接着打完，共用了7小时，那么甲打字用了小时.7.蓄水池有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管.要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时.要排完一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时.现在池内有15池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每根管开1小时，小时后水开始溢出水池.8.一件工作，一个技工与三个学徒工完成需要4天，两个技工与一个学徒工完成需要3天，一个学徒工完成这件工作需要天.9.甲、乙、丙三人共同完成一项工作，5天完成了全部工作的13，然后甲休息了3天，乙休息了两天，丙没有休息.如果甲一天的工作量是丙一天的工作量的3倍，乙一天的工作量是丙一天的工作量的两倍，那么这项工作从开始算起是第天完成的.二、解答题10.一个水池，甲、乙两水管同时开，5小时灌满水池；乙、丙水管同时开4小时灌满.如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时开2小时才能灌满（这时乙管关闭），那么乙管单独灌满水池需要多少小时？11.有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管，进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水.后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注人了一些水）.如果把8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排出；如果仅打开5根出水管，需6小时把池内的水全部排出.要想在9小时把池内的水全部排光，需要同时打开多少根出水管？12.甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完；若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天.已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？13.甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天完成；若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比原计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则比原计划多用13天，已知甲单独做完这件工作要13天，试问：甲、乙、丙三人一起做这件工作，要用多少天才能完成？。

18.工程问题知识要点梳理一、基本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。

2．工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。

（1）工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。

（2）工作时间：完成工作总量所需的时间。

（3）工作总量：完成一项工作的总量。

一般都是把工作总量看做单位“1”。

二、基本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。

2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。

我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：（1）一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。

（2）一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。

三、基本方法算术方法、比例方法、方程方法。

考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做（）天完成。

【精析】根据题意，把这件工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。

【答案】 把这件工作总量看作单位“1”， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6（天）【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。

考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。

小升初必考知识点——工程问题工程问题（可以看视频学习在做练习）专题简析工程问题属于特殊分数应用题。

其特点是：题中的工作量不给出具体的数量。

而是把全部工程(即工作总量_)看作单位"l"，工作效率是单位时间完成了这项工程的几分之几。

在解具体题目时要弄清工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系，然后根据题意求解，在解具体工程问题时。

要注意以下几点：1在工程问题中，工作总量=工作效率×工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间。

2在稍复杂工程问题中，工作效率往往比较隐蔽，工作过程也比较复杂。

在解这类题目时，要弄清工作过程，灵活运用基本关系式。

化繁为简．正确解答。

3有些特殊的工程问题，也可以运用假设法和列方程的方法进行解答4蓄水池中进水、出水问题是工程问题中的一种特殊情况，要根据具体的问题作具体的分析。

5工程问题中涉及求具体数量的题目时，关键要找已知数相对应得分率。

例1甲、乙两队开挖一条水渠。

甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成，现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内挖完。

乙队挖了多少天?例2 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。

甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。

乙请假多少天?例3师、徒二人合作一批零件，12天可以完成。

师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的。

如果让师傅单独做，多少天可以完成?例4一项工程，甲、乙合作8天完成。

如果让甲先独做6天，然后乙再独做9天完成任务。

乙独做这项工程要多少天完成?例5一件工作，甲单独做12小时完成。

现在甲、乙合作4小时后，乙又用6小时完成。

乙单独做这件工作多少小时完成?例6 一批零件，甲独做8天完成，乙独做10天完成。

现由两人合作这批零件，中途甲因事请假一天。

完成这批零件共用多少天?例7 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。

【知识概要】一、 工程问题：工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。

它们满足如下基本关系式： 工作效率´工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率甲工作效率 + 乙工作效率 = 甲、乙合作工作效率之和一件工作- 已完成的部分 =上面这些数量关系式是在题目中给出（或间接给出）工作总量和工作效率的具体数量情况下进行解题用的。

如果题目中没有给出工作总量的具体数量，也没有给出工作效率的具体数量，那么我们通常把工作总量看作整体1, 工作效率表示单位时间内能完成总工作量的几分之一或几分之几。

【典型例题】例1. 修一条公路，甲队单独修10天完成，乙队单独修12天完成，现在两队合修，需要几天完成？课堂练习：（1）一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要20小时完成，两人合做，几小时能加工完这批零件的34？（2）一项工程，甲乙合作6天完成，乙丙合作10天完成，甲丙合作12天完成，三人合作多少天可以完成？例2.. 某工程甲单独做64天可完成，乙单独做48天可完成。

如果由甲先做48天，剩下的由乙来做，乙还需要多少天完成？课堂练习：（1）一项工程，甲乙合做要10天才能完成，甲做4天后完成工程的15，余下的由乙单独去完成，乙需要做几天才能做完？姓名学科 数学 上课时间 2014年 月 日 学生姓名年级 小升初 学校 课题名称典型应用题（五、六）工程与盈亏问题的应用题、植树问题的应用题。

教学目标教学重点课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________（2）修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？（3）有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件。

18.工程问题知识要点梳理一、基本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。

2．工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。

（1）工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。

（2）工作时间：完成工作总量所需的时间。

（3）工作总量：完成一项工作的总量。

一般都是把工作总量看做单位“1”。

二、基本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。

2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。

我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：。

（1）一般给出工作时间，工作效率＝工作时间（2）一般给出工作效率，就可以知道工作时间为a。

三、基本方法算术方法、比例方法、方程方法。

考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做（）天完成。

【精析】根据题意，把这件工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，甲、乙的工作效率和是，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。

【答案】把这件工作总量看作单位“1”，（天）【归纳总结】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。

考点2 合作工程问题【例2】一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】首先把这件工作看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。

工程问题小升初讲解教案教案标题：工程问题小升初讲解教案教学目标：1. 了解工程问题的基本概念和特点。

2. 掌握解决工程问题的基本方法和步骤。

3. 培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 工程问题的定义和特点。

2. 工程问题的解决方法和步骤。

教学难点：1. 培养学生的观察力和分析能力。

2. 引导学生运用所学知识解决实际工程问题。

教学准备：1. 教师准备：PPT、教学素材、模型等。

2. 学生准备：纸笔、尺子、计算器等。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）1. 引入问题：同学们有没有见过或听说过什么工程问题？请举例说明。

2. 学生回答并教师进行引导和解释，引出工程问题的概念和特点。

Step 2：讲解工程问题（10分钟）1. 通过PPT或实物模型等形式，向学生展示几个常见的工程问题，如桥梁承重、水坝设计等。

2. 讲解工程问题的定义和特点，如复杂性、多学科性、实践性等。

Step 3：解决工程问题的方法和步骤（15分钟）1. 介绍解决工程问题的基本方法，如观察、分析、实验、计算等。

2. 分步骤讲解解决工程问题的过程，如问题定义、数据收集、分析和解释、方案设计、实施和评估等。

Step 4：案例分析（15分钟）1. 提供一个工程问题案例，如设计一个简单的桥梁，要求能够承受一定的负重。

2. 引导学生按照解决问题的方法和步骤，分析问题、收集数据、设计方案并进行实验验证。

3. 学生进行小组讨论和展示，教师进行点评和指导。

Step 5：总结和拓展（5分钟）1. 总结工程问题的基本概念、特点、解决方法和步骤。

2. 提出一些拓展问题，如如何解决更复杂的工程问题、工程问题与科学知识的关系等。

教学延伸：1. 学生可以根据自己感兴趣的工程问题进行深入研究和实践。

2. 引导学生通过阅读相关书籍或参观实际工程项目，了解更多的工程问题和解决方法。

教学评估：1. 学生课堂参与情况。

2. 学生对工程问题的理解和解决能力的展示。