§7.1不等关系与不等式
最新考纲考情考向分析
1.了解现实世界和日常生活中存在
着大量的不等关系．
2.了解不等式(组)的实际背景.
以理解不等式的性质为主，本节在高考中主
要以客观题形式考查不等式的性质；以主观
题形式考查不等式与其他知识的综合.
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
??
?
??
a－b>0?a>b
a－b＝0?a＝b
a－b<0?a (a，b∈R) (2)作商法 ?? ? ?? a b>1?a>b a b＝1?a＝b a b<1?a (a∈R，b>0) 2．不等式的基本性质 性质性质内容特别提醒 对称性a>b?b 传递性a>b，b>c?a>c? 可加性a>b?a＋c>b＋c? 可乘性 ? ? ? a>b c>0 ?ac>bc 注意c的符号 ? ? ? a>b c<0 ?ac 同向可加性 ? ? ? a>b c>d ?a＋c>b＋d? 同向同正可乘性 ? ? ? a>b>0 c>d>0 ?ac>bd? 可乘方性a>b>0?a n>b n(n∈N，n≥1) a，b同为正数可开方性a>b>0?n a>n b(n∈N，n≥2) 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b，ab>0? 1 a< 1 b. ②a<0 1 a< 1 b. ③a>b>0,0 a c> b d. ④0 1 b< 1 x< 1 a. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ① b a< b＋m a＋m； b a> b－m a－m (b－m>0)． ② a b> a＋m b＋m； a b< a－m b－m (b－m>0)． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a (2)若 a b>1，则a>b.(×) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×) (4)a>b>0，c>d>0? a d> b c.(√) (5)若ab >0，则a >b ?1a <1 b .( √ ) 题组二 教材改编 2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 a － b >0?a >b ?a >b ?a 2>b 2， 但由a 2－b 2>0?a －b >0. 3．若0 2，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <1 2 解析 ∵0 21且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2????a －122＋12<12. 即a <2ab <12 ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝1 2， 即a 2＋b 2>1 2 ， a 2＋ b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2 综上，a <2ab <1 2 题组三 易错自纠 4．若a >b >0，c A.a c －b d >0 B.a c －b d <0 C.a d >b c D.a d 答案 D 解析 ∵c 又0ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >a d . 5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝1 2.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A. 6．若－π2<α<β<π 2，则α－β的取值范围是__________． 答案 (－π，0) 解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π 2 ，α<β，得－π<α－β<0. 题型一 比较两个数(式)的大小 1．若P ＝a ＋a ＋5，Q ＝a ＋2＋a ＋3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝Q C ．P D ．由a 的取值确定 答案 C 解析 ∵P 2－Q 2＝2a ＋5＋2 a (a ＋5)－[2a ＋5＋2 (a ＋2)(a ＋3)]＝2( a 2＋5a － a 2＋5a ＋6)， 且a 2＋5a 0，∴P 2．(2017·武汉调研)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A.a x >b y B ．sin ax >sin by C ．log a x >log b y D ．a x >b y 答案 D 解析 对于A ，当a ＝3，b ＝2，x ＝3，y ＝2时不成立，排除A ；对于B ，当a ＝30，b ＝20，x ＝π2，y ＝π 4时，不成立，排除B ；对于C ，当a ＝3，b ＝2，x ＝3，y ＝2时，不成立，排除C ，故选D. 思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 题型二 不等式的性质 典例 (1)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2 答案 A 解析 由c 0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立． (2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b ；②a c log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 答案 D 解析 由不等式性质及a >b >1，知1a <1 b ， 又c <0，∴c a >c b ，①正确； 构造函数y ＝x c ， ∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减少的， 又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1， ∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确． 思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 跟踪训练 若1a <1 b <0，给出下列不等式： ① 1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1 b ；④ln a 2>ln b 2. 其中正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 答案 C 解析 方法一 因为1a <1 b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2. 显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误； 因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0， 所以④错误． 综上所述，可排除A ，B ，D. 方法二 由1a <1 b <0，可知b ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1 ab >0. 故有1a ＋b <1ab ，即①正确； ②中，因为b －a >0.故－b >|a |， 即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b －1 b >0， 所以a －1a >b －1 b ，故③正确； ④中，因为b a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确． 题型三 不等式性质的应用 命题点1 应用性质判断不等式是否成立 典例 若a <01b B.1a <1 b C ．a 2|b | 答案 B 解析 因为a <0 b ，因此A 错，B 对；取a ＝－2，b ＝1，可得a 2>b 2，故C 错； 取a ＝－1 2，b ＝1，可得|a |<|b |，故D 错，故选B. 命题点2 求代数式的取值范围 典例 已知－1 解析 ∵－1 由－1 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． ②在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 跟踪训练 (1)(2017·贵州遵义月考)已知a >b >0，c <0，则下列不等关系中正确的是( ) A ．ac >bc B ．a c >b c C ．log a (a －c )>log b (b －c ) D.a a －c >b b －c 答案 D 解析 选项A 中，不等式a >b >0两边同乘以负数c ，不等式方向应该改变，故A 错误；选项B 中，考查幂函数y ＝x c ，因为c <0，所以函数在(0，＋∞)上是减函数，故B 错误；选项C 中，假设a ＝4，b ＝2，c ＝－4，则log a (a －c )＝log 48<2，log b (b －c )＝log 26>2，此时log a (a －c ) b － c ＝ab －ac －ab ＋bc (a －c )(b －c )＝(b －a )c (a －c )(b －c )>0， 所以a a －c >b b －c 正确，故选D. (2)(2018届东北四市一模)已知角α，β满足－π2<α－β<π 2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是 __________． 答案 (－π，2π) 解析 结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，利用不等式的性质可知，3α－β的取值范围是(－π，2π)． 利用不等式变形求范围 典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 错解展示 由????? 1≤f (－1)≤2， 2≤f (1)≤4， 得????? 1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4. ② ①＋②得32≤a ≤3，②－①得1 2≤b ≤1. 由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. 所以f (－2)的取值范围是[4,11]． 错误答案 [4,11] 现场纠错 解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得????? m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得????? m ＝3，n ＝1. ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10. 方法二 由????? f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 得??? a ＝1 2[f (－1)＋f (1)]， b ＝1 2[f (1)－f (－1)]， ∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 方法三 由? ???? 1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示， 当f (－2)＝4a －2b 过点A ???? 32，12时， 取得最小值4×32－2×1 2＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10] 纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大． 1．(2018·济宁模拟)若a<0，ay>0，且x＋y>0，则x与y之间的不等关系是() A．x＝y B．x>y C．x 答案B 解析由a<0，ay>0，可知y<0，又由x＋y>0， 可知x>0，所以x>y. 2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是() A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x) C．f(x) 答案B 解析f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 则f(x)>g(x)． 3．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是() A．a－b>0 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0 答案D 解析由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|， 当b≥0时，a＋b<0成立， 当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0成立．故选D. 4．(2018·西安市西北工业大学附属中学模拟)如果a>b>1，c<0，在不等式①c a> c b；②ln(a＋ c)>ln(b＋c)；③(a－c)c<(b－c)c；④b e a>a e b中，所有正确命题的序号是() A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④ 答案B 解析用排除法，∵a>b>1，c<0， ∴可令a＝3，b＝2，c＝－4， 此时ln(a ＋c )>ln(b ＋c )，不成立， ∴②错误，排除A ，C ，D ，故选B. 5．(2018·湖北沙市中学、恩施高中、郧阳中学联考)已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >b c ，则a >b C ．若a 3>b 3，且ab <0，则1a >1 b D ．若a 2>b 2，且ab >0，则1a <1 b 答案 C 解析 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，选项A 是假命题； 若c <0，则由a c >b c ，可得a 若a 3>b 3且 ab <0，则????? a >0， b <0， 1a >1 b 正确； 若a 2>b 2且ab >0， 当??? a <0， b <0 时，D 不成立． 6．设α∈????0，π2，β∈????0，π2，那么2α－β 3的取值范围是( ) A.????0，5π 6 B.????－π6，5π 6 C ．(0，π) D.??? ?－π 6，π 答案 D 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3 <π. 7．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋cz 答案 B 解析 令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14； B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10； C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11； D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B. 8．(2018·济南调研)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1 a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1 a D.2a ＋b a ＋2b >a b 答案 A 解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1 x 是(0，＋∞)上的增函数，但函 数g (x )＝x ＋1 x 在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必 定成立，即a －1a >b －1b ?a ＋1b >b ＋1 a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 9．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________． 答案 a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1 解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0， 于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1. 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0； ②若ab >0，c a －d b >0，则b c －a d >0； ③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①②③ 解析 ∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即b c －a d ab >0， ∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即b c －a d ab >0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确． 11．(2018·青岛调研)设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接) 答案 z >y >x 解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x . 同理，z >y ，∴z >y >x . 方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z >y >x . 12．已知－1 ?－32，23 2 解析 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )， 则????? m ＋n ＝3， m －n ＝2，∴??? m ＝5 2 ， n ＝12. 即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋1 2(x －y )， 又∵－1 2， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232 ， ∴3x ＋2y 的取值范围为??? ?－32，232. 13．设实数x ，y 满足0 解析 由题意得????? xy >0，x ＋y >0，则????? x >0， y >0， 由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0， 得??? x >2， y >2或????? 0 0 14．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >b x 这五个 式子中，恒成立的不等式的序号是________． 答案 ②④ 解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2. 符合题设条件x >y ，a >b . ∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5. ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立． ∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③不成立． ∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2 －2＝－1， ∴a y ＝b x ，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立． 15．(2018·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“?”和“ ”如下：a ?b ＝? ??? ? a ，a ≤ b ，b ，a >b ，a b ＝ ? ???? b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ?n ≥2，p q ≤2，则( ) A ．mn ≥4且p ＋q ≤4 B ．m ＋n ≥4且pq ≤4 C ．mn ≤4且p ＋q ≥4 D ．m ＋n ≤4且pq ≤4 答案 A 解析 结合定义及m ?n ≥2可得??? m ≥2，m ≤n 或????? n ≥2， m >n ， 即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p q ≤2，可得??? p ≤2， p >q 或????? q ≤2，p ≤q ， 即 q 16．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a 的取值范 围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,2) C ．(1,3) D ．(0,3) 答案 B 解析 由已知及三角形三边关系得???? ? a < b ＋ c ≤3a ，a ＋b >c ， a ＋c > b ， ∴????? 1 a ≤3，1＋b a >c a ， 1＋c a >b a ， ∴??? 1 a ≤3，－1 a <1， c a 的取值范围为(0,2)． 两式相加，得0<2×c a<4，∴ 第7章图 一、选择题 1．对于一个具有n个顶点和e条边的有向图，在用邻接表表示图时，拓扑排序算法时间复杂度为（） A） O(n) B） O(n+e) C） O(n*n) D） O(n*n*n) 【答案】B 2．设无向图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。 A）n-1 B）n(n-1)/2 C） n(n+1)/2 D）n2 【答案】B 3．连通分量指的是（） A）无向图中的极小连通子图 B）无向图中的极大连通子图 C）有向图中的极小连通子图 D）有向图中的极大连通子图 【答案】B 4．n个结点的完全有向图含有边的数目（） A）n*n B）n（n+1）C）n/2 D）n*（n-1） 【答案】D 5．关键路径是（） A） AOE网中从源点到汇点的最长路径 B） AOE网中从源点到汇点的最短路径 C） AOV网中从源点到汇点的最长路径 D） AOV网中从源点到汇点的最短路径 【答案】A 6．有向图中一个顶点的度是该顶点的（） A）入度 B）出度 C）入度与出度之和 D）（入度+出度）/2 【答案】C 7．有e条边的无向图，若用邻接表存储，表中有（）边结点。 A） e B） 2e C） e-1 D） 2(e-1) 【答案】B 8．实现图的广度优先搜索算法需使用的辅助数据结构为（） A）栈 B）队列 C）二叉树 D）树 【答案】B 9．实现图的非递归深度优先搜索算法需使用的辅助数据结构为（） A）栈 B）队列 C）二叉树 D）树 【答案】A 10．存储无向图的邻接矩阵一定是一个（） A）上三角矩阵 B）稀疏矩阵 C）对称矩阵 D）对角矩阵【答案】C 11．在一个有向图中所有顶点的入度之和等于出度之和的（）倍 A） 1/2 B）1 C） 2 D） 4 【答案】B 12．在图采用邻接表存储时，求最小生成树的 Prim 算法的时间复杂度为（）A） O(n) B） O(n+e) C） O(n2) D） O(n3) 【答案】B 13．下列关于AOE网的叙述中，不正确的是（） A）关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间 B）任何一个关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成 C）所有的关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成 D）某些关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成 【答案】B 14．具有10个顶点的无向图至少有多少条边才能保证连通（） A） 9 B）10 C） 11 D） 12 【答案】A 15．在含n个顶点和e条边的无向图的邻接矩阵中，零元素的个数为（）A） e B）2e C） n2-e D）n2-2e 【答案】D 16.对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，如果采用邻接表来表示，则其表 第七章民事诉讼证据 第一节民事诉讼证据概述 一、证据 1、概念：证据就是证明事实的依据 2、证据和证据材料的联系和区别 （1）联系：证据来源于证据材料。 （2）区别：A、证据材料成为证据，必须经过当事人质证和法院的认证。 B、证据材料:在起诉、答辩或审理初期。证据:法庭调查终结。 【例题】请问，下列关于证据与证据材料的说法中，哪项是错误的? ( ) A．在我国民事诉讼法中，证据一词包含了证据与证据材料两种情形 B．证据材料出现在诉讼中较早的阶段，而证据则出现于诉讼中较晚的阶段 C．证据与证明材料在诉讼中具有完全等同的意义，证据就是证据材料，而用作证据材料的也是证据 D．证据材料是为了证明目的而提出的各种材料，证据材料成为诉讼证据，需经过质证，还要经过法庭的审核和认定 二、证据三大属性 （一）客观性 不以人的意志为转移的客观实在，能够为人所认识。 （二）关联性 【例1】甲与乙二人发生斗殴，甲受伤，起诉要求乙赔偿医疗费600元。甲向法庭出示了县医院开具的诊断书为证据。该诊断书记明：甲因患痢疾住院，花去各种费用600元。 【例2】甲起诉乙要求乙偿还欠款1万元，甲提出证人若干名，指证乙品行长期不好，经常欠钱不还，试图证明被告乙确实有借自己1万元不还的事实。 （三）合法性（形式、程序） 1、证据形式的合法性 案例：保险柜里的秘密——证据形式的合法性 上海一家公司的办公室里发生了一起凶杀案，死者一个是公司经理宋慧芳，33岁，是一家公司的董事长，专门经营饮料和食品批发业务。宋慧芳十几岁的时候就父母离异，一直独自闯荡。2000年宋慧芳与丈夫离婚，有一个9岁的儿子，跟随前夫李杰生活。宋慧芳被杀的第二天，一个陌生的男子出现在案发的现场，并且对在场的公安人员说，宋慧芳所有的财产全部都归他了。这个人叫沈新发。沈新发到来的同时交给警方一样东西——一份遗嘱的复印件，是宋慧芳所立。那么遗嘱的原件在哪儿呢？沈新发说原件就在宋慧芳公司的保险柜里。沈新发说，正是为了感谢自己的倾囊相助，宋慧芳才写下了那份遗书。她为什么30多岁要立遗嘱？宋慧芳跟你非亲非故，她凭什么会把遗产给你？ 宋慧芳的后事都是她父母处理的，她留下的那些财产也都由宋慧芳母亲保管了起来，所以前夫李杰就以儿子的名义向法院起诉，要求和外公外婆共同分割宋慧芳的遗产，而沈新发因为手中拿着遗嘱，也要求对遗产主张权利，所以法院将他列为有独立请求权的第三人参加了诉讼。在这份遗嘱上，不单单有宋慧芳的签名，还留下了一个见证人的名字，见证人名叫陈剑敏，为了说清事实，在庭审中，三方一致要求遗嘱的见证人陈剑敏出庭作证（该见证人为第三人的儿媳）。 宋慧芳的亲人在认真看了那份遗嘱后，指出了一个疑点，遗嘱并不是宋慧芳手写而是电脑打印的。 2004年2月，上海市黄浦区人民法院对本案进行了审理，判决结果是确认遗嘱无效。 根据我国继承法的规定，自书遗嘱必须由自书人亲笔书写（手写），另外还要写清具体时间，年、月、日，才能产生法律效力。 2、证据收集过程的合法性 （1）陷阱证据 案例：北大方正集团公司、北京红楼计算机科学技术研究所（为方便起见，以下合称北大方正）是方正RIP、方正文台、方正字库等计算机软件的著作权人。上述软件投入市场后一直受到用户的欢迎，但也因此成为盗版者疯狂攫取的目标。通过调查，北大方正怀疑北京高术天力科技有限公司、北京高术科技公司（以下两家公司合称高术公司）有制售上述软件的嫌疑。自2001年6月起，北大方正委派下属公司职员以普通用户的身份会同北京市国信公证处公证人员到高术公司进行公证取证。北大方正职员先以个人名义多次和高术公司员工联系商谈购买照排机及安装方正RIP等软件相关事宜，并与高术公司签订了相关合同，分两次向其支付货款共394250元（占货款总额的95％），高术公司为上述款项出具了收据，让员工为北大方正的员工进行了照排机的安装、调试工作，并在主机中安装了盗版方正软件，留下装有盗版软件的光盘及加密狗等。在获取有关证据后，2001年8月23日，北大方正将有盗版行为的高术公司告上了法庭，索赔300余万元。 2001年12月21日，北京市一中院经审理后认为，原告采用的“陷阱取证”方式并未被法律所禁止，法院予以认可，判决被告赔偿原告经济损失100万余元。 被告不服，上诉至北京市高院。 2002年7月15日，北京市高级人民法院作出终审判决，认为原告采取“陷阱取证”方式违背诚实信用原则，因此撤销一审判决，北大方正最终只获赔13万元经济损失费（一套软件的价格）和1万元公证费。 第七章图 一、选择题 1．图中有关路径的定义是（ A ） A．由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列 B．由不同顶点所形成的序列 C．由不同边所形成的序列 D．上述定义都不是 2．设无向图的顶点个数为n，则该图最多有（B ）条边。 A．n-1 B．n(n-1)/2 C． n(n+1)/2 D．0 E．n2 3．一个n个顶点的连通无向图，其边的个数至少为（ A ）。 A．n-1 B．n C．n+1 D．nlogn； 4．要连通具有n个顶点的有向图，至少需要（ B ）条边。】 A．n-l B．n C．n+l D．2n 5．n个结点的完全有向图含有边的数目（ D ）。 A．n*n Ｂ．n（n＋１） C．n／2 D．n*（n－l） 6．一个有n个结点的图，最少有（ B ）个连通分量，最多有（ D ）个连通分量。 A．0 B．1 C．n-1 D．n 7．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（ B ）倍，在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（ C ）倍。 A．1/2 B．2 C．1 D．4 8．用有向无环图描述表达式(A+B)*（（A+B）/A），至少需要顶点的数目为( A)。 A．5 B．6 C．8 D．9 9．用DFS遍历一个无环有向图，并在DFS算法退栈返回时打印相应的顶点，则输出的顶点序列是(A )。 A．逆拓扑有序 B．拓扑有序 C．无序的 10．下面结构中最适于表示稀疏无向图的是（ C ），适于表示稀疏有向图的是（ BDE ）。 A．邻接矩阵 B．逆邻接表 C．邻接多重表 D．十字链表 E．邻接表 11．下列哪一种图的邻接矩阵是对称矩阵？（ B ） A．有向图 B．无向图 C．AOV网 D．AOE网 12．从邻接阵矩可以看出，该图共有（B）个顶点；如果是有向图该图共有（B）条弧；如果是无向图，则共有（D）条边。 ①．A．9 B．3 C．6 D．1 E．以上答案均不正确 ②．A．5 B．4 C．3 D．2 E．以上答案均不正确 ③．A．5 B．4 C．3 D．2 E．以上答案均不正确 14．用相邻矩阵A表示图，判定任意两个顶点Vi和Vj之间是否有长度为m的路径相连，则只要检查（ C ）的第i行第j列的元素是否为零即可。 A．mA B．A C．A m D．Am-1 15.下列说法不正确的是（ C ）。 A．图的遍历是从给定的源点出发每一个顶点仅被访问一次 C．图的深度遍历不适用于有向图 B．遍历的基本算法有两种：深度遍历和广度遍历 D．图的深度遍历是一个递归过程 16．无向图G=(V,E),其中：V={a,b,c,d,e,f},E={(a,b),(a,e),(a,c),(b,e),(c,f),(f,d),(e,d)}，对该图进行深度优先遍历，得到的顶点序列正确的是（ D ）。 A．a,b,e,c,d,f B．a,c,f,e,b,d C．a,e,b,c,f,d D．a,e,d,f,c,b 17.设图如右所示，在下面的5个序列中，符合深度优先遍历的序列有多少？（ D ） a e b d f c a c f d e b a e d f c b a e f d c b a e f d b c A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 18.下图中给出由7个顶点组成的无向图。从顶点1出发，对它进行深度优先遍历得到的序列是(C)，而进行广度优先遍历得到的顶点序列是（C）。 ①．A．1354267 B．1347652 C．1534276 D．1247653 E．以上答案均不正确 ②．A．1534267 B．1726453 C．l354276 D．1247653 E．以上答案均不正确 19．下面哪一方法可以判断出一个有向图是否有环（AB）： A．深度优先遍历 B.拓扑排序 C.求最短路径 D.求关键路径 20.在图采用邻接表存储时，求最小生成树的 Prim算法的时间复杂度为( B )。 A. O(n) B. O(n+e) C. O(n2) D. O(n3) 21.下面是求连通网的最小生成树的prim算法：集合VT，ET分别放顶点和边，初始为（ C），下面步骤重复n-1次: a：（ A）；b：（ B）；最后：（A）。 （1）．A．VT，ET为空 B．VT为所有顶点，ET为空 C．VT为网中任意一点，ET为空 D．VT为空，ET为网中所有边 （2）．A.选i属于VT，j不属于VT，且（i，j）上的权最小 B．选i属于VT，j不属于VT，且（i，j）上的权最大 第七章民事法律行为 一、单项选择题 1．无效民事行为在被确认无效之前（） A．仍有效 B．可视为有效 C．当然无效 D．可有效，也可无效 2．民事行为被人民法院或仲裁机关认定部分无效后，其他部分（） A．另签协议后有效 B．修改补充后有效 C．仍有效 D．当然无效 3．附解除条件的民事法律行为，在条件成就时，其民事法律行为（） A．开始无效 B．效力终止 C．开始生效 D．继续有效 4．可撤销的民事行为被撤销后，其行为（） A．从法院判决撤销时起无效 B．是否发生效力由双方当事人协商确定 C．从申请撤销时起无效 D．自始无效 5．恶意串通，损害国家、集体或第三人利益的民事行为是无效民事行为。因为其（）A．行为人不合格 B．行为人意思表示不真实 C．内容违法 D．内容不可能 6．甲与乙约定，如乙生产的产品达到国家A级标准，甲则予以包销。该行为（） A．是附延缓条件的民事法律行为 B．是附解除条件的民事法律行为 C．是附期限的民事法律行为 D．既不是附条件的民事法律行为，也不是附期限的民事法律行为 7．赵某因亲属患病急需用钱，遂向王某借钱。王某趁机索要高额利息，即赵某到期连本带利共还其所借钱的二倍，赵某无奈同意。此借贷合同属于（）的民事行为。 A．受胁迫 B．显失公平 C．乘人之危 D．部分胁迫、部分乘人之危 8．可变更或可撤销的民事行为，具有撤销权的当事人自（），可以请求人民法院予以变更或撤销。 A．任何时候 B．行为成立时起6个月以内 C．行为成立时起2年以内 D．知道或应当知道撤销事由之日起1年内 9．以下不可作为民事行为形式的是（） A．无法定或约定的沉默 B．公证 第七章 图 一、选择题 1．图中有关路径的定义是（ ）。 A ．由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列 B ．由不同顶点所形成的序列 C ．由不同边所形成的序列 D ．上述定义都不是 2．设无向图的顶点个数为n ，则该图最多有（ ）条边。 A ．n-1 B ．n(n-1)/2 C ． n(n+1)/2 D ．0 E ．n 2 3．一个n 个顶点的连通无向图，其边的个数至少为（ ）。 A ．n-1 B ．n C ．n+1 D ．nlogn ； 4．要连通具有n 个顶点的有向图，至少需要（ ）条边。 A ．n-l B ．n C ．n+l D ．2n 5．n 个结点的完全有向图含有边的数目（ ）。【中山大学 1998 二、9 （2分）】 A ．n*n Ｂ．n （n ＋１） C ．n ／2 D ．n*（n －l ） 7．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（ ）倍，在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（ ）倍。【哈尔滨工业大学 2001 二、3 （2分）】 A ．1/2 B ．2 C ．1 D ．4 9．用DFS 遍历一个无环有向图，并在DFS 算法退栈返回时打印相应的顶点，则输出的顶点序列是( )。 A ．逆拓扑有序 B ．拓扑有序 C ．无序的 11．下列哪一种图的邻接矩阵是对称矩阵？（ ） A ．有向图 B ．无向图 C ．AOV 网 D ．AO E 网 12． 从邻接矩阵 ????? ?????=01 101 010A 可以看出，该图共有（①）个顶点；如果是有向图该图共有 （②） 条弧；如果是无向图，则共有（③）条边。 ①．A ．9 B ．3 C ．6 D ．1 E ．以上答案均不正确 ②．A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 E ．以上答案均不正确 ③．A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 E ．以上答案均不正确 13．当一个有N 个顶点的图用邻接矩阵A 表示时，顶点Vi 的度是（ ）。【南京理工大学1998一、4(2分）】 A ． ∑=n i j i A 1 ] ,[ B ． [] ∑=n 1 j j ,i A C ． ∑=n i i j A 1 ] ,[ D ． ∑=n i j i A 1 ],[+ [] ∑=n 1 j i ,j A 14．用相邻矩阵A 表示图，判定任意两个顶点Vi 和Vj 之间是否有长度为m 的路径相连，则只要检查（ ）的第i 行第j 列的元素是否为零即可。 A ．mA B ．A C ．A m D ．Am-1 15. 下列说法不正确的是（ ）。 A ．图的遍历是从给定的源点出发每一个顶点仅被访问一次 C ．图的深度遍历不适用于有向图 B ．遍历的基本算法有两种：深度遍历和广度遍历 D ．图的深度遍历是一个递归过程 16．无向图G=(V,E),其中：V={a,b,c,d,e,f},E={(a,b),(a,e),(a,c),(b,e),(c,f),(f,d), 高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< 第七章 图 姓名： 学号： 一、选择题 1．设无向简单图的顶点个数为n ，则该图最多有（ B ）条边。 A ．n-1 B ．n(n-1)/2 C ． n(n+1)/2 D ．n 2 2．一个n 个顶点的连通无向图，其边的个数至少为（ A ）。 A ．n-1 B ．n C ．n+1 D ．nlogn ； 3．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（ B ）倍，在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（ C ）倍。 A ．1/2 B ．2 C ．1 D ．4 4．下列哪一种图的邻接矩阵是对称矩阵？（ ） A ．有向图 B ．无向图 C ．AOV 网 D ．AO E 网 5．下列有关图的遍历的说法中，不正确的是（ ）。 A ．用邻接表存储的图的深度优先搜索的时间复杂度为O(n ＋e) B ．图的广度优先搜索中邻接点的寻找具有“先进先出”的特征，需要采用队列结构来实现 C ．非连通图不能用深度优先搜索法 D ．图的遍历要求每一顶点访问且仅被防问一次 6. 求解最短路径的Floyd 算法的时间复杂度为( )。 A ．O （n ） B. O （n+c ） C. O （n 2） D. O （n 3） 7. 在用邻接表表示图时，拓扑排序算法时间复杂度为( )。 A. O(n) B. O(n ＋e) C. O （n 2） D. O （n 3） 8.右图所示的无向网的最小生成树的权为( )。 A ．11 B ． 9 C ．14 D ．12 9. 关键路径是AOE 网中（ ）。 A ．从源点到汇点的最长路径 B ．从源点到汇点的最短路径 C ．最长回路 D ．最短回路 10．下列关于AOE 网的叙述中，不正确的是（ ）。 A ．关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间 B ．任何一个关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成 C ．所有的关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成 D ．某些关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成 二、判断题 1. 有e 条边的无向图，在邻接表中有e 个结点。（ × ） 2. 强连通图的各顶点间均可达。（ √ ） 42 第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即 第7章图 一、单项选择题 1．在一个无向图G中，所有顶点的度数之和等于所有边数之和的______倍。 A．l/2 B．1 C．2 D．4 2．在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的______倍。 A．l/2 B．1 C．2 D．4 3．一个具有n个顶点的无向图最多包含______条边。 A．n B．n＋1 C．n-1 D．n(n-1)/2 4．一个具有n个顶点的无向完全图包含______条边。 A．n(n-l) B．n(n+l) C．n(n-l)/2 D．n(n-l)/2 5．一个具有n个顶点的有向完全图包含______条边。 A．n(n-1) B．n(n+l) C．n(n-l)/2 D．n(n+l)/2 6．对于具有n个顶点的图，若采用邻接矩阵表示，则该矩阵的大小为______。 A．n B．n×n C．n-1 D．(n-l) ×(n-l) 7．无向图的邻接矩阵是一个______。 A．对称矩阵B．零矩阵 C．上三角矩阵D．对角矩阵 8．对于一个具有n个顶点和e条边的无(有)向图，若采用邻接表表示，则表头向量的大小为______。 A．n B．e C．2n D．2e 9．对于一个具有n个顶点和e条边的无(有)向图，若采用邻接表表示，则所有顶点邻接表中的结点总数为______。 A．n B．e C．2n D．2e 10．在有向图的邻接表中，每个顶点邻接表链接着该顶点所有______邻接点。 A．入边B．出边 C．入边和出边D．不是入边也不是出边 11．在有向图的逆邻接表中，每个顶点邻接表链接着该顶点所有______邻接点。 A．入边B．出边 C．入边和出边D．不是人边也不是出边 12．如果从无向图的任一顶点出发进行一次深度优先搜索即可访问所有顶点，则该图一定是______。 A．完全图B．连通图 C．有回路D．一棵树 13．采用邻接表存储的图的深度优先遍历算法类似于二叉树的______算法。 A．先序遍历B．中序遍历 C．后序遍历 D．按层遍历 14．采用邻接表存储的图的广度优先遍历算法类似于二叉树的______算法。 A．先序遍历B．中序遍历 C．后序遍历 D．按层遍历 15．如果无向图G必须进行二次广度优先搜索才能访问其所有顶点，则下列说法中不正确的是______。 A．G肯定不是完全图B．G一定不是连通图 C．G中一定有回路D．G有二个连通分量 16．下列有关图遍历的说法不正确的是______。 A．连通图的深度优先搜索是一个递归过程 B．图的广度优先搜索中邻接点的寻找具有“先进先出”的特征 C．非连通图不能用深度优先搜索法 D．图的遍历要求每一顶点仅被访问一次 17．下列说法中不正确的是______。 A．无向图中的极大连通子图称为连通分量 第七章民事权利 7.1复习笔记【知识框架】 【考点难点归纳】 考点一：民事权利的概念（见表7-1）★★ 表7-1民事权利的概念 考点二：民事权利的分类★★★★★ 1．人身权、财产权、知识产权、社员权 以民事权利的内容为标准，可以将民事权利区分为人身权、财产权、知识产权和社员权，具体内容见表7-2。 表7-2人身权、财产权、知识产权、社员权 2．支配权、请求权、抗辩权、形成权 以权利的作用为标准，可以将民事权利区分为支配权、请求权、抗辩权、形成权，具体内容见表7-3。 表7-3支配权、请求权、抗辩权、形成权 3．绝对权与相对权 以权利人可以向其主张权利实现的义务人的范围为标准，可以将民事权利区分为绝对权和相对权，具体内容见表7-4。 表7-4绝对权与相对权 4．主权利与从权利（见表7-5） 表7-5主权利与从权利 5．既得权与期待权 以民事权利根据其成立要件是否全部具备为标准，可以将民事权利区分： （1）既得权，是指已全部具备成立要件的权利。 （2）期待权，是指权利的成立要件目前尚未完全具备，将来有可能完全具备的权利。考点三：民事权利的行使和保护★★★★ 1．民事权利的行使（见表7-6） 表7-6民事权利的行使 2．民事权利的保护 （1）民事权利的保护措施，按照性质可以分为自我保护和国家保护两种，具体内容见表7-7。 表7-7民事权利的保护 （2）正当防卫与紧急避险的区别 ①紧急避险属于放任行为，只能不得已而为之；正当防卫则无此要求，即使在可以采取其他的方式逃避侵害的情况下，法律也应允许对违法侵害进行防卫。 ②紧急避险损害合法权益，法律要求进行利益权衡，避险行为造成的损害不得大于该行为所避免的损害；正当防卫是针对不法行为的，其以能够制止不法侵害为限，不存在进行类似利益权衡的要求。 7.2课后习题详解 1．试述民事权利的本质。 第七章 无穷级数 本章有四个问题： 1． 数项级数敛散性； 2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数； 4． 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛：令121 n n n k k s u u u u ==+++=∑ ，若lim n n s s →∞ =，则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛， 若不然，则称 1 n n u ∞ =∑发散； 2．绝对收敛：若1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为绝对收敛； 3. 条件收敛：若 1 n n u ∞ =∑发散，而 1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛； 二 基本结论 1．级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞ =。 2. 等比级数1 n n aq ∞ =∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 3. p 级数 11 p n n ∞ =∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。 三 基本方法 1．正项级数敛散性的判别方法 （1）比较判别法： 一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑ 发散。 极限形式：如果0n v ≠，且 lim n n n u l v →∞=， （I ）当0l <<∞时，则 1n n u ∞ =∑和 1 n n v ∞ =∑具有相同的敛散性。 （II ）当0l =时，则 1 n n v ∞ =∑收敛， 1 n n u ∞=∑也收敛。 （III ）当l =∞时，则 1 n n u ∞ =∑发散， 1 n n v ∞ =∑也发散。 民法第七章练习题 一、单选题 1、教授甲举办学术讲座时，在礼堂外的张贴栏中公告其一部新著的书名及价格，告知有意购买者在门口的签字簿上签名。学生乙未留意该公告，以为签字簿是为签到而设，遂在上面签名。对乙的行为应如何认定？ A、乙的行为可推定为购买甲新著的意思表示 B、乙的行为构成重大误解，在此基础上成立的买卖合同可撤销 C、甲的行为属于要约，乙的行为属于附条件承诺，二者之间成立买卖合同，但需乙最后确认 D、乙的行为并非意思表示，在甲乙之间并未成立买卖合同 2、下列哪一情形下，乙的请求依法应得到支持？ A、甲应允乙同看演出，但迟到半小时。乙要求甲赔偿损失 B、甲听说某公司股票可能大涨，便告诉乙，乙信以为真大量购进，事后该支股票大跌。乙要求甲赔偿损失 C、甲与其妻乙约定，如因甲出轨导致离婚，甲应补偿乙50万元，后二人果然因此离婚。乙要求甲依约赔偿 D、甲对乙承诺，如乙比赛夺冠，乙出国旅游时甲将陪同，后乙果然夺冠，甲失约。乙要求甲承担赔偿责任 3、甲、乙在火车上相识，甲怕自己到站时未醒，请求乙在A站唤醒自己下车，乙欣然同意。火车到达A站时，甲沉睡，乙也未醒。甲未能在A站及时下车，为此支出了额外费用。甲要求乙赔偿损失。对此，应如何处理？ A、由乙承担违约责任 B、由乙承担侵权责任 C、由乙承担缔约过失责任 D、由甲自己承担损失 4、A公司经销健身器材，规定每台售价为2000元，业务员按合同价5%提取奖金。业务员王某在与B公司洽谈时提出，合同定价按公司规定办，但自己按每台50元补贴B公司。B公司表示同意，遂与王某签订了订货合同，并将获得的补贴款入账。对王某的行为应如何定性？ A、属于无权代理 B、属于滥用代理权 C、属于不正当竞争 D、属于合法行为 5、甲将其电脑借给乙使用，乙却将该电脑卖给丙。依据我国《合同法》的规定，下列关于乙丙之间买卖电脑的合同效力的表述哪一项是正确的？ A、无效 B、有效 C、效力待定 D、得变更或撤销 6、甲在首饰店购买钻石戒指两枚，标签标明该钻石为天然钻石，甲买回后即被人告知实为人造钻石。甲遂多次与首饰店交涉，历时一年零六个月，未果。现甲欲以欺诈为由诉请法院撤销该买卖关系，其主张能否得到支持？ 第七章 图 一、单选题 （ C ）1. 在一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的 倍。 A ．1/2 B. 1 C. 2 D. 4 2. 在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的（ B ）倍。 A ．1/2 B. 1 C. 2 D. 4 （ B ）3. 有8个结点的无向图最多有 条边。 A ．14 B. 28 C. 56 D. 112 （ A ）一个n 个顶点的连通无向图，其边的个数至少为（ ）。 A ．n-1 B ．n C ．n+1 D ．nlogn ； （ C ）5. 有8个结点的有向完全图有 条边。 A ．14 B. 28 C. 56 D. 112 （ B ）6. 用邻接表表示图进行广度优先遍历时，通常是采用 来实现算法的。 A ．栈 B. 队列 C. 树 D. 图 （ A ）7. 用邻接表表示图进行深度优先遍历时，通常是采用 来实现算法的。 A ．栈 B. 队列 C. 树 D. 图 8. 下面关于求关键路径的说法不正确的是（ C ）。 A ．求关键路径是以拓扑排序为基础的 B ．一个事件的最早开始时间同以该事件为尾的弧的活动最早开始时间相同 C ．一个事件的最迟开始时间为以该事件为尾的弧的活动最迟开始时间与该活动的持续时间的差 D ．关键活动一定位于关键路径上 9. 已知图的邻接矩阵如下，根据算法思想，则从顶点0出发，按深度优先遍历 的结点序列是（ D ） A ． 0 2 4 3 1 5 6 B. 0 1 3 5 6 4 2 C. 0 4 2 3 1 6 5 D. 0 ?????????? ????????????01000111011000 01011010110011 001000110010011011110 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 习题7 图 7.1 单项选择题 1．在一个图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的____倍。 A. 1/2 B. 1 C. 2 D. 4 2．任何一个无向连通图的最小生成树。 A.只有一棵 B.有一棵或多棵 C.一定有多棵 D.可能不存在 3．在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的____倍。 A. 1/2 B. 1 C. 2 D. 4 4．一个有n个顶点的无向图最多有____条边。 A. n B. n(n-1) C. n(n-1)/2 D. 2n 5．具有4个顶点的无向完全图有____条边。 A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 6．具有6个顶点的无向图至少应有____条边才能确保是一个连通图。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7．在一个具有n个顶点的无向图中，要连通全部顶点至少需要____条边。 A. n B. n+1 C. n-1 D. n/2 8．对于一个具有n个顶点的无向图，若采用邻接矩阵表示，则该矩阵的大小是____。 A. n B. (n-1)2 C. n-1 D. n2 9．对于一个具有n个顶点和e条边的无向图，若采用邻接表表示，则表头向量的大小为_①___；所有邻接表中的接点总数是_②___。 ①A. n B. n+1 C. n-1 D. n+e ②A. e/2 B. e C.2e D. n+e 10．已知一个图如图7.1所示，若从顶点a出发按深度搜索法进行遍历，则可能得到的一种顶点序列为__①__；按宽度搜索法进行遍历，则可能得到的一种顶点序列 为__②__。 ①A. a,b,e,c,d,f B. e,c,f,e,b,d C. a,e,b,c,f,d D. a,e,d,f,c,b C. a,e,b,c,f,d D. a,c,f,d,e,b 图 7.1 一个无向图 11．已知一有向图的邻接表存储结构如图7.2所示。 第七章民事法律行为 7.1复习笔记 【知识框架】 【重点难点归纳】 一、民事法律行为概述 1．民事法律行为的概念和特征 （1）民事法律行为的概念 民事法律行为，简称为法律行为，是指民事主体基于意思表示，设立、变更、终止民事法律关系的合法行为，是引起私法上效果的最重要的法律事实。我国《民法通则》第54条规定，民事法律行为是公民或者法人设立、变更、终止民事权利和民事义务的合法行为。 （2）民事法律行为的特征 ①民事法律行为是人为的法律事实。民事法律行为是民事法律关系得以发生的最大量的 法律事实。 ②民事法律行为是一种表意行为。在作为民事法律关系发生原因的行为中，可区分为表意行为和非表意行为。 a．表意行为的行为人，具有导致一定法律效果之发生的意图。 b．非表意行为又称事实行为，其行为人主观上并无产生法律效果的意图，但行为依法律规定引起了某种法律效果的发生。 ③民事法律行为以意思表示为要素。意思表示，是表意人将其期望发生某种法律效果的内在意图以一定方式表现于外部的行为。 ④民事法律行为还应是合法行为。民事法律行为的合法性，不仅指行为形式符合法律规范，更为重要的是，行为内容不违背法律。 （3）民事法律行为与民事行为 民事行为与民事法律行为的关系可作如下理解： ①民事行为是指民事主体通过意思表示，设立、变更、终止民事权利义务关系的行为，即民事行为是表意行为。它和民事法律行为的区别在于有没有合法性要求。因此，民事行为是上位概念，民事法律行为是下位概念。 ②民事行为符合法律要求者（具备合法性），为民事法律行为，欠缺法律要求应当具备的条件者，根据欠缺条件的性质和重要程度，民事行为或者无效，或者可撤销，或者效力待定。 2．民事法律行为的分类 （1）单方法律行为、双方法律行为和多方法律行为 ①单方法律行为。是根据一方当事人的意思表示就可成立的法律行为，特点在于不需要 第七章图 一、选择题 1．用DFS遍历一个无环有向图，并在DFS算法退栈返回时打印相应的顶点，则输出的顶点序列是( )。 A．逆拓扑有序 B．拓扑有序 C．无序的【中科院软件所1998】 2．下面哪一方法可以判断出一个有向图是否有环（回路）：【东北大学 2000 4、2（4分）】A．深度优先遍历 B. 拓扑排序 C. 求最短路径 D. 求关键路径 3. 求解最短路径的Floyd算法的时间复杂度为( )。【合肥工业大学 1999 一、2 （2分）】 A．O（n） B. O（n+c） C. O（n*n） D. O（n*n*n） 4．已知有向图G=(V,E)，其中V={V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7}， E={ 第七章民事行为 引读案例 1.甲系有妇之夫，但对美貌少女乙倾慕已久，于是甲想尽办法讨好乙，并最终达到了与乙非法同居的目的，不久，甲妻丙发现此事，与甲、乙发生激烈。为不使家庭破裂，丙与甲、乙达成如下协议：甲每周只能与乙同居两个晚上，乙每月向丙支付500元作为补助。半年后，乙不再向丙支付补偿费。于是，丙要求乙履行协议。请分析上述协议的效力。 2.甲厂与乙厂签订了一份供货合同，约定：乙厂每月向甲厂提供某种型号的设备零件10000件，每件单价2元；每月月底交付货款；供货期限不定，但在甲厂研制出的某种新产品投产后，供货合同解除。合同订立后，双方开始履行，货款两清。合同履行6个月后，甲厂书面通知乙厂：我厂自行研制出的某种新产品已经成功并投入生产，原供货合同解除。乙厂接到通知后，仍向甲厂供货2000件，甲厂均拒收并拒付货款。请分析甲 厂与乙厂之间民事行为的性质。 司法考试要点 民事行为的含义；民事行为的分类及其意义；民事行为的成立和生效条件；附条件和附期限民事行为；无效民事行为的种类及后果；可变更与可撤销民事行为的种类及撤销权的行使；效力待定民事行为的种类及后果。 例题39 某县政府为鼓励县属酒厂多创税利，县长与酒厂厂长签订合同约定：酒厂如果完成年度税收100万元的指标，第二年厂长和全厂职工都可以加两级工资。该合同属于什么性质的行为？ A.双方民事法律行为 B.无效民事行为 C.附条件民事法律行为 D.不属于民事法律行为 解析：本题的考点是民事行为的认定，答案为D。由于县长与酒厂厂长签订的“合同”并不是以发生民事法律后果为目的的行为，所以，不属于民事法律行为。 例题40 下列合同中，既可以是有偿合同也可以是无偿合同的有哪些？ A.保管合同 B.委托合同 C.借款合同 D.互易合同 解析：本题的考点是有偿行为和无偿行为之间的区别，答案为ABC。依据《合同法》的规定，保管合同、委托合同、借款合同是否有偿，取决于当事人的约定，而互易合同是有偿合同。 例题41 教授甲举办学术讲座时，在礼堂外的张贴栏中公告其一部新著的书名及价格，告知有意购买者在门口的签字簿上签名。学生乙未留意该公告，以为签字簿是为签到而设，遂在上面签名。对乙的行为应如何认定？ A乙的行为可推定为购买甲新著的意思表示 B乙的行为构成重大误解，在此基础上成立的买卖合同可撤销 C甲的行为属于要约，乙的行为属于附条件第7章 图习题及答案
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