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函数与方程零点问题练习题

A 组基础对点练

1．(2018·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1)

D ．(－1,0)

解析：∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－2

3，

f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5， ∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，

f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D. 答案：D

2．(2018·贵阳模拟)函数f (x )＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4 解析：函数f (x )＝lg x －sin x 的零点个数，即函数y ＝lg x 的图象和函数y ＝sin x 的图象的交点个数，如图所示．显然，函数y ＝lg x 的图象和函数y ＝sin x 的图象的交点个数为3，故选C.

答案：C

3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )

A ．{1,3}

B ．{－3，－1,1,3}

C ．{2－7，1,3}

D ．{－2－7，1,3}

解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1.

当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0，得x 3＝－2－7， x 4＝－2＋7＞0(舍)，

∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D. 答案：D

4．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )

A ．(a ，b )和(b ，c )内

B ．(－∞，a )和(a ，b )内

C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内

D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内

解析：令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a

答案：A

5．(2018·德州模拟)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )

A ．9

B ．10

C ．11

D ．18

解析：由F (x )＝0得f (x )＝|lg x |分别作f (x )与y ＝|lg x |的图象，如图，

所以有10个零点，故选B. 答案：B

6．(2018·宁夏育才中学第四次月考)已知函数f (x )＝?

????

e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数

f (x )

在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，0)

C ．(－1,0)

D ．[－1,0)

解析：当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝1

3，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有

一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.

答案：D

7．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若?x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

B ．(－∞，－3)

C ．(－3,1)

D ．(1，＋∞)

解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A.

答案：A

8．已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( ) A.????－38，18 B.????－38，1

8 C.???

?－38，18 D.???

?－18，38 解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)＜0或②????? f (－2)＝0，－2＜14m ＜0或③?????

f (2)＝0，0＜14m ＜2.解①得－18＜m ＜0或0＜m ＜3

8；解②得m ∈?，解③得m ＝38

. 综上可知－18＜m ≤3

8，故选D.

答案：D

9．已知函数f (x )＝????

|2x

－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a

的取值范围为( )

A ．(1,3)

B ．(0,3)

C ．(0,2)

D ．(0,1)

解析：画出函数f (x )的图象如图所示，

观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1，故选D.

答案：D

10．(2018·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( )

A ．[3,5]

B ．[4,6]

C ．(3,5)

D ．(4,6)

解析：∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图象如图所示：

∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点， ∴y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y ＝log a x 的图象，如图， ∴????

log a 3＜1log a 5＞1a ＞1，解得3＜a ＜5.故选C.

答案：C

11．(2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )

A.14

B.18 C ．－78

D ．－38

解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－7

.故选C.

答案：C

12．(2018·郑州质量预测)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当－1≤x ＜0时，f (x )＝－log 12(－x )，则方程f (x )－1

＝0在(0,6)内的所有根之和为( )

A ．8

B ．10

C ．12

D ．16

解析：∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－log 1

2(－x )，故

f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．

由图可知方程f (x )－1

2＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，

故选C.

答案：C

13．(2018·聊城模拟)若方程|3x －1|＝k 有两个解，则实数k 的取值范围是________．解析：曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝k 的图象如图所示，由图象可知，如果y ＝|3x －1|与直线y ＝k 有两个公共点，则实数k 应满足0＜k ＜1.

答案：(0,1)

14．已知函数f (x )＝?????

log 12x ，x ＞0，

2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则

实数k 的取值范围是________．

解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：

由图可知k ∈(0,1]．答案：(0,1]

15．函数f (x )＝?

????

ln x －x 2＋2x ，x ＞0，

4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．

解析：当x ＞0时，令ln x －x 2＋2x ＝0，得ln x ＝x 2－2x ，

作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图象，

显然有两个交点．当x ≤0时，令4x ＋1＝0， ∴x ＝－1

综上共有3个零点．答案：3

16．已知函数f (x )＝?

????

2x －a ，x ≥0，

x 2＋ax ＋a ，x ＜0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是

________．

解析：由题意知，当x ≥0时，函数f (x )有一个零点，从而a ＝2x ≥1，当x ＜0时，函数f (x )有两个零点，则有????

Δ＝a 2－4a ＞0－a ＜0

a ＞0即a ＞4.

综上知a ＞4. 答案：(4，＋∞)

B 组能力提升练

1．函数f (x )＝???

1－x 2，－1≤x <1，

lg x ，x ≥1

的零点个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：作出函数f (x )＝???

1－x 2，－1≤x <1，

lg x ，x ≥1

的图象，如图所示．

由图象可知，所求函数的零点个数是2. 答案：C

2．已知函数f (x )＝?

????

2－|x |，x ≤2，

(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：分别画出函数f (x )，g (x )的草图，可知有2个交点．故选A.

答案：A

3．已知函数f (x )＝?????

x 2＋2x ，x ≤0，

|lg x |，x ＞0，

则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：g (x )＝f (1－x )－1

＝?

????

(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，

|lg (1－x )|－1， 1－x ＞0 ??

????

x 2－4x ＋2， x ≥1，|lg (1－x )|－1， x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.

答案：C

4．(2018·洛阳统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －

x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1

＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10

D ．e ＜x 1x 2＜10

解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e －

x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e

－1,

1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －

1)，e －x 2－e

－x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)，于是有e －

1＜x 1x 2＜e 0，即1e

＜x 1x 2＜1，故选A.

答案：A

5．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B ．f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b ) D ．f (b )＜g (a )＜0

解析：∵f (x )＝e x ＋x －2， ∴f ′(x )＝e x ＋1＞0，则f (x )在R 上为增函数，

且f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0，

又f (a )＝0，∴0＜a ＜1. ∵g (x )＝ln x ＋x 2－3， ∴g ′(x )＝1

＋2x .

当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，得g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0， g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0， ∴1＜b ＜2，即a ＜b ，

∴?

????

f (b )＞f (a )＝0，

g (a )＜g (b )＝0.故选A. 答案：A

6．(2018·郑州质量预测)对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －

1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )

A ．[2,4] B.????2，7

3 C.????73，3

D ．[2,3]

解析：函数f (x )＝e x －

1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －

1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图象过点(－1，4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则g ????

a 2≤0，即

????a 22－a ·a 2

－a ＋3≤0，解得a ≥2或a ≤－6(舍去)，易知g (0)≥0，即a ≤3，此时2≤a ≤3，满足题意．

答案：D

7．设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ????x 0＋1

2＜33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个

D ．67个

解析：依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0得，πx 0＝k π，k ∈Z ，即x 0＝k ，k ∈Z .当k 是奇数时，f ????x 0＋12＝sin π????k ＋12＝sin ????k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ????x 0＋1

2＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ????x 0＋12＝sin π????k ＋12＝sin ????k π＋π2＝1，|x 0|＋f ????x 0＋12＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有

34＋31＝65(个)，选C.

答案：C

8．设函数f (x )＝????

x ，0≤x <11x ＋1－1，－1

数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( )

A ．m ≥1

4或m ＝－1

B ．m ≥1

C ．m ≥1

或m ＝－1

D ．m ≥1

解析：f (x )＝????

x ， 0≤x ＜1，1x ＋1－1，－1＜x ＜0.

作函数y ＝f (x )的图象，如图所示．

函数g (x )零点的个数?函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝4mx ＋m 交点的个数．当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时，m ＝1

；

当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1

x ＋1

－1(－1＜x ＜0)相切时，可求得m ＝－1.

根据图象可知，当m ≥1

或m ＝－1时，函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．

答案：C

9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1

x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，

此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.

答案：C

10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C.?

??－∞，1＋e

e 2

D.?

???0，1＋e

e 2

解析：依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根．记g (x )＝ln x

x ，则g ′(x )

＝1－ln x

x 2，当00，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )

在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1