无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ） 函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n
定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系:
第五讲 Ⅰ 授课题目： §2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求： 1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系； 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点： 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系； 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容： §2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 1 1 )(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。 当 1→x 时， 1 1 -x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?E x 1 1<-， 也即：+∈?R E ，01>?E ，当 E x 1 1<-时，有： E x >-11。 定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。 如：∞=-→11 lim 1 x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→ tgx x 2 lim π。 注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)； 2.无穷大不能与很大的数混淆； 3.无穷大与无界变量的区别； 例如：x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。 例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法
若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大， )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取2 2π π+ =n x n ，当n 充分大时 必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。 ∴ +∞→x 时，x x y cos =，非无穷大。 4.无穷大运算的结论： (1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。 二、无穷小量： 1.概念： 定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。 例如：021lim =∞→n n ，则称 ∞→n 时，变量 n n y 21 =是无穷小量。 注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。 2.两个重要结论： 结论1 定理2.9 A y =lim ，?α+=A y ，0lim =α。 例如： ?56lim =+∞→x x x ，Θx x x 5656+=+，而：05lim =∞→x x ，∴65 6lim =+∞→x x x 。 结论2 定理2.10 若：0lim =α，且：0,>≤M M y ，?0lim =y α 推论 若：C 为常数，0lim =α?0lim =αC 。 例如：?1 sin lim 0=→x x x 0lim 0=→x x Θ，11sin ≤x ，∴01 sin lim 0=→x x x 。 三、无穷大量与无穷小量的关系： 定理2.11 若：∞=y lim ，? 01lim =y ；若：)0(,0lim ≠=αα?∞=α 1 lim 。 例如：∞=+∞ →x x e lim ，? 01 lim =+∞→x x e 。 注 无穷大、无穷小与极限过程有关。 四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念： 定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小，α β lim 也是关于同一过程的极限， 若：0lim =α β ，则称β是比α较高阶的无穷小，记：)(αβο=；
第周第学时教案授课教师：贾其鑫
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第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量 定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1() y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函 数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ??M >0, ?δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有 |f (x )|>M . 正无穷大与负无穷大: +∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim ) ( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1 1lim 1x x . 证 因为?M >0, ?M 1= δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11| , 所以∞=-→1 1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-| 1|1|11| , 只要M x 1|1|<-.
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。 碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
无穷小量与无穷大量之间关系的应用 【摘要】结合教学中的体会，从无穷小量与无穷大量之间的相互关系入手，进一步认识无穷小量与无穷大量.学会利用二者之间的关系，解决一些实际问题，达到提高教学质量的目的. 【关键词】无穷大量；无穷小量 【基金项目】中国矿业大学2012年青年教师校级教学改革资助项目（2001245）. 一、前言 不论是在《高等数学》还是在《数学分析》中，都把无穷小量与无穷大量当作重点内容介绍，这是因为此部分内容为后续课程的学习提供了基础，例如用等价无穷小替换求极限、判定级数的收敛性等.从教材的编排上看，《高等数学》和《数学分析》中都是先讲无穷小量，后讲无穷大量.但是对无穷的概念的认识过程看，人类是先认识无穷大，后认识无穷小.所以在文献[1]中，作者按照人们认识无穷的进程，提出了自己的观点，认为先认识清楚无穷大，再认识无穷小.教材中这样安排，主要都是考虑教学的目的. 相对于无穷小与无穷大的比较，一般的教材中都讲无穷小的比较，在求极限时可以用等价无穷小代替等.在文献[2]
中，作者给出了无穷大的比较.在求极限的过程中，同样可以用等价无穷大相互之间替换求函数的极限.在文献[3]中，作者阐述了无穷小的哲学问题，指出了人们对无穷小认识的一些错误，提出了正确的观点，证明了认识无穷小的过程是符合实践――认识――再实践――再认识的自然辩证法. 从教科书和一些文献中，我们能很清楚地认识无穷大量和无穷小量及其性质，也能解决一些实际问题.但我们不能把二者割裂开来独立地去认识.现有的教材中只轻描淡写地说无穷大量和无穷小量符合倒数关系，先讲无穷小量，无穷大量的所有结论利用二者之间的倒数关系可以得到.这就使得学生产生一种误解，认为认识了无穷小量，就等于认识了无穷大量，而不会利用二者之间的关系灵活解决实际问题.本论文正是从解决上述问题出发，利用无穷大量和无穷小量之间的关系进一步认识二者，从而能更好地解决在实际应用中的一些问题.目的是改正教学过程中出现的错误和打消学生的疑惑，提高教学质量，这也符合人们认识自然的实践、认识、再实践、再认识的自然辩证法.
第13、14、15、16课时： 【教学目的】 1、 掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限； 2、 熟记一些常见的等价无穷小； 3、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 4、 了解连续函数的性质与初等函数的连续性。 【教学重点】 1、常见的等价无穷小的推导； 2、等价无穷小求极限； 3、函数连续性的概念（含左连续与右连续）及函数间断点的类型。 【教学难点】 判断间断点的类型。 §1. 7 无穷小的比较 1.定义： （1）如果0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβ =； （2）如果∞=α βlim ，就说β是比α低阶的无穷小， （3）如果0lim ≠=c α β，就说β是比α同阶的无穷小， （4）如果0,0lim >≠=k c k α β，就说β是关于α的k 阶的无穷小， （5）如果1lim =αβ，就说β与α是等价的无穷小，记作βα~ 这些中重要的是等价无穷小，结合例题要让学生特别熟练 的记住一些常见的等价无穷小。 例1.证明：当0→x 时，x n x n 1~ 1+ 2.定理1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ += 例2.因为当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，22 1~cos 1x x -， 所以当0→x 时有)(s i n x x x +=，)(tan x x x +=，)(arcsin x x x +=，)(2 1cos 122x x x +=- 定理2 设αα'~，ββ'~，且αβ' 'lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim
例3求x x x 3tan 2tan lim 0→，例4求x x x x 3sin lim 30+→，例5求1cos 1)1(lim 3 120--+→x x x 注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷 小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。 教学小结与学法建议 学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。 师生活动设计P59：1，2，3，4（1）（2） 作业：P59：4（3）（4）
无穷小极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
无穷小与无穷大
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 1.4 无穷小与无穷大 1.4.1 无穷小 1．无穷小量的定义 定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。 例如：因为0)1(lim 1 =-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。 因为01lim =∞ →x x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。 因为011lim =--∞ →x x ，所以函数x -11是当x →－∞时的无穷小。 以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小， n 1，n 3 2 都是n →∞时的无穷小。 注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。 ⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。 ⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。 2.无穷小的性质
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： ⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。 例1．求x x x sin lim ∞→ 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而01lim =∞→x x ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 ∴x x x sin lim ∞→＝0 3．函数极限与无穷小的关系 定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。 4．无穷小的比较 例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, x x 1sin 2都是无穷小。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式 11)32(1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。
3．两个重要极限 （1） 1 sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210 ) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 利用两个重要极限求极限 例5 2 03cos 1lim x x x -→解：原式= 61 )2(122sin 2lim 32sin 2lim 2 2 02 2 0=?=→→x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例 6 x x x 2 ) sin 31(lim -→=6 sin 6sin 31 sin 6sin 310 ] ) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-? -→=-=-e x x x x x x x x x x 例7 n n n n )12(lim +-∞→= 31 331 1 331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+ e n n n n n n n n n n 。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0 x x →时的无穷小，且)(x f ～ )(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当 ) () (lim 110 x g x f x x →存在时， )() (lim x g x f x x →也存在且等于 ) (x f ) ()(lim 110 x g x f x x →，即 )() (lim x g x f x x →=)()(lim 11 0x g x f x x →。
陕西国际商贸学院 教学设计 课程名称：经济应用数学.A 授课教师：_____________ 授课班级：_____________ 基础课部大学数学教研室 2017至2018学年第 1 学期
课题：无穷小与无穷大 课程：经济应用数学A教学对象：课时：2课时 任课教师：教材：《高等数学（经管类）》吴玉梅，古佳，康敏，科学出版社 一、教材分析 选用的是《高等数学（经管类）》，教材，教材适用于经济，金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大，从无穷小与无穷大的定义到运算性质，让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识，之后对无穷小的比较做进一步学习。 1、以教材作为出发点，依据《课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限，通过对极限概念的进一步分析和总结，让学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法，不仅要保证数学知识的完整性，也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。 二、教学目标与内容 1.教学目标 知识与技能 通过对本节的学习，理解无穷小与无穷大的概念及它们的关系，掌握无穷小的运算性质，熟记常用的等价无穷小量，会用等价无穷小替换定理求极限。 过程与方法 通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题，在此过程中，要培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价值观 通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。 2.教学重难点 教学重点： 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小的运算性质 3.无穷小的比较
大一高数 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
1.4 无穷小与无穷大 1.4.1 无穷小 1．无穷小量的定义 定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。 例如：因为 0)1(lim 1 =-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。 因为 01 lim =∞ →x x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。 因为 011lim =--∞ →x x ，所以函数x -11 是当x →－∞时的无穷小。 以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小， n 1，n 3 2 都是n →∞时的无穷小。 注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。 ⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。 ⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。 2.无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： ⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。 例1．求 x x x sin lim ∞ → 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而 01 lim =∞ →x x ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
∴ x x x sin lim ∞ →＝0 3．函数极限与无穷小的关系 定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。 4．无穷小的比较 例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, x x 1 sin 2 都是无穷小。 观察各极限： 032 lim =→x x x x 2比3x 要快得多 1sin lim =→x x x sinx 与x 大致相同 ∞=?=→→x x x x x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1 sin lim lim 220 →→= 不存在 不可比 极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。 得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果αβlim ＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβ lim ＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβ lim ＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果α β lim ＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。 例2．比较当x →0时，无穷小 x x ---111 与x 2阶数的高低。
§2.6 无穷小的比较 一、填空题 1、当1x →时，1x -与3 1x -是 同价 无穷小，1x -与() 2 121x -是 等价 无穷小. 2、当0x →时，22x x -与23 x x -相比， 2 3 x x - 是比 2 2x x - 高阶的无穷小. 3、已知当0x →时，( ) 13 2 11ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则a = 3 2- . 析：()()13 22 2002 1113lim lim (0,11)cos 12sin a x x x ax ax x x ax x →→+-=→++-- 22023 3lim 1,32 24 x a x a x a →==-=∴=--? . 4、若 221 ()1ax bx c x x ο=+++-，则a = 1 ，b = 1 ，c = 1 . 析：221()1ax bx c x x ο=+++-，即221()1ax bx c x x ο---=- 232 22001 ()()()(1) 1lim 0,lim 0(1)x x ax bx c ax a b x b c x c x x x x →→-++----+--∴=∴=- 10,0,0,1c b c a b a b c ∴-=-=-=∴===. 5、若232lim 43 x x x k x →-+=-，则k = 3- . 6、20e 1 lim x x x →-= 2 . 7、() 0ln 12lim sin x x x →-= 2- . 二、单项选择题 1、设31(),()11x f x g x x x -= =-+，则当1x →时结论成立的是 D . (A)f 与g 是等价无穷小 （B ）f 是比g 高阶的无穷小
第五讲 Ⅰ 授课题目： §2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求： 1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系； 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点： 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系； 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容： §2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 1 1 )(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。 当 1→x 时， 1 1 -x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?E x 11<-， 也即：+∈?R E ，01>?E ，当 E x 11<-时，有：E x >-1 1 。 定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。 如：∞=-→11 lim 1 x x ，-∞=+ →x x lg lim 0，+∞=-→ tgx x 2 lim π。 注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)； 2.无穷大不能与很大的数混淆； 3.无穷大与无界变量的区别； 例如：x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(, ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠ 时，)(x f 为有限数。 例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法 若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大， )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取2 2π π+ =n x n ，当n 充分大时
习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a x α： (1) u (x ) = x x x 543 32-+, (x →0，x →∞)； (2) u (x ) = x x x x 524 3 23+- (x →0，x →∞)； (3) u (x ) = x 3 + x 2 3 (x →0+，x →+∞)； (4) u (x ) = x x x ++ (x →0+，x →+∞)； (5) u (x ) = 13+x - 123 +x (x →0，x →+∞)； (6) u (x ) = x 2 1+ - x (x →+∞)； (7) u (x ) = - 3 2 x (x →0+)； (8) u (x ) = 1+x x - e 2x (x →0+)； (9) u (x ) = ln cos x - arc tan x 2 (x →0)； (10) u (x ) = x tan 1+ - 1-sin x (x →0)。 解（1）)(x u ～)0(23→x x ；)(x u ～)(5∞→x x 。 （2）)(x u ～)0(21→--x x ；)(x u ～ ) (3 1∞→x x 。 （3）)(x u ～)0(3 2 +→x x ；)(x u ～)(2 3 +∞→x x 。 （4）)(x u ～)0(81 +→x x ；) (x u ～)(21 +∞→x x 。 （5）)(x u ～)0(65→x x ；)(x u ～ )(321 +∞→x x 。 （6）)(x u ～ )(2 11 +∞→-x x 。 （7）)(x u ～)0(21 +→x x 。 （8）)(x u ～)0(2+→-x x 。
关于高等数学等价无穷小替换极限的计算 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极 限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1 为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0 lim () () (),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0 x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α （充分性）设() (),f x A x α其中()x α是当0x x 时的无穷小，则 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+ →0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } -+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小 是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()() (),x x x f x A f x A x α? =?+其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim (),x x f x A ?=令()(),x f x A α=-则有0 lim ()0,x x x α?= ).()(x A x f α+=∴
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应 用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的 概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及 极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利 用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会 用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函 数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上
连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A{a1, a2, , a n}, M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N{0, 1, 2, , n, }. N{1, 2, , n, }. R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.