三角形与四边形的故事
附中分校 五（1）赵润宁
指导老师：张宇
一天，三角形和四边形相遇了。他们先自我介绍。一个说：“我是由三条线段围成的。锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，统称为三角形。”另一个说：“我是由四条线段围成的，正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形，还有各种不规则的四边形，统称为四边形。”
三角形提议说：“要不然我们来比一比谁的本领大？”四边形胸有成竹地回答：“那就比一比吧！”
三角形“蹦、蹦”几下跳到一块石头旁边，一下子把几十千克重的大石头顶到头上，稳稳当当地站着。
四边形眼红了。他扭动着身子走上前说：“让我也来试试。”只见他举起石块，可慢慢地变形了。由正方形变成没有四个直角的平行四边形。他把石头摔到地上，叹了口气说：“我输了。”
三角形洋洋得意说：“我是几何图形中的举重能手。我有一个特点是不变形，可以负担重量。如房屋上的人字梁、自行车的三角架，人们就是用的这个原理。”
三角形的话提醒了四边形，他说：“我四边形容易变形也有我的好处，商店活动铁门的
铁栅由许多菱形联结而成，可以伸缩，便于开关。”
三角形想想这倒也是，但他还不泄气，他对四边形说：“我和你如果是同样周长，看谁的面积大？”四边形说：“好呗！”马上变成一个正方形。三角形的面积怎么也没有四边形大。四边形笑着说：“我只是变成正方形的时候，面积才比你大，如果变成长方形、平行四边形、梯形等等，也不一定比你大，有时还小得可怜，甚至接近于零。要知道同等周长下，圆形的面积才是最大的呢！”
三角形听了以后说：“我们各有各的本领，再不要乱比谁的本领大了。”
第六讲 三角形和四边形（附详细答案） 1.（2008龙岩）如图1，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B = 2 1 ，则CD ∶DB = . 2.（2008宁德）如图2，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是_______厘米. 3.（2008莆田）如图3，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD = 2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 1处，则 ∠EA 1B=_________度. 4．（2008厦门）如图4，为了测量电线杆的高度 AB ，在离电线杆25米的D 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端A 的仰角 22α= ，求电线杆AB 的高．（精确到 0.1米）参考数据：sin 220.3746= ，cos 22 0.9272= ，tan 220.4040= ， cot 22 2.4751= ． 5.（2008三明）如图5，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF. （1）求证：四边形BCEF 是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=130°，求菱形BCEF 的面积. 参考数据： tan 65°=2.15。 6.（2008南平）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以 AB AC ，为边， 向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．①如图1，求证：ABE ADC △≌△； ②探究：如图1，BOC ∠= ； 如图2，BOC ∠= ；如图3，BOC ∠= ． （2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正 n 边形的一组邻边； AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ． ①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）；②根据图4证明你的猜想． 图1 B E 图3 图5 A B E C D α 图4
三角形与四边形 教学目标： [认知目标] 1. 能够理解和辨别三角形、四边形及多边形。 2. 知道长方形、正方形是特殊的四边形。 [能力目标] 通过动手操作和小组合作，培养学生的探究能力和初步的归纳能力。 [情感目标] 给学生足够的空间让学生自己形成表象，激发学习数学的兴趣。 教学重点： 能使学生理解和辨别三角形、四边形及多边形的特征。 教学难点： 让学生自己动手操作得出结论，提升认识。 教（学）具准备： 多媒体课件、塑料图形片。 教学过程： 一、引入新课： 师：小朋友，今天我们一起去参观图形王国，愿意吗？ （播放多媒体课件）图形博士说：“欢迎小朋友们来到图形王国，我是图形博士。” 二、合作探究： 1. 认识三角形、四边形和多边形的特征。 播放：“请跟随图形小精灵进入第一宫：辨别图形宫” 出示各种各样的图形。 提问：这些图形你认识吗？说说它们的名称。 学生回答：6、14是正方形，1、3、13是长方形，4、8、11、12是三角形，2、5、7、9、10都见过，但不清楚它们叫什么，你知道吗？ 师：不知道名称的我们先放在一边，过一会儿再来解决这些问题，好吗？ 播放：“送你们一张笑脸。请跟随图形小精灵进入第二宫：定义图形宫” 2. 了解三角形、四边形及多边形的概念。
师：请小朋友们为我们的图形朋友找找它们的家。 （1）哪些图形是由三条线段围成的？4、8、11、12 问：刚才我们已经知道了这些是什么图形呢？ 三角形。 师：那也就是说由三条线段围成的图形是三角形。（板书）这也是三角形的定义。 （2）哪些图型是由四条线段围成的？ 1、2、3、5、6、9、10、13、14 师：这些由四条线段围成的图形我们通常叫它们四边形。 小组讨论：四边形的定义。 由四条线段围成的图形是四边形。（板书） 师：找一找这些四边形中有没有我们非常熟悉的图形？哪一些是？ 6、14是正方形，1、3、13是长方形 师：正方形和长方形是在四边形中找到的，也就是说正方形和长方形是特殊的四边形。（板书）师：小朋友，今天我们一起探讨的是三角形与四边形。（出示课题） 谁能说说什么是三角形的定义，什么是四边形的定义？ （3）还有图形7，你知道它叫什么吗？（五边形） 问：为什么叫做五边形？由五条线段围成的图形是五边形。 师：这里老师有一个疑问：五边形是由五条线段围成的，四边形是由四条线段围成的，三角形是由三条线段围成的，那么这六边形是由几条线段围成的？（六条线段） 七边形呢？八边形呢？ 小组讨论，得出结论：几边形是由几条线段围成的。 3. 师：图形小精灵说同学们真聪明，回答得太好了，夸夸自己。 三、动手操作： 师：下面我们进入第三宫：动手宫 1. 学生动手拼搭三角形和四边形，抽生介绍自己拼搭的图形是由几条线段围成的？ 学生作品在实物投影仪上展示，学生自己介绍自己的作品。 2. 除了能拼搭三角形和四边形之外，你还能拼搭其它的图形吗？ 学生自由拼搭，介绍。 3. 你能写出它们各自的名称吗？完成书上题2。 4. 第四宫：游戏宫，完成书上题3。
三角形和四边形 教学目标： 1. 能够理解和辨别三角形和四边形。 2. 认识和辨别直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，知道三角形可以按角分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，并初步了解“任意三条线段不一定能围成一个三角形”这一规律。 3. 培养学生观察、比较、判断、动手操作、推理等能力。 教学过程： 一、导入 1. 小胖和小丁丁进行了一次画图形比赛。 （1）出示图形。 （2）小丁丁说他画的是四边形，剩下的图形是小胖画的三角形。 （3）用学具把小丁丁和小胖画的图形分开。 2. 出示课题：三角形和四边形 二、探究 1. 看四边形（出示课件）： （1）找一找在这些四边形中，你认识哪些图形？ （2）为什么小丁丁把这些图形称为四边形？（举正方形为例，四条边都相等，有四个直角。这是其它四边形没有的，所以是特殊的四边形。） 出示：四边形 （3）数学上称由四条线段围成的图形是四边形。 出示：由四条线段围成的图形是四边形。 （4）小胖听小丁丁说的四边形，也画了一个图形，是四边形吗？为什么？（围成就是首尾相接）（5）这是一个五边形，五边形由几条线段围成？ 六条线段围成的图形叫六边形。 师：由几条线段围成的图形就是几边形。 2. 三角形的边： （1）三角形由几条线段围成？ 出示：由三条线段围成的图形是三角形。 （2）用小棒围一个三角形，需要几根小棒？
出示：五种小棒（3、4、5、7、8厘米） A 小组合作：每人任选三根小棒围一个三角形，最好不要重复。组长把每一个三角形三根小棒的长度记录下来。 B 交流：3 4 5、4 5 7、4 5 8、3 7 8、3 5 7、5 7 8、4 7 8 师：为什么没有选3、4、8厘米的小棒？（每个人用这三根小棒试一试）还有哪三根小棒也不能围成三角形？（3 4 7、3 5 8） 不是任意三条线段都可以围成三角形，能不能围成三角形和三条线段的长度有关。 3. 三条线段围成的图形叫三角形，角对三角形来说非常重要。 出示：三角形都有三个角。 （1）我们已经认识了几种角？互相找一找，在这些三角形中能不能找到这三种角？ （2）三角形都有三个角，能不能根据三角形三个角的情况将这些三角形分分类？（完成课题：按角分类） A 按钝角、直角、锐角的顺序交流：为什么把它们放在一起？ B 试着起起名字。 出示：钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 C 看书，提问题。 D 三角形有一个钝角（出示板书有一个钝角），其它三角形里没有钝角。所以它的特征就是这个钝角，所以称作钝角三角形。 三角形有一个直角（出示板书有一个直角），其它三角形里没有直角。所以它的特征就是这个直角，所以称作直角三角形。 这个三角形中既没有钝角也没有直角，三个角都是锐角（出示板书三个都是锐角），所以称作锐角三角形。 分步出示：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 E 钝角三角形除了一个钝角，剩下两个是什么角？直角三角形除了一个直角，剩下两个是什么角？（电脑演示三种三角形中的锐角，无论哪一种三角形至少有两个锐角） （3）用3、5、7厘米围成的三角形是什么三角形？
1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是BC 边的中点，EF ⊥AD 于点F ，CG ⊥AD 于点G ，若tan ∠CAD=4 3，AB ＝20，则线段EF 的长为____ 2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在BC 边上，∠DAE ＝2 1∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点F 在线段AE 的延长线上，AF ＝AD ，若CD ＝4，CF ＝2，则AC 边的长为_____ 3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点F 在BC 边上，DF 与BE 交于点G 。若BG=1，∠BDF=2 1∠ACB ，则线段EG 的长为___ B C B A
4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线BD 、CE 交于点F ，若BC ＝3CD ，BF ＝2，则BC 边的长为____ 5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝45°，点E 在射线BD 上，AE//CD ，AE ＝DE ，若BD ＝1，CD ＝5，则AE 的长为____ 6. 如图，△ABC 中，∠AB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，点F 在线段AD 上，点F 在CD 延长线上，AE ＝DF ，连接CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝32，DF ＝13 ，则线段CE 的长为_____ 7. 如图，在等边△ABC 中，D 为AB 边上一点，连接CD ，在CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若E A B E A B
第二单元：认识三角形和四边形知识点及测试题 1.图形分为：立体图形和平面图形。 2.平面图形：a、圆（由曲线围成的图形）b、三角形、四边形、多边形（由线段围成的图形） 3.三角形内角和是180°。锐角：小于90°的角是锐角。钝角：大于90°的角是钝角。直角： 等于90°的角是直角。平角=180°；周角=360° 4.等腰三角形相等的两条边叫做腰。等腰三角形两腰间的夹角叫顶角。腰与底边的夹角叫底角。 5.等腰三角形包含：等腰三角形、等边三角形（又叫正三角形）、等腰直角三角形。 等边三角形是特殊的等腰三角形，它的每个内角都是60°。 6.三角形不易变形具有稳定性。四边形易变形具有不稳定性. 直角三角形（有一个直角两个锐角） 按角分锐角三角形（三个角都是锐角） 钝角三角形（有一个钝角两个锐角） 7 .三角形 （有三条边）等边三角形（三条边都相等）是对称图形，有三条对称轴 按边分等腰三角形（有两条边相等）是对称图形，有一条对称轴 不等边三角形（三条边都不相等） 8.三角形任意两边之和大于第三边。 9.由四条线段围成的封闭图形叫四边形四边形内角和是360°。 10.正方形是特殊的长方形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。 11.平行四边形：两组对边分别平行且相等的四边形。 12.梯形：只有一组对边平行的四边形。 13.平行的两条边叫做梯形的底边，上面的一条叫上底，下面一条叫下底。 14.梯形的周长：上底+下底+腰+腰梯形的面积：（上底+下底）×高÷2
15..根据三角形的边长判定三角形的类型： 较小两边的平方和小于最长边的平方 钝角三角形 较小两边的平方和等于最长边的平方 直角三角形 较小两边的平方和大于最长边的平方 钝角三角形 16.. 等腰三角形的两个底角相等。等边三角形是特殊的等腰三角形。 一般平行四边形 平行四边形： 长方形 （两组对边分别平行且相等的四边形） 正方形 17. 四边形 一般四边形： （有四条边） （两组对边都不平行的四边形） 梯形： （只有一组对边平行的四边形） 直角梯形：一条腰垂直于的的梯形。 第二单元认识三角形和四边形测试题 一、 填空： 1.有一个角是直角的三角形是（ ）有一个角是钝角的三角形是（ ），三个角是锐角的三角形是（ ）。任何三角形都有（ ）个角，（ ）条边，（ ）顶角。 2.等腰三角形相等的两条边叫（ ），另一条边叫（ ）；两腰的夹角叫（ ），底边上的两个角叫（ ）。 3.三角形中三个角都相等的是（ ）三角形，又叫（ ）三角形。它的三天边都（ ），每个角都是（ ）度。 4.三角形按角分可以分为（ ）（ ）（ ）；按边分可以分为（ ）（ ）（ ）。三角形是（ ）图形，圆球是（ ）图形。 5.三角形最多有（ ）直角，最多有（ ）钝角，最多有（ ）锐角，至少有（ ）个锐角。 6.（ ）条边相等的三角形是等腰三角形，（ ）条边都相等的三角形是等边三角形。
特殊三角形与四边形 ——几何综合专题复习一、教材内容解析 《特殊三角形与四边形》，是在九年级下学期第一轮系统复习《直线形》中的一节小专题复习课，是在前面复习了三角形、特殊三角形、平行四边形、矩形、菱形及正方形的基础上进行的,本节课将以直线形为载体,以方程、分类讨论的思想为主线,是学生学习几何图形的再知和整合的过程,通过本节课的学习,逐步增强学生利用特殊三角形与四边形的相关知识解决综合问题的能力,为中考和以后学习其它的几何图形做好准备. 二、学习目标 1、在问题的引导下,进一步体会特殊三角形与四边形之间的关系； 2、通过问题的解决,形成解决相关问题的基本方法和思路,进一步优化解决问题的策略; 3、在活动的探究中,逐步增强利用特殊三角形与四边形的相关知识解决综合问题的能力; 4、结合特殊三角形与四边形相关的几何问题,体会方程、分类讨论的数学思想. 三、重点难点 重点:体会特殊三角形与四边形之间的联系。 难点:在特殊三角形与四边形的背景下,综合运用相关知识解决问题 四、教学活动 活动一：动手操作 两个全等的直角三角形可以拼成哪些特殊的三角形或四边形？ （1）拼成的等腰三角形可能三条边都相等吗？这两个直角三角形需要满足什么条件？（2）拼成的矩形会是正方形吗？ （3）拼成的平行四边形可能是菱形吗？为什么？ 【设计意图】从动手操作中激发学习对特殊三角形与四边形复习的兴趣，通过追问，体会特殊三角形与四边形之间的联系，从而使学生在轻松的氛围中进入学习的佳境。 活动二：基础练习 1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，用直尺和圆规作∠DAB的平分线； （1）△ADH的形状是；
（2）连接BH ，若BH 平分∠ABC ，则AD 、AB 的数量关系是 。 2、如图所示，菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，则菱形ABCD 的面积为 ． 【设计意图】这组基础训练题，以便了解学生对基础知识、基本方法的掌握情况，通过巧妙变式，使学生总结方法、形成能力，感受三角形是四边形的基础，四边形问题的转化途径是三角形。 活动三：例题讲解 例1、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线AC 上的B′处， （1）若AB=3，BC=4； ①B’C= ； ②求CE 的长 ； （2）若BC=3BE ，则∠ACB= ． 【设计意图】例一体现了矩形与直角三角形的联系，例题讲解针对学生日常重点问题，通过一题多解，从不同角度,不同方位审视分析同一题中的数量关系,用不同解法求得相同结果，逐步增强学生解决综合问题的能力，同时也渗透方程的数学思想。 例2、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将△ABC 沿EF 所在的直线折叠，点C 恰好落在点B 处。 （1）证明：点E 是AC 的中点； （2）过点B 作AC 的平行线，交EF 的延长线于点D ，连接CD ，证明：四边形BECD 是菱形 B A C F B A C F D B D
北师大版四年级数学下册第二单元认识三角形和四边形测试题 一、单选题（ 10分） 1.两个完全一样的梯形一定可以拼成一个（）。 A. 平行四边形 B. 长方形 C. 梯形 D. 正方形 2.学校拉门里有许多小平行四边形，这是应用了平行四边形（）的性质。 A. 容易变形 B. 对边相等 C. 稳定性 D. 互相对称 3.在一个钝角三角形中，有一个钝角和两个锐角，其中两个锐角的和比90°（）。 A. 大 B. 小 C. 相等 4.一个等边三角形的周长是36厘米，用两个这样的等边三角形可以拼成的平行四边形的周长是（）厘米。 A. 12 B. 48 C. 144 5.直角三角形的内角和（）钝角三角形的内角和。 A. 大于 B. 小于 C. 等于 二、判断题（ 10分）。 6.只有一组对边平行的四边形是梯形。（） 7.直角梯形中只有一个角是直角。（） 8.等边三角形的每一个内角都是锐角。（） 9.在一个三角形中，如果一个角是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。（） 10.等底等高的两个梯形，形状一定相同。（） 三、填空题（ 17分） 11.在一个三角形中，任意两个内角的和大于第三个内角，这个三角形是________三角形。
12.已知一个直角三角形的一个锐角是42°，另一个锐角是________度。 13.一个等腰三角形的顶角是70°，三角形的一个底角是________度。 14.把长方形的两个对角向相反方向拉，就变成了________，这说明长方形是特殊的________。 15.等腰三角形有一个角是70°，如果这个角是顶角，那么底角是________°；如果这个角是底角，那么顶角是________°。 16.如图，∠C=________°。按边分，这是一个________三角形。 17.用3厘米、4厘米和4厘米三根小棒能摆成一个________三角形。 18.三角形按角可分为________三角形、________三角形和________三角形。 19.在一个三角形中，如果其中任意两个角的度数之和都大于第三个角的度数，那么这个三角形是________三角形。 20.把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是________。 21.如果等腰三角形两边长分别是3厘米、7厘米，那么第三边长是________。 22.用两个完全一样的梯形拼出一个平行四边形，梯形的上底是5cm，下底是10cm，高是2cm，这个平行四边形的底长________cm。 四、计算题（ 6分） 23.求下面三角形中未知角的度数。 已知：∠1=80°，∠2=68°。求：∠3=? ∠4=? 五、作图题（ 22分） 24.在下面的方格图中按要求画一画。
几何图形综合题 几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练． 题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题 类型1 操作探究题 (2019·南充)如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，22，10. △ADP 沿点A 旋转至△ABP ′，连PP ′，并延长AP 与BC 相交于点Q. (1)求证：△APP ′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ 的大小； (3)求CQ 的长． 【思路点拨】 (1)利用旋转相等的线段、相等的角APP ′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP ′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ 的大小；(3)过点B 作BM ⊥AQ 于M ，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ 的长，进而求得CQ 的长度． 【解答】 (1)证明：由旋转可得：AP ＝AP ′，∠BAP ′＝∠DAP. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°. ∴∠PAP ′＝∠PAB ＋∠BAP ′＝∠PAB ＋∠DAP ＝∠BAD ＝90°. ∴△APP ′是等腰直角三角形． (2)由(1)知∠PAP ′＝90°，AP ＝AP ′＝1， ∴PP ′＝ 2. ∵P ′B ＝PD ＝10，PB ＝22， ∴P ′B 2＝PP ′2＋PB 2 . ∴∠P ′PB ＝90°. ∵△APP ′是等腰直角三角形， ∴∠APP ′＝45°. ∴∠BPQ ＝180°－90°－45°＝45°. (3)过点B 作BM ⊥AQ 于M. ∵∠BPQ ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形． 由已知，BP ＝22，∴BM ＝PM ＝2. ∴AM ＝AP ＋PM ＝3. 在Rt △ABM 中， AB ＝AM 2 ＋BM 2 ＝32 ＋22 ＝13. ∵cos ∠QAB ＝ AM AB ＝AB AQ ，即313 ＝13AQ ， ∴AQ ＝ 133 . 在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2 －AB 2 ＝ 2 3 13. ∴QC ＝BC －BQ ＝13－2313＝13 3 .
三角形与四边形的综合题 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 1．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（）． （A）①②③（B）①④⑤（C）①②⑤（D）②⑤⑥ 2．把“直角三角形、等腰三角形、?等腰直角三角形”填入下列相应的空格上：（1）正方形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成； （2）菱形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成； （3）矩形可以由两个能够完全重合的________拼合而成．
3．一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折，然后沿着图丙中的虚线剪下，得到①，?②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）． （A ）三角形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）梯形 4．小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．?再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（? ）． 演练方阵 A 档（巩固专练） 1.用 一 把 刻 度 尺 来 判 定 一 个 零 件 是 矩 形 的 方 法 是 . 2．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ． 3．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2． 4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形． 5若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 A B C D
(写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形． 6．，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝ ⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED 的度数为 . 8．延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E＝ ° 9．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么 AP 的长为 ． 10．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． B 档（提升精练） 1如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明） ． （温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．） 问题一：如图2，在四边形 ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是 BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接 写出结论． 问题二：如图3，在ABC △中，AC AB > ，D 点在AC 上，AB CD =， E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明． A C D F E N M O B C D H A F N M 1 2 图1 图2 图3 A B D F G E
类比探究 解决类比探究问题的一般方法： 1、根据题设条件，结合各问条件，先解决第一问； 2、用解决第一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问综合进行分析，找出不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，探索新的方法。 类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。 类比探究解题方法和思路 1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A型、非A型、X型、非X型）三线合一、面积、全等三角形等； 2、借助几问之间的联系，寻找条件和思路。 3、照搬上一问的方法思路，解决问题，照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。 4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。 常见不变结构及方法： ①直角：作横平竖直的线，找全等或相似； ②中点：作倍长、通过全等转移边和角； ③平行：找相似、转比例。 5、哪些是不变的，哪些是变化的。哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。
1．如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S n． （1）计算S1、S2、S3、S4． （2）总结出S n与S n﹣1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4+…+S n与n的关系． 2．（淄博）分别以?ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF． （1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF 与EF的关系（只写结论，不需证明）； （2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接 GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理 由．
第二单元《认识三角形和四边形》综合练习 一、我会填。(每空1分,共20分) 1.两组对边分别平行的四边形叫( );只有一组对边平行的四边形叫( )。 2.( )和( )是特殊的平行四边形 3.把三角形的三个角撕下来拼在一起,可以拼成一个( )角,所以我们说三角形的三个内角和为( )。 4.三角形按边分为不等边三角形、（)三角形和( )三角形。其中两条边相等的三角形叫( )三角形,( )三角形的三条边都相等。 5.两个完全相同的直角三角形,可以拼成的图形有( )。 6.三角形具有( )的特性,平行四边形具有( )特性。 7.一个三角形中至少有( )个角是锐角。 8.直角三角形中,两个锐角的度数和是（） 9.一个三角形的两条边分别是8厘米和5厘米,第三条边必须比( )厘米小,因为三角形任意两边的和( )第三边 10.数一数。 有（）个三角形有（）个四边形有（）个梯形
二、我会判断。(对的打“V”,错的打“x”)(每小题2分,共12分) 1.所有三角形的内角和一定都相等。（） 2.等腰三角形不可能是钝角三角形。（） 3.把任意一个三角形放在放大镜下,就成了钝角三角形。（） 4.两个完全一样的三角形或梯形都能拼成一个平行四边形。（） 5.平行四边形也是特殊的梯形。（） 6.有三条边的图形是三角形。（） 三、我会选择。(将正确答案的序号填在括号里)(每小题1分,共9分) 1.等腰梯形一个底角是70°,另一个底角是( )。 A.70° B.80° C.90 D.1° 2.一个三角形最多有( )个锐角。 A.1 B.2 C.3 3.( )是轴对称图形 A.梯形 B.等腰三角形 C.四边形 4.用6根同样长的小棒,可以摆成一个( )三角形 A.等腰 B.等边 C.不等边 D.不能摆成 5.一个三角形的三个内角都不小于60°,这个三角形一定是( )。 A.钝角 B.直角 C.等边 6.一个三角形,如果它的两个内角度数之和小于第三个内角是( )三角形。 A.锐角 B.直角 C.钝角 7.下面的三组小棒中,( )组能围成三角形。
图形分类 教学内容：北师大版数学四年级下册第二单元认识图形第一课时图形分类。 教学目标： 1、通过分类对学过的一些图形进行整理归类，了解图形的类别特征。 2、通过实际操作，体会到平行四边形的不稳定性及三角形稳定性，认识这些特性在日常生活中的应用。 教学难点分析： 通过分类对已学过的一些图形进行整理归类，了解图形的类别特征。体会到平行四边形的不稳定性及三角形稳定性，认识这些特性在日常生活中的应用。 教学准备：课件、各种图形 教学课时：1课时 教学过程： 一、创设情境导入 今天老师给大家带来了你们的老朋友，你们想见见吗？展示各种图形。 学生认一认，说一说。 二、自主探究，认知图形的特点 1、小组合作，分一分学具 师：你把他们分成两类吗？试试看。（学生动手分并汇报分的情况） 生：分成平面图形和立体图形； 师小结：这是按照是否由平面图形分。哪吗平面图形还可以怎样分？（生动手再分平面图形，交流为什么这样分？） 汇报：把圆分成一类，其他的平面图形分为一类。 师小结：这是按照是否由线段围成来分。你还能再接着来分吗？（学生动手分一分，交流分法） 汇报：三角形单独分为一类。 师小结：这是按照围成图形的边数来分。 2、找一找。 展示图形，这些美丽的图形中就有许多基本图形组成，你能找出来吗？ 学生相互说一说。
三、认识平行四边形、三角形的特性。 看，老师带来了几根小棒，可以作为图形的边，请你挑选合适的小棒，拼成一个平行四边形。 1、认知平行四边形的不稳定性。 师：用螺丝固定后：拉拉看，你发现了什么？ （平行四边形的框架容易变形；变来变去还是平行四边形。） 师：再来拉拉看，指令：变小，变大，变得最大——原来就是长方形。 师：看来随便玩一玩都能发现好多数学的问题。生活中你见过运用平行四边形的这个特性的情况吗？如果是其它图形是不是也有这样的特性呢？ 2、认知三角形的稳定性 试一试三角形。拉一拉，你发现了什么？ 小结：平行四边形容易变形，三角形具有稳定性。 师：生活中见过运用这样的特性的情况吗？ 学生回忆并汇报生活中见到应用平行四边形、三角形的特性的例子，如：大桥，电线杆，电动伸缩门等。 四、总结。 你对所学图形又有哪些新的认识？ 五、作业安排 观察生活中有哪些地方利用了三角形和平行四边形的特点 板书设计：图形分类 按照图形是否是平面图形来分。 按照图形是否由线段围成来分。 按照围成图形的边数来分。 平行四边形不稳固 三角形具有稳固性 课后反思：
2018年中考数学综合应用三角形与四边形考点训练（A） 1.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是（） A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边 2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于( ) A.45°B.60°C.75°D.90° 3. 一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（） A.5 B.6 C.7 D.8 4. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（） A.12 B.9 C.13 D.12或9 5 图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上一面的字是（） A.梦 B.水 C.城 D.美 第5题第6题第10题 6.如上图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B,AD=5,则BC的长为（） A.3－1 B.3+1 C.5－1 D.5+1 7. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（） A．B．C．D． 8．下列命题： ①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形； ③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9.(济宁) 如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点A和C重合，折痕交BC边于 点D，交AC边于点E，AE=4 cm，连接AD，则△ABD的周长是（） A．22cm B. 20cm C. 18cm D. 15cm 10.在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（） A．B．C．D． 11. 如图，直线a∥b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数为． 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是． 13.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC 的周长分别是40cm，24cm，则AB=_______． 14. 如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为α度，则∠GFB为_________________________度(用关于α的代数式表示)
第二单元 知识巩固： 一、填空。 1. 两组( )分别( )的四边形叫做平行四边形。 2. 只有一组对边( )的四边形叫做梯形。 3. 锐角三角形有( )个角是锐角；直角三角形有( )个角是直角；钝角三角形有( )个角是钝角。 4. ( )形和( )形是特殊的平行四边形。 5. 三角形任意两边的和( )第三边。 6. ( )梯形是轴对称图形．有( )条对称轴。 7. 在30°、100°、1°、89°、91°和300°六个角中，( )是锐角，( ) 是钝角。 8. 两个完全相同的直角三角形，可以拼成( )形。 9. 三角形按边分为不等边三角形、( )三角形和( )三角形。 10. 一个等腰三角形的顶角是100°，它的一个底角是( )。 11. 三角形具有( )的特性，平行四边形具有( )特性。 12. 如果将长方形的对角用力拉后，此长方形就变成了( )形。 13. 一个三角形的两条边分别是8厘米和5厘米，第三条边必须比（ ）厘米大，比（ ）厘米小。 14. 一个三角形中至少有( )个角是锐角。 15. 直角三角形中，两个锐角的度数和是( )。 16. 两条边相等的三角形叫( )三角形，( )三角形的三条边都相等。 二、判断。 1. 等边三角形也是等腰三角形。 ( ) 2. 所有三角形的内角和都相等。 ( ) 3. 等腰三角形不可能是钝角三角形 。 ( ) 4. 把任意一个三角形放在放大镜下，就成了钝角三角形。 ( ) 5. 等边三角形的高不一定相等。 （ ） 6. 平行四边形也是特殊的梯形. ( ) 7. 等边三角形也是锐角三角形。 （ ） 8. 一个钝角三角形中两个锐角和小于90。 （ ） 9. 有三条边的图形是三角形。 （ ） 10. 一个三角形中至少有两个锐角。 （ ） 三、选择。 1. 等腰梯形一个底角是70°，另一个底角是( )。 A 、70° B 、80° C 、90° D 、1° 2. 一个三角形最多有( )个锐角。 A 、1 B 、2 C 、3 3. ( )是轴对称图形。 A 、梯形 B 、等腰三角形 C 、四边形 4. 在梯形里，不平行的一组对边叫做梯形的（ )。 A 、底 B 、腰 C 、高 5. 一个三角形的三个内角都不小于60°，这个三角形一定是( )。 A 、钝角 B 、直角 C 、等边 6. 一个三角形，如果它的两个内角度数之和小于第三个内角是( )三角形。 A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 7. 三角形有( )条高。 A 、1 B 、2 C 、3 8. 正三角形的三条边( )。 A 、不相等 B 、无法确定 C 、相等 9. 用放大5倍的放大镜看一个三角形，这个三角形内角和是（ ）。 A 、360° B 、900° C 、180° 四、画图。 1. 请在点子图上按要求画图。 平行四边形 长方形 锐角三角形 钝角三角形 等腰三角形 直角三角形 五、算出度数。 ∠C= ∠B= ∠C= 六、作图。 1. 分成一个平行四边形和一个三角形。 30° A B C ．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 100° B C
—－可编辑修改，可打印—— 别找了你想要的都有！ 精品教育资料 ——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务—— 全力满足教学需求，真实规划教学环节 最新全面教学资源，打造完美教学模式 第2单元 认识三角形和四边形 本单元属于“空间与图形”范畴的知识系列。在此之前,学生已经学习了角,初步认识了角,初步认识了三角形,但对三角形的分类、三边关系、三角形的内角和等却未曾探索,本单元将引导学生对以上内容进行探索。 首先,教材安排了从不同角度将多边形分类的活动,让学生对多边形有所了解。其次,教材重点安排了关于三角形知识的学习内容,三角形是平面图形中最简单也是最基本的多边形,它是学习几何的重要基础,三角形的分类是在学生学习了直角、钝角和锐角的基础上学习的,让学生在已有知识的基础上,学会按不同的方法给三角形分类,并知道它们之间的关系,同时了解它们的特征。再次,教材通过有趣的动态情境, 引出
对三角形的内角和的探究,并通过动手试验验证三角形的内角和是180度,也通过动手试验探究出三角形 三边的关系。最后,通过让学生对四边形进行分类,使学生了解平行四边形和梯形。 对于以上四部分内容,教材都安排了相应的练习,旨在培养学生分析比较、抽象概括的能力,提高学生 解决实际问题的能力,并渗透集合的数学思想、发展空间观念。 1.经历量、摆、拼等直观操作活动,认识三角形、平行四边形和梯形的特征,以及它们之间的联系,进一步发展空间观念。 2.了解三角形、四边形的分类情况,探索三角形三边之间的关系和三角形的内角和,在亲历探索发现的 过程中,体验数学思考与探究的乐趣,激发数学学习的兴趣。 3.体会不同的分类标准在图形分类活动中的意义,感受量、摆、拼等直观操作活动在探索图形性质中 的作用。 在分析、整理、测量、猜想、验证、归纳等数学活动中,积极思考,提出一些简单的猜想,进一步发展 空间观念。 有利于提高学生的动手能力,增强创新意识,而且能进一步激发学生对“空间与图形”的兴趣,对学生理解、掌握、描述现实空间,获得解决实际问题的方法有着重要的价值。 1.体验克服困难、解决问题的过程,相信自己能够主动有效地学习,主动参与数学学习活动。 2.在学习过程中,培养学生乐于思考、积极探索的良好品质。 【重点】对学过的一些图形进行分类,了解各类图形的特征和性质。
2、已知，如图：正方形ABCD，将Rt△EFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在正方形的AB边上，Rt△EFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点F重合），如图1所示： （1）求证：EP2+GQ2=PQ2； （2）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由；（3）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（90°＜α＜180°），两直角边分别交BA、AD两边延长线于P、Q两点，并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确定的相等关系？按题意完善图3，请直接写出你的结论（不用证明）．
3、如图1,在△ABC中,AB=BC,CD是AB边上的高,点E、F分别是边AC,BC的中点,连接DE,DF,已知∠ABC=α（0°＜α＜90°） (1)求证∠EAD=∠EDF. (2)如图2，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN,在旋转的过程中始终保持点M在边BA的延长线上，点N在边FD的延长线上，连接MN,猜想∠EMN 的大小与α的关系并证明你的结论 （3）若将将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN,在旋转的过程中始终保持点M在边BA的延长线上，点N在边FD的延长线上，请在图3中补全图形，并猜想运动过程中，(2)的结论是否发生变化，若成立直接写出（2）中的结论，若不成立写出新的结论不必说明 4、已知，线段AB上有一动点M，在线段AB的同侧作两个正方形AMCD和正方形MBEF,正方形AMCD和正方形MBEF的中心分别为O1和O2 ，线段AB的中点 ， 为点P， （1）如图1，当点P与点M重合时，直接写出O1P和O2P两者之间的关系：____________ （2）如图2，当点P不与点M重合时，（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明。如果不成立，请说明理由。 （3）如图3，将正方形MBEF绕点M顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°），上述的结论是否成立，如果成立，请证明。如果不成立，请说明理由。
认识三角形和四边形练习题 一、专心填一填。 1、三角形的内角和是（）°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是（）。 2、长5厘米，8厘米，（）厘米的三根小棒不能围成一个三角形。 3、三角形具有（）性。 4、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是（），这是一个（）三角形。 5、按角的大小，三角形可以分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。 6、在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=（）°，它是（）三角形。 7、有（）组对边平行的四边形是平行四边形。 8、在一个直角三角形中，有一个角是30°,另两个角分别是（）°、（）°。 9、长方形正方形是特殊的（）形。 10、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是（）度。 11、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是（）三角形，另一个角是（）度。 12、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是（）厘米。 二、细心判一判（对的打“√”，错的打“×”）。 1、等边三角形的每一个内角都是60o。（） 2、等边三角形是特殊的等腰三角形。（） 3、有一组对边平行的四边形叫做梯形。（） 4、直角三角形的两个锐角之和大于直角。（） 5、用三根不一样长的小棒一定能围成一个三角形。（） 6、有一个角是钝角的三角形一定是钝角三角形。（） 7、等腰三角形中有锐角三角形，也有直角三角形和钝角三角形。（） 8、一个锐角三角形的三个内角分别是56°、70°、64°（） 9、一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米。（） 10、两个完全一样的三角形，可以拼成一个平行四边形。（） 11、在一个三角形中截去一个20°的锐角，剩下图形的内角和是160。（） 12、一个等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。（） 三、精心选一选将正确答案的序号填在括号里。 1、三角形的高有（）条。 A、1 B、3 C、无数 2、所有的等边三角形都是（）三角形。 A、钝角 B、锐角 C、直角 3、把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐