贵州大学
2016 年硕士生入学考试式题
考试科目：数学分析
注：题大多数为靠回忆写的，个别题可能与真题不一样，但类型相同。
一、（共 90 分）
1、每小题 6 分，判断正误，并说明理由）
（1）、设 lim
f ( x) 存在， lim g( x) 存在，则存在。 x x 0
g ( x) x x 0
（2）、设有数列 a n 满足 lim( a n 1 a n ) 0，则极限 lim a n 0 。
n
n
（3）、若 f ( x) 在开区间 (a,b) 上连续，则 f ( x) 在 (a,b) 上一致连续。 （4）、若 f ( x) 在 [ a, b] 上严格单调递增，则
f ( x) 在 ( a,b) 内必有 f ( x) 0
sin x
2、求极限
lim tan x
x
tant dt
。（6 分）
sin t dt
3、设 f ( x) xe x 2
1
x 0
sin x cos x
x
，求 f ( x) 。（ 6）
4、设 f ( x) 为区间 [ a,b] 上的连续函数，且
x 1 , x 2 , , x n ( a, b) . 证明 : 存在
(a, b) ，使
得 f ( )
1
n (2 k 1) f ( x k ) .（6 分）
n 2
k 1
5、证明：当 0
x
时，tan x 2sin x 3x 。（ 6 分）
2
6、求数列
n
n 中的最大项。 （ 6 分）
7、求 cos 2
xdx 。（ 6 分）
4 x 2
2
4 x 2
8、设 I
dx 2 x f x, y dy
dx 2 x
2
2 2
f x, y dy ，请改变 I 的积分次序。 （ 7 分）
、设
cos ， y Rsin sin ，
z 为常数，
9x Rsin
Rcos ,R
求（ ） , ;(2) z z 。(8分)
x x y y
1
ln(1 x)
10、
计算积分
x(1
x 2 )dx (15 分 )
二．（每小题 12 分，共 60 分） 1、 求
(e x sin2y y)dx (2e x
cos2y 100)dy, 其中 l 为单位圆从点（
1， 0）到点（ -1， 0）
l
的上半圆周和从点（
-1，0）到点（ 1， 0）的直线段组成的闭路。
2、 设 f ( x) 在 [a,b] 连续，在（ a,b ）有二阶导数。连接 (a, f (a) )和 (b, f (b) )的直线段交曲
线
y
f ( x) 于 (c, f (c) ), a ,使 f ( ) 0 。 1 n 1 1 n 1 3、 设 a 2 n , a 2n 1,2, ) 。判断级数 ( 1) a n 的敛散性， 并证明 1 n dx, (n n x n 1 1 1 ln n) 。 下列极限存在： lim (1 n n 2 4、 设 f ( x) 是 [0,1] 上的连续函数，且 f (1) 0 ，证明函数序列 g n ( x) x n f ( x) (n 1,2, ) 在 [0,1] 上一致收敛。 5 、 设 a 是常数，已知方程 2 z 2 z 2z 0 （原自变量 x, y ）在自变量变换 x 2 2 y 2 x y u x y, x ay 作用下，可化为关于 u, 的方程 2 z 0 ，证明 a 1 （假定所有一 u 2 阶二阶偏导都连续）
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