微分方程求解的欧拉法、龙格-库塔法实验报告
日期：2008-6-27
一、实验目的
1.学习matlab的使用方法。
2.掌握常微分方程的几种数值解法：欧拉法，改进的欧拉法，龙格—库塔法。
3.比较各方法的数值解及误差，了解各方法的优缺点。
二、实验题目
给定的初值问题
按(1)欧拉法，步长h=0.025, h=0.1;
(2)改进的欧拉法，步长h=o.o5, h=0.01;
(3)四阶标准龙格—库塔法，步长h=0.1;
求在节点处的数值解及误差比较各方法的优
缺点。
三、实验原理
1.对于欧拉法：
利用Yn+1 = Yn + hf（Xn, Yn）①
Y0 = Y(X0) ②二式可以完成计算
需要将微分方程表达式和精度计算表达式作为两个函数保存在m文件里并在程序
中调用：
①微分方程（wei_fen）
function z=wei_fen(x,y)
z=(2/x)*y+x*x*exp(x);
end
②精确解计算(jing_que)
function z=jing_que(x)
z=x*x*(exp(x)-exp(1))
end
2.对于改进的欧拉法：
利用Yn+1 = Yn + 1/2*K1 + 1/2*K2①n = 1, 2, 3……
K1 = hf（Xn, Yn）②
K2 = hf（Xn + h, Yn + K1）③三式可以完成计算
3.对于龙格—库塔法：
利用Yn+1 = Yn + 1/6(K1 + 2K2 + 2K3 +K4)①
K1 = hf（Xn, Yn）②
K2 = hf（Xn + 1/2*h, Yn + 1/2*K1）③
K3 = hf（Xn + 1/2*h, Yn + 1/2*K2）④
K4 = hf（Xn + h, Yn + K3）⑤四式可以完成计算
四、实验内容
由上述实验原理叙述的欧拉法，改进的欧拉法，龙格—库塔法几种常微分方程数值
解法分别对已给定的初值问题进行求解，比较各方法的数值解及误差，了解各方法
的优缺点。
五、实验结果
1.对于欧拉法：
①若h=0.025
>> h=0.025;
>> y=0;
>> x=1;
for i=1:40;
y=y+h*wei_fen(x,y)
x=x+h
vpa(y)
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.025
X y 真实值
误差
1.000 0.000000 0.000000
0.000000
1.100 0.325473 0.345920
-0.020447
1.200 0.816532 0.866643
-0.050111
1.300 1.516394 1.607215 -0.090821
1.400
2.475742 2.620360 -0.144617
1.500 3.753885 3.967666 -0.213781
1.600 5.420087 5.720962 -0.300874
1.700 7.555102 7.963873 -0.408771
1.800 10.252917 10.793625 -0.540708
1.900 13.622756 14.323082 -0.700326
2.000 17.791364 18.683097 -0.891733
②若h=0.1
>> h=0.1;
>> y=0;
>> x=1;
for i=1:10;
y=y+h*wei_fen(x,y)
x=x+h
vpa(y)
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.1
X y 真实值误差
1.000 0.000000 0.000000
0.000000
1.100 0.271828 0.345920
-0.074092
1.200 0.684756 0.866643
-0.181887
1.300 1.276978 1.607215
-0.330237
1.400
2.093548 2.620360
-0.526812
1.500 3.187445 3.967666
-0.780221
1.600 4.620818 5.720962
-1.100144
1.700 6.466396 7.963873
-1.497477
1.800 8.809120 10.793625
-1.984505
1.900 11.747997 14.323082
-2.575085
2.000 15.398236 18.683097
-3.284861
2.对于改进的欧拉法（预估—校正）：
>> h=0.05;
>> y=0;
>> x=1;
for i:20
k1=h*wei_fen(x,y);
k2=h*wei_fen(x+h,y+k1);
y=y+0.5*k1+0.5*k2;
x=x+h;
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.05
X y真实值误差
1.000 0.000000 0.000000
0.000000
1.100 0.344915 0.345920 -0.001005
1.200 0.864291 0.866643 -0.002352
1.300 1.603146 1.607215 -0.004069
1.400
2.614174 2.620360 -0.006185
1.500 3.958938 3.967666 -0.008729
1.600 5.709234 5.720962
1.700 7.948663 7.963873
-0.015211
1.800 10.774418 10.793625
-0.019207
1.900 14.299337 14.323082
-0.023744
2.000 18.654245 18.683097
-0.028852
②若h=0.01
>> h=0.01;
>> y=0;
>> x=1;
for i:100
k1=h*wei_fen(x,y);
k2=h*wei_fen(x+h,y+k1);
y=y+0.5*k1+0.5*k2;
x=x+h;
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.01
X y 真实值误差
1.000 0.0000000000 0.0000000000
0.0000000000
1.100 0.3459102873 0.3459198765
-0.0000095892
1.200 0.8666216927 0.8666425358
-0.0000208430
1.300 1.6071813477 1.6072150782
-0.0000337305
1.400
2.6203113059 2.6203595512
-0.0000482454
1.500 3.9676018980 3.9676662942
-0.0000643962
1.600 5.7208793242 5.7209615256
-0.0000822014
1.700 7.9637717926 7.9638734778
-0.0001016852
1.800 10.7935017836 10.7936246605
-0.0001228768
1.900 14.3229357276 14.3230815359
-0.0001458083
2.000 18.6829265677 18.6830970819
-0.0001705142
3.对于龙格—库塔法：
>> h=0.1;
>> y=0;
>> x=1;
for i=1:10;
k1=h*wei_fen(x,y);
k2=h* wei_fen (x+h/2,y+k1/2);
k3=h* wei_fen (x+h/2,y+k2/2);
k4=h* wei_fen (x+h,y+k3);
y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
x=x+h
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.1
X y 真实值
误差
1.000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
1.100 0.3459198753 0.3459198765 -0.0000000012
1.200 0.8666425332 0.8666425358 -0.0000000026
1.300 1.6072150740 1.6072150782 -0.0000000041
1.400
2.6203595453 2.6203595512 -0.0000000059
1.500 3.9676662864 3.9676662942 -0.0000000078
1.600 5.7209615157 5.7209615256 -0.0000000099
1.700 7.9638734656 7.9638734778 -0.0000000122
1.800 10.7936246457 10.7936246605 -0.0000000147
1.900 14.3230815184 14.3230815359 -0.0000000174
2.000 18.6830970615 18.6830970819 -0.0000000203
六、实验结果分析
1.对于欧拉法，步长越小，精度越高，而产生的误差越小。总体来说，欧拉法的优
点是形式简单，计算方便，缺点是总的运算精度比较低。而且随着x的增大，误差
值也越来越大。根据欧拉公式的截断误差计算，欧拉法是一阶方法。
2.对于改进欧拉法，其基本特征与欧拉法相似，也是步长越小，精度越高，误差越
小。优点是精度相对欧拉法来说较高，截断误差为O(h^3)，缺点是比欧拉法计算
量大。根据欧拉改进法公式的截断误差计算，欧拉改进法是二阶方法。
3.对于龙格—库塔法，优点是精度更高，同样的步长下精度比欧拉法高的多，误差
更小，截断误差为O(h^5)，故龙格—库塔法是四阶方法。缺点是每步都要计算四
次微分值。
4.综上，选取方法时，可综合考虑精度要求和复杂度控制要求等实际需要，从而选
择适当的方法求解。
数值实验实验报告
日期：2008-6-27
一、实验目的
1.学习matlab的使用方法。
2.掌握常微分方程的几种数值解法：欧拉法，改进的欧拉法，龙格—库塔法。
3.比较各方法的数值解及误差，了解各方法的优缺点。
二、实验题目
给定的初值问题
按(1)欧拉法，步长h=0.025, h=0.1;
(2)改进的欧拉法，步长h=o.o5, h=0.01;
(3)四阶标准龙格—库塔法，步长h=0.1;
求在节点处的数值解及误差比较各方法的优
缺点。
三、实验原理
1.对于欧拉法：
利用Yn+1 = Yn + hf（Xn, Yn）①
Y0 = Y(X0) ②二式可以完成计算
需要将微分方程表达式和精度计算表达式作为两个函数保存在m文件里并在程序
中调用：
①微分方程（wei_fen）
function z=wei_fen(x,y)
z=(2/x)*y+x*x*exp(x);
end
②精确解计算(jing_que)
function z=jing_que(x)
z=x*x*(exp(x)-exp(1))
end
2.对于改进的欧拉法：
利用Yn+1 = Yn + 1/2*K1 + 1/2*K2①n = 1, 2, 3……
K1 = hf（Xn, Yn）②
K2 = hf（Xn + h, Yn + K1）③三式可以完成计算
3.对于龙格—库塔法：
利用Yn+1 = Yn + 1/6(K1 + 2K2 + 2K3 +K4)①
K1 = hf（Xn, Yn）②
K2 = hf（Xn + 1/2*h, Yn + 1/2*K1）③
K3 = hf（Xn + 1/2*h, Yn + 1/2*K2）④
K4 = hf（Xn + h, Yn + K3）⑤四式可以完成计算
四、实验内容
由上述实验原理叙述的欧拉法，改进的欧拉法，龙格—库塔法几种常微分方程数值
解法分别对已给定的初值问题进行求解，比较各方法的数值解及误差，了解各方法
的优缺点。
五、实验结果
1.对于欧拉法：
①若h=0.025
>> h=0.025;
>> y=0;
>> x=1;
for i=1:40;
y=y+h*wei_fen(x,y)
x=x+h
vpa(y)
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.025
X y 真实值误差
1.000 0.000000 0.000000
0.000000
1.100 0.325473 0.345920
-0.020447
1.200 0.816532 0.866643
-0.050111
1.300 1.516394 1.607215
-0.090821
1.400
2.475742 2.620360
-0.144617
1.500 3.753885 3.967666
-0.213781
1.600 5.420087 5.720962
-0.300874
1.700 7.555102 7.963873
-0.408771
1.800 10.252917 10.793625
-0.540708
1.900 13.622756 14.323082
-0.700326
2.000 17.791364 18.683097
-0.891733
②若h=0.1
>> h=0.1;
>> y=0;
>> x=1;
for i=1:10;
y=y+h*wei_fen(x,y)
x=x+h
vpa(y)
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.1
X y 真实值误差
1.000 0.000000 0.000000
0.000000
1.100 0.271828 0.345920
-0.074092
1.200 0.684756 0.866643
-0.181887
1.300 1.276978 1.607215
-0.330237
1.400
2.093548 2.620360
-0.526812
1.500 3.187445 3.967666
-0.780221
1.600 4.620818 5.720962
-1.100144
1.700 6.466396 7.963873
-1.497477
1.800 8.809120 10.793625
-1.984505
1.900 11.747997 14.323082
-2.575085
2.000 15.398236 18.683097
-3.284861
2.对于改进的欧拉法（预估—校正）：
①若h=0.05
>> h=0.05;
>> y=0;
>> x=1;
for i=1:20
k1=h*wei_fen(x,y);
k2=h*wei_fen(x+h,y+k1);
y=y+0.5*k1+0.5*k2;
x=x+h;
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.05
X y真实值误差
1.000 0.000000 0.000000
0.000000
1.100 0.344915 0.345920
-0.001005
1.200 0.864291 0.866643
-0.002352
1.300 1.603146 1.607215 -0.004069
1.400
2.614174 2.620360 -0.006185
1.500 3.958938 3.967666 -0.008729
1.600 5.709234 5.720962 -0.011728
1.700 7.948663 7.963873 -0.015211
1.800 10.774418 10.793625 -0.019207
1.900 14.299337 14.323082 -0.023744
2.000 18.654245 18.683097 -0.028852
②若h=0.01
>> h=0.01;
>> y=0;
>> x=1;
for i=1:100
k1=h*wei_fen(x,y);
k2=h*wei_fen(x+h,y+k1);
y=y+0.5*k1+0.5*k2;
x=x+h;
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.01
X y 真实值误差
1.000 0.0000000000 0.0000000000
0.0000000000
1.100 0.3459102873 0.3459198765
-0.0000095892
1.200 0.8666216927 0.8666425358
-0.0000208430
1.300 1.6071813477 1.6072150782
-0.0000337305
1.400
2.6203113059 2.6203595512
-0.0000482454
1.500 3.9676018980 3.9676662942
-0.0000643962
1.600 5.7208793242 5.7209615256
-0.0000822014
1.700 7.9637717926 7.9638734778
-0.0001016852
1.800 10.7935017836 10.7936246605
-0.0001228768
1.900 14.3229357276 14.3230815359
-0.0001458083
2.000 18.6829265677 18.6830970819
-0.0001705142
3.对于龙格—库塔法：
>> h=0.1;
>> y=0;
>> x=1;
for i=1:10;
k1=h*wei_fen(x,y);
k2=h* wei_fen (x+h/2,y+k1/2);
k3=h* wei_fen (x+h/2,y+k2/2);
k4=h* wei_fen (x+h,y+k3);
y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
x=x+h
z=jing_que(x)
t=y-z
end
结果：
h=0.1
X y 真实值
误差
1.000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
1.100 0.3459198753 0.3459198765 -0.0000000012
1.200 0.8666425332 0.8666425358 -0.0000000026
1.300 1.6072150740 1.6072150782 -0.0000000041
1.400
2.6203595453 2.6203595512 -0.0000000059
1.500 3.9676662864 3.9676662942 -0.0000000078
1.600 5.7209615157 5.7209615256 -0.0000000099
1.700 7.9638734656 7.9638734778 -0.0000000122
1.800 10.7936246457 10.7936246605 -0.0000000147
1.900 14.3230815184 14.3230815359 -0.0000000174
2.000 18.6830970615 18.6830970819 -0.0000000203
六、实验结果分析
1.对于欧拉法，步长越小，精度越高，而产生的误差越小。总体来说，欧拉法的优
点是形式简单，计算方便，缺点是总的运算精度比较低。而且随着x的增大，误差
值也越来越大。根据欧拉公式的截断误差计算，欧拉法是一阶方法。
2.对于改进欧拉法，其基本特征与欧拉法相似，也是步长越小，精度越高，误差越
小。优点是精度相对欧拉法来说较高，截断误差为O(h^3)，缺点是比欧拉法计算
量大。根据欧拉改进法公式的截断误差计算，欧拉改进法是二阶方法。
3.对于龙格—库塔法，优点是精度更高，同样的步长下精度比欧拉法高的多，误差
更小，截断误差为O(h^5)，故龙格—库塔法是四阶方法。缺点是每步都要计算四
次微分值。
4.综上，选取方法时，可综合考虑精度要求和复杂度控制要求等实际需要，从而选
择适当的方法求解。
科学计算—理论、方法 及其基于MATLAB 的程序实现与分析 微分方程（组）数值解法 §1 常微分方程初值问题的数值解法 微分方程（组）是科学研究和工程应用中最常用的数学模型之一。如揭示质点运动规律的Newton 第二定律： ()()()?????'='==0 00022x t x x t x t F dt x d m （１） 和刻画回路电流或电压变化规律的基尔霍夫回路定律等，但是，只有一些简单的和特殊的常微分方程及常微分方程组，可以求得用公式给出的所谓“解析解”或“公式解”，如一阶线性微分方程的初值问题： () ()0 0y y t f ay dt dy =+= （２） 的解为： ()()()τττd f e y e t y t t a at ?-+=00 （３） 但是，绝大多数在实际中遇到的常微分方程和常微分方程组得不到“解析解”，因此，基于如下的事实：
１、绝大多数的常微分方程和常微分方程组得不到（有限形式的）解析解； ２、实际应用中往往只需要知道常微分方程（组）的解在（人们所关心的）某些点处的函数值（可以是满足一定精度要求的近似值）； 如果只需要常微分方程（组）的解在某些点处的函数值，则没有必要非得通过求得公式解，然后再计算出函数值不可，事实上，我们可以采用下面将介绍的常微分方程（组）的初值问题的数值解法，就可以达到这一目的。 一般的一阶常微分方程（组）的初值问题是指如下的一阶常微分方程（组）的定解问题： ()()0 00,y t y t t t y t F dt dy f =≤≤= （７） 其中 ()()()()???? ?? ? ??=t y t y t y t y n 21 （８） ()()()()???? ?? ? ??=y t f y t f y t f y t F n ,,,,21 （９） 常微分方程（组）的初值问题通常是对一动态过程（动态系统、动力系统）演化规律的描述，求解常微分方程（组）的初值问题就是要了解和掌握动态过程演化规律。 §１.1 常微分方程（组）的Cauch 问题数值解法概论
偏微分方程数值解 （Numerical Methods for Partial Differential Equations） 课程代码：10210801 学位课程/非学位课程：非学位课程 学时/学分：46/3 课程简介： 《偏微分方程数值解》是数学类专业必修的一门专业课。主要内容包括：变分形式和Galerkin有限元法、椭圆型方程的差分方法、抛物型方程的差分方法、双曲型方程的差分方法、离散方程的解法。通过本课程的学习，使学生掌握求解偏微分方程数值解的基本方法，能够根据具体的微分方程使用合适的计算方法。 一、教学目标 1、知识水平教学目标 偏微分方程数值解课程的教学，要使学生掌握椭圆型微分方程、抛物型微分方程、双曲型微分方程等典型方程的差分方法，了解与之相关的理论问题，理解变分原理、有限元方法以及离散方程的解法，理解各种计算方法的收敛条件和收敛速度。 2、能力培养目标 通过偏微分方程数值解课程教学,应注意培养学生以下能力： （1）连续问题离散化能力——掌握科学的思维方法，能够使用差分方法和有限元方法的各种格式对三类典型方程进行离散化处理。 （2）算法分析与设计能力——结合各类偏微分方程的特点，设计各种计算方法，对计算方法的收敛条件和收敛速度等进行分析，具体设计易于上机实现的算法。（3）离散方程组的快速求解能力——理解离散方程组的特点，使用数学软件编程，具体上机实现，进行数值模拟的动手能力。 3、素质培养目标 通过数学物理方程课程教学,应注重培养学生以下素质： （1）具体问题有限化——善于对现实世界中得到的偏微分方程进行有限差分、有限元分析的有限化思想素养。 （2）数值解法定性化——通过学习，引导学生树立偏微分方程数值求解的基本原则，培养学生对数值方法中的稳定性、收敛性和误差等进行定性分析的素质。（3）算法实现程序化——培养学生的创造性和具体实现程序化的思维，使学生学会用数学中算法的观点思考实际问题，用程序和计算机解决数学问题。 二、教学重点与难点 1、教学重点：椭圆型、抛物型、双曲型等微分方程的差分方法，有限元方法。 2、教学难点：各种计算方法的稳定性、收敛性和误差分析，变分形式。 三、教学方法与手段 以教师讲授为主，安排上机实验，辅以习题课、课堂讨论、小论文，注重理论联系实际。 四、教学内容与目标 教学内容教学目标课时分配 （46学时） 1. 边值问题的变分形式 6 二次函数的极值掌握 两点边值问题掌握
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读 书要 “由薄到厚、由厚到薄 ”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 dy P ( x)dx P ( x) dx Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程解法：令 dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1） 代入得到dx —u y1 n，有 du(1 n) y n dy ， du(1 n) P(x)u(1 n)Q(x) dx 求解特征方程： 2pq 0三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根： 1 ,2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2)两个相等实根：12 通解： y c1c2 x e x (3)一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x] 当i不是特征值时，令 欢迎下载2
第五章 控制系统仿真 §5.2 微分方程求解方法 以一个自由振动系统实例为例进行讨论。 如下图1所示弹簧-阻尼系统，参数如下： M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1N F 图1 弹簧-阻尼系统 假设初始条件为：00=t 时，将m 拉向右方，忽略小车的摩擦阻力，m x 0)0(= s m x /0)0(=? 求系统的响应。 )用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、 ode23、ode113、ode15s 、ode23s 等。 wffc1.m myfun1.m 一、常微分方程的数值求解函数ode45求解 解：系统方程为 F kx x b x m =++??? 这是一个单变量二阶常微分方程。
将上式写成一个一阶方程组的形式，这是函数ode45调用规定的格式。 令： x x =)1( （位移） )1()2(? ?==x x x （速度） 上式可表示成： ??????--=??????=??? ???????)1(*4.0)2(*2.02.0)2()2()2()1(x x x x x x x && 下面就可以进行程序的编制。 %写出函数文件myfun1.m function xdot=myfun1(t,x) xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)]; % 主程序wffc1.m t=[0 30]; x0=[0;0]; [tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0); plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold on plot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-k') legend('位移','速度',’加速度’)
浅谈微分方程数值解法（双语）课堂教学模式 姓名：肖录明 学号：11301010232 摘要：微分方程数值解是高等院校信息与计算科学专业的一门重要专业基础课。这是一门本具有较强实际背景，专门研究科学计算的课程。这门课程理论性较强，公式多而且难记。我们还需要通过一门语言（比如MATLAB语言）来实现我们数值计算算法。由于解微分方程在科学计算中极为常见，故学好这门课程就非常有用且能为以后的学习打下基础。在我国双语教学正在慢慢的被倡导，且益处明显。本文主要探讨该课程的双语教学模式,并对在学习过程中出现的一些问题进行了思考。 关键词：微分方程数值解法双语教学科学计算 1引言 微分方程数值解法在数值分析中占有重要的地位，它以逼近论，数值代数等学科为基础，反过来又推动这些学科的发展。微分方程数值解法就主要研究如何通过离散算法将连续形式的微分方程转化为有限维问题，如代数方程组，进而来求解其近似解[1]。主要包括求解区域网格划分、离散方程的建立、方程性能分析、近似解收敛性分析等环节。微分方程数值解法在科学计算、工程技术等领域有极其广泛的应用，比如在计算物理、化学、流体力学航空航天等很多工程领域都有用到。目前已发展成为一门计算技术学科，其核心理论内容也成为高校计算数学和应用数学等专业的核心基础专业课程之一[2]。
2双语教学的必要性 双语教学主要指中英双语教学，是一种重要的教学模式，具有特殊效果和意义。 1．双语教学可丰富教学模式，转变教学理念，促进教育改革和开放。双语教学提倡用原版教材和国外的教学方式。其语言文字原汁原味，叙述合情合理，注重启发性，内容安排适合学生。这不仅使学生学到专业知识，且有助于提高英语水平，特别是专业英语阅读和写作能力。国外的教学模式以人为本，有助于转变以教师为中心、以学习知识体系为主的教育理念，促进教育改革。 2．双语教学有助于提高学生的人文素质。多学习和运用英语可以让我们发现和扬弃汉语中那些带有落后的人文价值观念和行为方式的词汇和句子，批判地接受一些思想观念和做法，使人的思维灵活有深度，个性得以发展，创新能力不断提高。大范围开展双语教学，有助于培养出具有世界主流人文素质且能很好地参与国际交流和合作的人才。 3．双语教学有助于学生以后在国内外学习、工作、考研和国际合作等带来很多方便。 微分方程数值解法既有数学上严密的逻辑性、独特的理论结构体系，又在各种工程计算中有着重要的应用，因此是联系纯数学理论和工程应用的桥梁和纽带。很多工业应用软件是利用数值方法开发成的，并且大都用英语写成。因此，有必要用双语的形式讲授这门课，让学生在学习专业知识的同时，还掌握专业英语词汇，有助于学生以后的学习和发展。从课程的体系和内容衔接上看，这门课一般安排在大学三年级。这时侯，学生对于数学分析、常微分方程、数学物理方程和计算方法等课程有了很好的基础，其中的很多概念如:导数、定积分、
《微分方程数值解法》 【摘要】自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge —Kutta 方法、Adams 预估校正法以及勒让德谱方法等，通过具体的算例，结合MA TLAB 求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。 【关键词】 常微分方程 数值解法 MA TLAB 误差分析 引言 在我国高校，《微分方程数值解法》作为对数学基础知识要求较高且应用非常广泛的一门课程，不仅 在数学专业，其他的理工科专业的本科及研究生教育中开设这门课程．近四十年来，《微分方程数值解法》不论在理论上还是在方法上都获得了很大的发展．同时，由于微分方程是描述物理、化学和生物现象的数学模型基础，且它的一些最新应用已经扩展到经济、金融预测、图像处理及其他领域 在实际应用中，通过相应的微分方程模型解决具体问题，采用数值方法求得方程的近似解，使具体问题迎刃而解。 2 欧拉法和改进的欧拉法 2.1 欧拉法 2.1.1 欧拉法介绍 首先，我们考虑如下的一阶常微分方程初值问题 ???==0 0)() ,('y x y y x f y （2--1） 事实上，对于更复杂的常微分方程组或者高阶常微分方程，只需要将x 看做向量，（2--1）就成了一个一阶常微分方程组，而高阶常微分方程也可以通过降阶化成一个一阶常微分方程组。 欧拉方法是解常微分方程初值问题最简单最古老的一种数值方法，其基本思路就是把（2--1）中的导数项'y 用差商逼近，从而将一个微分方程转化为一个代数方程，以便求解。 设在[]b a ,中取等距节点h ，因为在节点n x 点上，由（2--1）可得：
各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
第十章 偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1 差分方法的基本概念 1.1 几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 ),(22 2 2y x f y u x u u =??+??=? 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又 称 为调和方程 22 22=??+??=?y u x u u Poisson 方程的第一边值问题为 ?? ???Ω ?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),() ,(),(22 22y x y x u y x y x f y u x u y x ?
其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 ),(),(y x u u y x ?α=??? ? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 ?? ???+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22? 初边值问题
2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<<
郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课 第八章常微分方程数值解法
待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使 对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾
§8.2 欧拉(Euler)法 通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 )
§8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′
微分方程的分类及其数值解法 微分方程的分类： 含有未知函数的导数，如dy/dx=2x 、ds/dt=0.4都是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。 一、常微分方程的数值解法： 1、Euler 法： 00d (,), (1.1)d (), (1.2) y f x y x y x y ?=???=? 001 (),(,),0,1,,1n n n n y y x y y hf x y n N +=??=+=-? (1.4) 其中0,n b a x x nh h N -=+=. 用(1.4)求解(1.1)的方法称为Euler 方法。 后退Euler 公式???+==+++),,(),(111 00n n n n y x hf y y x y y 梯形方法公式 )].,(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 改进的Euler 方法11(,),(,),1().2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++?=+??=+???=+??? 2、Runge-Kutta 方法： p 阶方法 ： 1()O h -=?总体截断误差局部截断误差 二阶Runge-Kutta 方法 ??? ????++==++=+),,(),,(,2212 1211hk y h x f k y x f k k h k h y y n n n n n n
图５畅２ 令珔h ＝h λ，则y n ＋１＝１＋珔 h ＋１２珔h ２ ＋１６珔h ３＋１２４ 珔 h ４y n ．由此可知，绝对稳定性区域在珔h ＝h λ复平面上满足 ｜１＋珔 h ＋１２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４珔h ４ ｜≤１的区域，也就是由曲线 １＋珔h ＋ １２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４ 珔h ４＝e i θ 所围成的区域．如图５畅２所示． 例22 用Euler 法求解 y ′＝－５y ＋x ，y （x ０）＝y ０， x ０≤x ≤X ． 从绝对稳定性考虑，对步长h 有何限制？ 解 对于模型方程y ′＝λy （λ＜０为实数）这里λ＝抄f 抄y ＝－５．由 ｜１＋h λ｜＝｜１－５h ｜＜１ 得到对h 的限制为：０＜h ＜０畅４． 四、习题 １畅取步长h ＝０畅２，用Euler 法解初值问题 y ′＝－y －x y ２ ， y （０）＝ １． （０≤x ≤０畅６）， ２畅用梯形公式解初值问题 y ′＝８－３y ， （１≤x ≤２），
取步长h＝０畅２，小数点后至少保留５位． ３畅用改进的Euler公式计算初值问题 y′＝１x y－１x y２， y（１）＝０畅５， １＜x＜１畅５， 取步长h＝０畅１，并与精确解y（x）＝ x １＋x比较． ４畅写出用梯形格式的迭代算法求解初值问题 y′＋y＝０， y（０）＝１ 的计算公式，取步长h＝０畅１，并求y（０畅２）的近似值，要求迭代误差不超过１０－５． ５畅写出用四阶经典Runge唱Kutta法求解初值问题 y′＝８－３y， y（０）＝２ 的计算公式，取步长h＝０畅２，并计算y（０畅４）的近似值，小数点后至少保留４位． ６畅证明公式 y n＋１＝y n＋h９（２K１＋３K２＋４K３）． K１＝f（x n，y n）， K２＝f x n＋h２，y n＋h２K１， K３＝f x n＋３４h，y n＋３４h K２， 至少是三阶方法． ７畅试构造形如 y n＋１＝α（y n＋y n－１）＋h（β０f n＋β１f n－１）
并与真解u(x) 2e x x 1相比较. 微分方程数值方法 常微分方程初值问题习题一 u' ax b, u(0) 0, 分别写出Euler 法和改进的Euler 法的近似解 府 的表达式，并求 它们与真解u(x) -ax 2 bx 的差u(X m ) U m . 2. 取步长h 0.1，分别用Euler 法和改进的Euler 法求下列初值问 题的解，并与真解相比较. 真解 u(x) .1 2x ； 2 ，u x . c (2) u 2 ,1 x 2, x u u(1) 2, 1 真解 u(x) x(8 31 n x)3 ； u x u '広乔 u(1) 1, 3 1 真解 u(x) (4x 2 3x 2)3. X 2 3. 用Euler 法计算0￡dt 在x 0.1，0.2的近似值. 4. 取步长h 0.2，用四阶Runge-Kutta 法解 u' u x, 0 x 1, u(0) 1, 1.对初值问题 (1) u' u 2x 0x1, u(0) u 1 , (3) 1 x 1.5,
5. 设 f(x,u)关于 u 满足 Lipschitz 条件，证明 N 级 Runge-Kutta 法中的增量函数 (x,u,h)关于u 也满足 Lipschitz 条件. 6. 对初值问题 u' u x 1, u(0) 1, 写出四阶Taylor 级数法和四阶 Runge-Kutta 法的计算公式，它们 是否相同. 7. 证明改进的Euler 法的绝对稳定区间是(-2，0). 8.证明：当h( h)满足 3 4 h h 24 时，四阶 Runge-Kutta 法绝对稳定. 9. 用Tayor 展开确定下面多步法中的系数，使其阶尽可能高，并求 局部截断误差的主项. 10. 对初值问题 u'' f(x,u), u(X °) u °,u'(x 0) u 10, 确定求解公式 (3) u m1 a 2u m 1 h( m 1 2 ). (1) u m 1 a 1u m a 2u m 1 h 0 f m 1 ；
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
常微分方程数值方法 1、欧拉方法：1,,1,0),,(1-=+=+n k y t hf y y k k k k . function E=euler(f,a,b,ya,n) % Input - f is the function entered as a string 'f' % - a and b are the left and right end points % - ya is the initial condition y(a) % - n is the number of steps % Output - E=[T' Y'] where T is the vector of abscissas and % Y is the vector of ordinates h=(b-a)/n; T=zeros(1,n+1); Y=zeros(1,n+1); T=a:h:b; Y(1)=ya; for j=1:n Y(j+1)=Y(j)+h*feval(f,T(j),Y(j)); end E=[T' Y']; 【例】 用欧拉方法求解区间]3,0[内的初值问题：1)0(,2'=-=y y t y 。 f=inline('(t-y)/2','t','y');a=0;b=3;ya=1;n=12; %n=3,6,12,24,48,96... E=euler(f,a,b,ya,n),plot(E(:,1),E(:,2),'r*'),hold on 符号解：y=dsolve('Dy=(t-y)/2','y(0)=1') h=(3-0)/12;t=0:h:3;y=eval(y);[t' y'] 用图比较数值解：(f 为ode 函数文件) ode45('f',[0,3],1) 2、休恩(Huen)方法(即改进Euler 方法)： 1 ,,1,0)],,(,(),([211-=+++=++n k y t hf y t f y t f h y y k k k k k k k k function H=heun(f,a,b,ya,n) % Input - f is the function entered as a string 'f' % - a and b are the left and right end points % - ya is the initial condition y(a) % - n is the number of steps % Output - H=[T' Y'] where T is the vector of abscissas and % Y is the vector of ordinates h=(b-a)/n; T=zeros(1,n+1); Y=zeros(1,n+1); T=a:h:b; Y(1)=ya; for j=1:n k1=feval(f,T(j),Y(j)); k2=feval(f,T(j+1),Y(j)+h*k1); Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2); end H=[T' Y'];
MATLAB解微分方程(2011-07-15 17:35:25) 转载▼ 分类：matlab学习标签： 教育
先说明一下最常用的ode45调用方式，和相应的函数文件定义格式。 [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0); 其中，Fun就是导函数，tspan为求解的时间区间（或时间序列，如果采用时间序列，则必须单调），x0为初值。 这时，函数文件可以采用如下方式定义 function dx=odefun(t,x) 对于上面的小例子，可以用如下的程序求解。
2.终值问题 tspan可以是递增序列，也可以为递减序列，若为递减则可求解终值问题。 [t,x]=ode45(@zhongzhiode,[3,0],[1;0;2]);plot(t,x) function dx=zhongzhiode(t,x) dx=[2*x(2)^2-2; -x(1)+2*x(2)*x(3)-1; -2*x(2)+2*x(3)^2-4]; 结果如下 3.odeset options = odeset('name1',value1,'name2',value2,...) [t,x]=solver(@fun,tspan,x0,options) 通过odeset设置options 第一，通过求解选项的设置可以改善求解精度，使得原本可能不收敛的问题收敛。options=odeset('RelTol',1e-10);
第二，求解形如M(t,x)x'=f(t,x)的方程。 例如，方程 x'=-0.2x+yz+0.3xy y'=2xy-5yz-2y^2 x+y+z-2=0 可以变形为 [1 0 0][x'] [-0.2x+yz+0.3xy] [0 1 0][y']=[2xy-5yz-2y^2 ] [0 0 1][z'] [x+y+z-2 ] 这样就可以用如下的代码求解该方程 function mydae M=[1 0 0;0 1 0;0 0 0]; options=odeset('Mass',M); x0=[1.6,0.3,0.1]; [t,x]=ode15s(@daedot,[0,1.5],x0,options);plot(t,x) function dx=daedot(t,x) dx=[ -0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2); 2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2); x(1)+x(2)+x(3)-2]; 4.带附加参数的ode45
包括基本概念，差分格式的构造、截断误差和稳定性，这些内容是贯穿整个教材的主线。解答问题关键在过程，能够显示出你已经掌握了书上的内容，知道了解题方法。这次考试题目的类型：20分的选择题，主要是基本概念的理解，后面有五个大题，包括差分格式的构造、截断误差和稳定性。 习题一 1． 略 2． y y x f -=),(，梯形公式：n n n n n n y h h y y y h y y )121(),(2111+-+=+- =+++，所以0122)1(01])121[()121()121(y h h y h h y h h y h h n h h n n n +--+--+-+=+-+==+-+= ，当0→h 时， x n e y -→。 同理可以证明预报-校正法收敛到微分方程的解. 3． 局部截断误差的推导同欧拉公式; 整体截断误差: ? ++++++-++≤1 ),())(,(11111n n x x n n n n n n n dx y x f x y x f R εε 11)(++-++≤n n n y x y Lh R ε，这里R R n ≤ 而111)(+++-=n n n y x y ε，所以 R Lh n n += -+εε1)1(，不妨设1 i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。 《偏微分方程数值解法》 课程设计 题目: 六点对称差分格式解热传导方程的初边 值问题 姓名: 王晓霜 学院: 理学院 专业: 信息与计算科学 班级: ０91１01２ 学号: ０９１10１218 指导老师：翟方曼 ２０12年12月14 日 一、题目 用六点对称差分格式计算如下热传导方程的初边值问题 222122,01,01(,0),01 (0,),(1,),01x t t u u x t t x u x e x u t e u t e t +???=<<<≤?????=≤≤??==≤≤??? 已知其精确解为 2(,)x t u x t e += 二、理论 1.考虑的问题 考虑一维模型热传导方程 （1.１) )(22x f x u a t u +??=??,T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.１)的定解问题分两类: 第一,初值问题（Cauch ｙ 问题)：求足够光滑的函数()t x u ,,满足方程（１.1）和初始条件： (1.２) ()()x x u ?=0,， ∞<<∞-x 第二,初边值问题（也称混合问题）:求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(１.１)和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,， l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑,并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（１.1),（1.３)的差分逼近 取 N l h = 为空间步长,M T =τ为时间步长,其中N ,M 是自然数, 微分方程数值解―― 第二章 习题 1． 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数，试用类似办法定义)(x f 的k 阶广义导数) () (x f k （ ,2,1=k ）。 解：对一维情形，函数的广义导数是通过分部积分来定义的。 我们知，)(x f 的一阶广义导数位)(x g ，如果满足 dx x x f dx x x g b a b a )()()()('?? -=?? 类似的，)(x f 的k 阶广义导数为)()() (x f x g k =，如果有 dx x x f dx x x g b a k k b a )()()1()()()(?? -=?? 2． 试建立与边值问题 ?????====<<=+=) 2.1(0)()(,0)()() 1.1(,''44b u b u a u a u b x a f u dx u d Lu 等价的变分问题。 证明： 设}0)()(,0)()(),(|{' '2====∈=b v a v b v a v I H v v V 对方程)1.1(两边同乘以v ，再关于x 在),(b a 上积分)(V v ∈，得 ??=+b a b a fvdx vdx u dx u d )(44 其中 dx dx dv dx u d dx dx dv dx u d dx u d v dx u d d v vdx dx u d b a b a b a b a b a ???? -=-==33 33333344|)( dx dx v d dx u d dx dv dx u d dx u d d dx dv b a b a b a ??+-=-=22222222|)( dx dx v d dx u d b a ? = 2 222 (*) 记dx uv dx v d dx u d v u a b a ?+=)(),(2 222，?=b a fvdx v f ),(。于是我们得到以下等价变分问题的提法：常微分方程数值解法
偏微分方程数值解法
微分方程数值解――
相关主题
文本预览