五年级数学培优班教材
第一章变化的奥秘（一）
——和差的变化规律
【专题分析】
和差的变化规律见下表（m≠0）
表1：
一个加数（a）
另一个加数
（b）
和（c）
不变
不变
表2：
被减数（a）减数（b）差（c）
不变
不变
不变
【名题精讲】
例1、两个数相加,一个加数减少10,另一个加数增加10,和是否会发生变化？
分析：一个加数减少10,假设另一个加数不变,和就减少10,假设一个加数增加10,和就增加10；和先减少10,再增加10,所以和不变。
答：和不变。
两数相加,一个加数增加6,另一个加数也增加6,和引起什么变化？
追问：如果两个加数都减少,对和的影响又是什么呢？
m
m m
m
m
m
m
m
m
m
第一章变化的奥秘（一）
例2、两个数相加,如果一个加数减少8,要使和增加8,另一个加数有什么变化？
分析：一个加数减少8,如果另一个加数不变,和应该减少8,现在和
增加8,则另一个加数必须增加8+8=16。
答：另一个加数增加16。
两个数相加,如果一个加数减少16,要使和减少9,另一个加数应有什么变化？
例3、两数相减,如果被减数减少2,减数也减少2,差是否会引起变化？
分析：被减数减少2,如果减数不变,差会减少2。现在减数减少2,如果被减数不变,差就增加2,差先减少2,接着又增加2,所以,差不起什么变化。
答：差不变。
两数相减,如果被减数增加23,减数减少23,差起什么变化？
例4、两数相减,被减数增加20,要使差减少16,减数应有什么变化？
分析：被减数增加20,假设减数不变,差就增加20；现在差减少16, 减数应增加20+16=36。
答：减数增加36。
两数相减,减数增加10,要是差减少15,被减数应有什么变化？
例5、被减数、减数、差相加得2076,差是减数的一半。被减数、减数、差
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各是多少？
分析：被减数等于差加减数。2076里有2个差加减数,差加减数的和是2076÷2=1038,差是减数的一半,也就是说减数是差的2倍。1038里有3个差。差是1038÷3=346,减数是346×2=692,被减数是2076÷2=1038。
被减数：2076÷2=1038
差：1038÷（2+1）=346
减数：346×2=692
答：被减数是1038,减数是692,差是346。
被减数、减数、差相加得990, 减数是差的一半,被减数、减数、差各是多少？
例6、在一个减法算式里,被减数、减数、差的和是90,而差是减数的2倍,如果被减数不变,差增加7,减数应变为多少？
分析：被减数=差+减数,差加减数：90÷2=45 差是减数的2倍,45
里面有3个减数,45÷3=15,差为：15×2=30。如果被减数不变,差增加7,减数应减少7,现在减数应为：15-7=8。
90÷2=45 45÷（1+2）=15 15-7=8
答：减数应变为8。
在一个减法算式里,被减数、减数、差相加得120,而差是减数的3倍。如果差不变,被减数减少5,减数应变为多少？
【实战演练】
第一章变化的奥秘（一）
练习一
1、两数相加,如果一个加数增加11,要使和减少11,另一个加数应有什么变
化？
2、两数相减,如果被减数减少18,减数增加18,差起什么变化？
3、两数相减,被减数减少36,要使差减少40,减数应有什么变化？
4、被减数、减数、差相加得84,减数是差的2倍,被减数、减数、差各是多
少？
5、在一个减法算式里,被减数、减数、差相加得180,而差比减数少8.。如
果被减数不变,减数减少16,差应为多少？
6、在一个减法算式里,被减数、减数、差相加得480,而差比减数多16.。如
果被减数不变,差增加20,减数应为多少？
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第二章找规律
【专题分析】
观察是解决问题的根据。通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律。
1、根据每相邻两个数的关系,找出规律,推断出所要填的数。
2、要善于从整体把握数据之间的联系,从而很快找出规律。
3、对于几列数组成的一组数变化规律的分析,需要我们灵活地思考,
没有一成不变的方法,有时需要综合运用其它知识,一种方法不行,
就要及时调整思路,换一种方法再分析。
4、对于那些分布在某些图中的数,他们的变化规律往往与这些数在图
形中的特殊位置有关,这是解决问题的突破口。
【名题精讲】
例1、先找出下列数列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。
1、4、7、10、（）、16、19
分析：在这列数中,相邻两个数的差是一定的,都是（）。即前项加（）是后项。像上面这样按照一定的顺序排列的一串数字数列。在例1这个数列中,因为每相邻两个数的差都相等,所以叫做等差数列。
（1）33、28、23、（）、13、（）、3
（2）3、6、12、（）、48、（）、192
例2、先找出下列数列的规律,然后在括号里填上适当的数。
1、2、4、7、（）16、22
分析：在这个数列中,前4个数每相邻的两个数的差依次是1、2、3.由此可以推算7比括号里的数少4,括号里的数应填11。
别忘了根据后面的数验证所填的数是否正确。
（1）1、4、9、16、25、（）49、64
（2）53、44、36、29、（）、18、（）、11、9、8
例3、先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
第二章找规律
23、4、20、6、17、8、（）、（）、11、12
分析：在这列数中,第一个数减去3的差是第三个数,第二个数加上2 的和是第四个数,第三个数减去3的差是第五个数,第四个数加上2的和是第六个数…依此规律,8后面的一个数为14。11前面的数为10。
（1）1、6、5、10、9、14、13、（）、（）
（2）3、29、4、28、6、26、9、23、
( )、( )、18、14
例4、在数列1、1、2、3、5、8、13、（）、34、55…中,括号里应填什么数？
分析：经仔细观察分析,不难发现：从第三个数开始,每一个数都等于
前面两个数的和,根据这一规律,括号里应填的数为21。
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代数学家）数列,也叫做“兔子数列”。
（1）34、21、13、8、5、（）、2
、（）
（2）0、1、2、4、7、12、20、（）
例5、下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的,在里填上适当的数。
（8,4）、（5,7）、（10,2）、（、9
分析：经仔细观察分析,不难发现：每个括号里的两个数相加的和怎样？
（1）（1,24）、（2,12）、（3,8）、（）
（2） (18,17)、（14,10）、（10,1）、（、5）
例6、根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数？
分析：经仔细观察分析,发现：前面两个圈中的三个数之间的关系是这5
12 6
4
20 8
8
30
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样的：12×5=60,60÷10=6,4×20=80,80÷10=8。根据这一规律第三个圈右下角的数为：（24）。
根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数？
【实战演练】
练习二
1、先找出下列数列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）、128、64、32、（）、8、（）、2
（2）、19、3、17、3、15、3、（）、（）、11、3
2、先找出下列数列的规律,然后在括号里填上适当的数。
（1）81、64、49、36、（）16、（）4、1、0
（2）1、6、4、8、7、10、（）、（）、13、14
3、先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
（1）2、9、6、10、18、11、54、（）、（）13、486
（2）320、1、160、3、80、9、40、27、（）、（）
4、下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的,在里填上适当的
数。
（2,3）、（5,7）、（7,10）、（10、）
9
36 12
12
2
48 16
15
5
（）（）
）
第二章找规律
5、根据下表中的排列规律,在空格里填上适当的数。
6、根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数？
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第三章简单推理
【专题简析】
解答推理问题,要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理的进行,要充分利用已经得出的结论,作为进一步推理的依据。
【名题精讲】
例1、一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量,4袋牛肉干的重量等于一包巧克力的重量,一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？
分析：根据“一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量等于一包巧克力的重量”可推出：两袋饼干的重量等于一包巧克力的重量。因此一袋饼干的重量等于两袋牛肉干的重量。
答：一袋饼干等于两袋牛肉干的重量。
一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量,两只梨的重量等于一只菠萝的重量,一只梨的重量等于几根香蕉的重量？
例2、一头象的重量等于4头牛的重量,一头牛的重量等于3匹小马的重量,一匹小马的重量等于3头小猪的重量,一头象的重量等于几头小猪的重量？
分析：根据“一头象的重量等于4头牛的重量”“一头牛的重量等于3 匹小马的重量”可推出“一头象的重量等于12 匹小马的重量”,而“一匹小马的重量等于3头小猪的重量”,因此,一头象的重量等于36头小猪的重量。
一个西瓜的重量等于2个菠萝的重量,一个菠萝的重量等于4个苹果
的重量,一个苹果的重量等于2个橘子的重量,一个西瓜的重量等于几个橘子的重量？
第三章简单的推理
例3、根据下面两个算式,求○与△各代表多少？
○+○+○=18
○+△=10
分析：在第一个算式中,3个○相加的和是18,所以○代表的数是：18 ÷3=6,又由第二个算式可求出△代表的数是10-6=4。
根据下面两个算式,求□与△各代表多少？
□+□+□+□=32 △-□=20
例4、根据下面两个算式,求○与△各代表多少？
△-○=2
○+○+△+△+△=56
分析：由第一个算式可知,△比○多2；如果将第2个算式的○都换成△,那么5个△=56+2×2,△=12,再由第一个算式可知,○=12-2=10。
△=（56+2×2）÷5=12
○=12-2=10
根据下面两个算式,求○与△各代表多少？
△+△+△+○+○=78
△+△+○+○+○=72
例5、甲、乙、丙三人分别是一小、二小、三小的学生,在区运动会上他们分别获得跳高、跳远、和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军,甲不是跳远冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军,问,他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项冠军？
分析：有“二小的是跳远冠军”可知跳高、垒球冠军是一小或三小的；
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因为“一小的不是垒球冠军”,所以一小的一定是跳高冠军,三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军”,可知,一小的丙是跳高冠军,二小的甲是跳远冠军,三小乙的是垒球冠军。
答：一小的甲是跳高冠军,二小的丙是跳远冠军,三小的乙是垒球冠军。
小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加100米赛跑比赛,比赛结束后小猴说：“我比小猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终点线。”小兔说：“我的名次排在小猴前面,小狗后面。”请根据他们的回答排名次。
例6
、王阿姨、刘阿姨、丁叔叔和李叔叔分别是工人、教师和军人。王阿姨是教师,丁叔叔不是工人,只有刘阿姨和李叔叔职业相同,请问他们的职业各是什么？
分析：王阿姨是教师,丁叔叔不是工人,就是军人,刘阿姨和李叔叔职
业相同,那么他们的职业只能是工人。
答：王阿姨是教师,丁叔叔是军人,刘阿姨和李叔叔都是工人。
说一说哪两个面是相对的面。
【实战演练】
练习三
1、3包巧克力的重量等于两袋糖的重量,12袋牛肉干的重量等于3包巧克力
的重量,1袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？
1
2
6
4
5 2
1
5
3
第三章简单的推理
2、一只小猪的重量等于6只鸡的重量,3只鸡的重量等于4只鸭的重量,一只
小猪的重量等于几只鸭的重量？
3、一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等,也和6只羊一天
吃草的重量相等。已知一头牛每天吃青草18千克,一只兔子和一只羊一天一共吃青草多少千克？
4、根据下面两个算式,求□与○各代表多少？
○+○+○=15
○+○+□+□+□=40
5、根据下面两个算式,求○与□各代表多少？
□-○=8
□+□+○+○=20
6、根据下面两个算式,求△与□各代表多少？
△+△+△+□+□=12
□+□+□-△-△=2
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第四章应用题（一）
【专题分析】
解答应用题时,必须认真审题,理解题意,深入细致地分析题目中各种数量的关系,通过对条件进行比较,转化、重新组合等多种手段,找到解题的突破口,从而使问题得以顺利解决。
【名题精讲】
例1、某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里,1个塑料箱和3个纸箱的玩具同样多,每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？
分析：630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里,1个塑料箱和3 个纸箱的玩具同样多,所以2个塑料箱和6个纸箱的玩具同样多,这样,5
个塑料箱和6个纸箱里的玩具与7个塑料箱的就同样多,由此,可以求
出1个塑料箱装多少件玩具。
630÷（5+6÷3）=90（件）
90÷3=30（件）
答：每个塑料箱装90件玩具,每个纸箱装30件玩具。
百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多,一个木箱和一个纸箱各装多少双球鞋？
例2、一桶油,连桶重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克,油和桶各重多少千克？
分析：原有约油和桶共重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克, 说明一半油重180-100=80千克,一桶油重80×2=160千克,油桶180-160=20千克。
（180-100）×2=160（千克）
180-160=20（千克）
答：油重160千克,桶重20千克。
第四章应用题（一）
一筐梨,连筐重38千克,卖了一半后连筐重20千克,梨和筐各重多少
千克？
例3、一只油桶里有一些油,如果把油加到原来的2倍,油桶连油重38千克,如果把油加到原来的4倍,这时油桶连油重46千克,原来油桶里有多少油？
分析：比较两次加油的情况,可知原来油的重量的（4-2）倍的重量是（46-38）千克。因此,原来油桶里有油（46-38）÷（4-2）=4（千克）。
（46-38）÷（4-2）=4（千克）
答：原来油桶里有4千克油。
一筐苹果,连筐重35千克。先拿一半送给一年级的同学,再拿剩下的
一半送给二年级的同学,余下的苹果连筐中 11千克,这种苹果重多少千克？
例4、有5盒茶叶,如果从每盒中取出200克,那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等,原来每盒茶叶有多少克？
分析：由条件“每盒中取出200克,那么5盒剩下的茶叶正好和原来4 盒茶叶的重量相等”,可以推出,拿出的200×5=1000克茶叶正好等于原来的5-4=1盒茶叶的重量。
200×5÷（5-4）=1000（克）
答：原来每盒茶叶有1000克。
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有6筐梨,每筐梨的个数相等,如果从每筐中拿出40个,6筐梨剩下的个数的总和正好和原来两筐梨的个数相等,原来每筐梨有多少个？
例5、有两盒图图钉,甲盒有72只,乙盒有48只,从甲盒中拿出多少只放入乙盒,才能使两盒的图钉相等？
分析：甲盒比乙盒多72-48=24只,要使两盒的图钉相等,只需把多的
一半拿出放入乙盒中即可。
（72-48）÷2=12（只）
答：从甲盒中拿出12只放入乙盒,才能使两盒的图钉相等。
有两袋糖,一袋是68粒,一袋是20粒,每次从多的一袋中拿出6粒放
到少的一袋里,拿几次才使两袋糖同样多？
例6：一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张,实际每天比计划多生产4张,结果提前一天完成任务,原计划要生产多少张课桌？
分析：此题的关键是求出工作时间。实际比计划提前一天完成任务,就相当于把原计划最后一天的任务平均分配到前面的天数去做,正好分完,实际每天比计划多生产4张,所以实际生产的天数是60÷4=15天实际每
天生产60+4=64张,任务总量为64×15=960张。
60÷4=15（天）
15×（60+4）=960（张）
答：原计划要生产960张课桌。
第四章应用题（一）
小明看一本故事书,计划每天看12页,实际每天多看8页,结果提前2 天看完。这本故事书有多少页？
【实战演练】
练习四
1、新华小学买了两张桌子和5把椅子,共付款195元。已知每张桌子的价
钱是每把椅子的4倍,每张桌子多少元？
2、王叔叔买了3千克荔枝和4 千克桂圆,共付156元。已知5千克荔枝的
价钱等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？
3、在5 个木箱中放着同样多的橘子。如果每个木箱中拿出60个橘子,那么
5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和,原来每个木箱中有多少个橘子？
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4、有两袋面粉,第一袋面粉有24千克,第二袋面粉有18千克。从第一袋中
取出几千克放入第二袋中,才能使两袋中的面粉重量相等？
5、电视机厂接到一批生产任务,计划每天生产90台,可以按期完成。实际每
天多生产5台,结果提前一天完成任务。这批电视机有多少台？
6、一个书架有上下两层共480本书,从上层中拿到下层24本,两层的书就一
样多了。两层的书各多少本？
第五章巧妙求和
第五章巧妙求和
【专题分析】
若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
等差数列求和需要记住以下几个公式：
第n项=首项+（项数-1）×公差
项数=（末项-首项）÷公差+1
总和=（首项+末项）×项数÷2
在等差数列中,只要知道首项、末项、项数、公差这个量中的三个,就可以利用公式求出另一个量。
【名题精讲】
例1、有一个数列,4、10、16、22……52,这个数列共有多少项？
分析：这个等差数列的首项是4,公差是6,末项是52,要求项数,可
依据：项数=（末项-首项）÷公差+1进行计算,（52-4）÷6+1=9所以,这个是咧共有9项。
（52-4）÷6+1=9
等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2,这个等差数列共有多少项？
例2、有一等差数列：3、7、11、15……这个等差数列的第100项是多少？
分析：这个等差数列的首项是3,公差是4,项数是100.要求第100项, 可根据末项=首项+公差×（项数-1）进行计算。3+4×（100-1）=399。这个等差数列的第100项是399。
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有一等差数列：1、4、7、10……这个等差数列的第30项是多少？
例3、有这样一列数,1、2、3、4……99、100。请你求出这列数各项相加的和是多少？
分析：把这100项首尾相加。1+100=101,2+99=101,3+98=101,4+97=101 ……一共有多少个101呢？项数÷2=50项,所以,101×50=5050。也可以利用等差数列的求和公式:总和=（首项+末项）×项数÷2,首项=1,末项=100,项数=100。
（1+100）×100÷2=5050
计算下题：6+7+8+9+ (75)
例4、求等差数列2、4、6、……48、50的和。
分析：这个数列是等差数列,可以利用求和公式计算。
要求这个数列的和,首先要求出项数。项数=（末项-首项）÷公差+1=（50-2）÷2+1=25
首项=2,末项=50,项数=25
总和=（首项+末项）×项数÷2
（2+50）×25÷2=650
计算下题：9+18+27+36+……+261+270
第五章巧妙求和
例5、计算（2+4+6+......+100）-（1+3+5+ (99)
分析：被减数和减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。在等差数列2、4、6、……100中,首项=2,末项=100,项数=（100-2）÷2+1=50在等差数列1、3、5……99中,首项=1,末项=99,项数=（99-1）÷2+1=50。
（2+4+6+......+100）-（1+3+5+ (99)
=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2
=2550-2500
=50
（2+4+6+......+1000）-（1+3+5+ (999)
例6、小明读一本长篇小说,他第一天读了30页,从第二天起,他每天读的页数都比前一天多3页,第十一天读了60页,正好读完,这本书共有
多少页？
分析：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道,他每天读的页数是按一定的规律排列的数,即30、33、36、……57、60。
要求这本书的总页数就是求这列数的和。这列数是一个等差数列,首相=30,末项=60,项数=11,因此可以很快得出（30+60）×11÷2=495。
（30+60）×11÷2=495（页）。
答：这本书共有495页。