2020-2021学年江西省南昌二中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4} 2．若角α与角β的终边关于y轴对称，则（）
A．α+β＝π+kπ（k∈Z）B．α+β＝π+2kπ（k∈Z）
C．D．
3．已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ＝x，则x等于（）A．﹣1B．﹣C．﹣3D．﹣
4．已知平面向量＝（﹣1，2），＝（1，0），则向量等于（）A．（﹣2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，6）D．（2，﹣6）5．下面正确的是（）
A．tan1＜sin2＜cos3B．sin2＜cos3＜tan1
C．cos3＜tan1＜sin2D．cos3＜sin2＜tan1
6．已知函数y＝f（x），将f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，那么函数y＝f（x）的解析式是（）
A．B．
C．D．
7．若f（x）＝，则f[f（log32）]的值为（）
A．B．C．D．﹣2
8．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则?的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，6）9．已知函数，若函数f（x）在区间上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）
A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ＝1的点P有且只有一个
C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个
D．λ+μ＝的点P有且只有一个
11．函数y＝（0＜φ＜）的图象如图，则（）
A．k＝，ω＝，φ＝B．k＝，ω＝，φ＝
C．k＝﹣，ω＝2，φ＝D．k＝﹣2，ω＝2，φ＝
12．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝
3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约
为（）（ln2≈0.69）
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
二、填空题（共4小题）.
13．函数的定义域为．
14．函数，不等式f（x）＜0的解集是．
15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若，则的值为．
16．有如下四个命题：
①函数的图象关于直线x＝对称．
②向量在方向上的射影．
③设O是△ABC的外心，且满足，则∠ACB＝．
④在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为1，2，若M，N分别为
BC、CD上的点，且满足，则则的取值范围是[2，5]．
其中正确的命题的序号为．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．己知，的夹角为120°，
（1）求的值；
（2）求与夹角．
18．已知tanα＝2，，其中．
（1）求tan（α﹣β）；
（2）求α+β的值．
19．已知函数cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）﹣m＝2在上有解，求实数m的取值范围．20．如图，在△ABC中，设BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：a2＝b2+c2﹣2bc cos A．
21．如图所示，莱蒙都会小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，图象的最高点为，且DF⊥OC，垂足为点F．
（1）求函数的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE（阴影部分），点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
22．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，点P是以AB为直径的圆弧上任一点．设，
（1）求x﹣2y的最大值、最小值．
（2）求x+y的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}解：∵集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|1≤x＜4}．
故选：C．
2．若角α与角β的终边关于y轴对称，则（）
A．α+β＝π+kπ（k∈Z）B．α+β＝π+2kπ（k∈Z）
C．D．
解：∵π﹣α是与α关于y轴对称的一个角，
∴β与π﹣α的终边相同，
即β＝2kπ+（π﹣α）
∴α+β＝α+2kπ+（π﹣α）＝（2k+1）π，
故答案为：α+β＝（2k+1）π或α＝﹣β+（2k+1）π，k∈z，
故选：B．
3．已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ＝x，则x等于（）A．﹣1B．﹣C．﹣3D．﹣
解：已知角α的终边经过点P（x，3）（x＜0）所以OP＝，
由三角函数的定义可知：cosθ＝x＝，
x＜0解得x＝﹣1．
故选：A．
4．已知平面向量＝（﹣1，2），＝（1，0），则向量等于（）A．（﹣2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，6）D．（2，﹣6）解：＝3（﹣1，2）+（1，0）＝（3×（﹣1）+1，3×2+0）＝（﹣2，6）
故选：A．
5．下面正确的是（）
A．tan1＜sin2＜cos3B．sin2＜cos3＜tan1
C．cos3＜tan1＜sin2D．cos3＜sin2＜tan1
解：由题意，根据弧度与角度的互化，可得1rad≈57.3°．
所以tan1＞tan45°＝1，0＜sin2＜1，cos3＜0．
所以cos3＜sin2＜tan1．
故选：D．
6．已知函数y＝f（x），将f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，那么函数y＝f（x）的解析式是（）
A．B．
C．D．
解：对函数的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论．
把的图象沿x轴向右平移个单位，得到解析式的图象，再使它的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的倍，就得到解析式
的图象，
故函数y＝f（x）的解析式是，
故选：D．
7．若f（x）＝，则f[f（log32）]的值为（）A．B．C．D．﹣2
解：∵f（x）＝，
∴f（log32）＝＝﹣＝﹣＝﹣，
∴f[f（log32）]＝f（﹣）＝＝，
故选：A．
8．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则?的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，6）解：画出图形如图，
?＝，它的几何意义是AB的长度与在向量的投影的乘积，显然，P在C处时，取得最大值，，可得?＝＝2×3＝6，最大值为6，
在F处取得最小值，?＝＝﹣2×＝﹣2，最小值为﹣2，
P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，
所以?的取值范围是（﹣2，6）．
故选：A．
9．已知函数，若函数f（x）在区间上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（）
A．B．C．D．
解：∵函数在区间上为单调递减函数，由2kπ+≤ωx﹣≤2kπ+，
求得+≤x≤+，
故函数f（x）的减区间为[+，+]，k∈Z．
∵函数f（x）在区间上为单调递减函数，故有，
求得2k+≤ω≤+，令k＝0，可得≤ω≤，
故选：B．
10．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）
A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ＝1的点P有且只有一个
C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个
D．λ+μ＝的点P有且只有一个
解：建立直角坐标系，
如图所示：
设正方形的边长为1，设动点P（x，y），
则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（﹣1，1），
所以，，
所以，
整理得，
所以λ+μ＝x+2y，
下面对点P的位置逐一进行讨论，
①当点P在AB上时，，
故：λ+μ＝x+2y∈[0，1]．
②当动点P在BC上时，，
故λ+μ＝x+2y∈[1，3]．
③当动点P在CD上时，，
故λ+μ＝x+2y∈[2，3]．
④当动点P在DA上时，，
故λ+μ＝x+2y∈[0，2]．
由此可得：λ+μ＝2，得到动点P为BC的中点或点D的位置，故A错误；
当λ+μ＝1时，得到动点P为点B的位置或AD的中点，故B错误；
当λ+μ＝时，点P为CD的中点或P（1，），故D错误．
当λ+μ＝3时，点P为C（1，1）的位置，故C正确．
故选：C．
11．函数y＝（0＜φ＜）的图象如图，则（）
A．k＝，ω＝，φ＝B．k＝，ω＝，φ＝
C．k＝﹣，ω＝2，φ＝D．k＝﹣2，ω＝2，φ＝
解：把（﹣2，0）代入y＝kx+1，求得k＝．
再根据?＝﹣＝π，可得ω＝．
再根据五点法作图可得×+φ＝π，求得φ＝，
故选：A．
12．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝
3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约
为（）（ln2≈0.69）
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
解：把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，
当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，
两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．
解：要使函数有意义，则log（1﹣x2）≥0，即0＜1﹣x2≤1，
所以0≤x2＜1，所以﹣1＜x＜1，
所以函数的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，
故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．
14．函数，不等式f（x）＜0的解集是（1，4）．解：∵函数，则由不等式f（x）＜0 可得，
①，或②．
解①求得2≤x＜4，解②求得1＜x＜2．
综合可得，原不等式的解集为[2，4）∪（1，2）＝（1，4），
故答案为：（1，4）．
15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若，则的值为．
解：过D作DF∥EC交AB于F，
因为D为BC的中点，所以F为BE的中点，
又BE＝2EA，所以EF＝EA，
又DF∥EO，所以AO＝，
故，
所以＝
＝，
因为，
所以，
故，所以，
故＝．
故答案为：．
16．有如下四个命题：
①函数的图象关于直线x＝对称．
②向量在方向上的射影．
③设O是△ABC的外心，且满足，则∠ACB＝．
④在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为1，2，若M，N分别为BC、CD上的点，且满足，则则的取值范围是[2，5]．
其中正确的命题的序号为①④．
解：对于①，由f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+＝sin x+＝f（x），
所以该函数f（x）的图象关于直线x＝对称，故①正确；
对于②，向量在方向上的射影，故②错误；
对于③，由O是△ABC的外心，且满足，
可得||＝||＝||＝R，＝﹣（3+5），
平方可得R2＝（9R2+30R2cos2∠ACB+25R2），
解得cos2∠ACB＝，所以2∠ACB＝，可得∠ACB＝，故③错误；
对于④，建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，），
设＝λ，λ∈[0，1]，
则M（2+，λ），N（﹣2λ，），
所以＝（2+，λ）?（﹣2λ，）
＝5﹣4λ+λ﹣λ2+λ＝﹣λ2﹣2λ+5，
因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为λ＝﹣1，
所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]，故④正确．
故答案为：①④．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．己知，的夹角为120°，
（1）求的值；
（2）求与夹角．
解：（1）根据题意，，的夹角为120°，
则，
故；
（2）根据题意，
，则，
又，则，而，
故，
又由0°≤＜，＞≤180°，
所以与夹角为1200．
18．已知tanα＝2，，其中．
（1）求tan（α﹣β）；
（2）求α+β的值．
解：（1）∵tanα＝2，，∴．（2）∵，又∵，
∴，在与之间，只有的正切值等于1，
∴．
19．已知函数cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）﹣m＝2在上有解，求实数m的取值范围．解：（1）
＝
＝
＝，
周期，
解得f（x）的单调递增区间为．
（2），所以，，所以f（x）的值域为[2，3]．
而f（x）＝m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]．
20．如图，在△ABC中，设BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：a2＝b2+c2﹣2bc cos A．
解：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则C（b cos A，b sin A），B（c，0），
∴a2＝|BC|2＝（b cos A﹣c）2+（b sin A）2＝b2cos2A﹣2bc cos A+c2+b2sin2A＝b2+c2﹣2bc cos A．
21．如图所示，莱蒙都会小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，图象的最高点为，且DF⊥OC，垂足为点F．
（1）求函数的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE（阴影部分），点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
解：（1）由图象，可知，，
将代入中，
得，即，
∵，∴，
故．
（2）在中，令x＝4，得D（4，4），
从而得曲线OD的方程为，则，
∴矩形PMFE的面积为，
即儿童乐园的面积为．
22．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，点P是以AB为直径的圆弧上任一点．设，
（1）求x﹣2y的最大值、最小值．
（2）求x+y的取值范围．
解：（1）如图，取AB中点O，以O点为原点，以AB所在直线为x轴，如图建立平面直角坐标系，
设∠POB＝θ，结合题意，可知A（﹣1，0），B（1，0），C（1，2），D（﹣1，2），E（1，1），P（cosθ，sinθ）（θ∈[0，π]），
所以＝（cosθ+1，sinθ），＝（2，1），＝（0，2），
又，
所以（2x，x+2y）＝（cosθ+1，sinθ），
即，
则有，
又由θ∈[0，π]，则，
当θ＝0时，（x﹣2y）max＝2，
当时，；
故x+2y的最大值为2，最小值为，
（2）根据题意，，
则x+y＝+＝（2sinθ+cosθ+1）＝sin（θ+φ）+，其中为锐角）
因为φ≤θ+φ≤π+φ，所以sin（π+φ）≤sin（θ+φ）≤1，
所以，所以0≤x+y≤，
即x+y的取值范围为[0，]