谈谈勾股定理及其逆定理的应用
绵竹市紫岩雨润中学 岳关芬
谈到勾股定理及它的逆定理，它是中学数学中最重要的定理之一，是几何学中的明珠，充满了魅力，我国把它又称为毕达哥拉斯定理。这是由于，他们认为最早发现直角三角具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯。勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系。具体内容就是：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理揭示了从三角形三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形。具体的内容是：在三角形中，如果较小两边的平方和等于第三边的平方，那么三角形是直角三角形。它们不但是解直角三角形的重要依据，是每年中考的必考知识点之一，而且在实际生活中的应用十分的广泛。
我国伟大的数学家华罗庚将勾股定理称为茫茫宇宙星际交流的“语言” 因为数学是一切有智慧生物的共同语言，所以我们有更多的理由要学好它。学习勾股定理时，应抓住三大关键，一是勾股定理及其逆定理的证明方法，二是勾股定理及其逆定理的应用，三是怎样寻找勾股数。 对于第二个问题，又应抓住四个方面，一：是勾股定理在几何计算中的应用。二：是勾股定理在几何证明中的应用。三：是勾股定理及其逆定理的综合应用。四：是勾股定理在代数证题中的应用。在初中数学中常常提到的数学思想方法有数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程思想、整体思想. 在勾股定理的应用中，渗透了上述四种数学思想。
作为一名长期从事中学数学教学工作的教师，在教学的过程当中，我经常发现有许多学生在涉及到计算直角三角形中线段的长以及判断三角形的形状等问题时，还是不明白该如何入手解决问题。在此，我主要想谈谈在这两类问题上，怎样正确快速的应用勾股定理和它的逆定理解决问题。所以把自己总结的一些经验与大家一起分享，共同学习。 一：怎样应用勾股定理在直角三角形中求线段的长：
1： 直接把勾股定理变式计算线段的长
已知两条边的具体的值，求第三边。
例1：已知：在⊿ABC 中:∠C=90°
(1) AC=4, BC=3 , 求AB 的长。
(2) AB=13，AC=12，求BC 的长
分析：根据题意可知：222
AC BC AB +=,直接带值进行计算就可以了。
小结：像这个题，他就是勾股定理的一个直接的应用。
变式训练：
已知：在⊿ABC 中:∠C=90°AB=13，AC=12，求以阴影部分的面积。
2： 结合勾股定理设未知数计算线段的长
已知一条边具体的值，同时已知另外两边的关系，求边长。
例2：已知：在⊿ABC 中:∠C=90°，
(1) AC + BC= 7, AB=5 ,求AC ,BC 的长。
(2) AB –AC =8, BC=12，求AB ,AC 的长
分析：以（1）为例，设AC = x, 则 BC=7-x. 又因为x 2+(7-x)2= 25,
就可以找出线段的值。
小结：像这两个小题，它可以根据勾股定理再结合已知条件 ，把它转化成带有一个未知数的方程来解决问题。
变式训练：
已知：小红用一张矩形纸片进行折纸。已知该纸片的宽AB 为8厘米，长BC 为10厘米， 当小红折叠时，顶点D 落在边BC 上的点F 处（折痕为AE ）。想一想，此时CE 有
多长?
3: 应用三角形面积的不同表示方法求线段的长
已知两直角边的长，求斜边上的高。
例3：已知：在⊿ABC 中:∠C=90°，AC =3, BC=4，
求AB 边上的高CD 。
分析：先根据222AC BC AB +=，求出AB 的长，再根据三角形的面积
1122
AC BC AB CD ?=?,就可以计算出斜边上的高CD
小结：这个题目先利用勾股定理求出斜边，再结合三角形面积不同的表示方法就可以
求出斜边上的高。
变式训练
已知；在⊿ABC 中:∠C=90°，AC=7，BC=24，点P 是⊿ABC 内的一点，并且点P 到
三角形三边的距离相等，求这个距离。
4：两次应用勾股定理构建等式计算线段的长
已知两个直角三角形有一条公共边或相等边，求线段的长
例4：已知：铁路上A,B 两点相距25㎞，C, D 为两村庄，已知：A D ⊥AB 于A,BC ⊥AB 于B,已知：AD=15㎞， BC=10㎞。现在要在铁路AB 上修建一个土特品收购站E ，使得C,D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多远处？
小结：这个题目单独利用直角三角形ADE 没有办法解决问题，恰好⊿ADE 和⊿BCE 都是直角三角形，并且有相等的边DE 和CE,于是设AE=x,BE=25-x,根据DE 2=CE 2得
152+x 2=102+(25-x)2.即可找出线段的长。
变式训练：
已知：在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，
压平后折痕为MN,则梯形ADMN 与BCMN 的面积之比为________.
5：应用全等三角形的知识计算线段的长
在一个直角三角形已知边和其它相等的角，计算线段的长
例：已知：在⊿ABC 中:∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，
求：AC 的长？
分析：首先构造直角三角形，过点D 向AB 边做垂线DE ，再结合条件得出CD=DE ,AC=AE,找出BE 的长，最后利用Rt ⊿ABC 中222AC BC AB +=解决问题.
二：怎样应用勾股逆定理判断三角形的形状及计算图形的面积
1：判断三角形的形状
例：已知：在三角形中，a, b, c 分别是它的三边，并且a+b=10, ab=18, c=8.
判断三角形的形状。
分析：首先根据条件结合完全平方公式得出a 2+b 2的值，再检验a 2+b 2与c 2的大小， 就可以得出结论。
变式训练：
已知：在⊿ABC 中: AB=13， BC=10, BC 边上的中线AD=12.
求证：⊿ABC 是等腰三角形
2:与勾股定理结合计算图形的面积
例：已知：在四边形ABBCD中，∠ABC=90°，AB=3, BC=4, AD=12,CD=13.
求：四边形ABCD的面积
分析：由于这种图形是不规则的四边形，所以要
通过构造直角三角形再利用三角形的面积的和或差进
行计算。
我们今天学习勾股定理，不但要学会利用它进行计算、证明和作图，更要学习和了解它的历史，了解其中体现出来的“形数结合”、“形数统一”的思想方法，这对我们今后的数学发展和科学创新都将具有十分重大的意义。