4.7 相似三角形的性质
一、学生知识状况分析
学生在之前七年级已经学习了全等图形判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解. 在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有一定的认识. 通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究. 例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，感受到了数学的实际价值，利用相似三角形的性质的解决问题的活动经验. 本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质，九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，具有了一定的学习经验，学生间相互评价、相互提问的积极性高，因此，参与有关性质的实践探究活动的热情应该是比较高的.
二、教学任务分析
教材基于学生对相似三角形的性质的基础上，提出了本课的学习任务：理解相似三角形的性质，让学生经历探索相似三角形性质的过程，并在探索过程中，发展学生积极的情感、态度、价值观、体现解决问题策略的多样性，同时也力图在学习过程中，逐步达成学生的有关情感态度目标. 为此本节课的教学目标是：
（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质. 利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.
（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：探究相似三角形对应高的比.；第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比；第三环节：学以致用（相似三角形性质的应用）；第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）；第五环节：布置作业.
第一环节：探究相似三角形对应高的比.
引入语：
在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本
节课我们将研究相似三角形的其他性质. 内容：探究活动一：（投影片） 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC ，以1：2的比例建造了模型房梁△A /B /C /，CD 和C /D /分别是它们的立柱.
（1） 试写出△ABC 与△A /B /C /的对应边之间的关系，对应角之间的关系.
（2） △ACD 与△A /C /D /相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
（3） 如果CD=1.5cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？
（4） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=2
1 /A A ∠=∠/,B B ∠=∠///,B C A ACB ∠=∠
（2）△ACD ∽△A ′C ′D ′
∵////,B A D C AB CD ⊥⊥
∴0///90,=∠=∠C D A ADC
∵/A A ∠=∠
∴△ACD ∽△A ′C ′D ′（两个角分别相等的两个三角形相似）
∴//C A AC =//D A AD =//D C CD =2
1 （3）∵
D C CD ''=21，CD=1.5cm ∴C /D /=3cm
（4）相似三角形对应高的比等于相似比
目的：通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维
层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系.
效果：通过层层设问，引导学生剥开问题的表面看到了相似三角形的性质：对应高的比等于相似比.
第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比
过渡语：
刚才我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究:
内容：探究活动二：（投影片）
如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点. 试探究AD 与 A /D /的比值关系，AE 与A /E /呢？ 要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论.
［生1］解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
∴///C A B BAC ∠=∠ ∠B =∠B ′
//B A AB =k ∵AD 平分∠B AC ，A /D /平分∠B /A /C
/ ∴///D A B BAD ∠=∠
∴△B AD ∽△B /A /D /（两个角分别相等的两个三角形相似）
∴//B A AB =//D B BD =/
/D A AD =k ［生2］解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
∴ ∠B =∠B ′
//B A AB =//C B BC =k ∵E 、E /分别为BC 、B /C /的中点
A B C D E A / / C / D / E
∴////21,21C B E B BC BE == ∴//E B BE =//C B BC ∵//B A AB =/
/C B BC =k ∴
//B A AB =//E B BE =k ∵∠B =∠B ′
∴△BAE ∽△B /A /E /（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴//B A AB =//E B BE =/
/E A AE =k 小结：由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
目的：通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力，与归纳总结能力.
效果：学生通过合作探究，可以发现相似三角形中对应角平分线、对应中线的比等于相似比.
内容：探究活动三：（投影片）
过渡语：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n 等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：
（3）你能得到哪些结论？
［生1］（1）解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
∴///C A B BAC ∠=∠ ∠B =∠B ′//B
A A
B =k ∵//////3
1,31C A B D A B BAC BAD ∠=∠∠=∠
∴///D A B BAD ∠=∠
∴△B AD ∽△B /A /D /（两个角分别相等的两个三角形相似） ∴//B A AB =//D B BD =/
/D A AD =k ［生2］（2）解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
∴ ∠B =∠B ′//B A AB =//C
B B
C =k ∵////3
1,31C B E B BC BE == ∴//E B BE =//C
B B
C ∵//B A AB =/
/C B BC =k ∴
//B A AB =//E B BE =k ∵∠B =∠B ′
∴△BAE ∽△B /A /E /（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴//B A AB =//E B BE =/
/E A AE =k ［生3］（3）相似三角形对应角的n 等分线的比和对应边的n 等分线的比等于相似比. 目的：有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质.
效果：学生能够很顺利地完成探究活动，并能够通过类比的思想总结出相关结论.
第三环节：学以致用（相似三角形的性质的应用） 内容：
练习：课本95页随堂练习2
两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2cm 和5cm ，求这两个三角形的相似比. 在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm ，那么较长的中线多长？
［生1］解：根据相似三角形对应角平分线、对应中线的比等于相似比可知：相似比为5
2；较长中线的长等于cm 5.7253=÷?.
目的：要求学生能用相似三角形对应高的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实
际问题. 增强学生的应用意识.
效果：学生能够运用前面所学解决问题，培养学生能发现问题，能够利用相似三角形相关性质解决问题的能力.
第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）
内容：
师生互相交流相似三角形的性质定理及拓展结论，在方法上的收获.
目的：
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
能够总结出运用类比数学思想方法解决问题.
效果：
学生畅所欲言自己切身的感受和实际收获，会利用相似三角形的性质解决实际问题，使学生充分感受：我们周围无处没有数学，数学就在我们身边！
第五环节：布置作业
习题1、2、3、4（再次升华所学内容）
学法指导
相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索相似图形的一些重要性质的过程，不仅可以是学生更好地认识、描述物体的形状，体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，而且也可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力. 因此教学中注意让学生充分经历从具体到抽象，再由抽象上升到具体的学习过程，逐步综合运用以前所学过的研究图形性质的各种方法，逐步加强逻辑推理能力，在教学中，教师要引导学生充分挖掘和利用相似图形中的共同规律，培养学生从图形的角度分析现实问题、提出相关的数学问题并加以适当解决的自觉意识和能力.教师要有意识地体现从直觉发现到自觉说理
的过渡，逐步提高逻辑推理要
求.
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