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带输入的吸收马尔可夫链在经济预测中的应用
摘要：在日益激烈的企业竞争中，预测产品寿命和市场销售情况对企业进行科学的市场决策，使企业立于不败之地，起着举足轻重的作用。利用带输入的吸收马尔可夫理论建立了预测模型，对厂家的某一产品的寿命和市场销售情况进行有效的预测，从而为企业对产品的调整与销售情况分析提供了可靠的决策依据。
关键词：马尔可夫链；经济预测；应用
一、带输入的吸收马尔可夫链
1．马尔可夫链的概念
定义1：若随机过程x（t），t∈T，满足条件：
（1）时间集合取非负整数集T＝0，1，2，……，对应于每个时刻，状态空间是离散集，记为E＝0，1，2，……，亦即x（t）是时间离散状态离散的。
（2）对任意整数l，m，k及任意非负整数jl＞……＞j2＞j1（m ＞jl）与相应的状态im+k，im，ijl，……，ij2，ij1下式成立，Px （m+k）＝i|x（m）＝i，x（j）＝i，……x（j）＝i＝Px（m+k）＝
i|x（m）＝i，则称x（t），t∈T为马尔可夫链，简称马氏链（Markov chain）。
定义2：当k＝1时，称为在时刻m的一步转移概率Pxm+1＝j|xm ＝i＝Pij（m，1），（i，j∈E），简称转移概率（transition probability）[1]。若对任意的i，j∈E，马尔可夫链x（t），t∈T的转移概率Pij （m，1）与m无关，则称马氏链是齐次的，记Pij（m，1）＝Pij。
定义3：系统在时刻m从状态i出发，经过k步到达状态j的概率
Pij（m，k）＝P｛xm+k＝j|xm＝i｝，（i，j∈E，m≥0，k≥1）为齐次马尔可夫链x（t），t∈T的k步转移概率。由齐次性知其与m无关，故简记为Pij（k）。让i，j跑遍所有状态，Pij（i，j＝1，2，……，n）排成的矩阵
P＝P P … PP P … P… … … …P P … P
称为转移矩阵（transition matrix）。
转移矩阵具有下列性质：
（1）Pij≥0（i，j＝1，2，……，n）
（2）Pik＝1（i，j＝1，2，……，n）
定义 4：Pj（k）＝P（Xk＝j）称为马氏链的绝对概率。它表示转移第k时，马氏链处于状态j的概率。特别k＝0时的绝对概率Pj （0）成为初始概率，简记为Pj，它表示在初始时刻（k＝0）时，马氏链处于状态j的概率。初始概率和一步转移概率可以完全地表示在任何时刻马氏链处于任何状态的绝对概率。
定理 1：绝对概率由初始概率和转移概率完全确定，即
Pj（k）=PiPij（k）
=Pj（k）＝P（Xk＝j）
=P（X0＝i，Xk＝j）
=P（X0＝i）p（Xk＝j/X0＝i）
＝PiPij（k）
向量和矩阵形式表示为：
Pk＝P0P（k）＝P0Pk
2.带输入的吸收马尔可夫链的概念
定义5：马尔可夫链中状态若转移概率满足以下两个条件：
（1）Pij＝1