《 2.2.1 双曲线及其标准方程》
教学设计
《 2.2.1 双曲线及其标准方程 》
教学设计
教学目标：
（1）理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程.
（2）通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力.
（3）亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的理性与严谨，感受数学美的熏.
教学重点：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程.
教学难点：双曲线标准方程的推导与化简.
教学方法：启发式与探究式相结合.
教学过程与操作设计：
（一） 创设情景，引入课题
1、知识回顾
问题1：椭圆的定义是什么？
问题2：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”改为“距离之差”，这
时轨迹又是什么呢？
也就是：平面与两定点1F 、2F 距离的差等于一个非零常数的点的轨迹是什
么图形？
【设计意图】
通过一个知识冲突的教学情景，由和到差，不仅加强新旧知识的联系，而且通过学生类比和与差，促进学生思考，激发他们的求知欲望．
2、观察动画、动手作图
取出生活中常见的一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过观察，引导学生思考拉链拉开的两部分长度的在联系．通过播放这个拉链的演示实验，让学生观察动画，了解双曲线的画法，再由学生画另一支曲线．最后教师给出这两条曲线合起来叫双曲线，其中每一条叫双曲线的一支，顺利引入课题．
【设计意图】
通过观察动画和动手作图，使学生从空洞的数学分析转化为感受图形的实际变化．这一环节使学生体会双曲线定义的获得过程，培养了学生观察、归纳能力．
（二）探究发现，挖掘新知
1、定义的归纳
（1）提出问题1：这条曲线上的点满足的条件?同样使学生找到另一条曲线上的点满足的条件．
提出问题2：用一个数学式子表达这两条曲线上的点满足的条件．
根据讨论总结出：1、（1）|MF1|-|MF2|=|F2F|= 2a
(2)|MF2|-|MF1|=|F1F|= 2a
2、| |MF1|-|MF2| | = 2a 2a是定值, 2a< |F1F2|.
通过以上分析，由学生归纳双曲线定义．
【设计意图】
通过自主探究，体会双曲线任一点所满足的条件，提高学生分析问题、归纳问题的能力．
（2）通过椭圆和双曲线的定义的学习,知道它们是满足一定条件的点的轨迹,让学生发现两个定义的区别.教师总结学习定义的作用,可以用来判断曲线的形状．
【设计意图】
通过师生、生生的交流合作，使学生理解双曲线定义．学会利用定义判断曲线形状．
2、标准方程的推导
（1）学习了双曲线定义后给出两组图片,一组是学生熟悉的热电厂冷却塔和新电视塔,它们的外形与轴截面的交线是双曲线.另一组是飞机导航的双曲线定位法和创建的双曲线型交通结构.
【设计意图】
这些图片使学生感受到数学美，体会数学的实用性，对双曲线进一步形成清晰的感性认知，为推导双曲线标准方程的理性认知打下基础．
（2）了解了双曲线的定义后，我们下面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家类比椭圆方程的推导过程,说出双曲线标准方程推导步骤是什么（请学生回答教师给予点评）
【设计意图】
进一步巩固用类比的方法解决圆锥曲线的问题．由于学生没有学习一般曲线的轨迹推导步骤,所以不用上升的理论太高,只需让学生类比椭圆即可.
【问题解决】
①建 系 以21F F 所在直线为x 轴,线段21F F 的垂直平分线为y 轴,建立直
角坐标系.
②设点 设双曲线上任意一点),(y x M ,双曲线的焦距为
c 2(0>c ),)0,(1c F -∴,)0,(2c F ,常数a 2=
③列 式 2a ||MF |-|MF ||21=即a y c x y c x 2|)()(|2222=+--++
④化 简 得)()(2
2222222a c a y a x a c -=-- 两边同除以)(222a c a -得
1222
22=--a c y a x 02222>-?>?>a c a c a c
令222b a c =-(0>b )代人得
)0,0(122
22>>=-b a b y a x 其中222b a c += 这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x 轴上.
讨论：以上是焦点在x 轴上的情况，对于焦点在y 轴上的情形是什么样的呢？
【设计意图】
在第四步化简过程中，由于学生已经学习过椭圆标准方程的化简，学生根据两方程形式的相似性，学生很容易使用同样的方法化简.因此，将本式子的化简作为一个研究性题目，交由各小组讨论，在课堂上展示本题后，通过教师巡视，请化简较好的小组派代表在黑板上书写，顺利突破难点．
此环节使学生经历双曲线标准方程的获得过程，体验数形结合思想在解决几何问题的优越性，形成锲而不舍的钻研精神和科学的态度．
3、方程的对比
推导出双曲线的两种标准方程后，让学生通过找出他们的相同点、不同点，
自己探究出根据标准方程判断焦点位置的方法，同时回忆椭圆中的判断方法，起到复习对比作用．
(三)题组训练、应用新知
练习1、判断下列方程哪些表示双曲线？
（1） （2）
（3） （4） 练习2、方程 是否表示双曲线？ 【设计意图】
第一题让学生学会利用方程判断曲线的形状和求焦点坐标，第二题让学生深化利用双曲线标准方程判断焦点位置的方法.
【例题讲解】
例1 已知两定点为)0,5(),0,5(21F F -，求动点M 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6的轨迹方程.
变式1、若已知F 1 (0，-5)，F 2(0，5) .
2、例1改求“动点M 到F 1、F 2的距离的差等于6的轨迹方程”.
【设计意图】
本例题是书本例题的改动，既考察了定义的理解，又考察了待定系数法求曲线方程.变式训练1、通过定点位置的变化引起方程形式的变化，强化两种方程形式的区别与联系.变式训练2、让学生深刻体会双曲线定义中关键词“绝对值”的必要性，体会数学的理性和严谨.
（四）畅谈收获、感悟新知
知识小结：找学生填表格总结本节课学习的双曲线的定义及其标准方程.22
149x y +=-12422=-y x 224936y x +=22032x y -=)0(12
2>=-mn n
y m x
通过本节课的学习除了知识方面的学习,还有哪些其他方面的收获?
【设计意图】
通过学生畅谈收获，学生不仅有知识技能方面的，还有情感价值观等多方面的收获，提高学生的自我认知能力.
（五） 课后拓展、巩固提高
基础作业：1、课本第54页习题A 组第1、2题
能力作业：2、已知双曲线 的左右焦点分别是F 1、F 2 ,点P 在双曲
线的右支上，且满足
求 , .
【设计意图】
分层次作业可以满足不同学习阶段学生的学习需求.
板书设计：
2
21x y n -=12PF PF +=12(1),PF PF 12(2)F PF S ?