2013考研数学复习高等数学第四章向量代数与空间解析几何
第四章 向量代数与空间解析几何【数学1要求】
2013年考试内容
向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
2013年考试要求
1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2. 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。
3. 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4. 掌握平面方程和直线方程及其求法。
5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6. 会求点到直线以及点到平面的距离。
7. 了解曲面方程和空间曲线方程的概念。
8. 了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。
了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。
一、三基及其延拓
1. 向量代数
研究的对象为自由向量，研究的空间限于实物空间，即不超过三维的空间。 ①向量的一般表示, a b ,等
●几何表示：以原点为起点的有向线段。 ●坐标表示： 111222(,,), (,,)a x y z b x y z ==
●投影表示： x y z a a i a j a k =++ ； x y z b b i b j b k =++ 坐标系：任何极大完备无关向量组
{}
121
2
3
3,,,
, : i i n i i is a a a a a αααα?? ? ?
?= ? ? ???
其中可以构成坐标系，如果将该向量组施密特正
交化和单位化，则构成正交直角坐标系，很显然， 如果{
}
123,,,
n a a a a 中的每一向量是3
维（=3s ，有三个坐标分量），则不可能由二维坐标系（=2n ，有二个独立分量）表示，这个思想应特别注意。
② 向量的方向角和方向余弦
●a 与x 轴、y 轴和z 轴的正向且非负的夹角,,αβγ称为a 的方向角。 ●cos ,cos ,cos αβγ称为a 的方向余弦，且cos , cos , cos y x z a a a a
a
a
αβγ=
=
=
● 任意向量r （r e 为r 的单位向量，并规定r e 离开原点为正方向。）
()()(), , cos , cos , cos cos ,cos ,cos r xi y j zk x y z r r r r αβγαβγ=++===
r e 称为r 的单位向量，并且 2
2
2
cos cos cos 1r x e r αβγ?++=== 。
● 任意向量线元（l e
为l 的单位向量，并规定l e 离开原点为正方向。）
● 任意向量面元（n e
为面元法线的单位向量，并规定n e 与Z 轴夹角为锐角时为正方向。）
③夹角专题
● 两向量的夹角?规定：为两向量不大于π的夹角，即0?π≤≤。
()
0 0 02
y x z
x y z
x x y y z z a a a a b b b b b a a a b a b a b a b ??πλπ
?*=??
==?=?=≠*=
?⊥?++=?两向量平行，两向量反平行；两向量平行或反平行的充要条件为： 。
两向量垂直。
● 直线与平面的夹角θ规定：直线与该直线在平面上的投影直线之间的夹角，02
π
θ≤≤
。 ● 平面与平面的夹角ψ规定：两平面的公垂面与他们的截痕直线之间的夹角，02
π
ψ≤≤。
又等于他们的法线之间不超过
2
π
的夹角。 ● 定比分点公式：12, , P P P 为同一直线上的三点，
121
121212212210, 1, , , 11110 P P P PP x x y y z z P P PP PP OP PP P P λλλλλλλλλλλ>?+++???
=→<-?=?=? ?+++???-<
在 和 中
在 外，在外
④数量积 又称标积或点积，表示为a b ? 2
1
1
cos cos a b a b a b a b
x y z ???=?=
=
++或：()
Pr Pr 0, 0a b a b a j b b j a a b ?==≠≠ b 2
Pr x y z
a b a b a b a b j a b b b b ++?=
=
++ 称为a 在b 上的投影。
注意：数量积本质上就是一个实数。 在三维以上空间的数量积称为内积 ，且可表示为
1111222212121212, (, , , )(, , , )a b a b x y z t x y z t x x y y z z t t ?==?=+++
③向量积 又称叉积或外积，表示为a b ?
● ()()()1
111221122112212
22
i
j k
a b x y z y z y z i x z x z j x y x y k x y z ?==---+- 方向规定：转向角不超过π的右手螺旋定则。 ● sin a b a b ??=，
● 几何意义： a b ?=平行四边形的面积；0 a b a b ?=?，且共起点，共线。
⑤ 混和积 表示为c ab ????
● ()()()
1
11
2
223
33
c 0x y z ab a b c b c a c a b x y z V V x y z ??=??=??=??===???三点共面 ● 几何意义： c ab ????代表平行六面体的体积；c =0 c ab a b ?????，，
共面。 ⑥求导法则 y x z da da da d a i j k dt dt dt dt =++ ()d df da
f a a f dt dt dt
=+ ()d d a db a b b a dt dt dt ?=?+? ()
d da db a b b a dt dt dt
?=?+
? 2、场论考点
●场的概念： 在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的确定值，叫做该
空间的物理量的场，分为数量场与向量场两类。数量场用梯度描述，向量场用散度与旋度描述。
●场论的数学核心：梯度算符，用?表示，定义为。 ①梯度??定义： i j k x y z
???
?????=
++???，就好比楼梯的陡度。 ②散度A ??定义： P Q R
A A Pi Q j Pk x y z
?????=
++=++???， 其中，表示分散的程度。 如果没有分散，则散度为零，如静磁场的散度0B ??=。
③旋度A ??定义： x
y
z
i j k A x y z A A A ?
??
??=
??? ，表示蜗旋的程度。 如没有闭合，即不存在蜗旋，则旋度为零，如静电场的旋度0E ??=。 ④运算关系（本知识点内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高数AB 需掌握）
2
222
2()()()()()1
4()1
cos cos cos 1()
()()()() ()r
r A B A B B A A B B A r r
e r
r r e u u
u u l x
y z f r f r r r r
r A A A A A A A πδαβχ??=??+??+???+????=-?=-?=????=
++???????=??????=-?+??????=??2
1
2
()()()()()()()()A A B A B B A
A B B A B A A B A B -????=??-?????=??+??-??-??
⑤高斯公式的场论表示
A d S ?=???????⑥斯托克斯公式场论表示l
s
A dl A d S ?=?????⑦平面格林公式l
Pdx Qdy x y =+=- ???
???在高斯公式和斯托克斯公式中，各符号的具体意义如下：
; idydz jdzdx kdxdy
++读者最难理解是关系： d S dSn idydz jdzdx kdxdy ==++。其实就是n 的方向余弦
cos , cos , cos αβγ元投影面元的关系，读者可在三维空间作一个平面
1x y z
a b c
++=。然后在该平面内过z c =点画无数线元i dS ，每一线元在xoy 平面的投影为i du ，显然
cos i i du dS γ=，并有：, cos i i du dxdy dS dS dxdy dS γ==?=∑∑，同理可得其他两个坐
标平面的面元投影关系：cos ; cos dydz dS dzdy dS αβ==。上述关系是读者能否学好空间积分的关键，务必掌握。
3、万能坐标系——正交曲线坐标系（本小节内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高
数AB 需掌握）
在该系中任一曲线元 i i i dl h du = i du 为球面系、柱面系等坐标曲线元。 对直角坐标 1dl dx = 2dl dy = 3dl dz =； 1231h h h ===；123, , u x u y u z === 对柱坐标系 123(,,)1, , 1r z h h r h θ?===；123, , u r u u z θ=== 对球坐标系 123(,,)1, , sin r h h r h r θ?θ?===；123, , u r u u θ?=== 则3
12123123123112233
u u u e e e e e e l l l u l u l u l ??????????=
++=?++????????? 123e e e h u h u h u ++??? 而2313()()x y h h A h h A h h h u u =
++????? 11
33
122
33
1h e h e h h h h A h A h ?
=
321132
21323
2331331212111
()()()()()h h e h h e h h e h h u u h h u u h h u u ??????????????
=-+-+-?? ?????????????
??????
记住, , A A ?????的结论形式即可。 ● 拉普拉斯算子?在球坐标系的形式 1dl dr = 2dl rd θ= 3(sin )dl r d θ?=
11h = 2h r = 3sin h r θ= 123, , u r u u θ?===
12311223323131212311122233111111sin 1()()()r f f f f e e e f e e e h u h u h u r r r h h h h h h f f h h h u h u u h u u h u θ?
θθ??????????=++=++ ?????????
??
???????=???=++?
?????????
222
2222221sin sin sin sin 111sin sin sin f r f r f r r r r r r f f f r r r r r r θθθθθ?θ?θθθθθ???
????????????=++
?? ? ? ????????????????????????=++ ? ??????????
●拉普拉斯算子?在柱坐标系的形式
123(,,)1, , 1r z h h r h θ?===； 123, , u r u u z θ===
231312123
11
12223312222
2
1()()()11 ()()()11 ()h h h h h h f f f f f h h h u h u u h u u h u f f f f r r r r r r z z f f f r r r r r z
θθθ??
???????=???=
++??????????????????
=++??????????
????=++????
4. 直线方程
?方向向量s ：一簇与该直线平行的方向数,,l m n ；一般用(),,s l m n =表示直线的方向向
量。
①一般式方程
()()
11111111222222220 ,,0
,,A x B y C z D n A B C A x B y C z D n A B C ?+++==??+++==??，n 一般表示平面的法线向量。
则直线的方向向量 ()12,,s l m n n n ==? ②点向式（标准式） (),,s l m n =
000
x x y y z z l m n
---== ③参数式 000x x lt y y mt z z nt
=+??
=+??=+? 000(,,)M x y z 为直线上已知点， 方向数：(),,s l m n =
④两点式
111212121
x x y y z z x x y y z z ---==---
⑤方向角式：cos cos cos x y z αβγ++=，,,αβγ为已知。
⑥直线间关系
?111
12222
l m n L L l m n ?
== ?121212120L L l l m m n n ⊥?++= ?1212
cos S S S S θθ?∠?=
?点()1111,,P x y z 到直线
222
x x y y z z l m n
---==
的距离d 2
2
2
i
j k l m n
++s 的平行四边形面积
s
?直线到直线的距离d
()a 两平行直线的距离d 同上 2
2
2
i j k d l m n
=
++
()b 两异面直线的距离d （画出平行六面体图推导出下式）
121222
12
, , PP S S m n S S i j k ????
=
?其中：()1111,,P x y z 和()2222,,P x y z 分别为两直线上的任意两点，不管这两点位置如何， 12PP 的投影的模都等于d 。
5. 平面方程
①一般式 0Ax By Cz D +++=
法线方向向量 (),,n A B C =
形象记忆掌握法：“影评”（隐蔽平行坐标量），如y 不出现，则∥y 轴；依此类推。 ②点法式
000()()()0A x x B y y C ??-+-+-=
③三点式
1112223
3
3
x x y y z z x x y y z z x x y y z z ---------=0 ④截距式：即平面经过下列三点：(, 0, 0), (0, , 0), (0, 0, )a b c
1x y z
a b c
++= ⑤平面束方程
()111122220A x B y C z D A x B y C z D λ+++++++=
不包含22220A x B y C z D +++=；如果所求平面通过已知直线（一般式），则用平面束方程会比较简便，但必须验证22220A x B y C z D +++=是否满足所求结论，以免遗漏。 ⑥平面间的关系 ● 111
12222
A B C A B C ππ?
== ● 12121212A A B B C C ππ
⊥?++=0 ● 夹角θcos θ?=
● 点()0000,,P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离，对直线到平面的距离只要在已知直线上任取一点即可类似处理
证明：在平面上任取一点()1111, , P x y z ，作平面的法线向量n ，则 10Pr n d j PP
=。
()
1010010101
,,
Pr,,
n
A B C
j PP PP n x x y y z z
A x
x B y y C z z Ax By Cz Ax By Cz Ax By Cz D
d
=?=---
-+-+-++-++ ==
++--
==
?=
●两平行平面之间的距离
6. 平面与直线之关系
L Al Bm Cn
π?++=
A B C
L
l m n
π
⊥?==
夹角sin
n s
n s
θθ
?
?=
?
7.曲面及其方程
7.1 准线与母线的界定
准线一般指基准曲线，如旋转轴，圆或圆锥曲线；母线顾名思义是由该曲线旋转或平移（可以是空间平移）后可以生成所要求的曲面的曲线（就像母亲生孩子）；其中的旋转轴和平移基准也就是准线。如一条直线沿某一圆周平移一周形成圆柱面。
7.2 二次曲面
●二次曲面的二次型表示
()
222222
a d f x
ax by cz dxy eyz fzx g x y z d b e y g
f e c z
????
???
+++++=?=
???
???
????
a d f
A d b e
f e c
??
?
= ?
?
??
的特征值就确定了三类曲面：0
A
A
A
?
?
?
?
?
??
?
正定或负定椭球面
无特征值且特征值异号双曲面
有特征值抛物面
●大纲中只要求掌握一部分二次曲面，包括：九种常用二次曲面，圆柱面和一般锥面。如何掌握？下列技巧提供了全面解决方略。
从准线与母线的三种关系和陈式4法来系统掌握考点，并理解曲面图形。
7.3 投影方程的确定
任一空间曲线Γ: 1
2(,,)0 (,,)0
F x y z F x y z =
?
?
=
?
在平面π上的投影构成一条平面曲线——投影曲线；以投影曲线为母线沿垂直于平面π的任意准线移动构成投影柱面，如直线的投影柱面就是一个垂直于π的平面。
如求曲线Γ在
xoy平面上的投影方程
由Γ中消去z?得到一个母线∥z轴的柱面方程(,)0
x y
?=。
则投影于XOY平面上的投影方程为
(,)0
x y
z
?=?
?
=
?
空间几何解题一般切入点：首先尽可能画出草图，思考所求结论必须知道几个可能的条件，这些条件在题目中一般又是隐含出现的，我们的目标就是从隐含条件推出需要的条件，然后套用直线或平面的方程类型。其中，重点注意已知直线的方向向量和已知平面的法向向量与待求直线或平面的关系。
【例1】求直线L
3
12
58
x t
y t
z t
=-
?
?
=-+
?
?=+
?
在平面π：38
x y z
-++=0上和三个坐标平面上的的投影方
程。
解： 第一步 求投影柱面（对直线投影而言投影柱面就是投影平面）方程 *π的*n ，该平面显然与π垂直，又
{}{}1,2,8, 1,1,3S n =-=-
则易知 {}*1
2
814,11,11
13
i
j k
n s n =?=-=--
又*π也通过L ，可以利用L 上的已知点()3,1,5-，则*π为 14(3)11(1)1(5)0x y z -++--=
L 在平面π投影正好为π与*π的交线，其方程为
14(3)11(1)(5)01411260
380380
x y z x y z x y z x y z -++--=+--=????
?-++=-++=?? 直线在三个平面上的投影方程为：
330
12; 0; 1205858x t x t x XOY y t XOZ y YOZ y t z z t z t =-=-=??????
?=-+?=?=-+??????==+=+???
8. 二次曲面方程和图形的研究
8.1 准线和母线是研究曲面的核心技术。已知曲面方程，用零点法可确定准线和母线，从而确定曲面的生成方式；用截痕法可以确定曲面的具体形状；用伸缩法可以研究曲面之间的转换，建立新曲面方程和后面的将要建立的旋转曲面方程要使用动静点转换法。研考数学中的曲面都是由母线沿准线空间平移或旋转及坐标伸缩变形而形成。 ●零点法
例如：分析曲面方程为 2222x y z a b -=的图形，令2
2220y x z y b z b =?-=?=-为一开口向下的
抛物线；令2
2220x y z y a z a
=?=?=为一开口向上的抛物线；这两个抛物线就构成了该二
次曲面的准线和母线，可以想象，该二次曲面是有其中一个抛物线沿另一个抛物线平移生成。 ● 截痕法
平面z t =与曲面(),,0F x y z =的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面的形状的
方法，称为截痕法。例如：在2222x y z a b -=中，令()()
2
2
2
2
1x y z t =?
-
=，这是一条双曲
线，也就是用水平平面截该曲面时，其截痕是双曲线。综合零点法的分析，我们就能够确
定：22
22x y z a b
-=正是双曲抛物面，即马鞍面。
● 伸缩法
如在曲面(),0F x y =上取一静点()11,M x y ，现把()11,M x y 变形为动点()22,M x y ，然后想办法消去静点坐标（即动静点转换法）。又，给定两了点坐标的伸缩变换关系，如令
2121;x x y y λ==，则：()112211,0,0,
0F x y F x y F x y λλ
????
=?=?= ? ?????
称为原曲面经伸缩变形后的新曲面方程。 例如圆柱面变成椭圆柱面：
2121
2
2222;22222222
221122222211b
x x y y a
x y a x y x y a x y a x y a b a b a b ==??+=?+=?????→+=?+=?+= ???
又如圆锥面变成椭圆锥面：
2121212
2
2
2
2222222
2;,2
2221122122
2
2
22222
b x x y y z z a
a x y x y x y x y x y
b z z z z z a a a a b a b ===??
+ ?++??=?=??????→=?+=?+=
常用曲面之一：柱 面
柱面是由母线沿准线空间平移形成，柱面的准线和母线必有一个是直线。其中，直线为准线，曲线为母线。如果是圆柱面，则准线和母线可以互换；如果为非圆柱面，如棱柱面，则必须取直线为准线，曲线为母线。
2
2
2
x y R += 圆柱面
22
221x y a b
+= 椭圆柱面 22
22
1x y a b -= 双曲柱面
22x py = 抛物柱面
特点：柱面方程中，柱面轴平行于隐含的坐标轴，如22x py =的轴平行于z 轴。
注意：在三维情况下圆的方程的一种形式为2222
x y z R x y z R ?++=?++=?
形象记忆掌握法：影（隐）评（平）。 ● 柱面方程的一般求法：
给定准线(),0
:f x y L z h
=???=??和母线的方向s li m j nk =++，求柱面方法如下：
设(),,P x y z 为柱面上的任意点，根据柱面形成的过程，必在准线L 上有相应的点
(),,Q X Y Z ，使得PQ s ，由此可以利用直线PQ 的方程将,P Q 两点的坐标间关系找出来，即：
X x lt
Y y mt Z z nt =+??
=+??=+?
（1） 又由于(),,Q X Y Z 在L 上，故
(),0
f X Y Z h
=???=?? （2）
用（1）式代入（2）式，由h z nt =+得 ;;h z h z h z
t X x l Y y m n n n
---==+?=+?
所求的柱面方程为
()(), 0l h z m h z f x y n n --??++= ???
例如：已知母线方向s i j k =++及准线22
2210
:2x y L a b z ?+-=???=?
，则柱面方程为
()()22
2211221x z y z a b
-++-+= 这是一个斜的椭圆柱面。
特别地：若母线平行某一坐标轴，如平行，则0l m ==，则柱面方程就是：(),0f x y =
8.3 常用曲面之二：旋转曲面（母线沿直线准线旋转移形成） ● 平面曲线(),0f x y =沿z 轴旋转不能形成曲面；
● 平面曲线(),0f x y =沿x
轴旋转(
,0f x ?=；
● 平面曲线(),0f x y =沿y
轴旋转()0f y ?=。
形象记忆法：舅留加饭（方）。即旋转轴留在曲面方程中，增加没出现的一个变量，
然后相加开平方。
如二维曲线0
z x ?=??=??z 旋转后的曲面方程为
z =
=特别地：当母线为直线并与准线相交时，旋转或平移则形成圆锥面。
例如：直线（母线）cot z y α=(α为两直线小于90度交角的一半)沿z 轴（准线）旋转
后，变为()2
cot 2222a z z a x y α
α==????→=+即为锥面方程，也可以由直线（母
线）cot z y α=沿某一园空间平移一周而形成锥面。
●锥面方程的一般求法：
给定准线(),0
:f x y L z h =???=??
和原点()00,0,0P ，求锥面方程如下：
设(),,P x y z 为锥面上的任意点，根据锥面形成的过程，必在准线L 上有相应的点
(),,Q X Y Z ，使得(),,Q X Y Z 在直线0P P 的延长线上，直线0P P 的方向数显然为(),,x y z 即：
X xt
Y yt Z zt =??
=??=?
（1） 又由于(),,Q X Y Z 在L 上，故
(),0
f X Y Z h =???=??
（2）
用（1）式代入（2）式，得所求的锥面方程为
(),0,0z
t h f xt yt hx hy f z z zt h
==????
??→=? ?=????
可见以圆点为顶点的锥面方程是齐次方程。
例如：已知顶点在原点及准线22
2210
:2x y L a b z ?+-=???=?
，则锥面方程为
22
222
22221212104
x y x y z a z b z a b ????+=?+-= ? ?????
这是一个椭圆锥面。
【例2】求以原点为顶点且与三坐标的截距相等的圆锥（正圆锥）方程。
解：设锥面与三坐标的交点为()()(),0,0,0,,0,0,0,A a B a C a ，得该三点确定的平面方程
截距式为：x y z a ++=，该平面与正圆锥的的交线是一个圆2222
x y z a x y z a ?++=?++=?，这就是准
线。
又设(),,M X Y Z 为锥面上任意点，()0,0,0O 为原点， (),,x y z 为母线OM 与准线的交
点，则母线方程点法式为
X Y Z X Y Z x y z x y z
=
=
?
== 令
1
,,X Y Z x Xt y Yt z Zt x y z t
===?===代入准线方程得()222220t X Y Z a
XY XZ YZ X Y Z a
?++=??++=?
++=??即为所求的锥面方程。 ●空间曲线旋转形成的曲面（可以沿任意轴旋转）
空间曲线Γ的参数方程：()()()x t y t z t ?ψω=??=??=?，空间曲面Ω的参数方程：()
()()
,,,x x s t y y s t z z s t =??
=??=?
Γ沿z 轴旋转后形成的曲面方程为：
【例3】求曲线22
1
3
y x z =??+=?绕z 轴旋转一周所形成的曲面方程。 解：先将曲线写成参数式
22
113x t
y y x z z t ?==??
?=??+=??
=? 绕z 轴旋转一周后
(
)222222
222cos 3cos 1sin 31sin 14x x y t y z t
z t x y t x y z z z t
θθ?=??
??+=+??
=???=????=???
??+=-++=-??????
≤?=???
④ 9种必须掌握的曲面
1）椭球锥面 22
222x y z a b +=
2）椭球面 222
2221x y z a b c ++=
3）单叶双曲面 222
2221x y z a b c +-=
4）双叶双曲面 222
2221x y z a b c --=
5）椭圆抛物面 22
22x y z a b
+=
6）双曲的抛物面 22
22x y z a b
-= 又称马鞍面（准线与母线是相互正交的抛物线，母线
抛物线沿准线抛物线平移形成马鞍面，这是我们需要掌握的唯一一个准线与母线都是非直线的曲面。）
7）椭圆柱面 2
2
221x y a b += （椭圆22221x y a b z h
?+
=???=?
）母线平行z 轴
8）双曲柱面 22
221x y a b
-= 母线平行z 轴
9）抛物柱面 2x ay = 母线平行z 轴
五星级提示：对于一般的曲面方程，最方便的方法是：首先令其中一个变量为零，如能得出母线或准线，我们就能确定该曲面的形状。
二、 典型题型
【例4】 证明向量 a b b a c a b
+=
+表示向量a 与b 的角平行线方向。
证明：因为单位向量：, a b a b e e a
b
==
由a e 与b e 为边构成的平行四边形为棱形，其对角线平分顶角，则与a 与b 夹角平分
线平行的向量d
a b a b b a d e e a b a b a b b a a b b a c d
a b
a b
a b
λ+=+=
++=
=?
=++
故原命题成立。
【例5】 一向量与,x y 轴夹角相等为α，与z 轴夹角为2α，试确定该向量的方向。
解：由于 222cos cos cos 1αβγ++=，所以：
()()()
2
2
2
2
2
2
2
2
cos cos cos 212cos 2cos 11
2cos 2cos 10;
=;
02
4
2
αααααπ
π
π
ααααγπα++=?+-=??-=?=
=
?>方向角定义要求
故该向量的方向为()()cos ,cos ,cos 0,0,1,22αβγ??
=- ? ???
或。
【例6】 过点（-1，0，4），平行于平面3410x y z -+=且与直线132
z
x y +=-=相交的直线方程。
解：一般切入点：如果所求的直线方向向量不能明显求出，就设直线方程的参数形式。
设所求直线方程为：14x lt y mt z nt =-+??
=??=+?
直线与已知平面平行，则340 (1)n s l m n ⊥?-+=
两直线相交，则将14x lt
y mt z nt
=-+??
=??=+?
代入132z x y +=-=消去(),,x y z 得
()(
)34343100 (2)224m l t nt lt mt m n l l n t -=?+?=-+=??+-=?-=?? 联立（1）（2得28
419, 16,19728
n l n m n l m ==
=???→==，所求的直线方程为 11619428x t
y t
z t =-+??
=??=+?
【例7】 判断 1L ：
21112x y z +-==；和 2L ： 12
134
x y z +-==
是否共面，若在同一平面求交点，若异面求距离？ 解：()()121, 1, 2; 1, 3, 4;s s ==
()()()()(){}()2121211, 0, 1, 0,1,2,,1,1,1P Q PQ x x y y z z --?=---=- 112
1
3
420111=≠-为异面直线。
设两直线距离为d ，
21112x y z t +-===, 12
134
x y z s +-===, 则
()()()
222
2
1131425224407
,1241240
352520124490
24s t ss tt st
ts d h s t s t s t h s t t s h s t h A
A h C
B A
C h h B =
==-++-+-++-=-+=??==?
=-+-=?==?=>??
==???-=-
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2 222 =+y x 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141:1+=+=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3 π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)
5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42 =绕z 轴旋转一 周，所得旋转曲面方程是[B ] A. ) (42y x z += B. 2 2 2 4y x z +±= C. x z y 422 =+ D. x z y 422 ±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程 222 22 x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则 = b proj a ?ρ[ C ]
高等数学考研知识点总结 一、考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1
1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注： 1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则 2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。 4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、 5、设是以为周期的连续函数，则， 6、若为奇函数，则；若为偶函数，则 7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3)
考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则 型和 ∞ ∞ 型直接用洛必达法则 ∞ 0、0∞、∞1型先转化为 型或 ∞ ∞ 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括1 sin lim = → x x x 、e x x x = + → 1 ) 1( lim、e x x x = + ∞ → ) 1(1 lim； 4.夹逼定理。 1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第三章《不定积分》提醒：不定积分?+ =C x F dx x f) ( ) (中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分?dx x f) (的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+ =C x F dx x f) ( ) (中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章： 对于?-a a dx x f) (型定积分，若f(x)是奇函数则有?-a a dx x f) (=0； 若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f) (=2?a dx x f ) (； 对于?20)( π dx x f型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t- = 2 π 的代换是常用方法。 所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0 = ?-a a奇函数、? ?= - a a a0 2偶函数 偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》 用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A?E、(A B)?C、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。 正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A?E就可能有A?H、A?(I K)、(A B) ?M等等公式同时存在，
第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)
第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+
考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板函数 极限数列的极限特殊——函数的极限一般 极限的本质是通过已知某一个量自变量的变化趋势去研究和探索另外一个量因变量的变化趋势 由极限可以推得的一些性质局部有界性、局部保号性……应当注意到由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立 在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续函数在某点的极限等于函数在该点的取值 连续的本质自变量无限接近因变量无限接近导数的概念 本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限更简单的说法是变化率 微分的概念函数增量的线性主要部分这个说法有两层意思一、微分是一个线性近似二、这个线性近似带来的误差是足够小的实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它但是当误差不够小时近似的程度就不够好这时就不能说该函数可微分了不定积分导数的逆运算什么样的函数有不定积分 定积分由具体例子引出本质是先分割、再综合其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分然后再综合最后求极限当极限存在时近似成为精确 什么样的函数有定积分 求不定积分定积分的若干典型方法换元、分部分部积分中考虑放到积分号后面的部分不同类型的函数有不同的优先级别按反对幂三指的顺序来记忆 定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法微元法 微分和导数的应用判断函数的单调性和凹凸性 微分中值定理可从几何意义去加深理解 泰勒定理本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容需要考虑两个问题一、这些多项式的系数如何求二、即使求出了这些多项式的系数如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度即还需要求出误差余项当余项随着项数的增多趋向于零时这种近似的精确度就是足够好的考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板多元函数的微积分将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数 最典型的是二元函数 极限二元函数与一元函数要注意的区别二元函数中两点无限接近的方式有无限多种一元函数只能沿直线接近所以二元函数存在的要求更高即自变量无论以任何方式接近于一定点函数值都要有确定的变化趋势 连续二元函数和一元函数一样同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数上册中已经说过导数反映的是函数在某点处的变化率变化情况在二元函数中一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关有可能沿不同方向会有不同的变化率这样引出方向导数的概念 沿坐标轴方向的导数若存?诔浦际?通过研究发现方向导数与偏导数存在一定关系可用偏导数和所选定的方向来表示即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续则求导次序可交换 微分微分是函数增量的线性主要部分这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小若是则微分存在 仅仅有偏导数存在不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在且连续则微分一定存在 极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂 极值若函数在一点取极值且在该点导数偏导数存在则此导数偏导数必为零
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：概率论各章节知识点梳理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 考研数学备考：概率论各章节知识点梳理 众所周知，概率论的知识点又多又杂，需要我们系统的归类并掌握，这样才能获得高分。为此我整理了相关内容，希望对大家有所帮助。 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布
其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理
空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线 5 1132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线? ??=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方
5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的面积。 参考答案 一 填空题 1、? ?????-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==- =γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、5 31221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219== ?S
第七章 空间解析几何参考答案 第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（ 1，－ 2，3）在 [ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2. 方程 2 x 2 y 2 2 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3. 直线 l 1 x 1 y 1 z 1 x y 1 0 : 2 3 与 l 2 : x y z 2 ，的夹角是 [ C ] 4 A. 4 B. 3 C. D. 0 2 4. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 xoy 平面的对称点是 [ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5. 将 xoz 坐标面上的抛物线 z 2 4 x 绕 z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. z 2 4 ( x y ) B. z 2 4 x 2 y 2 C. y 2 z 2 4 x D. y 2 z 2 4 x 6. 平面 2x-2y+z+6=0 与 xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 1 B. 1 C. 2 2 3 3 3 D. 3 7. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 yoz 平面的对称点是 [ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 2 2 8. 方程 x y z 2 表示的是 [ B ] a 2 b 2 A. 椭圆抛物面 B. 椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b [ C ] A. 3B. 1 C. -1 D. 1 3 10．已知 a , b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. a 2 b 2 (a b ) 2 B. a 2 b 2 ( a b ) 2 C. (a b) 2 (a b )2 D. ( a b ) 2 ( a b ) 2 a 2 b 2
高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π
空间向量练习 一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分) 1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2) 2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1， 则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是() A． 120° B． 45° C． 150° D． 60° 3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当 ·取得最小值时，点Q的坐标为() A． B． C． D． 4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是() A．① B．② C．③ D．④ 5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点 E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是() A． 45° B． 60° C． 90° D． 120° 6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点， 设＝a，＝b，＝c，则等于() A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c 7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空 间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为() A． B． C．－ D．－ 8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点， 若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小() A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定 9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝ SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为() A．－ B． C．－ D． 10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平
高等数学空间解析几何 练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
向量代数与空间解析几何 第一部分 向量代数___线性运算 [内容要点]: 1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算. 3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算. [本部分习题] 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. (2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C --- 2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标. 3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离. 4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。 5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M ??→的模、方向余弦和方向角. 6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量. 7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→ =+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.
第二部分 向量代数___向量的“积” [内容要点]: 1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。 2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。 3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题] 1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→ =--=-求： （1）;(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→?? 2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→?????? 3． 112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件. 4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值,使得: （1）a b λ→→+与z 轴垂直； （2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。 5．已知||3,||36,||72,a b a b →→→→==?=求a b →→ ?。 6．判断向量,,a b c →→→是否共面。 (1){3,2,5},{1,1,2},{9,7,16};a b c →→→===- (2){1,2,3},{3,3,1},{1,7,5};a b c →→→=-==-
空间解析几何与矢量代数小练习 一填空题 5 ’x9=45 分 1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________. 2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________ 3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面. 5、方程x2 y2 z 表示______________曲面. 6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 . 7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 . 二计算题11 ’x5=55 分 1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线x y 3 z 1 的直线方程 . 2 1 5 4、求过点 (2,0,-3) x 2 y 4z 7 0 且与直线 5 y 2z 1 垂直的平面方3x 0 5、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。 1
参考答案 一 填空题 1、 6 , 7 , 6 11 11 11 2、 M 1 M 2 =2, cos 1 ,cos 2 ,cos 1 , 2 , 3 , 2 2 2 3 4 3 3、 ( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14 4、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为 6 的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、 x 1 y 2 z 3 4 、 16x 14y 11z 65 0 2 1 5 5 S 1 OA OB 19 2 2 2
2013专转本高数空间向量复习资料(同方)
第七章 矢量与空间解析几何 本章主要知识点 ● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程 ● 主要的几个立体图形及方法 一、矢量运算 着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。 1．矢量的内积 （1）?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的夹角 （2）若?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 且?Skip Record If...? （3）?Skip Record If...? (?Skip Record If...?为非零矢量) 例7.1．?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?。 解：?Skip Record If...?。 例7.2．如果?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?。 解：?Skip Record If...? 得：?Skip Record If...? 得：?Skip Record If...?。 2．矢量的叉积?Skip Record If...? 如图所示，如果?Skip Record If...?不平行于 ?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?同时垂直 与?Skip Record If...?又垂直于?Skip Record If...?， 或者等价地，?Skip Record If...?垂直于由?Skip ??Ski p
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 空间直角坐标系 §7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法 一、判断题。 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =.则=同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若二向量b a ,满足关系b a ??-=a ?+b ? ，则b a ,反向。 （ ） 6． 若 +=+,则 = ( ) 7． 向 量 ,满 足 = ，则 ,同向。 （ ） 二、填空题。 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且|2|a b =，则b 由a 表示为b = 。 6．设,有共同的始点，则以,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。 三、选择题。 1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB // OA 且 2 1 a ，OC = b ，则AB = （A ） 2 1 - （B ）21- （C ）-21 （D ）21- 3．设有非零向量,，若a ⊥ b ，则必有
（A+（B+- （C+<-（D+>- 三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直 角三角形。 四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的 点D。 六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
考研数学讲座（1） 考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。 在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 阳春三月风光好，抓好基础正当时。 考研数学讲座（2）笔下生花花自红 在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。 也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。 考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。 动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。 科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑 如何迈出第一步。 或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）； 或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。 在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。 “连续函数与不连续函数的和会怎样？” 写成“连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。
例1 已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长AB =BC =3，BB 1=4，连结B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于点E ，交B 1C 于点F ． （1）求证：A 1C ⊥平面EBD ； （2）设A 1C ∩平面EBD =K ，求线段A 1K 的长； （3）求A 1B 与平面BDE 所成角的大小． 解法1：（1）证BE C A ⊥1，BD C A ⊥1，可得A 1C ⊥平面EBD ． （2）在平面1BC 中用平几知识可求得4 9 = CE ，在对角面1AC 中，设AC 与BD 交于点O ，可求得22CE OC OE +=4173=，由面积法得34 34 9=CK ， 2 121AA AC C A +=34=，34 342511= -=CK C A K A ． （3）∵A 1C ⊥平面B DE ，∴∠A 1BK 就是所求的直线A 1B 与平面BDE 所成的角． ∴BK A 1sin ∠B A K A 11= 34345= ，∴直线A 1B 与平面BDE 所成的角为34 34 5arcsin ． 解法2：（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则D (0，0，0），A (3，0，0），C (0，3，0），B (3，3，0），A 1(3，0，4），D 1(0，0，4），C 1(0，3，4）， B 1(3，3，4）． 设E (0，3，z ），则∵BE ⊥B 1C ，∴BE ·C B 1=0，BE =(-3，0，z ），B 1=(-3，0，-4）， ∴·B 1C=(-3，0，z ）·（-3，0，-4）=9-4z=0，∴z=49 ， ∴E(0，3，4 9)， ∴A 1·=-3×3+3×3=0，A 1·=3×3-4×4 9=0， ∴A 1⊥，A 1⊥，∴A 1⊥DB ，A 1C ⊥DE ， ∴A 1C ⊥平面BDE ． （2）DK =m +n =m (3，3，0）+n （0，3，49）=(3m ，3m +3n ，4 9n ）， ∴K (3m ，3m +3n ，49n ），∴A 1=（3m -3，3m +3n ，4 9n-4）， A 1⊥?A 1·=(3m -3，3m +3n ， 4 9 n -4）·(3，3，0）=0， A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E F
高等数学期末复习 第八章 向量代数与空间解析几何 一、容要求 1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标 2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系 3、会运用定义和运算性质求向量数量积 4、会运用定义和运算性质求向量的向量积 5、掌握向量数积和向量积的定义形式 6、掌握向量模的定义与向量数量积关系 7、掌握向量的方向余弦概念 8、掌握向量的平行概念 9、掌握向量的垂直概念 10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲 面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量 14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题 1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （容要求1） A. )2,4,1(-Q B. )2,0,1(-Q C. )0,4,1(-Q D. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D 2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（容要求2） 3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ ; 解：222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（容要求2） 4、向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )； A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---
考研数学讲座（17）论证不能凭感觉 一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。 1． x趋于∞时，求极限 lim xsin（2x∕(x平方+1) ,你敢不敢作等价无穷小替换? 分析只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。 x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα是无穷小， sinα（x）～α（x）且sinα处于“因式”地位。可以换。 等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2 2．设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性）？ 分析有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如 奇函数 f(－x)= －f(x) 周期为T的函数 f(x+T)= f(x) 等式两端分别求导，得 fˊ(－x) = fˊ(x) fˊ(x+T)= fˊ(x) （实际上，由复合函数求导法则，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x) (－x)ˊ= －fˊ(－x)） 所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为 (x)ˊ= 1 ，有的非周期函数，比如y = x + sinx ，的导数却是周期函数。 （潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。） 单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。 如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。 有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。 取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。 这个反例说明有界函数的导数不一定有界。 （画外音：写出来很吓人啊。 x → 1 时，lim f (x) = 0 ，而 lim fˊ(x)= －∞） 3．连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？ 分析连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如： 取分段函数g（x）为，x ＞ 0 时 g =1 ， x ≤ 0 时 g = －1，0是其间断点。 取f（u）=√u ，则f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 时有定义且连续。 还有一些原因让“病态点”消失。 如果只图简单，你可以取f（u）为常函数。以不变应万变。 取f（u）= u的平方，则f（g（x））= 1 ，显然是个连续函数。 4．设 f (x)可导，若x趋于 +∞时，lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析稍为一想，就知为否。例如 y = x 更复杂但颇为有趣的是 y = ln x ，x 趋于 +∞时，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0 ，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。