二次曲线上的四点共圆问题的完整结论
百年前，着名教材《坐标几何》(Loney 着)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是
这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθθ)(sin ,cos (b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]
2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：
若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .
文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.
文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：
结论1 抛物线2
2y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.
结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.
请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.
定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.
证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①
式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b a
λ''-=-,此时曲线①即
220x y c x d y e '''++++= ②
的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.
定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.
证明 由21,l l 组成的曲线即
111222()()0a x b y c a x b y c ++++=
所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：
22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③
必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.
充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③
左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b a
λ-=-. 此时曲线③即
220x y c x d y e '''++++= ④
的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.
推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.
证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.
(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.
(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个
交点共圆的充要条件即12120a a b b ????-
+-= ? ?????
也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.
由此可得欲证成立. 高考题1 (2016年高考四川卷文科第20题)已知椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的一
个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ???在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设不过原点O 且斜率为12
的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ?=?.
解 (1)(过程略)椭圆E 的方程是2
214
x y +=. (2)设1,1()A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,)M x y . 可得222212121,144
x x y y +=+=，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得 12121212()()()()4
x x x x y y y y +-=-+- 0
121212120
124()4AB x y y x x k x x y y y -+====--+-
0012CD y k x ==- 所以0AB CD k k +=，由推论1得,,,A B C D 四点共圆. 再由相交弦定理，立得=MA MB MC MD ??.
竞赛题1 (2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A 、B 为双曲线λ=-22
2
y x 上的两点，点N (1,2)为线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点.
(1)确定λ的取值范围；
(2)试判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？并说明理由.
简解 (1)用点差法可求得直线AB 的方程是1+=x y ，由直线AB 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得1->λ且0≠λ.
得直线CD 的方程是3+-=x y ，由直线CD 与双曲线λ=-22
2
y x 交于不同的两点，可得9->λ且0≠λ.
所以λ的取值范围是),0()0,1(+∞?-.
(2)在(1)的解答中已0AB CD k k +=，所以由推论1立得,,,A B C D 四点共圆.
笔者还发现还有一道竞赛题和四道高考题及均是二次曲线上的四点共圆问题，所以用以上定理的证法均可给出它们的简解.这五道题及其答案分别是：
高考题2 (2014年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题))已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且PQ QF 4
5=. (1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于B A ,两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于N M ,两点，且N B M A ,,,四点在同一圆上，求l 的方程.
(答案：(1)x y 42=；(2)01=--y x 或01=-+y x .)
高考题3 (2011年高考全国大纲卷理科第21题(即文科的22题))如图1所示，已知O
为坐标原点，F 为椭圆12:2
2
=+y x C 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于B A ,两点，点P 满足=++OP OB OA 0.
图1
(1)证明：点P 在C 上；
(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：Q B P A ,,,四点在同一圆上.
高考题4 (2005年高考湖北卷文科第22题(即理科第21题))设B A ,是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与该椭圆交于D C ,两点.
(1)确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；
(2)试判断是否存在这样的λ，使得D C B A ,,,四点在同一圆上？并说明理由.
(答案：(1)λ的取值范围是),12(+∞，直线AB 的方程是04=-+y x ；(2)当12>λ时时，均有D C B A ,,,四点在同一圆上.)
高考题5 (2002年高考江苏卷第20题)设B A ,是双曲线122
2
=-y x 上的两点，点N )2,1(N 是线段AB 的中点.
(1)求直线AB 的方程；
(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于D C ,两点，那么D C B A ,,,四点是否共圆？为什么？
(答案：(1)1+=x y ；(2)是.)
竞赛题2 (2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题)如图2所示，抛物线2
2y x =及点(1,1)P ，过点P 的不重合的直线12l l 、与此抛物线分别交于点,,,A B C D .证明：,,,A B C D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补.
图2
推论 2 设二次曲线22
:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.
证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==
2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==
3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==
由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：
1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=
再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.
推论2的极限情形是
推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).
由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：
高考题6 (2009年高考辽宁卷理科第20(2)题)已知??
? ??23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：2
1.) 高考题7 (2004年高考北京卷理科第17(2)题)如图3，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求0
21y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：0
0212y p k y y y AB -=-=+；.)
图3
高考题8 (2004年高考北京卷文科第17(2)题)如图3，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)
推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：
(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；
(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；
(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.
证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：
(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.
(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.
(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.
(本文中的所有结论及部分题目在文献[6]中均有论述.)
参考文献
1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：33
2 甘志国着.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，
3 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):21
4 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-38
5 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-10
6 甘志国.二次曲线上的四点共圆问题的完整结论[J].数学通讯，2013(7下):40-41