巧用平抛运动的两个重要推论解题
推论1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为?，则tan 2tan θ?=。
证明：如右图所示，由平抛运动的规律，得 200
tan v gt v v θ==， 200
12tan 2gt y gt x v t v ?===， 所以tan 2tan θ?=。
推论2：做平抛（或类平抛）运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。如图中的A 点和B 点。
证明：设平抛物体的初速度为0v ，从原点O 到A 点的时间
为t ，A 点的坐标为(,)x y ，B 点的坐标为/(,0)x ，
则0x v t =， 212
y gt = 2v gt =
22//00012tan gt v gt y v v x x v t x
θ====-- 解得：/01122
x v t x ==，即末状态A 点的速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必A 点水平位移的中点。
【例1】如右图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上的A 点，
先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度
为1v ，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为1α，
第二次初速度为2v ，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为2α，若12v v >，则（ ）
A.12αα>
B.12αα=
C.12αα<
D.无法确定
【解析】由题意知两次小球都落在斜面上，则落在斜面上时的位移与水平方向的夹角均为θ。设两次小球落回斜面瞬间的速度与水平方向的夹角分别为1β，2β，根据推论1可知：1tan 2tan βθ=，2tan 2tan βθ=，则可得12ββ=。由11αβθ=-，22αβθ=-，易得：12αα=。即α是一定值，与初速度0v 的大小无关。选项B 正确。
【例2】如右图所示，为一物体做平抛运动的x y -图象，物体从O 点抛出，x 、y 分别为其水平和竖直位移。在物体运动过程中的任一点(,)P x y ，其速度的反向延长线交于x
轴的A （A 点未画出），则OA 的长为 ( )
A.x
B.0.5x
C.0.3x
D.无法确定
【解析】由曲线运动的特点可知，速度的反向延长线与x 轴的
交点即为过P 的切线与x 轴的交点，由推论2可知0.5OA x =。选
项B 正确。
【点评】对于推论2，在处理电场部分的带电粒子在极板间的类平抛运动的问题时，非常有用，在此不在讲述。
平抛运动斜面距离问题的解法赏析 无锡市堰桥中学 周维新 平抛运动是生活中常见的运动，也是高中物理曲线运动中典型的运动形式。因此平抛运动高考中的重点和热点。学生在处理较为简单的问题时，进行分解合成处理还能完成，但是对于较为复杂的问题时就感觉到束手无策。本文就平抛运动中较为复杂的斜面距离问题的解法作如下探讨。 例题：如图，AB 斜面倾角为37°，小球从A 点以 初速度v 0=20m/s 水平抛出，恰好落到B 点，求： （1）物体在空中飞行的时间；AB 间的距离； （2）小球在B 点时速度的大小和方向； （3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大， 最大距离是多少g=10m/s 2； 1、分解法 第（3）问的传统解法将平抛运动分解到斜面方向和垂直于斜面方向：沿斜面方向：V //=V 0cos37o=20×0.8=16m/s ，a //=gsin37o=10×0.6=6m/s 2匀加速直线 运动。垂直斜面方向：V ⊥= V 0sin37o=20×0.6=12m/s ，a ⊥=gcos37o=10×0.8=8m/s 2匀减速直线运动。当垂直斜面方向的速度减为零时，球离斜面距离最远。t= ==1.5s ，最远距离S==。 此种解法沿用了离地最高必有在垂直地面方向的速度为零的结论。球离斜面距离最大，则球在垂直斜面上的速度必为零。因而本解法采用正交分解，可以巩固学生的运动合成与分解知识，同时拓展对平抛运动的处理方法。平抛运动分解为两个方向的匀变速直线运动，学生较易理解但运算较繁。 2、追击解法 设斜面上有一个点，该点沿斜面作匀速直线运动。该点的水平分速度v 0=20m/s 与小球的平抛初速度相等，竖直方向的分速度v y = v 0tan37°=15m/s ，所以小球由A 点平抛运动到B 点时，该点也恰好从A 点匀速运动到B 点，在运动过程中该点始终在小球的正下方。在竖直方向，小球自由落体追击该点匀速直线运动，当小球在竖直方向上的速度等于该点的竖直方向上的速度时，两点间有最大距离，此时小球与斜面间的距离也最大。解答如下： 研究对象：点 V 点x = 20m/s V 点y = 15m/s 小球：V 球x = 20m/s V 球y =gt 当V 球y = V 点y 时，点和球之间有最大距离y CD （如图） t= ==1.5s y CD = y 点-y 球=V 点y t-=15×1.5-5× 1.52=11.25m 则球与斜面间大最大距离S=y CD cos37o=9m 追击解法也采用运动的分解，但增加了研究对象，充分利用追击问题中的规律：两物速度相同时距离有极值。思维独特，想法新颖，运算较为简便，具有一定创造性，有利与学生发散性思维的培养。 3、数学几何法
平抛运动复习教案
学科：物理任课老师：授课时间：08:30-10:00 班级高一升高二年级：高二教学课题平抛运动的规律 阶段基础（√）提高（）强化（）课时 计划 第（1 ）次课 共（）次课 教学目标知识与技能： （1）理解平抛运动速度规律和位移规律，进一步认识速度夹角与位移夹角关系（2）理解抛体运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速运动的合运动，并且这两个运动互不影响 （3）能应用平抛运动的规律交流讨论并解决实际问题 过程与方法： 1．利用已知的直线规律来研究复杂的曲线运动，渗透物理学“化曲为直”“化繁为简”的方法及“等效代换”“正交分解”的思想方法 情感态度与价值观： 2、培养学生仔认真思考、积极参与、勇于探索的精神。 3、培养学生严谨的科学态度和实事求是的科学作风。 重点难点重点：平抛运动规律的探究过程难点：1、平抛运动的研究方法 2、平抛运动规律的探究过程 教学 方法 讲练法 教学过程一、知识回顾 1、物体做平抛运动的条件：具有水平方向的初速度，只受重力的作用 2、物体做平抛运动的特点：平抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，这两个方向上的运动互不干扰，互不影响。 3、平抛运动的规律：以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建成立坐标。 二、平抛运动问题归类求解 1、从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度
求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。 例1、如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A 处越过x =5m 的壕沟，沟面对面比A 处低h =1.25m ，摩托车的速度至少要有多大？ 2、从分解速度的角度进行解题 对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。 例2、如图2甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是 A.s 3 3 B.332s C.s 3 D.s 2 3.从分解位移的角度进行解题 对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向(如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角)，则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题(这种方法，暂且叫做“分解位移法”) 例3、 若质点以V 0正对倾角为θ的斜面水平抛出,如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为多少?
平抛运动典型例题 专题一：平抛运动轨迹问题——认准参考系 1、从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是（ C ）A．从飞机上看，物体静止 B．从飞机上看，物体始终在飞机的后方 C．从地面上看，物体做平抛运动 D．从地面上看，物体做自由落体运动 专题二：平抛运动运动性质的理解——匀变速曲线运动（a→） 2、把物体以一定速度水平抛出。不计空气阻力，g取10，那么在落地前的任意一秒内（ BD ） A．物体的末速度大小一定等于初速度大小的10倍 B．物质的末速度大小一定比初速度大10 C．物体的位移比前一秒多10m D．物体下落的高度一定比前一秒多10m 专题三：平抛运动“撞球”问题——判断两球运动的时间是否相同（h是否相同）；类比追击问题，利用撞上时水平位移、竖直位移相等的关系进行解决 3、在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出小两小球和，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力.要使两球在空中相遇，则必须（ C ） A．甲先抛出球B．先抛出球 C．同时抛出两球D．使两球质量相等 4、如图所示，甲乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，将甲乙两球分别以v1．v2的速度沿同一水平方 向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ D ） A．同时抛出，且v1< v2B．甲后抛出，且v1> v2 C．甲先抛出，且v1> v2D．甲先抛出，且v1< v2
专题四：平抛运动的基本计算题类型——关键在于对公式、结论的熟练掌握程度；建立等量关系 ①基本公式、结论的掌握 5、一个物体从某一确定的高度以v0 的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为v1，那么它的运动时间是（ D ） A ． B ． C ． D ． 6、作平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于( C ) A.物体所受的重力和抛出点的高度 B.物体所受的重力和初速度 C.物体的初速度和抛出点的高度 D.物体所受的重力、高度和初速度 7、如图所示，一物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向 的夹角 满足 （ D ） A.tan φ=sin θ B. tan φ=cos θ C. tan φ=tan θ D. tan φ=2tan θ 8、将物体在h =20m 高处以初速度v 0=10m/s 水平抛出，不计空气阻力（g 取10m/s 2 ），求： （1）物体的水平射程——————————————————20m （2）物体落地时速度大小————————————————m 510 ②建立等量关系解题
三、平抛运动及其推论 一、 知识点巩固： 1.定义：①物体以一定的初速度沿水平方向抛出，②物体仅在重力作用下、加速度为重力加速度g ，这样的运动叫做平抛运动。 2.特点：①受力特点：只受到重力作用。 ②运动特点：初速度沿水平方向，加速度方向竖直向下，大小为g ，轨迹为抛物线。 ③运动性质：是加速度为g 的匀变速曲线运动。 3.平抛运动的规律：①速度公式：0x v v = y v gt = 合速度：()2 2220t x y v v v v gt =+=+ ②位移公式：2 0,2 gt x v t y == 合位移：2 2 2 22 20 12s x y v t gt ?? =+=+ ??? tan 2y gt x v α== ③轨迹方程：2 202gx y v =，顶点在原点(0、0)，开口向下的抛物线方程。 注： （1）平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。 （2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为 。 （3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度恒定，所以竖直方向上在相 等的时间内相邻的位移的高度之比为 … 竖直方向上在相等的时间内相邻 的位移之差是一个恒量(T 表示相等的时间间隔）。 （4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为ɑ）方向和位移方向（与水平方向之间的夹角是）是不相同的，其关系式（即任意一点的速度延长线 必交于此时物体位移的水平分量的中点）。 V y x S O x x 2/V y V 0V x ＝V 0 P ()x y ,θα0 tan y x v gt v v θ= = ɑ θ ɑ
平抛运动的一个推论及应用 一：平抛运动的特点 将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，物体受到跟它的初速度不在同一直线上的重力作用而做曲线运动，这样的曲线运动叫做平抛运动。平抛运动是一类重要的匀变速曲线运动，它的特点： ① 只受重力作用。 ② 初速度方向沿水平方向 二：平抛运动的一个重要推论 推论 做平抛运动的物体经过一段时间，到达某一位置时，设其末速度与水平方向 的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tg α=2tg β。 证明 设平抛运动物体的水平初速度为 V 0，经过一段时间t ，到达A 点，如图1所示。由平抛运动的运动规律可得： tg α= O V V = O V gt tg β=AC AB =t V gt O 22 1=O V gt 2 ∴ tg α= 2tg β 三：推论的应用 例题1：作平抛运动的物体，当它的水平速度与竖直速度的要大小之比为1:2时，其水平位移与竖直位移的大小之比_________。 解析：设平抛运动物体的初速度为V 0，从O 点水平抛出，经过一段时间，到达A 点。由图2所示。根据平抛运动的运动规律可得： tg α=O V V =O V gt tg β=AC AB =t V gt O 22 1=O V gt 2 由推论可得：tg α= 2tg β ∵tg α=2 ∴tg β=1 即 AC:AB=1:1 . 例题 2：如图3，从倾角为θ的足够长斜面的A 点先后将同一个小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为V 1 ，球落到斜面上时速度方向与斜面的夹角为ψ1，第二次初速度为V 2，球落到斜面上时速度方向与斜面的夹角为ψ2，若V 1 >V 2, ,则： ①ψ1 >ψ2, 。②ψ1 <ψ2, 。③ ψ1 =ψ2,。 ④ 无法确定。
3.3 平抛运动 【学业达标训练】 1.从水平匀速飞行的直升飞机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是（） A.从飞机上看，物体静止 B.从飞机上看，物体始终在飞机的后方 C.从地面上看，物体做平抛运动 D.从地面上看，物体做自由落体运动 【解析】选C.从飞机上看，物体做自由落体运动，从地面上看，因物体释放时已具有与飞机相同的水平速度，所以做平抛运动，即C正确. 2.平抛物体的运动规律可概括为两条：第一条，水平方向做匀速直线运动；第二条，竖直方向做自由落体运动.为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验，如图3-3-8所示，用小锤打击弹性金属片，A球水平飞出，同时B球被松开.两球同时落到地面，则这个实验（） A.只能说明上述规律中的第一条 B.只能说明上述规律中的第二条 C.不能说明上述规律中的任何一条 D.能同时说明上述两条规律 【解析】选B.实验中A球做平抛运动，B球做自由落体运动，两球同时落地说明A球平抛运动的竖直分运动和B球相同，而不能说明A球的水平分运动是匀速直线运动，所以B项正确，A、C、D三项都不对. 3.甲、乙两物体做平抛运动的初速度之比为2∶1，若它们的水平射程相等，则它们抛出点离地面的高度之比为（） A.1∶2 B.1∶ C.1∶4 D.4∶1
4.抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动.现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L，网高h，如图3-3-9乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力（设重力加速度为g），将球水平发出，则可以求出（） A.发球时的水平初速度 B.发球时的竖直高度 C.球落到球台上时的速度 D.从球被发出到被接住所用的时间 5.如图3-3-10所示，AB为斜面，倾角为30°,小球从A点以初速度v0水平抛出,恰好落到B 点,求:AB间的距离及物体在空中飞行的时间.
高中物理第五章抛体运动专题一平抛运动规律的应用教案习题 （含解析）新人教版必修2 1．平抛运动的性质 加速度为g 的□01匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。 2．平抛运动的基本规律 (1)水平方向：做□ 02匀速直线运动，v x ＝v 0，x ＝□03v 0t 。 (2)竖直方向：做□ 04自由落体运动，v y ＝□05gt ，y ＝□0612 gt 2。 (3)合速度：v ＝□07v 2 x ＋v 2y ，方向与水平方向的夹角θ满足tan θ＝v y v x ＝□ 08gt v 0 。 (4)合位移：s ＝□ 09x 2＋y 2，方向与水平方向的夹角α满足tan α＝y x ＝□10gt 2v 0。 3．对平抛运动规律的理解
4．两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则□17tanθ＝2tanα。 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水 18中点，如图中A点为OB的中点。 平位移的□ 典型考点一平抛运动规律的综合应用 1．子弹从枪口水平射出，在子弹的飞行途中，有两块相互平行的竖直挡板A、B(如图所示)，A板距枪口的水平距离为s1，两板相距s2，子弹穿过两板先后留下弹孔C和D，C、D 两点之间的高度差为h，不计挡板和空气的阻力，求子弹的初速度v0。
答案 gs 2h ? ? ? ??s 1＋s 22 解析 从开始到C ，设下降的高度为h 1，所用时间为t 1， 根据h 1＝12gt 2 1，得t 1＝ 2h 1 g ， 则s 1＝v 0 2h 1 g ① 从开始到D ，设所用时间为t 2， 根据h ＋h 1＝12gt 2 2， 解得t 2＝ 2 h ＋h 1 g 则有：s 1＋s 2＝v 0 2 h ＋h 1 g ② 联立①②两式解得v 0＝ gs 2h ? ? ???s 1＋s 22。 2．从高为h 的平台上，分两次沿同一方向水平抛出一个小球。如右图第一次小球落地在a 点，第二次小球落地在b 点，a 、b 相距为d 。已知第一次抛球的初速度为v 1，求第二次抛球的初速度v 2是多少？(重力加速度为g ，不计空气阻力) 答案 v 1＋d g 2h 解析 平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动， 根据h ＝12 gt 2 得t ＝ 2h g 第一次抛出球的水平距离x 1＝v 1t 解得：x 1＝v 1 2h g 所以第二次抛出球的水平距离为x 2＝x 1＋d ＝v 1 2h g ＋d 第二次抛球的初速度为v 2＝x 2t ＝ v 1 2h g ＋d 2h g ＝v 1＋d g 2h 。 3．如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h ＝0.8 m ，g ＝10 m/s 2 ，
平抛运动典型例题 1、平抛运动中，（除时间以外）所有物理量均由高度与初速度两方面决定。 v水平抛出，抛出点离地面的高度为h，阻力不计，求：（1）小球在例1、一小球以初速度 o 空中飞行的时间；（2）落地时速度；（3）水平射程；（4）小球的位移。 2、从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度 求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。 例2、如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过x=5m 的壕沟，沟面对面比A处低h=1.25m，摩托车的速度至少要有多大？ 3、平抛运动“撞球”问题——判断两球运动的时间是否相同（h是否相同）；类比追击问题，利用撞上时水平位移、竖直位移相等的关系进行解决 例3、在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出小两小球和，其 运动轨迹如图所示，不计空气阻力.要使两球在空中相遇，则必须 A．甲先抛出球 B．先抛出球 C．同时抛出两球 D．使两球质量相等 例4、如图所示，甲乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙 高h，将甲乙两球分别以v1．v2的速度沿同一水平方向抛出，不 计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ D ） A．同时抛出，且v1< v2 B．甲后抛出，且v1> v2 C．甲先抛出，且v1> v2 D．甲先抛出，且v1< v2 4、平抛运动轨迹问题——认准参考系 例5、从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是（） A．从飞机上看，物体静止B．从飞机上看，物体始终在飞机的后方C．从地面上看，物体做平抛运动D．从地面上看，物体做自由落体运动5、平抛运动运动性质的理解——匀变速曲线运动（a→） 例6、把物体以一定速度水平抛出。不计空气阻力，g取10，那么在落地前的任意一秒内（） A．物体的末速度大小一定等于初速度大小的10倍 B．物质的末速度大小一定比初速度大10 C．物体的位移比前一秒多10m D．物体下落的高度一定比前一秒多10m 6、平抛运动的基本计算题类型——关键在于对公式、结论的熟练掌握程度；建立等量关系
命题点一平抛运动的基本规律 1.如图所示,A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度υ0沿x轴正方向抛出,A在竖直平面内运动,落地点为P1;B沿光滑斜面运动,落地点为P2,P1和P2在同一水平面上,不计阻力,则下列说法正确的是( ) A. A. B的运动时间相同 B. A. B沿x轴方向的位移相同 C. A. B运动过程中的加速度大小相同 D. A. B落地时速度大小相同 2.如图为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P点）.球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），则（） A.足球位移的大小x= B.足球初速度的大小v0= C.足球末速度的大小v= D.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值 tanθ= 3.（多选）在如图所示的平面直角坐标系中，A、B、C三个小球沿图示方向做平抛运动，下列表述正确的是（） A.若A、B、C同时抛出，恰好能在地面相遇，需要满足v C>v B>v A B.若A、B能在地面相遇，则A、B在空中运动的时间之比为2:1 C.若A、C在（x0，0）相遇，则一定满足v A=v C D.只要B、C同时开始做平抛运动，二者绝不可能相遇 命题点二与斜面有关的平抛运动问题
1.如图所示,一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出,经过3s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点,斜坡与水平面的夹角θ=37°,运动员的质量 m=50kg.不计空气阻力(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8;g取10m/s2).求： (1)A点与O点的距离L； (2)运动员离开O点时的速度大小； (3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。 2.如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为（重力加速度为g）（） A. B. C. D. 3.如图所示。倾角为θ的斜面上有A. B. C三点,现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球,三个小球均落在斜面上的D点。今测得AB:BC:CD=5:3:1,由此可判断( ) A. A. B. C处三个小球运动时间之比为1:2:3 B. A. B. C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1:1:1 C. A. B. C处三个小球的初速度大小之比为3:2:1 D. A. B. C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 命题点三平抛运动中的临界问题 1.在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。
平抛运动的推论及应用 河北 袁振卓 推论1：做平抛运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角 为θ，位移与水平的夹角为?，贝tan θ=2tan ?． 证明：如图1所示，由平抛运动规律得 00y v gt v v tan ==θ，002v 2gt t v gt 21x y tan ===? 所以?=θtan 2tan 。 例1、如图2所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角?满足( ) A 、θ=?sin tan B 、θ=?cos tan C 、θ=?tan tan D 、θ=?tan 2tan 解析：直接根据推论1，可知正确选项为D ． 推论2：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图3所示，B 为OA 的中点，设平抛物体的初速度为0v ，从原点O 到A 点的 时间为t ，A 点坐标为)0,x (，B 点坐标为)0,'x (，则t v x 0=，gt v ,gt 21y y 2==。又 'x x y v v tan 0y -==θ，解得2x 'x =。即末状态速度方向反向延长线与x 轴的交点B 必为此刻水平位移OA 的中点。
例2、如图4所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox 以=0v 2m ／s 的速度抛出，经过一段时间到达P 点，M 为P 点在Ox 轴上的投影，作小球轨迹在P 点的切线并反向延长，与Ox 轴相交于Q 点，已知QM=3m ，则小球运动的时间为多少? 解析：由推论2可知，Q 为OM 的中点，则从O 点运动到P 点的过程中，小球发生的水平位移s 水平=OM=2QM=6m ．由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为t=3s ． 推论3：任意时刻的两个分运动的速度与合运动的速度构成一个矢量直角三角形． 例3、从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度方向相反，大小分别为1v 和2v ，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90°? 解析：设两个小球抛出后经过时间t 它们速度之间的夹角为90°，与竖直方向的夹角分 别为α和β，对两小球分别构建速度矢量直角三角形，如图5所示，根据图可得： gt v tan ,v gt cot 2 1=β= α ① 又因为β=α?=β+αtan cot ,90所以 ② 由①②得gt v v gt 21=，所以21v v g 1t =。
体育运动中的物理问题集锦 丰富多彩的体育运动与物理知识有着密切的联系，以体育运动为背景的试题，具有浓郁的生活气息，能够让学生体会到物理知识的实用性——物理学对提高体育运动水平具有广泛指导作用。物理教学中可以有意识地设计、选用这类习题，指导学生分析解决体育运动中的实际问题，提高学生的科学文化素质，提高学生学习物理的兴趣，增强学生综合运用知识分析、解决实际问题的能力。 解答此类问题时，弄清问题情景是前提，简化物理过程（状态）是要诀，建立理想模型是关键，然后运用相关的知识进行分析，从而获得问题的解答。 本文整理了部分涉及体育运动的物理问题，权作引玉之砖。 一、原地跳起（直线运动） 例1 （2005年高考理综物理试题）原地跳起时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地，从开始蹬地到离地是加速过程（视为匀加速），加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”，离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”，现有下列数据：人 原地上跳的“加速距离”d1=O．50m，“竖直高度”；跳蚤原地上跳的“加速距离”，“竖直高度”，。假想人具有与跳蚤相等的 起跳加速度，而“加速距离”仍为0．50m。则人上跳的“竖直高度”是多少？ 解析设跳蚤起跳的加速度为口，离地时的速度为口，则对加速过程和离地后上升过程分别有 若假想人具有和跳蚤相同的加速度a，在这种假想下人离地时的速度为V，与此相应的竖直高度为H，则对加速过程和离地后上升过程分别有 由以上各式可得 代入数值，得。 二、接力赛跑（直线运动、） 例2甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前S0＝13.5 m处作了标记，并以V＝9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，已知接力区的长度为L＝20 m。 求：⑴此次练习中乙在接棒前的加速度a。 ⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。 解析⑴在甲发出口令后，，甲乙达到共同速度所用时间为：
[例1] 在倾角为的斜面上的P点，以水平速度向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q点，证明落在Q点物体速度。 解析：设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是，所用时间为，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为；水平方向上的位移为。 又根据运动学的规律可得 竖直方向上， 水平方向上 ， 所以Q点的速度 ?[例2] 如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为和，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A 和B两小球的运动时间之比为多少？ 图3 解析：和都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到 所以有 同理 则 ? [例3] 如图6所示，在倾角为的斜面上以速度水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？ 图6 解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。 取沿斜面向下为轴的正方向，垂直斜面向上为轴的正方向，如图6所示，在轴上，小球做初速度为、加速度为的匀变速直线运动，所以有 ?① ?② 当时，小球在轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。 由①式可得小球离开斜面的最大距离 当时，小球在轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由②式可得小球运动的时间为
例4：在平直轨道上以20.5/m s 的加速度匀加速行驶的火车上，相继下落两个物体下落的高度都是2.45m ．间隔时间为1s ．两物体落地点的间隔是2.6m ，则当第一个物体下落时火车的速度是多大？（g 取210/m s ） 分析：如图所示．第一个物体下落以0v 的速度作平抛运动，水平位移0s ，火车加速到下落第二个物体时，已行驶距离1s ．第二个物体以1v 的速度作平抛运动水平位移2s ．两物体落地点的间隔是2.6m ． 解：由位置关系得 1202.6s s s =+- 物体平抛运动的时间 0.7t s '= 由以上三式可得 例5：光滑斜面倾角为θ，长为L ，上端一小球沿斜面水平方向以速度0v 抛出（如图所示），小球滑到底端时，水平方向位移多大？ 解：小球运动是合运动，小球在水平方向作匀速直线运动，有 0s v t = ① 沿斜面向下是做初速度为零的匀加速直线运动，有 2 12 L at = ② 根据牛顿第二定律列方程 sin mg ma θ= ③ 由①，②，③式解得s v v == 例6：某一物体以一定的初速度水平抛出，在某1s 内其速度方向与水平方向成37?变成53?，则此物体初速度大小是________/m s ，此物体在1s 内下落的高度是________m （g 取210/m s ） 选题目的：考查平抛物体的运动知识的灵活运用． 解析：作出速度矢量图如图所示，其中1v ．2v 分别是ts 及(1)t s +时刻的瞬时速度．在这两个时刻，物体在竖直方向的速度大小分别为gt 及(1)g t +，由矢量图可知： 由以上两式解得017.1/v m s = 9 7 t s = 物体在这1s 内下落的高度 例7如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出，经过3.0s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员的质量m=50kg ．不计空气阻力．（取sin37°=0.60，cos37°=0.80；g 取10m/s 2）求： （1）A 点与O 点的距离L ；（2）运动员离开O 点时的速度大小；
平抛运动的推论应用 例1.如右图所示，从倾角为的足够长的斜面上的A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为α1，第二次初速度为V2，球落到 斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，若v1 v2，则 A.α1＞α2 B. 12 C. 12 D. 无法确定 【解析】1）由题意知两次小球都落在斜面上，则落在斜面上时的位移与水平方向的夹角均为β。设两次小球落回斜面瞬间的速度与水平方向的夹角分别为α1，α2，根据推论1可知： tanα1=2tanβ，tanα=2tanβ，
则可得α1=α2。。α是一定值，与初速度v0的大小无关。选项B正确。 2）如图5，根据上面的结论可知A是OB的中点，由几何关系可得tanβ=2tanθ，α=β-θ。小球两次水平抛出，θ一样，所以落在斜面上两次速度的偏转角相等，即β1=β2，进而推出α1=α2，也就是两次小球落在斜面上的速度方向相同，与初速度无关。 例2．如图2所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成530，飞镖B与竖直墙壁成370，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。（sin370=， cos370=）
解析：由题意可知，飞镖A、B从同一点做平抛运动，其速度方向的反向延长线的交点C为水平位移的中点，如图3。设飞镖的水平位移为x，根据几何关系得： ， Ya=x/2tan53°=3/8x，Yb=x/2tan37°=2/3x 又已知 解得，即射出点离墙壁的水平距离为24d/7 例题3.作平抛运动的物体，当它的水平速度与竖直速度的要大小之比为1:2时，其水平位移与竖直位移的大小之比_________
粤教版高中物理必修二第一章 第四节 平抛运动规律的应用 主讲人：梁杰宁 单位：从化中学 教学目标： 知识与技能： 1、进一步理解平抛运动的特点。 2、进一步理解平抛运动的处理方法。 3、熟练掌握平抛运动的规律 过程与方法： 1、通过举例，联系实际，分析平抛运动的规律 2、通过讨论与交流，理解平抛运动处理的方法 情感、态度与价值观： 1、通过观察与思考，提高学生应用知识的能力 2、通过分组讨论，加强学生的协助与互相学习的能力 学情分析： 平抛运动是匀变速曲线运动的典型代表，是一种最基本、最重要的曲线运动，是运动的合成和分解知识的应用，是理解和掌握其他曲线运动的基础。认识平抛运动采用的是运动的合成与分解的方法，它是一种研究问题的方法，这种方法在“运动的合成与分解”的学习中学生已有基础，本节课是“平抛运动”的第二课时。因此，在教学中应让学生主动尝试应用平抛物体运动规律来解决实际问题。这一学习过程的经历，能激发学生探究未知问题的乐趣，领悟怎样将复杂的问题化为简单的问题，将未知问题化为已知问题。日常生活中平抛运动的现象也较多，通过与生活实际的联系，可以使学生更深入了解运动的规律。 重点：平抛运动规律的应用 难点：平抛运动规律的处理方法 教学环节与活动： 一、知识回顾 1. 平抛运动的解题方法是：运动的合成与分解 2. 平抛运动规律： 活动设计与教学评价： 通过提问、默写形式，让学生回顾上节课所学的内容。 学生对于规律公式很容易出现遗忘或写错的形式，所以可通过默写的形式来突出学生记忆的盲点并加以强化。 二、目标引领 考点一：平抛运动的特点、性质及其探究 考点二：平抛运动的规律运用 2gt 2 1y =22y x S +=220y v v v +=t v x 0=0 v v x =gt v y =
高一年级,物理提高训练 --- （WC）抛体运动专题训练1.2008高考.江苏卷抛体运动在各类体育运动项目中很常见,如乒乓球运动.现讨论乒乓球发球问题,设球台长2L、网高h,乒乓球反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方 向相反,且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力.(设重力加速度为g) (1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出,落在球台的P1(如图实线所示),求P1点距O点的距离s1; (2)若球在O点正上方以速度v2水平发出,恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点(如图虚线所示),求v2的大小; (3)若球在O点正上方水平发出后,球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3处,求发球点距O点的高度h3. 2. 2011海南高考第15题如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点。已知c 点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。 3．2010全国理综1第18题一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与 斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离 之比为( ) A． 1 tan B． 1 2tan C．tan D．2tan
4．2009广东物理第17（1）题为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施了投弹爆破，飞机在河 道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。求炸弹刚脱离飞机到击中 目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。（不计空气阻力） 5．2008全国理综卷1第14题如图2所示，一物体自倾角 为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与 斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（） A．tanφ＝sinθB．tanφ＝cosθ C．tanφ＝tanθD．tanφ＝2tanθ 6．2010北京理综如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从Ｏ点水平飞出，经过 3.0ｓ落到斜坡上的Ａ点。已知Ｏ点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角＝37°，运动员的质量 =0.60，cos37°=0.80；g取10m/s2）q求 m=50kg.不计空气阻力。（取sin37° （1）A点与O点的距离大小； （2）运动员离开O点时的速度大小； （3）运动员落到A点时的动能。 7.2011广东高考第17题如图6所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距 地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动， 下列表述正确的是( ) 2H A.球的速度v等于L g 2H B.球从击出至落地所用时间为 g C.球从击球点至落地点的位移等于L D.球从击球点至落地点的位移与球的质量有关 8. 一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的 正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速运 动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示，试求： (1)车向左运动的加速度的大小； (2)重物m在t时刻速度的大小．
河北袁振卓 推论1：做平抛运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平的夹角为，贝tanθ=2tan． 证明：如图1所示，由平抛运动规律得， 所以。 例1、如图2所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足( ) A、B、 C、D、 解析：直接根据推论1，可知正确选项为D． 推论2：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图3所示，B为OA的中点，设平抛物体的初速度为，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为，B点坐标为，则，。又，解得。即末状态速度方向反向延长线与x轴的交点B必为此刻水平位移OA的中点。 例2、如图4所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以2m／s的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM=3m，则小球运动的时间为多少 解析：由推论2可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移s水平=OM=2QM=6m．由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为t=3s． 推论3：任意时刻的两个分运动的速度与合运动的速度构成一个矢量直角三角形． 例3、从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度方向相反，大小分别为和，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90° 解析：设两个小球抛出后经过时间t它们速度之间的夹角为90°，与竖直方向的夹角分 别为α和β，对两小球分别构建速度矢量直角三角形，如图5所示，根据图可得： ① 又因为② 由①②得，所以。 推论4：任意一段时间内两个分运动的位移与合运动的位移构成一个矢量直角三角形．例4、如图6甲所示，小球a、b分别以大小相等、方向相反的初速度从三角形斜面的
平抛运动的两个推论 ★推论 1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻、任一位置其末速度方向与水平方向的夹角为，位移方向与水平方向的夹角为，则 tan θ＝ 2tan α。 ﹟注意合速度的方向与水平方向的夹角不是合位移的方向与水平方向的夹角的 2 倍，即θ≠2α，而是tan θ＝ 2tan α． 【证明】： 【例 1】一物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足（） A．tan sin B ．tan cos C．tan tan D．tan 2 tan ★推论 2：：做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位 移的中点，如图中P点和 Q点。 【证明】： 【例 2】如图14所示为一物体做平抛运动的图像，此曲线上任一点P（x， y）的速度方向的反向延长线交于x 轴上的 A 点，则 A 点的横坐标为（） A. 0.6x B. 0.5x C. 0.3x D. 无法确定 O A x p (x,y) y 图14
【课堂训练】 1.如图所示，从倾角为α的足够长的斜面顶端，先后以不同的初速度水平向右抛出相同的两 只小球，下列说法正确的是() A．两小球落到斜面上历时相同 B．两小球落到斜面上的位置相同 C．两小球落到斜面上时速度大小相同 D．两小球落到斜面上时速度方向相同 2.（ 2012 ·安徽联考）如图所示是倾角为 45°的斜坡，在斜坡底端 P 点正上方某一位置Q 处以速度 v 0水平向左抛出一个小球 A ，小球恰好能垂直落在斜坡上，运动时间为t1.小球 B 从同一点 Q 处自由下落，下落至 P 点的时间为 t2.不计空气阻力，则 t1∶ t2＝ () A．1∶2 B．1∶2 C．1∶ 3 D． 1∶3 3. 一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（）A．tan B ．2 tan 11 C．D． tan2tan 4. 如图 13 所示，在倾角为的斜面上 A 点，以初速度v0水平抛出一小球，小球落到斜面 上的 B 点，不计空气阻力，求小球落到 B 点的速度为多大？ v0A B 图13 5. 如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖 A 与竖直墙壁成53 角，飞镖 B 与竖直墙壁成37 角，两者相距为 d，假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点 离墙壁的水平距离 ?(sin37=0． 6， cos37＝ 0.8) 此结论在以后电磁学中解类平抛运动问题大有用途。
微型专题1 平抛运动规律的应 用 知识目标核心素养 1.能熟练运用平抛运动规律解决问题. 2.会分析平抛运动与其他运动相结合的 问题. 3.会分析类平抛运动. 1.通过对“与斜面有关的平抛运动”的分析，体 会两种典型模型的运动分解方法. 2.用类比法分析“类平抛运动”，在知识和规律 的迁移中提高逻辑思维和综合分析问题的能力. 一、平抛运动的两个重要的推论及应用 平抛运动的两个推论 (1)某时刻速度、位移与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan θ＝2tan α. (2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 例1如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)( ) 图1 A．tan φ＝sin θB．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θD．tan φ＝2tan θ 答案 D 解析物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D正确． 【考点】平抛运动推论的应用 【题点】平抛运动推论的应用 二、与斜面有关的两类平抛运动 与斜面有关的平抛运动，包括两种情况： (1)物体从空中抛出落在斜面上； (2)物体从斜面上抛出落在斜面上． 在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度方向的关系，从而使问题得到顺利解决． 两种情况的特点及分析方法对比如下： 方法内容斜面飞行时间总结分解速度 水平方向：v x＝v0 竖直方向：v y＝gt 特点：tan θ＝ v x v y ＝ v0 gt t＝ v0 g tan θ 分解速度，构建 速度三角形分解位移 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝ 1 2 gt2 特点：tan θ＝ y x ＝ gt 2v0 t＝ 2v0tan θ g 分解位移，构建 位移三角形 例2如图2所示，以9.8 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)( ) 图2