课题 5.1.1.认识分式
(一)
执笔人王淑芬审核人刘庆伟授课时间总第46 课时授课人
教学目标1、了解分式的概念,明确分式和整式的区别;
2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.
3、培养学生观察、归纳、类比的思维,让学生学会自主探索,合作交流.
学情分析
学生在小学学过分数,其实分式是分数的“代数化”,所以其性质与运算是完全类似的.在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数
量关系,其中包括整式与分式等数量关系.
重难点分式的概念及分式在什么条件下有意义是本节课的重点和难点
教法先学后教学法自主学习
教学程序及内容修订
第一环节知识准备
问题:下列子中那些是整式?
a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,
第二环节情景引入
问题情景(1):面对目前严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙
造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙
造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成一原计划的任务。这一
问题中有哪些等量关系?
如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要个
月,实际完成一期工程用了个月。
问题情景(2):新华书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册
a元,现降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b 元.降价销售开始时,新华书店这种图书的库存量是多少?
第三环节自主探索
?讨论内容:对前面出现的代数式如下,它们有什么共同特征?它们与整式有什么不同?
第四环节练习提高
例题(1)当a=1,2时,分别求分式的值;
(2)当a取何值时,分式有意义?
第五环节课堂反馈
1、下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?
2、x取什么值时,下列分式无意义?
第六环节自我小结
这节课你有哪些收获?
当堂
检测
板书设计教学反思1.当x取()值时,分式无意义;
2.当x取()值时,分式的值为零。
第一章三角形的证明 【单元分析】 本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续,在“平等线的证明”一章中,我们给出了8 条基本事实,并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。 在这之前,学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索,探索的同时也经历过一些简单的推理过程,已经具备了一定的推理能力,树立了初步的推理意识,从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。 【单元目标】 1.知识与技能 (1)等腰三角形的性质和判定定理; (2)直角三角形的性质定理和判定定理; 2.过程与方法 (1)会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题; (2)直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题; 3.情感态度与价值观 (1)经历由情景引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力; (2)感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。 【单元重点】 在证明过程中,进一步感受证明过程,掌握推理证明的基本要求,明确条件和结论,能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 【单元难点】 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论,能否用数学语言正确表达等。 【教学思路】 1.对于已有命题的证明,教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程,从中获取严格证明的思路;对于新增命题,教学过程中要重视学生的探索、证明过程,关注该命题与其他已有命题之间的关系;对于整章的命题,注意关注将这些命题纳入一个命题系统,关注命题之间的关系,从而形成对相关图形整体的认识。 2.对于证明的方法,除了注重启发和回忆,还应注意关注证明方法的多样性,力图通过学生的自主探索,获得多样的证明方法,并在比较中选择适当的方法。 3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法,如转化、归纳、类比等。 4.作为初中阶段几何证明的最后阶段,教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求,掌握规范的证明表述过程,达成课程标准对证明表述的要求。
《认识分式》第2课时教案 一、学生知识状况分析 学生的技能基础:学生在上节课了解了分式的概念,在小学学过分数的基本性质,所以可类比分数的基本性质来学习分式的基本性质,在上节课已初步掌握了类比的学习方法,在前几章中还学习了分解因式,这些都为本节课的学习奠定基础. 学生活动经验基础:在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力. 二、教学任务分析 本节课的学习任务是让学生掌握分式的基本性质和分式的约分,这也是本节课的重点。在学习分式的的基本性质时,可类比分数的基本性质来学习,要引导学生用类比的方法,通过对分式的基本性质的归纳,培养学生观察,类比,推理的能力。本节课的教学目标为: 1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分; 2.通过对分式的基本性质的归纳,培养学生观察,类比,推理的能力; 3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力. 三、教学过程分析 本节课设计了六个环节:知识准备——情景引入——例题讲解——课堂反馈——课堂小结。 第一环节 知识准备 活动内容: 复习分数的基本性质. 问题:2 163 的依据是什么? 活动目的: 通过分数的约分复习分数的基本性质,通过类比来学习分式的基本性质. 注意事项: 学生对于分数的基本性质掌握较好,基本能说出分数的分子分母同时乘以或除以同一个不为
零的数,分数的值不变。 第二环节 情景引入 活动内容: 通过对上题的回答,来回答本题,寻求两者之间的联系.与同伴讨论交流,从而归纳出分式的基本性质. 问题:你认为分式a a 63与2 1相等吗?mn m 2与m n 呢? 活动目的: 让学生通过观察,类比,推理出分式的基本性质,并让学生明白类比的理由是字母可以表示任何数. 注意事项: 通过对分数的基本性质的理解,可类比得出分式的基本性质,但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数,不容易想到整式,另外这个整式不能为零,老师要引导学生想到这一点. 第三环节 例题讲解 活动内容: 例1、下列等式的右边是怎样从左边得到的? (1))0(22≠=y xy by x b (2)b a bx ax = 例2、化简下列分式: (1)ab c ab 2 (2)1 2122+--x x x 活动目的: 通过例1加深学生对分式的基本性质的理解和应用.例2让学生了解把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式.引导学生找出他们的公因式,并学会利用分式的基本性质进行约分,使结果为最简分式或整式. 注意事项:
第十六章分式 教材分析 本章的主要内容包括:分式的概念,分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质,分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节: 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程其中,16.1 节引进分式的概念,讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形,是全章的理论基础部分。11.2节讨论分式的四则运算法则,这是全章的一个重点内容,分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点,克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数,这给运算带来便利。11.3节讨论分式方程的概念,主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质,并且出现了必须检验(验根)的环节,这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程,是本章教学中的另一个难点,克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念;相应地,分式方程是一类有理方程,解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而,分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型,它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 (二)本章知识结构框图 (三)课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点: 1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2.类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则。 3.类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算,掌握这些法则。 4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系。 5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想。 (四)课时安排 本章教学时间约需13课时,具体分配如下: 16.1 分式2课时16.2 分式的运算6课时 16.3 分式方程3课时数学活动小结3课时
八年级数学分式的概念 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
- 2 - 分式 一、教学目标 1.能说出分式的意义,理解分母为零时,分式无意义. 2.能确定分式中字母的取值范围,使分式有意义,或使分式的 值为零. ’ 3.会用分式表示实际问题中的数量关系,并会求分式的值. 二、教学重点与难点 教学重点:正确理解分式的有关概念. 教学难点:理解并确定分式何时有意义,何时值为零. 三、教学过程 , (一)引入新课 1.练习引出:用式子表示下列运算的结果: 2÷3; ab ÷(1+b); 2÷m ; (2x+1)÷(x-3); 学生口答后,教师设问: (1)分数线有哪几项功能(除号、括号) (2)这些结果的式子中哪几个不是整式?观察它们的分子、分母有什么特征. 2.用式子表示下列问题的结果,并分析特征: (1)三角形的底边长为a ,面积等于S ,那么底边上的高为 . (2)甲、乙两种咖啡按x :y 的质量比混合,调配10千克这种混合咖啡,需甲种咖啡 千克,乙种咖啡 千克. 教师指出:以上代数式的共同特征是(1)分子,分母都是整式; (2)分母中含有字母.这样的代数式叫分式.板书节名:8.1 分式. (二)新课教学 1.请学生在引入练习的基础上概括分式的意义.通过引导与整式对比,再强调分式的两个主要特征. 2.学生口答完成课本第189页练习.并得出已学代数式有整式(单项式和多项式)和分式之分. 3.教师指出:分式中字母若用数代人,分式就成为分数.所以分式与分数一样,分母为零时无意义.学生思考:分式 m 2中字母m 可以取任何值吗m=0时,分式有意义吗m 取何值,分式才有意义分式5312-+x x 的字母x 取何值,分式才有意义? 师生口头讨论得出结论:分式不是任何条件下都有意义的,当分式的字母取值使分母为零时,分式无意义,除此外分式都有意义.要确定何时分式有意义,只要排除使分母等于零的字母取值。解题中常用“排除法”.
北师大版八年级上册教学案 同庆初中教学设计 (导学模式) 学科:; 任课班级:; 任课教师:; 年月日 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理(一) 教学目标: 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推力意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点: 重点:了解勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题。 难点:勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境,激发学生的学习热情,导入课题 出示投影1 (章前的图文 p1)教师道白:介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献,并结合课本p5谈一谈,讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一,介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 (书中的P2 图1—2)并回答: 1、观察图1-2,正方形A中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。正方形B中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的?在学生交流回答的基础上教师直接发问: 3、图1—2中,A,B,C 之间的面积之间有什么关系? 学生交流后形成共识,教师板书,A+B=C,接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢? 二、做一做 出示投影3(书中P3图1—4)提问: 1、图1—3中,A,B,C 之间有什么关系? 2、图1—4中,A,B,C 之间有什么关系?
以三角形两直角边为边的正方形的面积和,等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中,你能用三角形的边长表示正方形的面积吗? 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗? 在同学的交流基础上,老师板书: 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说:如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 2c 2 a= + b 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾,较长的为股,斜边为弦,这就是勾股定理的由来。 3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形,并测量斜边的长度(学生测量后回答斜边长为13)请大家想一想(2)中的规律,对这个三角形仍然成立吗?(回答是肯定的:成立) 四、想一想 这里的29英寸(74厘米)的电视机,指的是屏幕的长吗?只的是屏幕的款吗?那他指什么呢? 五、巩固练习 1、错例辨析: △ABC的两边为3和4,求第三边 解:由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足2 24 2 c=25 = 3+ 即:c=5 辨析:(1)要用勾股定理解题,首先应具备直角三角形这个必不可少的条件,可本题 △ABC并未说明它是否是直角三角形,所以用勾股定理就没有依据。 (2)若告诉△ABC是直角三角形,第三边C也不一定是满足2 2 2c a= +,题目中并为 b 交待C 是斜边 综上所述这个题目条件不足,第三边无法求得。 2、练习P7 §1.1 1 六、作业 课本P7 §1.1 2、3、4 §1.1 探索勾股定理(二) 教学目标: 1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程,在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2.掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点: 重点:能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点:用面积证勾股定理 教学过程
第五章分式与分式方程 1.认识分式(一) 一教学目标: 1、了解分式的概念,明确分式和整式的区别; 2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表示 现实世界中的一类量的数学模型. 3、培养学生观察、归纳、类比的思维,让学生学会自主探索,合作交流. 二教学过程 1.情景引入 以一个“土地沙化”的图片情景引入 问题情境(1) 面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400 hm2,实际每月固沙造林的面积比原计划多30 hm2,结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林x hm2,那么 1)原计划完成造林任务需要多少个月? 2)实际完成造林任务用了多少个月? 问题情境(2) 2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者,某一时段内的统计结果显示,前a天日均参观人数35万人,后b天日均参观人数45万人。这(a+b)天日均参观人数为多少万人? 问题情境(3)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元,当这种库存的图书全部售完时,其销售额为b元。降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?
2.自主探索 (1).对前面出现的代数式如下,它们有什么共同特征?它们与整式有什么不同?x 2400302400+x b a b a ++4535x b a - 学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念 (2).检测概念 下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? a 2 b 2a+b x x 42 a+3m π-2x x x -+413.练习提高 1.例题(1)当 a =1,2,—1时,分别求分式 1 21-+a a 的值; 解:当 a =1时,121-+a a =11211-?+=2 自己试试看,完成当a=2,-1时,求 分式 121-+a a 的值。 例题(2)当 a 取何值时,分式1 21-+a a 有意义? 解:由分母2a —1=0,得a =0.5, 所以当a 5.0≠时,分式 1 21-+a a 有意义。 例题(3)x 取什么值时,分式121-+a a 无意义? 解:由分母2a —1=0,得a =0.5, 所以当a =0.5时,分式1 21-+a a 无意义。 2.补充例题x 取何值时,分式的值为零? (1)522-+x x (2)4 22+-x x 3.归纳总结 (1)分式无意义的条件 分母等于零 (2)分式有意义的条件 分母不等于零 (3)分式的值为零的条件 分子等于零且分母不等于零
《认识分式》教案 教学目标 一、知识与技能 1、使学生了解分式的概念,明确分式中分母不能为0是分式成立的条件. 2、使学生理解分式的基本性质.并运用分式的基本性质对分式进行恒等变形. 二、过程与方法 能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,经历对具体问题的探索过程,进一步培养符号感. 三、情感态度和价值观 通过丰富的现实情境,使学生在已有数学经验的基础上,了解数学的价值,发展“用数学”的信心. 教学重点: 理解分式的特点;掌握分式基本性质的内容,并有意识地运用它化简分式. 教学难点: 分式基本性质的运用. 教学过程: 一、导入新课 你能判断下面哪些式子是整式吗? x 2+xy+y 2 -3x 2y 3 5x-1 a 学生回忆旧知回答: 整式有a ,x 2+xy+y 2 ,-3x 2y 3 ,5x-1, 说一说 、 、 与上面的整式有什么区别.引出本课主体----认识分式 二、新课学习 2m n -a 9a 1-m 3 m 3 2m n -a 9a 1-xy y xy y
(一)探究分式的概念 1、出示一组图片,并提出问题: 面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400hm2,实际每月固沙造林的面积比原计划多30hm2,结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林xhm2,那么 (1)原计划完成造林任务需要多少个月? (2)实际完成造林任务用了多少个月? 师生共同分析:题中的等量关系如下: 原计划完成造林任务需的时间=固沙造林总公顷数÷原计划每月固沙造林的数量 原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数. 根据分析列出方程: (1),(2) 2、做一做: (1)2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者,某一时段内的统计结果显示,前a天日均参观人数35万人,后b天日均参观人数45万人,这(a+b)天日均参观人数为多少万人? (2)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书
1.1 不等关系 教学目的和要求: 理解不等式的概念,感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点: 重点: 对不等式概念的理解 难点: 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来,到问题中去。 1. 如图1-1,用用根长度均为l ㎝的绳子,分别围成一个正方形和圆。 (1)如果要使正方形的面积不大于25㎝2,那么绳长l 应满足怎样的关系式? (2)如果要使圆的面积大于100㎝2,那么绳长l 应满足怎样的关系式? (3)当l =8时,正方形和圆的面积哪个大?l =12呢? (4)改变l 的取值再试一试,在这个过程中你能得到什么启发? 分析解答:在上面的问题中,所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ,圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 (1) 要使正方形的面积不大于25㎝2,就是 25)4 (2 ≤l ,即25162≤l 。 (2) 要使圆的面积大于100㎝2,就是 2 2?? ? ??ππl >100, 即 π 42 l >100 (3) 当l =8时,正方形的面积为)(41682 2cm =,圆的面积为)(1.54822cm ≈π ,
4<5.1,此时圆的面积大。 当l =12时,正方形的面积为)(916122 2cm =,圆的面积为)(5.1141222cm ≈π , 9<11.5,此时还是圆的面积大。 (4) 不论怎样改变l 的取值,通过计算发现:总是圆的面积大,因此,我们可以猜想, 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆,无论l 取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即 π42l >16 2 l 2. (1)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可能计算出它的树龄,通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝,以后树围每年增加约3㎝,这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ?(只列关系式) (2)燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ,人离开的速度为4m/s ,导火线的长度x (m )应满足怎样的关系式? 答案:(1)设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ,则5+3x >240。 (2)人离开10m 以外的地方需要的时间,应小于导火线燃烧的时间,只有这样才能保证人的安全: 410<2 .0x 分析巩固练习: 用不等式表示: (1) a 的相反数是正数; (2) m 与2的差小于3 2; (3) x 的 3 1 与4的和不是正数; (4) y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答:(1)a 的相反数是-a ,正数是比零大的数,所以“a 的相反数是正数”就是-a >0; (2)“m 与2的差”就是m-2,“ 差小于 32”即是m-2<3 2 ; (3)“x 的31”就是31x ,“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0; (4)“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ,“不小于3”即指大于或等于3,故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。
15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式.
小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?