2015-2016学年度???学校4月月考卷
1．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，动点P 从点B 出发，沿着B-A-D 在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点'P 是点P 关于BD 的对称点，
'PP 交BD 于点M ，
若BM=x ，'OPP △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )
2．如图，抛物线y=－x 2
+bx+c 与x 轴交于A(－1,0),B(5,0）两点，直线y=与y 轴交于点C ，，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m 。
求m 的值；（3）若点E ′是点E 关于直线PC
y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
3．已知：如图1，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），根据对称性△AMB 恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB 为直角三角形时，就称△AMB 为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线2y x =的“完美三角形”斜边AB 的长； ②抛物线21y x +=与2y x =的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ； （2）若抛物线24y ax +=的“完美三角形”的斜边长为4，求a 的值；
（3）若抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，且225y mx x+n =+-的最大值为-1，求m ，n
的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣2
x +bx 的图像经过点A （4，0）．点E 是过点C （2,0）且与y 轴平行的直线上的一个动点，过线段CE 的中点G 作DF ⊥CE 交二次函数的图像于D 、F 两点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点E 落在二次函数的图像的顶点上时，求DF 的长． （3）当四边形CDEF 是正方形时，请直接写出点E 的坐标．
5．如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线y=2
x +bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．
(1)、求b,c的值；
(2)、点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
(3)、在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
6．如图，抛物线y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其
对称轴与x轴交于点D，连接AC．
(1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；
(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?
7．如图1，抛物线y＝-x2＋2x＋3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E(4，0)．
(1)写出D的坐标和直线l的解析式；
(2)P(x，y)是线段BD上的动点(不与B，D重合)，PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′，在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，OABC绕点O逆时针旋
转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．
（1）若抛物线l经过G、O、E三点，求l的解析式；
（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在
R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s
点Q的横坐标的取值范围．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，）．直
线y=kx 过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．
（1）求抛物线y=x 2
+bx+c 与直线y=kx
的解析式；
（2）设点P 是直线AD 下方的抛物线上一动点（不与点A 、D 重合），过点P 作y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，作DE ⊥y 轴于点E ．探究：是否存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 与x 的函数关系式，并求出m 的最大值．
11．如图，已知抛物线2y ax bx c (a 0)=++≠的对称轴x=﹣1， 且抛物线经过
()()A 1,0,C 0,3两点，与x 轴交于点B .
（1）若直线y mx n =+经过B C 、两点，求直线BC 所在直线的解析式；
（2）抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出此点M 坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标.
12．综合与探究：如图，已知抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与一直线相交于A(－1，0)，C (2，3)两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D 。
（1）确定抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）点M在直线x =3上，求使 MN＋MD 的值最小时的M点坐标；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F，以B、D、E、F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由。
13．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x=1为抛物线的对称轴，点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．
（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；
（2）求△BCD的面积；
（3）点P为直线x=1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合），记A、B、C、P四点
所构成的四边形面积为S，若S=S△BCD，求点P的坐标．
15．如图，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于O，A两点，与直线y=2x交于O，B两点．点P在线段OA上以每秒1个单位的速度从点O向终点A运动，作EP⊥x轴交直线OB于E；同时在线段OA上有另一个动点Q，以每秒1个单位的速度从点A向点O运动（不与点O重合）．作CQ⊥x轴交抛物线于点C，以线段CQ为斜边作如图所示的等腰直角△CQD．设运动时间为t秒．
（1）求点B的坐标；
（2）当t=1秒时，求CQ的长；
（3）求t为何值时，点E恰好落在△CQD的某一边所在的直线上．
16．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：根据题意可得：当x=0，x=4和x=8时，y=0，则排除A 和C ，当0＜x ＜4和4＜x ＜8时为抛物线，则选择D.
考点：二次函数的性质.
2．(1)、y=－2x +4x+5；(2)、m=2或(3)2P (4，5)，
【解析】
试题分析：(1)、利用待定系数法进行求解；(2)、首先设出点P 、点E 和点F 的坐标，求出PE 的长度，然后根据点E 在点F 的上方和下方两种情况分别进行计算；(3)、根据△CME 和△COD 相似来进行求解.
试题解析：(1)、将A 、B 两点的坐标代入得：102550
b c b c ì--+=?í-++=?? 解得：45b c ì=?í=?? ∴抛物线的解析式为：y=－2x +4x+5
、设点P 的坐标为(m ，－2m +4m+5)，则E(m ，F(m ，0) ∵点P 在x 轴上方，要使PE=5EF ，点P 应在y 轴右侧 ∴0＜m ＜5
PE=－2
m +4m+5－(－2m +
①当点E 在点F 上方时，EF=∵PE=5EF ∴－2m +
解得：1m =2舍去)
②当点E 在点F 下方时，－3 ∵PE=5EF ∴－2m +－3)
舍去)
(3)、点P ，2P (4，5)考点：(1)、二次函数的性质；(2)、分类讨论思想.
3．(1)、①、AB=2；②、相等；(2)、a=(3) 【解析】
试题分析：(1)、过点B 作BN ⊥x 轴于N ，由题意可知△AMB 为等腰直角三角形，设出点B 的坐标为(n ，－n)，根据二次函数得出n 的值，然后得出AB 的值；(2)、根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等，从而得出点B 的坐标，得出a 的值；(3)、根据最大值得出mn －4m －1=0，根据抛物线的完美三角形的斜边长为n 得出点B 的坐标，然后代入抛物
线求出m 和n 的值.
试题解析：(1)、①过点B 作BN ⊥x 轴于N ，由题意可知△AMB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴， 易证MN=BN ，设B 点坐标为（n ，-n ），代入抛物线2y x =，得2n n =， ∴1n =，0n =（舍去），∴抛物线2y x =的“完美三角形”的斜边2AB =
②相等；
(2)、∵抛物线2y ax =与抛物线24y ax =+的形状相同， ∴抛物线2y ax =与抛物线24y ax =+的“完美三角形”全等， ∵抛物线24y ax +=的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线2y ax =的“完美三角形”斜边的长为4，
∴B 点坐标为（2，2）或（2，-2）
(3)、∵225y mx x+n =+-的最大值为-1
∴410mn m --=，∵抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，
∴抛物线2y mx =的“完美三角形”斜边长为n ，∴B ∴代入抛物线2y mx =，得，∴2mn =-（不合题意舍去），
考点：(1)、二次函数的综合应用；(2)、直角三角形的性质.
4．(1)、y=﹣2x +4x ；(2)、(3)、1E （2，﹣，2E （2，﹣1．
【解析】
试题分析：(1)、将点A 的坐标代入求出b 的值，得到函数解析式；(2)、根据解析式得出顶点坐标，根据中点求出点D 和点F 的横坐标，然后求出DF 的长度；(3)、根据正方形的性质得出点E 的坐标.
试题解析：(1)、把（4，0）代入y=﹣2x +bx 中，得b=4． ∴二次函数的表达式为y=﹣2
x +4x
(2)、由（1）可知二次函数的图像的顶点坐标为（2，4）
∵G 是EC 的中点，∴当y=2时，﹣2x +4x=2．∴1x =2，2x =2+
∴2
(3)、1E （2，﹣，2E （2，﹣1． 考点：二次函数的应用.
5．(1)、b=－2；c=－3；(2)、；(3)
【解析】
试题分析：(1)、根据题意求出点A 、点B 的坐标，然后代入解析式求出b 、c 的值；(2)、射线求出直线AB 的解析式，设出点E 和F 的坐标，求出EF 的长度，然后根据函数的性质求出最值；(3)、首先求出点D 和点F 的坐标，将四边形的面积转化成△BEF 和△DEF 进行求解；过点E 作a ⊥EF 交抛物线与点P ，设出点P 的坐标，解出方程；过F 作b ⊥EF 交抛物线与点P ，设出点P 的坐标，解出方程.
试题解析：（1）由已知得：A （-1，0） B （4，5）∵二次函数y=2
x +bx+c 的图像经过点A （-1，0）B(4,5) ∴10
1645b c b c -+=??
++=?
解得：b=-2 c=-3
(2)、如图：∵直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5) ∴直线AB 的解析式为：y=x+1 ∵二次函数y=2x －2x －3 ∴设点E(t ，t+1),则F （t ，2
t －2t －3）
∴EF=(t+1)－(2
t －2t －
EF 的最大值 ①如图：
顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形EBFD ．
可求出点F ,点D 的坐标为（1，-4） S EBFD 四边行=S BEF +S DEF
②如图：ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m,223m m --)
解得
ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P （n ，223n n --）则有：
F
综上所述：所有点P
EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．
考点：(1)、二次函数的性质；(2)、直角三角形的性质；(3)、分类讨论思想. 6．(1)
S=16. 【解析】
试题分析：(1)、根据x=0和y=0分别求出点A 和点C 的坐标；(2)、首先求出点D 的坐标，CD 的长度和直线AC 的解析式，然后分DE=DC ，DE=EC 和DC=EC 三种情况分别求出点E 的坐标；(3)、首先设出点P 和点Q 的坐标，然后列出面积的函数关系式，然后进行求解. 试题解析：(1)、A （0,4） C （8,0）
(2)、易得
D （3，0），CD=5， 设直线AC 对应的函数关系式为y=kx+b ，则：4
80
b k b ì=?í+=??
①当DE=DC 时，
∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴1E （0，4）；
②过E 点作EG ⊥x 轴于G 点，
考点：(1)、二次函数的性质；(2)、等腰三角形的性质.
7．（1）D（1，4），；（2）S=-（2S有最大值，最大值为
（3）Q0）或（4，0）．
【解析】
试题分析：（1）先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（3，0），再利用待定系数法求出直线BD的解
析式为y=-2x+6，则P （x ，-2x+6），然后根据梯形的面积公式可得S=-x 2
（1≤x ≤3），再利用而此函数的性质求S 的最大值；
（3）如图2，设Q （t ，0）（t ＞0），则可表示出M （t ，
），N （t ，-t 2
+2t+3），利用两点间的距离公式得到MN=|t 2
，
，然后证明NM=CM 得到|t 2
，再解
绝对值方程求满足条件的t 的值，从而得到点Q 的坐标．
试题解析：（1）∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2
+4， ∴D （1，4），
当x=0时，y=-x 2
+2x+3=3，则C （0，3）， 设直线l 的解析式为y=kx+b ，
把C （0，3），E （4，0）分别代入得340b k b =+=???，解得
∴直线l 的解析式为
； （2）如图（1），当y=0时，-x 2
+2x+3=0，解得x 1=-1，x 2=3，则B （3，0），
设直线BD 的解析式为y=mx+n ， 把B （3，0），D （1，4）分别代入得304m n m n +=+=???，解得2
6m n =-=???
，
∴直线BD 的解析式为y=-2x+6， 则P （x ，-2x+6），
∴
）?x=-x 2（1≤x ≤3）， ∵
2
S
（3）存在．
如图2，设Q （t ，0）（t ＞0），则M （t ，），N （t ，-t 2
+2t+3），
∴MN=|-t2+2t+3-（）|=|t2，
，
∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，
而QN∥y轴，
∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴∠M′CN=∠CNM′，
∴CM′=NM′，
∴NM=CM，
∴|t2，
当t2t1=0（舍去），t2=4，此时Q点坐标为（4，0）；
当t2，解得t1=0（舍去），t2Q0），
综上所述，点Q0）或（4，0）．
考点：二次函数综合题．
8．（1）（2）D（0）．（3）x
【解析】
试题解析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．
（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN，即为中位线，进而横坐标易得，D为x
轴上的点，所以纵坐标为0．
（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所
解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．
试题解析：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，
∵A（2，0）、C（0，
，
∴OE=OA=2，
∵∠GOI=30°，∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°，
∴GI=sin30°?GO=
IO=cos30°?GO=
，
JE=cos30°?OE=
JO=sin30°?OE=2=1，
∴G（
3），E
1），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵经过G、O、E三点，
∴
（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，
∵
，
∴MN为△OGF的中位线，
∴x D=x N
G
∴D（
0）．
（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，
∵G（
3），E
1），
∴
．
∵Q在抛物线
∴设Q的坐标为（x
，
∵Q在R、E两点之间运动，
∴
x
①当
x＜0时，
如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，
），
∵S△K-y Q)?(x Q-x P)，
S△HKQ-y Q)?(x H-x Q)，
∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ K-y Q)?(x Q-x P K-y Q)?(x H-x Q)
2）] ×[0-（2 K-y Q)?(x H-x P
②当0≤x
如图3，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，），
同理 S△PQH=S△PKQ-S△HKQ K-y Q)?(x Q-x P）K-y Q）?(x Q-x H)
2
K-y Q)?(x H-x P
综上所述，S△PQH2
当
因此由2x
∵x
∴x
考点：二次函数综合题．
9．（1）y=x2﹣x+2；（2）（5，2）；（3）存在点P（，﹣）或（，）或（，）或（，）
【解析】
试题分析：方法一：
（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；
（3）设AC、EF的交点为D，根据点C的坐标写出点D的坐标，然后分①点O是直角顶点时，求出△OED和△PEO相似，根据相似三角形对应边成比例求出PE，然后写出点P的坐标即可；
②点C是直角顶点时，同理求出PF，再求出PE，然后写出点P的坐标即可；③点P是直角顶点时，利用勾股定理列式求出OC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可
得PD=OC，再分点P在OC的上方与下方两种情况写出点P的坐标即可．
方法二：
（1）略．
（2）因为四边形OECF是平行四边形，且FC∥x轴，列出F，C的参数坐标，利用FC=OE，可求出C点坐标．
（3）列出点P的参数坐标，分别列出O，C两点坐标，由于△OCP是直角三角形，所以分别讨论三种垂直的位置关系，利用斜率垂直公式，可求出三种情况下点P的坐标．
方法一：
解：（1）把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；
（2）抛物线的对称轴为直线x=，
∵四边形OECF是平行四边形，
∴点C的横坐标是×2=5，
∵点C在抛物线上，
∴y=×52﹣×5+2=2，
∴点C的坐标为（5，2）；
（3）设OC与EF的交点为D，
∵点C的坐标为（5，2），
∴点D的坐标为（，1），
①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，
∴=，
即=，
解得PE=，
所以，点P的坐标为（，﹣）；
②点C是直角顶点时，同理求出PF=，
所以，PE=+2=，
所以，点P的坐标为（，）；
③点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC==，∵PD是OC边上的中线，
∴PD=OC=，
若点P在OC上方，则PE=PD+DE=+1，
此时，点P的坐标为（，），
若点P在OC的下方，则PE=PD﹣DE=﹣1，
此时，点P的坐标为（，），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，﹣）或（，）或（，）或（，
），使△OCP是直角三角形．
方法二：
（1）略．
（2）∵FC∥x轴，∴当FC=OE时，四边形OECF是平行四边形．
设C（t，），
∴F（，+2），
∴t﹣=，
∴t=5，C（5，2）．
（3）∵点P在抛物线的对称轴上，设P（，t），O（0，0），C（5，2），
∵△OCP是直角三角形，∴OC⊥OP，OC⊥PC，OP⊥PC，
①OC⊥OP，∴K OC×K OP=﹣1，∴，
∴t=﹣，∴P（，﹣），
②OC⊥PC，∴K OC×K PC=﹣1，∴=﹣1，
∴t=，P（，），
③OP⊥PC，∴KOP×KPC=﹣1，∴，
∴4t2﹣8t﹣25=0，∴t=或，
点P的坐标为（，）或（，），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，﹣）或（，）或（，）或（，
），使△OCP是直角三角形．