湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则?U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}
2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）如图所示的算法流程图中，若输出的T=720，则正整数a的值为（）
A．5B．6C．7D．8
4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（）
A．4B．3C．2D．
5．（5分）在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=4x2+4ax﹣b2+π2有2个零点的概率为（）
A．B．1一C．D．l﹣
6．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）
A．B．
C．D．
7．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为（）
A．1B．﹣1 C．﹣D．
8．（5分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=αsin（）﹣2α+2
（α＞0），若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数α的取值范围是（）A．B．（0，]C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
11．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为．
12．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，﹣7），（1，﹣2），且=x+yi（其中x，y∈R，i为虚数单位），则x+y的值为．
13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+的图象在点P（5，F（5））处的切线方程是y=ax+8，若f（5）+f′（5）=﹣5，则实数a=．
14．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为．
15．（5分）如图，直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为（2，1），则p的值等于．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工．
（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的
职工被抽取到的概率．
17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2
﹣c2）=3ab．
（Ⅰ）求cos2C和角B的值；
（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点
C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求PD与平面PBC所成的角的正弦值．
19．（13分）已知无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m构成首项为2，公差为﹣2的等差数列a m+1，
a m+2，…，a2m，构成首项为，公比为的等比数列，其中m≥3，m∈N+，
（l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{a n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N+，都有a n+2m=a n成立．
①当a27=时，求m的值；
②记数列{a n}的前n项和为S n．判断是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
20．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l
的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；
若不存在，说明理由．
21．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则?U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：由题意和并集的运算求出M∪N，再由补集的运算求出?U（M∪N）
解答：解：因为M={2，3，4}，N={4，5}，
所以M∪N={2，3，4，5}，
又全集U={1，2，3，4，5，6}，
所以?U（M∪N）={l，6}，
故选：C．
点评：本题考查了补、交、并的混合运算，属于基础题．
2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：充要条件．
专题：计算题；简易逻辑．
分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
3．（5分）如图所示的算法流程图中，若输出的T=720，则正整数a的值为（）
A．5B．6C．7D．8
考点：流程图的概念．
专题：图表型．
分析：首先要读懂框图，按照所给的条件进行循环，当不满足条件框中的条件时，继续循环，知道满足条件时才结束循环，依次做下去，得到结果．
解答：解：当T=1，n=1时，进入循环体，
T=1×1=1，n=1+1=2，不满足条件，进入循环体，
T=2，n=3，不满足条件，进入循环体，
T=6，n=4，不满足条件，进入循环体，
T=24，n=5，不满足条件，进入循环体，
T=120，n=6，不满足条件，进入循环体，
T=720，n=7，满足输出的结果是720，结束程序，
得到a=7，
故选C．
点评：本题考查流程图的概念，考查读框图的能力，是一个基础题，近几年这种题目经常出现在2015届高考题目中，是一个每一年必出的题目．
4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于（）
A．4B．3C．2D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四棱锥，结合三视图中标识的数据，我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．解答：解：由已知三视图我们可得：几何体为四棱锥，棱锥以俯视图为底面以侧视图高为高
由于侧视图是以2为边长的等边三角形，故h=
结合三视图中标识的其它数据，S底面=×（1+2）×2=3
故V=×S底面×h=
故选D．
点评：本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积，其中根据已知三视图，结合简单几何体的结构特征易判断出几何体的形状，和相关的几何量（底面边长，高）是解答本题的关键．
5．（5分）在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=4x2+4ax﹣b2+π2有2个零点的概率为（）
A．B．1一C．D．l﹣
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：求出方程有解的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
解答：解：在区间内随机取两个数分别记为a，b，
则，
对应的区域为正方形，面积为S=2π×2π=4π2，
若f（x）=4x2+4ax﹣b2+π2有两个零点，
则判别式△=4a2﹣4×4（π2﹣b2）＞0，
即a2+b2＞π2，对应区域为圆的外部
作出不等式组对应的平面区域如图：
圆的面积为π×π2=π3，
∴圆外部落在正方形内的面积S=4π2﹣π3，
∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=；
故选B．
点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．
6．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）
A．B．
C．D．
考点：双曲线的标准方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．
解答：解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，
∴a2+b2=25，=1，
∴b=，a=2
∴双曲线的方程为．
故选：A．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为（）
A．1B．﹣1 C．﹣D．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，代入整理可求a，由g（x）=
是奇函数，结合奇函数的性质可知g（0）=0，代入可求b，从而可求a+b．
解答：解：∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，
∴lg（10x+1）+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax，
∴，
∴（2a+1）x=0，
∴2a+1=0，
即，
∵g（x）=是奇函数，
∴g（0）=1﹣b=0，
∴b=1，
∴a+b=，
故选D．
点评：本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，解题中要善于利用奇函数的性质f（0）=0（0在该函数的定义域内）可以简化基本运算．
8．（5分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
专题：计算题；压轴题．
分析：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求．
解答：解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，
故A不正确，
当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，
故B不正确，
中位数和众数也不能确定，
故C不正确，
当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，
∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7．
故D正确．
故选：D．
点评：本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握．
9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t=的取值范围．
解答：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），
由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），
则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有
令t==（﹣4，1）?（x﹣2，y﹣1）=7﹣4x+y，即y=4x+t﹣7．
故当直线y=4x+t﹣7过点A（4，0）时，t取得最小值为7﹣16+0=﹣9，
当直线y=4x+t﹣7过点B（0，2）时，t取得最大值为7﹣0+2=9，
故t=则的取值范围是，
故选C．
点评：本题主要考查向量与线性规划问题相结合的问题，利用线性规划解决范围问题是常用方法，考查了线段的中点公式，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=αsin（）﹣2α+2
（α＞0），若存在x1，x2∈，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数α的取值范围是（）A．B．（0，]C．D．
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成
立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．
解答：解：当x∈时，f（x）=，值域是，
值域是，
∵存在x1、x2∈使得f（x1）=g（x2）成立，
∴，
若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，
∴a的取值范围是．
故选A
点评：本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用，解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
11．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为相交．
考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．
专题：计算题．
分析：把直线l的参数方程化为普通方程，把圆C的极坐标方程化为直角坐标系中的方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，比较d与半径r 的大小即可判断出直线l与圆C的位置关系．
解答：解：把直线l的参数方程化为普通方程得：2x﹣y+1=0，
把圆C的极坐标方程化为平面直角坐标系的方程得：x2+=2，
所以圆心坐标为（0，），半径r=，
因为圆心到直线l的距离d=＜r=，所以直线l与圆C的位置关系为相交．
故答案为：相交
点评：此题考查学生会将极坐标方程化为直角坐标系的方程及会将参数方程化为普通方程，掌握直线与圆位置关系的判断方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．
12．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，﹣7），（1，﹣2），且=x+yi（其中x，y∈R，i为虚数单位），则x+y的值为8．
考点：复数相等的充要条件．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由已知得===5+3i=x+yi，由此能求出x+y=8．
解答：解：∵在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，﹣7），（1，﹣2），
且=x+yi（其中x，y∈R，i为虚数单位），
∴===5+3i=x+yi，
∴x=5，y=3，x+y=8．
故答案为：8．
点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数性质的合理运用．13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+的图象在点P（5，F（5））处的切线方程是y=ax+8，若f（5）+f′（5）=﹣5，则实数a=﹣1．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：由题意求得F（5）与F′（5），得到f（5）与f′（5），代入f（5）+f′（5）=﹣5求得a 的值．
解答：解：根据图象知，函数y=F（x）的图象与在点P处的切线交于点P，
F（5）=f（5）+5=5a+8，得f（5）=5a+3，
F′（5）为函数y=F（x）的图象在点P处的切线的斜率，
∴F′（5）=f′（5）+2=a，f′（5）=a﹣2，
由f（5）+f′（5）=﹣5，得5a+3+a﹣2=﹣5，解得：a=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．
14．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为6．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由于?=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．
解答：解：∵，∴（x﹣1，2）?（4，y）=0，化为4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．
∴9x+3y≥2=2=2=6，当且仅当2x=y=1时取等号．
故答案为6．
点评：本题考查了?=0，基本不等式的性质，属于基础题．
15．（5分）如图，直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为（2，1），则p的值等于．
考点：抛物线的应用．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合
OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．
解答：解：∵OD⊥AB，∴k OD?k AB=﹣1．
又k OD=，∴k AB=﹣2，
∴直线AB的方程为y=﹣2x+5．
设A（x1，x2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，
又x1x2+y1y2=x1x2+（﹣2x1+5）（﹣2x2+5）=5x1x2﹣10（x1+x2）+25
联立方程，消y可得4x2﹣x+25=0①
∴x1+x2=，x1x2=，
∴x1x2+y1y2=5×﹣10×+25=0，
∴p=，
当p=时，方程①成为8x2﹣45x+50=0显然此方程有解．
∴p=，
故答案为：．
点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理是关键．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工．
（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的
职工被抽取到的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．
专题：概率与统计．
分析：（1）利用系统抽样的特点，可确定其抽样比，第1组抽出的号码，得所有被抽出职工的号码．
（2）由茎叶中图的体重数据，求出平均数为71，通过列举，利用古典概型概率公式，可得结果．
解答：解：（1）由题意，第5组抽出的号码为22．
因为22=5×（5﹣1）+2，
所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为
2，7，12，17，22，27，32，37，42，47
（2）因为10名职工的平均体重为=（81+70+73+76+78+79+62+65+67+59）=71，从10名
职工中随机抽取两名体重不轻于71公斤的职工，共有10种不同的取法：
（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81），（79，81）．
故所求概率为：P（A）==．
点评：本题主要考查茎叶图，从图中获取数据的能力，同时考查了古典概型的概率公式，是个基础题．
17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2
﹣c2）=3ab．
（Ⅰ）求cos2C和角B的值；
（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用已知5（a2+b2﹣c2）=3ab代入余弦定理公式求得cosC的值，利用同角三角函数关系求得sinC的值，进而利用二倍角公式求得cos2C的值；通过cosA求得sinA 的值，最后利用两角和公式取得sin（A+C）的值，进而取得sinB的值，求得B．
（Ⅱ）利用正弦定理求得a和c的关系式，代入a﹣c=﹣1求得a和c，最后利用三角形面积公式求得答案．
解答：解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，
∴sinA==，
∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，
∴cosC==，
∵0＜C＜π，
∴sinC==，
∴cos2C=2cos2C﹣1=，
∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣
∵0＜B＜π，
∴B=．
（II）∵=，
∴a==c，
∵a﹣c=﹣1，
∴a=，c=1，
∴S=acsinB=××1×=．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．
18．（12分）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点
C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求PD与平面PBC所成的角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（I）由已知可得△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO．由点P在圆O所在平面上的正投影为点D，可得PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（II）过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F．得到DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角．在Rt△DEB中，利用边角关系求出DE即可．
解答：（Ⅰ）证明：连接CO，由3AD=DB知，点D为AO的中点，
又∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，
由知，∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，
由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD=，PD=DB=3，
过点D作DE⊥CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF⊥PE，垂足为F．
∵PD⊥平面ABC，又CB?平面ABC，
∴PD⊥CB，又PD∩DE=D，
∴CB⊥平面PDE，又DF?平面PDE，
∴CB⊥DF，又CB∩PE=E，
∴DF⊥平面PBC，故∠DPF为所求的线面角．
在Rt△DEB中，DE=DBsin30°=，，
．
点评：熟练掌握等边三角形的判定与性质、正投影的意义、线面垂直的判定与性质定理、线面角的定义与作法、直角三角形的边角关系等是解题的关键．
19．（13分）已知无穷数列{a n}中，a1，a2，…，a m构成首项为2，公差为﹣2的等差数列a m+1，a m+2，…，a2m，构成首项为，公比为的等比数列，其中m≥3，m∈N+，
（l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{a n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N+，都有a n+2m=a n成立．
①当a27=时，求m的值；
②记数列{a n}的前n项和为S n．判断是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）根据等差等比数列通项公式分段求出即可；
（2）①由a27==，得m≥6，从而有2km+m+6=27，k∈N，由此可求得m值；②先
求S4m+1=2S2m+a1=，然后对不等式适当变形，根据函数单调性可作出判断；
解答：解：（1）当1≤n≤m时，a n=2+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+4；
当m+1≤n≤2m时，=；
所以；
（2）①a27==，所以m≥6，
则2km+m+6=27，即（2k+1）m=21，k∈N，
当k=0时，m=21；当k=1时，m=7；当k≥2时，m，
所以m的取值为：7或21；
②S4m+1=2S2m+a1=2+2=﹣2m2+6m+4﹣，
S4m+1≥2即﹣2m2+6m+4﹣≥2，亦即，
当m=3时，不等式为1成立，
当m≥4时，﹣m2+3m+1＜0，而，不等式不成立，
所以存在符合条件的m=3．
点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力，能力要求较高．
20．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l
的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；
若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的
标准方程；
（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，
，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；
方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方
程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值
解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得
①
由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=
故椭圆的方程为
（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2=，④
在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），
从而，，=k﹣
注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k
所以k1+k2=+=+﹣（+）
=2k﹣×⑤
④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1
又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3
故存在常数λ=2符合题意
方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为
令x=4，求得M（4，）
从而直线PM的斜率为k3=，
联立，得A（，），
则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=
所以k1+k2=+=2×=2k3，
故存在常数λ=2符合题意
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．
21．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=（x＞0），
当k≤0时，kx≤0，
∴e x﹣kx＞0，
令f′（x）=0，则x=2，
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，