第一节 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式
及诱导公式
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝3
4，则cos 2α＋2sin 2α＝( )
A.6425
B.4825
C.1
D.1625
2.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π
5，则cos ????α－3π
10sin ????α－π5＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.(2014·大纲全国，3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·河北唐山模拟)给出下列各函数值：
①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π
10
cos π
tan
17π9；其中符号为负的有( )
A.①
B.②
C.③
D.④
2.(2016·山东菏泽模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P ????35，－45，则sin α-cos α的值是( ) A.－75B.－15C.15D.7
5
3.(2015·河北正定模拟)已知角α的终边经过点P (m ，4)，且cos α＝－35，则m ＝( )
A.－3
B.－92
C.9
2
D.3
4.(2015·辽宁丹东模拟)已知cos ????π2＋α＝35，且α∈????π2，3π
2，则tan α＝( ) A.43B.34C.－34D.±3
4
5.(2015·蚌埠市模拟)设a ＝tan 130°,b ＝cos(cos 0°)，c ＝?
???x 2＋1
20
,则a ,b ,c 的大小关系是( )
A.c >a >b
B.c >b >a
C.a >b >c
D.b >c >a
6.(2016·太原模拟)已知α∈????π2，π，sin αcos α＝－12
25
，则tan ????α＋π4等于. 7.(2016·河北邢台模拟)已知α为第三象限角,且sin α＋cos α＝2m ，sin 2α＝m 2，则m 的值为. 8.(2016·山东日照模拟)已知函数f (x )＝3sin ????2x ＋π
6，x ∈R . (1)求f ????
π12的值；
(2)若sin θ＝4
5
，θ∈????0，π2，求f ????5π12－θ.
答案精析
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.A [tan α＝34，则cos 2
α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.
2.C [cos ????α－3π10sin ????α－π5＝sin ????π2＋α－3π10sin ????α－π5＝sin ???
?α＋π5sin ????α－π5
＝sin αcos π5＋cos αsin π
5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan α
tan π5＋1tan αtan π
5
－1
＝2＋1
2－1
＝3.]
3.C [∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a .
又∵c ＝tan 35°＝sin 35°
cos 35°
>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C.]
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.C[sin(-1000°)＝sin 80°>0;cos(-2200°)＝cos(-40°)＝cos40°>0，tan(-10)＝tan(3π-10)<0；
sin
7π10·cos πtan 17π9＝－sin 7π
10tan
17π9
，sin 7π10>0，tan 17π
9<0，故选C.] 2.A[由题意，sin α＝－45，cos α＝35，sin α－cos α＝－45－35＝－7
5，故选A.]
3.A[cos α＝
m 16＋m 2
＝－35，∴m ＝－3，故选A.]
4.B[因为cos ????π2＋α＝35，且α∈????π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝3
4，故选B.] 5. B[a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0
5， 所以sin α＝35，cos α＝－45?tan α＝－3
4，
所以tan ????α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－3
4＋1
1＋
34＝1
7
.] 7.－
33[ (sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α所以m 2＋1＝4m 2，m 2＝1
3
，又α为第三象限角，
所以sin α<0，cos α<0，m ＝－
33
.] 8.解(1)f ????π12＝3sin ????2×π12＋π6＝3sin π3＝332. (2)∵sin θ＝4
5
，θ∈????0，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－????452
＝3
5，
f ????5π12－θ＝3sin ????2????5π12－θ＋π6＝3sin(π－2θ)＝3sin 2θ＝6sin θcos θ＝6×45×35＝72
25.
第二节 三角函数的图象与性质
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关D.与b 无关，但与c 有关
2.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ????2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的
点( )
A.向左平行移动π3个单位长度
B.向右平行移动π
3个单位长度
C.向左平行移动π6个单位长度
D.向右平行移动π
6
个单位长度
3.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ????2x －π3图象上的点P ????π
4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )
A.t ＝12，s 的最小值为π6
B.t ＝32，s 的最小值为π
6
C.t ＝12，s 的最小值为π3
D.t ＝32，s 的最小值为π
3
4.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π
4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在????
π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.5
5.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称
轴为( )
A.x ＝k π2－π6(k ∈Z )
B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )
C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )
D.x ＝k π2＋π
12
(k ∈Z )
6.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ????4x －π
3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π
12个单位
B.向右平移π
12个单位
C.向左平移π
3
个单位
D.向右平移π
3
个单位
7.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ????0＜φ＜π
2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
3，则φ＝( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
8.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ????2x ＋π
2 B.y ＝sin ????2x ＋π
2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2x
D.y ＝sin x ＋cos x
9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π
4个单位
B.向左平移π
4个单位
C.向右平移π
12
个单位
D.向左平移π
12
个单位
10.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ????2x ＋π3的图象向右平移π
2个单位长度，所得图象对应的函数( )
A.在区间????π12，7π12上单调递减
B.在区间????π12，7π
12上单调递增 C.在区间????－π6，π3上单调递减D.在区间????－π6，π
3上单调递增 11.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ????2x －π
6的最小正周期是( ) A.π
2
B.π C .2π D .4π 12.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是.
13.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移个单位长度得到.
14.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.
15.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )
图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π
2个单位
长度.
(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 2
5－1.
16.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x
2.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值.
17.(2015·重庆，18)已知函数f (x )＝sin ????
π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在????
π6，2π3上的单调性.
18.(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________.
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ????ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是????π
6，0，则ω的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8
2.(2016·郑州检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ????π6＋x ＝f ????π6－x ，则f ????π
6等于( )
A.2或0
B.－2或2
C.0
D.－2或0
3.(2016·衡阳模拟)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A.????－π2，0B.????－π6，π3C.????π3，5π6 D.???
?π
2，π
4.(2016·山东师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤???
?f ????π6对x ∈R 恒成立，且f ????
π2＞f (π)，则φ等于( ) A.π6B.5π6C.7π6D.11π6
5.(2015·烟台模拟)在区间????－π2，π2上随机取一个数x ，则使得tan x ∈????－3
3，3的概率为( ) A.13B.2πC.12D.2
3
6.(2015·广东江门模拟)函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间????
π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )
A.0
B.π2
C.π
D.3π2
7.(2015·朝阳区模拟)设函数f (x )＝sin ????2x －π
3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期是2π B.图象C 关于点????
π6，0对称
C.图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π
3个单位得到
D.函数f (x )在区间???
?－π12，π
2上是增函数 8.(2016·上海静安二模)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32
. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π
2
时，求函数f (x )的值域.
答案精析
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋1
2
，
其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋1
2，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周
期与b 有关但与c 无关，故选B.]
2.D[由题可知,y ＝sin ????2x －π3＝sin ????2????x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π
6个单位，选D.
3.A[点P ????π4，t 在函数y ＝sin ????2x －π3图象上，则t ＝sin ????2×π4－π3＝sin π6＝1
2. 又由题意得y ＝sin ????2（x ＋s ）－π
3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π
6
.]
4.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π
4－????－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在????π18，5π36上单调，所以5π36－π
18＝π12≤T 2＝2π
2ω
，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.] 5.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12个单位长度后得到函数的解析式为y
＝2sin ????2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π
6(k ∈Z )，故选B.] 6.B[∵y ＝sin ???4x －π3＝sin ???
?4????x －π
12， ∴要得到y ＝sin ????4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π
12个单位.] 7.D[易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈????0，π
2， 由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，
①?????sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②?
????sin 2x 1＝1，
sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知???x 1
＝－π
4＋k 1
π，k 2
＝π
4＋φ＋k 2
π
(k 1
，k 2
∈Z )，
∴|x 1－x 2|min ＝????π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈????0，π2， ∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π
6， 同理由②得φ＝π
6
.故选D.]
8.A [A 选项：y ＝cos ?
???2x ＋π
2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 9.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ????3x －π4＝2cos 3????x －π
12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π
12
个单位后，可得到y ＝2cos ????3x －π4的图象，故选C.] 10.B [将y ＝3sin ????2x ＋π3的图象向右平移π
2个单位长度后得到y ＝3sin ????2????x －π2＋π3，即y ＝3sin ????2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈????π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ????2x －2π3的单调递增区间为????π12＋k π，7π
12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π
3)在区间????π12，7π12上单调递增，故选B.] 11.B [∵T ＝2π
2
＝π，∴B 正确.]
12. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：
由图象可得两图象有7个交点.]
13.2π
3[y ＝sin x －3cos x ＝2sin ???x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ???x ＋π3，因此至少向右平移2π
3
个单位长度得到.] 14.π ????38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ????2x －π4＋32， ∴T ＝
2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π
8
＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是???
?3π8＋k π，7π
8＋k π，k ∈Z .] 15.解法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π
2个单位长度后得到y ＝2cos ???x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .
从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π
2(k ∈Z ).
(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5??
?
?25sin x ＋1
5cos x ＝5sin(x ＋φ)
?
???其中sin φ＝15，cos φ＝25.
依题意，sin(x ＋φ)＝m 5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当????m 5＜1，故m 的取值
范围是(－5，5).
②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。 所以sin(α＋φ)＝
m 5，sin(β＋φ)＝m
5
. 当1≤m ＜5时，α＋β＝2????π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2????3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ). 所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2
(β＋φ)－1＝2???
?m 52
－1＝2m
2
5－1.
法二 (1)解 同法一. (2)①解 同法一.
②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝
m 5，sin(β＋φ)＝m
5
. 当1≤m ＜5时，α＋β＝2????π2－α，即α＋φ＝π－(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2????3π2－φ，即α＋φ＝3π－(β＋φ)； 所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ). 于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)] ＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ) ＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)
＝－??????1－????m 52＋???
?m 52＝2m 2
5－1. 16.解 (1)因为f (x )＝
22sin x －22
(1－cos x )＝sin ????x ＋π4－2
2， 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π
4
.
当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π
4
时，f (x )取得最小值.
所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ????－3π4＝－1－2
2
. 17.解 (1)f (x )＝sin ????π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －3
2(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －3
2 ＝sin ?
??2x －π3－3
2， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.
(2)当x ∈????π6，2π3时，0≤2x －π
3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π
12时，f (x )单调递增，
当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π
3
时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在????π6，5π12上单调递增；在???
?5π12，2π
3上单调递减. 18.π2 [y ＝1－2cos 2(2x )＝1－2×1＋cos 4x 2＝－cos 4x ，则最小正周期为π
2
.]
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.B[由题意知πω6＋π6＝π
2＋k π(k ∈Z )，所以ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，则ωmin ＝2，故选B.]
2.B[∵函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ????π6＋x ＝f ????
π6－x ，∴函数图象的一条对称轴是x ＝π6，f (x )在x ＝π
6
处取得最大值或者最小值，即f ????π6等于－2或2，故选B.] 3.B[f (x )＝2sin ????ωx ＋π6，f (x )的最小正周期T ＝2π
|ω|＝π，又ω∈(－3，0)，∴ω＝－2，∴f (x )＝－2sin ????2x －π6，令2k π－π2<2x －π6<2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6 3，k ∈Z ，当k ＝0时，可得f (x )的一个单调递减区间是??? ?－π6，π 3，故选B.] 4.C[由f (x )≤????f ????π6可知π6是函数f (x )的对称轴，又2×π6＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝π 6＋k π，k ∈Z ，由f ????π2＞f (π)，得sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即－sin φ＞sin φ，∴sin φ＜0，又0＜φ＜2π，∴π＜φ＜2π，∴当k ＝1时，φ＝7π6 .] 5.C[区间????－π2，π2的长度为π，当tan x ∈????－3 3，3时，x 的取值范围是????－π6，π3，区间长度为π2，故由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为1 2 .] 6.D [当φ＝3π 2 时，f (x )＝－cos x 在区间????π3，2π3上单调递增，故选D.] 7.B[函数f (x )的最小正周期是π，故A 错误；图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π 6个单位得到,故C 错;函数f (x )在区间????－π12，5π12上是增函数,故D 错;故选B.] 8.解(1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋3 2 ＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋3 2 ＝12sin 2x －3 2cos 2x ＝sin ????2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为π. 令sin ????2x －π3＝0，得2x －π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π 6(k ∈Z ). 故所求对称中心的坐标为????k π2＋π6，0(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ????2x －π3≤1.即f (x )的值域为??? ?－3 2，1. 第三节 y ＝A sin ωx ＋φ的图象和性质及其综合应用 A 组三年高考真题（2016～2014年） 1.(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ????π 6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 2.(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.????k π－14，k π＋34，k ∈Z B.????2k π－14，2k π＋3 4，k ∈Z C.????k －14，k ＋34，k ∈Z D.? ???2k －14，2k ＋3 4，k ∈Z 3.(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π 3 时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A.f (2) B.f (0) C.f (－2) D.f (2) 6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间????－π3，π 4上的最大值和最小值. 5.(2015·湖北，17)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|<π 2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： (1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为???? 5π12，0，求θ的最小值. 6.(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π 12t ，t ∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ B 组两年模拟精选(2016～2015年) 1.(2016·河北衡水中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)在一个周期内的图象 如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON → ＝0，则A ·ω＝( ) A.π6 B.7π12 C.76π D.73 π 2.(2016·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)????A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所 示，则f (x )的递增区间为( ) A.????－π12＋2k π，5π12＋2k π，k ∈Z B.????－π12＋k π，5π 12＋k π，k ∈Z C.????－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z D.??? ?－π6＋k π，5π 6＋k π，k ∈Z 3.(2016·四川成都模拟)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A.y ＝sin ????x ＋π6 B.y ＝sin ????2x －π6 C.y ＝cos ????4x －π3 D.y ＝cos ? ???2x －π 6 4.(2015·辽宁丹东模拟)设函数f (x )＝sin ????12x ＋θ－3cos ????12x ＋θ????|θ|<π 2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( ) A.????0，π2B.????π2，πC.????－π2，－π4D.??? ?3π 2，2π 5.(2015·河北正定模拟)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)????ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π 3对称，它的周期为π，则( ) A.f (x )的图象过点????0，1 2 B.f (x )在???? π12，2π3上是减函数 C.f (x )的一个对称中心是????5π12，0 D.将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象 6.(2016·辽宁五校协作体模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图，令a n ＝f ????n π6，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝. 7.(2016·北京昌平区模拟)已知偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f ????13的值为. 8.(2016·山东烟台模拟)已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1????A >0，ω>0，0<φ<π 2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0，2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝. 9.(2015·皖南八校三模)已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π. (1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间； (2)将函数f (x )的图象向左平移π 4 个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得 最大值时x 的取值集合. 答案精析 A 组三年高考真题（2016～2014年） 1.C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.] 2.D [由图象知T 2＝54－1 4 ＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确.] 3.A [由于f (x )的最小正周期为π,∴ω＝2,即f (x )＝A sin(2x ＋φ),又当x ＝2π3时,2x ＋φ＝4π 3＋φ＝ 2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin ＝π 6，故f (x )＝A sin ????2x ＋π6. 于是f (0)＝1 2A ，f (2)＝A sin ????4＋π6，f (－2)＝A sin ????－4＋π6＝A sin ????13π6－4， 又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π 2 ，其中f (2)＝A sin ????4＋π6 ＝A sin ????π－????4＋π6＝A sin ????5π6－4，f (－2)＝A sin ????13π6－4 ＝A sin ????π－????13π6－4＝A sin ? ???4－7π6. 又f (x )在????－π2，π 2单调递增，∴f (2) f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ????2x －π32＝12????12cos 2x ＋3 2sin 2x －12 cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝1 2sin ? ???2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π 2 ＝π. (2)因为f (x )在区间????－π3，－π6上是减函数，在区间????－π6，π 4上是增函数， f ????－π3＝－14，f ????－π6＝－12,f ????π4＝3 4 ， 所以f (x )在区间????－π3，π4上的最大值为34，最小值为－1 2. 5.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5， ω＝2，φ＝－π 6 .数据补全如下表： 且函数表达式为f (x )＝5sin ? ??2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ????2x －π6，得g (x )＝5sin ????2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π 12 －θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点????5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π 12， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π 6. 6.解 (1)因为f (t )＝10－2?? ? ? 32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ????π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π 3， －1≤sin ????π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ????π12t ＋π 3＝1； 当t ＝14时，sin ??? ?π12t ＋π 3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8. 故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得f (t )＝10－2sin ????π12t ＋π3，故有10－2sin ????π12t ＋π3>11，即sin ????π12t ＋π3<－1 2. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π 6，即10 故在10时至18时实验室需要降温. B 组两年模拟精选(2016～2015年) 1.C[由题中图象知T 4＝π3－π 12，∴T ＝π，∴ω＝2.则M ????π12，A ，N ????712π，－A ， 由OM →·ON → ＝0，得7π2122＝A 2，∴A ＝712π，∴A ·ω＝76 π.故选C.] 2.B [A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，ω＝2.由f ????1112π＝－2得φ＝2k π－π 3(k ∈Z )， ∵|φ|＜π2，∴φ＝－π 3 .所以f (x )＝2sin ????2x －π3， 由2x －π 3∈????2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).] 3.D [设y ＝sin(ωx ＋α)，ω>0，α∈????－π2，π 2， 由T 4＝π12－????－π6＝π4，解得T ＝π，∴ω＝2π T ＝2， 又x ＝π12时，y ＝sin ????2×π12＋α＝1，∴π6＋α＝2k π＋π 2(k ∈Z )， 又α∈????－π2，π2，∴α＝π 3 ，∴y ＝sin ????2x ＋π3＝cos ????2x －π6，故选D.] 4.C[因为f (x )＝sin ????12x ＋θ－3cos ????12x ＋θ＝2sin ????12x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称且|φ|<π 2，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 1 2 x 在????－π2，－π4递减，故选C.] 5.C[因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π 3对称，它的周期 为π，所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π 6 )，因为f ????5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是??? ?5π12，0，故选C.] 6.0[14T ＝5π12－π6＝π4，T ＝π，故ω＝2πT ＝2π π＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，又f (x )图象过点????π6，1. ∴1＝sin ????2×π6＋φ，又|φ|<π2，∴φ＝π 6 ，∴f (x )＝sin ????2x ＋π6， ∴a 1＝sin ????2×π6＋π6＝1，a 2＝sin ????2×2π6＋π6＝12，a 3＝sin ????2×3π6＋π6＝－12， a 4＝sin ????2×4π6＋π6＝－1，a 5＝sin ????2×5π6＋π6＝－1 2，a 6＝sin ????2×6π6＋π6＝12， a 7＝sin ????2×7π6＋π6＝1，a 8＝sin ????2×8π6＋π6＝1 2 ，…… 观察规律可知a n 的取值变化以6为周期，且每一个周期内的和为0，又2014＝6×335＋4， 则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋a 2 014＝1＋12－1 2 －1＝0. 7.14 [△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，所以A ＝12，T ＝2，ω＝2πT ＝π， 又f (x )是偶函数，0<φ<π，所以φ＝π2，∴f (x )＝1 2sin ????πx ＋π2，所以f ????13＝12sin ????π3＋π2＝14. 8. 4030[函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1(A >0，ω>0，0<φ<π 2 )的最大值 为3，所以A ＝2，其相邻的两条对称轴的距离为2，所以ω＝π 4，所以f (x )＝cos ????π2x ＋2φ＋2(A >0，ω>0，0<φ<π2)，又f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0，2)，所以φ＝π4，f (x )＝－sin π 2x ＋2， 而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8，且周期为4， 所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503×8＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝4 030.] 9.解(1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx -1＝1-cos 2ωx ＋3sin 2ωx -1＝2sin ????2ωx －π 6. 由题意可知函数的周期T ＝ 2π 2ω ＝π，即ω＝1，所以f (x )＝2sin ????2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π 3，其中k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为????k π－π6，k π＋π 3，k ∈Z . (2)g (x )＝f ????x ＋π4＝2sin ??? ?2????x ＋π4－π6＝2sin ? ???2x ＋π 3， 则g (x )的最大值为2，此时有 2sin ????2x ＋π3＝2，即sin ????2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z .解得x ＝k π＋π 12(k ∈Z )， 所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为? ??? ?? x ? ?x ＝k π＋π12，k ∈Z . 第四节 三角恒等变换 A 组三年高考真题（2016～2014年） 1.(2016·山东，7)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.π C.3π 2 D.2π 2.(2016·全国Ⅱ，9)若cos ????π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725B.15C.－15D.－725 3.(2016·全国Ⅲ，8)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010 B.1010 C.－1010 D.－310 10 4.(2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－ 32 B.32C.－12 D.1 2 5.(2014·新课标全国Ⅰ，8)设α∈????0，π2，β∈????0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A.3α－β＝π2B.3α＋β＝π2C.2α－β＝π2D.2α＋β＝π 2 6.(2016·四川，11)cos 2π8－sin 2π 8＝. 7.(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是. 8.(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1 7，则tan β的值为________. 9.(2015·山东，16)设f (x )＝sin x cos x －cos 2????x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ???? A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 10.(2014·新课标全国Ⅱ，14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________. 11.(2014·江西，16)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈????－π2，π 2. (1)若a ＝2，θ＝π 4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若f ????π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值. 12.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ????x ＋π4，x ∈R ，且f ????5π12＝3 2. (1)求A 的值； (2)若f (θ)＋f (－θ)＝3 2，θ∈????0，π2，求f ????3π4－θ. 13.(2014·江苏，15)已知α∈????π2，π，sin α＝55. (1)求sin ???? π4＋α的值； (2)求cos ????5π6－2α的值. B 组两年模拟精选(2016～2015年) 1.(2016·广东湛江模拟)已知sin ????π3＋α＋sin α＝435 ，则sin ????α＋7π6的值是( ) 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计 3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得 2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ） 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N . 4 2 ) 三角函数 1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x + （Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期； ) -1. 6 （Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 6 4 2、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3 + sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R . （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 4 4 3、已知函数 f (x ) = tan(2x + ), 4 （Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期； ? ? （II ）设∈ 0, ? ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小 ? ? 4、已知函数 f (x ) = (sin x - cos x ) sin 2x . sin x （1） 求 f (x ) 的定义域及最小正周期； （2） 求 f (x ) 的单调递减区间. 5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2 x . 2 4 （I ）求函数 f (x ) 的最小正周期； （ II ） 设 函 数 1 g (x ) 对 任 意 x ∈ R ， 有 g (x + 2 = g (x ) ， 且 当 x ∈[0, ] 时 ， 2 g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式. 2 2 ) ) 3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x - 称轴之间的距离为 ， 2 ) +1（ A > 0,> 0 ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对 6 （1）求函数 f (x ) 的解析式； （2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值. 2 2 7、设 f ( x ) = 4cos( ωx - π )sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0. 6 （Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域 （Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间?- 3π , π? 上为增函数，求 的最大值. ?? 2 2 ?? 8、函数 f (x ) = 6 cos 2 x + 2 3 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为 图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且?ABC 为正三角形. （Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域； 8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5 ，且 x 0 ∈(- 10 2 , ) ，求 f (x 0 1) 的值. 3 3 9、已知 a , b , c 分别为?ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0 （1）求 A ； （2）若 a = 2 ， ?ABC 的面积为 ；求b , c . 10、在 ? ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ． ＝ 2 ，sin B ＝ 5 3 (Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求? ABC 的面积． 1、集合与简易逻辑 （2014）1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ (2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} （2012）1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）10 （2010）（1）已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{| 4,}B x x Z =≤∈,则A B ?= (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} 2、平面向量 （2014）3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ?b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 (2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?＝__________. （2012）13、已知向量a ，b 夹角为45°，且1=a ，102=-b a ，则b =____________. （2011）（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ?? +>?∈ ??? 3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ?? ->?∈ ??? 其中的真命题是 （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P 3、复数 （2014）2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12z i =+，则12z z =（ ） A. – 5 B. 5 C. - 4+ I D. - 4 – i (2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i （2012）3、下面是关于复数z= 2 1i -+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i2020年高考数学三角函数专题解题技巧
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1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余2020高考数学专项复习《三角函数大题压轴题练习》
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