精品文档
高中数学选修2-1 题型归类
第三章空间向量
空间向量及其运算12种题型归类
题型1：空间向量的加减、数乘运算
1.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
AB?BC?CDDB?AC?BD?OA?OC?OB?CO= = ②③。①=
ABC?ABCBB M 2.的中点，化简下列各式：中，如图所示，在三棱柱是1111
AB?BAAB?BC?CC 1 2 ；（）；（）11111AA?AB?AM 3 4 ））（；（CBBM?AM?12
题型2：空间向量的基本定理
{e,e,e}a?e?e?eb?2e?e?e，1.已知是空间的一个基底，且，322311123c?3e?2e?2e{a,b,c}能否作为空间的一个基底．，试判断132
abcpabqacp，是空间的一个基底，设＝＝＋2.已知，则下列向量中可以与，，，＋q
一起构成空间的另一个基底的是a-c- 2b 2cb cb- c a．． DC．A2．＋3＋＋ B
是空间一个基底，给出下列}b，ca，且{a，+b，y=bc，z=c+=3.设xa+}.+c，a+b，，z}；④{xyc，x①{a，b，}；②{x，yz}；③{b，向量组：) ( 其中可以作为空间的一个基底的向量组有
D.4个 B.2个 C.3个 A.1个
kijkkaijaijaikaj，试问是否23－5，＋4.设＝2－＝＋，3＝＋3－2＋，＝－2＋4321cabcaaabaacab ＋，＋，，，使＝成立？如果存在，则的值；存在实数3124
BC NACOABCOBMOA 5.已知空间四边形，如图所示，其对角线为、，、分别为、精品文档．
精品文档?????OCOBOA MNG、，现用基向量3表示在线段、上，且＝的中点，点MGGN?_ 向量AG
ABCD 6.如图所示，底面D，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD-ABC1111. CCD=60°，CD=2，且
∠CCB=∠=3是正方形，CC111
;
，b，ac，=b表示，=c，试用a(1)=设
7.在下列命题中：baab①若、、所在的直线平行；共线，则b aba、、所在的直线是异面直线，则一定不共面；②若cababc、、、、三向量一定也共面；三向量两两共面，则③若pbac总可以唯一表④已知三向量、，则空间任意一个向量、cp x a yz b＋示为．＝＋其中正确命题的个数为（）
0 B. 1 C. 2 D. 3
A．
：空间向量基底式三点共线3题型e,e，若1.是平面内不共线两向量，已知
e??3e2CB?e?e,CD?AB?eke,22121121D,A,B k=
三点共线，则
= 上，且则、B、C在直线,A2.设O是直线外一定点，OC?xOB?3OA ll x
，，与起点相同，t∈R，3.t= 设t，是两个不共线向量，若时，bbbaaa1(三向量的终点在一条直线上。＋)ba3
交CA与平面BDCABCD－ABCD中，对角线4在正方体111111
交于于点O，AC、BD 的中点．有如下结论：AB的中点，F为AAM点，E为1 O、M三点共线；、（1）C1、F四点共面；、(2)EC、D1 DA三线共点．(3)CE、DF、1．以上结论中正确结
论的序号为________
：空间向量基底式四点共面4题型
111A,B,CO则[1.若空间任意一点和不共线的三点满足关系式：OCOB??OPOA?623精品文档
精品文档A,B,CP点共面吗？与
A,B,CO且和不共线的三点,满足关系式2.若空间任意一点zOC??yOBOP?xOA A,B,C与 1 共面，则一定有点P??zx?y
CMAB,四点共面的个数是（, ,）3.下列等式中，使111;OB?OCOM?OA?②①;?OCOM?OA?OB 2530;MC??MA?MB.
③④0??OA?OB?OCOM
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
71??ABCA,B,CO外一点，三点不共线，若向量4.已知为平面??,OC?OP?OA?OB?R
35P,A,B,C?则四点共面的条件是?
A,OB,OC,OD,OABCD,ACO在四条射线上分外一点作射线5.已知平行四边形过平面OHOGOEOF E,F,G,HE,,F,G,H,四并且使别取点求证：共点,??k??
A ODOAOBOC
.
面HE
分不共面，E,F,G,H已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D6.DB.
E,F,G,H四点共面别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：G F C bbaa共线，则所在的直线平行；
7.在下列命题中：①若，，cababab三向量两，，所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若，
②若，cababc，则空间任意一，，两共面，则，，三向量一定也共面；④已知三向量cb zx a y pp ________＋．，其中不正确的命题为个向量总可以唯一表示为＋＝
：空间向量的数量积题型5的夹角为与ba，|c|=4，则+bc=0，|a|=2，|b|=3，1.已知空间向量ab，c满足a+) 以上都不对 ( B.45°C.60°
D.A.30°. cb+2|= b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a-2.若a，
=
b，则a·=q，bp+q=3p|3.已知p|=|q|=1，且<，q>=90°，ap-2
与之间的夹角为||＝，则向量||，|＝2，|＝3＝+4.已知+，bacbcb0aa190 ）90° D．（604530A．° B．°
C．
babaaabb) 是则5.若，均为非零向量，·＝||||与共线的(
精品文档．
精品文档
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么 ( )
·· A. B.·=<·
不能比较大小·与··>· D.C.
7.已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，求向量a与b的夹角.
题型6：空间向量的数量积求角、距离
E,F,G分别是的 1.如图，在棱长为1的正方体中，点BB,DD,BDDABCD?ABC111111中点.
求证：；⑴CFEF?与所成角的余弦；⑵求EFCG.
求的长⑶CE
=AB=BC=AABCABC=ABC-A2, °中,∠,2.如图,在直三棱柱901111. DBCDCA所成角的大小为,点则异面直线是和的中点11
?CACCCACBCB，CAABCABC与直＝－2，则直线，3.有直三棱柱＝11111AB
夹角的余弦值为线1
ACNABMABCDABCD和，的棱长为4.如图，正方体－4，分别为11111N间的距离．CN＝NA，求M、3MA 上的点，BM＝，1
7：空间向量的平行、垂直题型
ABEF1.ABCD都是平行四如图所示，四边形、四边形BFMNAC的中点，试判边形且不共面，
分别是，，.
是否共线与断
的中点．CCD、、、AC2.在正方体中，已知EF、GH分别是CCBC、和A1111.
⊥平面G(2)EH⊥，∥AB证明：(1)GEAB；AEFD111
题型：空间向量的坐标表示8精品文档．
精品文档
ijk Oxyzxyz轴正方向的单位向量，且轴、、轴、为空间直角坐标系 -1.设中、，则点B的坐标是kj?AB??i?
ijkaijkbijka，则向量3，，，2}为单位正交基底，且＝＝－2＋－＋32.已知{－
bab的坐标分别是2与向量 . ＋－
3.已知点，则点关于轴的对称点B，则向量BA的坐标为x A4)?A(?3,1,
，9，7-z)，且A，4.B在空间直角坐标系中向量=(x+4，4-y，1+2z)
2=(-4x
两点关于y轴对称，则x，y，z的值依次是 ( )
A.1，-4，9
B.2，-5，-8
C.2，5，8
D.-2，-5，8
题型9：空间向量的坐标运算加减、数乘、数量积
1.已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2）则3a-2b=，（a-b）·（2a+b）=
aaa ba321是，＝的＝，则条件. 2.若ba//??),b,,aa,a)bb((331221bbb
321
8abab的夹角的余弦为，则λ＝1，2)，且 3．若与＝(1，λ，2)，，－＝(2922 ( )．或 D．2或－A．2 B．－2 C．－25555
题型10：空间向量的坐标运算平行、垂直
a x,
b y,ab共线，则x，y与的值＝(1，－2 . 9)，若1.向量＝(21,3)，
2.以下四组向量中，互相平行的组数为
abab＝(4,2，－3)；；②＝(8,4，－6)①，＝(2,2,1)，＝(3，－2，－2)ab＝(0,3，－3)；＝(0，－1,1)，③
a＝(1,-2,2)共线的单位向量是 . 3.与向量
A(4,1,3),B(2,?5,1),C(3,7,?5)ABCDD的坐标为已知为平行四边形，则点_____. 4.
a?b?18b(ka?b)?(ka?b)2)(2,?a?1,，则5.已知向量，与向量共线，且满足b?k?。，
精品文档．
精品文档
=2,P|C(1,-1,5).|,;
6.A(0,2,3),B(-2,1,6),的坐标已知空间三点∥求点且若
7.已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．0 B．6 C．－6 D．±6
ab kk abb k＝_垂直，则－．与＝(1，2，3)，∈R，若8.已知向量0＝(－1，，1)，
a x
b y,aa b x - y为6且，则＝(2，⊥2)，若| . |9.已知向量＝(2,4，＝)，OABABH，满足1)，上有一点(0,1,1)10.已知空间三点(0,0,0)，在直线(－1,0，HABH的坐标为O，则点⊥
a?(0,1,1),b?(?1,0,1)e?的单位向11.同时垂直于
→→
第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点 ()()()11, 1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性 、、、四点共面， ，，， 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，, ,都叫做基向量.
第三章空间向量与立体几何 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一 样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ⑵加法结合律：（a b ） c ⑶数乘分配律：（a b ） 3. 共线向量。 （1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a 〃b 。 当我们说向量a 、b 共线（或a// b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线 可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 工0 ），a// b 存在实数入， 使a =入b 。 4. 共面向量 （1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。r r （2） 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，P 与向量a,b 共面的条件是 存在实数x, y 使p xa yb 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量P ， 存在一个唯一的有序实数组x, y,z ，使p xa yb zc 。 若三向量ab,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向 2. uuu r OB a b a (b c) b a
量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个 uuu uuu uuu uuur 有序实数x, y,z，使OP xOA yOB zOC。
第三章空间向量与立体几何 空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量向量是怎样表示的呢 ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向
量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢 ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢相等的向量又是怎样表示的呢［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
3.1.5 空间向量的数量积 课时目标 1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用． 1．两向量的夹角 如图所示，a,b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则__________ 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作__________． 如果〈a ，b 〉＝π2 ，那么向量a ，b ______________，记作__________． 2．数量积的定义 已知两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b . 即a·b ＝__________. 零向量与任一向量的数量积为0. 特别地，a·a ＝|a|·|a|cos 〈a ，a 〉＝________. 3．数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律： (λa )·b ＝λ(a·b ) (λ∈R )； a·b ＝b·a ； a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．数量积的坐标运算 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a·b ＝________________； (2)a ⊥b ?__________?____________________________； (3)|a |＝a·a ＝______________； (4)cos 〈a ，b 〉＝____________＝_________________________________________. 一、填空题 1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的____________条件． 2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________. 3．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则λ＝________. 4．若a 、b 、c 为任意向量，下列命题是真命题的是____．(写出所有符合要求的序号) ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a·b ＝a·c ，则b ＝c ； ③(a·b )·c ＝(b·c )·a ＝(c·a )·b ； ④若|a |＝2|b |，且a 与b 夹角为45°，则(a －b )⊥b . 5．已知向量a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，若a 与b 成120°角，则k ＝________. 6.设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运 动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 7．向量(a ＋3b )⊥(7a －5b )，(a －4b )⊥(7a －2b )，则a 和b 的夹角为____________． 8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3 ，则|a ＋b |＝________. 二、解答题
1.若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的____________条件． 解析：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |?cos 〈a ，b 〉＝1?〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不成立． 答案：充分不必要 2.对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)． ①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0； ③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c . 解析：①中若a ⊥b ，则有a ·b ＝0，不一定有a ＝0或b ＝0. ③中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b . ④中当a ＝0时，a ·b ＝a ·c ，不一定有b ＝c . 答案：② 3.已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________． 解析：因为a 与2b －a 互相垂直，所以a ·(2b －a )＝0. 即2a ·b －a 2＝0.所以2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|a |2＝0， 所以cos 〈a ，b 〉＝22 ，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45° 4.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________． 解析：|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝13. 答案：13 [A 级 基础达标] 1.(2011·高考重庆卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝__________． 解析：|2e 1－e 2|2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，∴|2e 1－e 2|＝ 3. 答案： 3 2.若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·a a ·b )b ，则向量a 与c 的夹角为__________． 解析：a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·a a ·b )b ·a ＝a ·a －a ·a ＝0，∴a ⊥c . 答案：90° 3.已知三点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则三角形ABC 的形状是__________． 解析：AB →＝(3，4，－8)，BC →＝(2，－3，1)，AC →＝(5，1，－7)． ∴|AB →|＝89，|BC →|＝14，|AC →|＝75， ∴|AB →|2＝|BC →|2＋|AC →|2，
高二数学（选修2-1 ）空间向量试题 宝鸡铁一中司婷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的 代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 60 分）． 1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则 AB1与 C1B 所成的角的大小为（）A． 60°B． 90°C． 105°D．75° 2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝A 1 B 1 ，则 BE1 4 与 DF1所成角的余弦值是（） A．15 B． 1 172 图 8 D．3 C． 2 17 3．如图， 1 1 1—是直三棱柱，∠=90°，点1、 1 分别是 1 1、 A B C ABC BCA D F A B A1C1的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（） A．C． 301 10 B． 2 30图 15 15 D． 10 4．正四棱锥S ABCD 的高 SO 2 ，底边长AB 2 ，则异面直线BD 和 SC 之间的距离（） ．15．5C． 2 5 A5B55 5．已知ABC A1 B1 C1是各条棱长均等于 a 的正三棱柱， D 是侧棱 CC1的中点．点 C1到平面 AB1 D 的距离（） A． 2 a B． 2 a 48A 1D． 5 C1 10B1 D A C B图
C．3 2 a D． 2 a 42 6．在棱长为 1 的正方体ABCD A1 B1C1D1中，则平面 AB1C 与平面 A1 C1 D 间的距离（） A．3B．3C．2 3 D．3 6332 7．在三棱锥－中，⊥，＝＝1，点、 D 分别是、的中点，⊥底 P ABC AB BC AB BC2PA O AC PC OP 面 ABC，则直线 OD与平面 PBC所成角的正弦值（） A．21B．8 3 C210 D ．210 636030 8．在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90，侧棱 AA1 2 ，D，E 分别是CC1与A1B的中点，点 E 在平面AB D 上的射影是ABD 的重心G．则A1B 与平面 AB D所成角的余弦值（） A． 2 B． 7 C． 3 D． 3 3327 9．正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为3，侧棱AA13 3 ，D是C B延长线上一点，2 且 BD BC ，则二面角B1AD B 的大小（） A． 3B． 6 C． 5 D． 2 63 10．正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为 2 2 ，侧棱长为4， E，F 分别为棱AB，CD的中点，EF BD G ．则三棱锥B1EFD1的体积V（） A．6B．16 3C．16 D．16 633 11．有以下命题： ①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a, b 的关系是不共线； ② O , A, B,C 为空间四点，且向量OA, OB, OC不构成空间的一个基底，则点 O, A, B,C 一定共面； ③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向量 a b, a b, c 也是空间的一个基底。其中
空间向量单元测试（一） 本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异 面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定 也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为 z y x ++=．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共 面，则实数λ等于 （ ） A ．627 B ．637 C ．647 D ．65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CC ===1,,， 则1A B = （ ） A ．a +b －c B ．a －b +c C ．－a +b +c D ．－a +b －c 6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝19，则向量与之间的夹角>数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
① 几何表示法：_________________________ ② 字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③ 相等向量：____________________________ ④ 相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
空间向量与立体几何教材分析 在必修2中，我们已经学习了空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，但必修2中没有证明空间中的距离，点点距、点线距、点面距等、空间中的角，包括异面直线所称的角、线面教、二面角，在必修2中也都只介绍了有关概念，以及很简单的求解题．为了能更好的解决空间中的几何元素的位置、距离、角度问题，教材在这里引入了空间向量． 用空间向量处理某些几何问题，为我们提供新的视角，在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率． 向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度． 本章是选修2-1的第3章，包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容．通过本章的学习，我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养我们的空间想象能力．在空间向量的学习中，我们要注意类比、推广、特殊化、化归等思想方法的应用，充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关的内容相互沟通，又学习了类比、推广、特殊化、化归等思想方法，体会数学探索活动的基本规律，提高对向量的整体认识水平．空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．在空间向量运算中，还要注意与数的运算的对比．另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行比较，对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行正确的分析．本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．根据问题的特点，以适当的方式（例如构造基向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等），最后对
第三章 空间向量与立体几何 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。 当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ 存在实数λ， 使a ρ ＝λb ρ。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是 存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ， 存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个 有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。
A A 1 D C B B 1 C 1 图 高二数学（选修2-1）空间向量试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的 代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝ 2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ） A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 2 ．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝ 4 1 1B A ，则BE 1 与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 1715 B ． 2 1 C ．17 8 D ． 2 3 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、 A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 10 30 B ． 2 1 C ．1530 D ．10 15 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离 （ ） A ． 5 15 B ． 5 5 C ． 5 5 2 D ． 105 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧 棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ） A ． a 42 B ． a 82 C ．a 4 2 3 D ． a 2 2
6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ） A ． 6 3 B ． 3 3 C ． 3 3 2 D ． 2 3 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝ 2 1 PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ） A ． 6 21 B ． 3 3 8 C 60210 D ．30 210 8．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ， D ， E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ?的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ） A ． 3 2 B ． 37 C ． 2 3 D ． 7 3 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱32 3 1= AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ） A ． 3 π B ． 6 π C ．65π D ． 3 2π 10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ， CD 的中点，G BD EF =?．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ） A ． 6 6 B ． 3 3 16 C ．316 D ．16 11．有以下命题： ①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。其中正确的命题是：（ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利
用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠0）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数 使b ＝ a
3.1 空间向量及其运算 1 空间向量及其加减运算、数乘运算 【学习目标】 1.类比平面向量,理解空间向量的相关概念; 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算的运算法则,比较与平面向量的异同,加深 理解. 【重难点】 概念的理解 【新知探究】 一、空间向量的有关概念 1.空间向量的定义: 在空间,我们把_________________________的量叫做空间向量 [思考] 空间向量间能否比较大小?
二、空间向量的加减法 1.定义: 空间向量的加、减运算结果仍是_______,其法则类似于平面向量的加、减法的运算法则:加法满足________法则和_________________________法则;减法为加法的__________,与平面向量的减法运算一样. 2.运算律: 空间向量的加法满足__________和_____________,即: a_____________;= = +b (_______________________________. a) +c + b [探究] 结合律的证明 [结论] 1.空间三个不共面向量的和向量可以与这三个向量移到相同起点后构造的平行六面体的对角线联系; 2.首尾相接的若干向量之和,等于____________________________________, 即:_________________________________________________ 3.首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则这些向量的和为________ 4.若P是线段AB的中点，则=____________________ 三、空间向量的数乘运算 1.定义: 与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个______,记为_______.称为向量的数乘运算. 其方向和长度规定如下: (1)长度规定: λa的长度是a的长度的________, (2)方向规定: 当λ>0时, λ与向量的方向________; 当λ<0时, λa与向量a的方向________;
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．典例解析 题型1：空间向量的概念及性质 例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 题型2：空间向量的基本运算 例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若 AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的 向量是（ ） C1
()A 1122a b c - ++ ()B 11 22a b c ++ ()C 1122 a b c --+ ()D c b a +-21 21 例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,求y x ,的值. 例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.（三）强化巩固导练 1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值. 2、 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，则下列向量中 与B 1相等的向量是 ( )。A ．-2 1a ＋2 1b ＋c B ．2 1a ＋2 1b ＋c C ．2 1a -2 1b ＋c D ．-2 1a -2 1b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是 。 第二课时 空间向量的坐标运算 （一）、基础知识过关 （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标 例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ） A. ：||=：|| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3 C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 D.存在非零实数k ，使=k （2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ）
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》 扶风县法门高中姚连省 第一课时平面向量知识复习 一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 二、教学重点：平面向量的基础知识。教学难点：运用向量知识解决具体问题 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质 向 量 的加法1平行四边形法则2三角形法则 向 量 的 减 法 三角形法则向 量的乘法1a是一个向量,满足: 2>0时,a λ与a同向; λ<0时,aλ与a异向; λ=0时, aλ=0 a∥b a bλ = ? 向b a?是一个数
量 的 数 量 积 10=或0=b 时, b a ?=0 20≠且0≠b 时, 2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且 只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(221 1y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥的充要条件是： ；（坐标表示） （三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）
§3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算 教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 教学过程： 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？ 二、新课讲授 1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？ 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？） 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则． 5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱） ''''ABCD A B C D -（如图） ，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵； 1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3 AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练 6. 练习：课本P 92 7. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量） 三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题.
高二数学选修空间向量 试卷及答案 Last revised by LE LE in 2021
A A 1 D C B B 1 C 1 图 高二数学（选修2-1）空间向量试题 宝鸡铁一中 司婷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝ 4 1 1B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 1715 B ． 21 C ．17 8 D ． 2 3 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 1030 B ． 2 1 C ．15 30 D ． 10 15 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的 距离（ ） A ． 5 15 B ． 5 5 C ． 55 2 D ．10 5 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱， D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 （ ） A ． a 4 2 B ． a 8 2 图 图
C ． a 4 2 3 D ． a 2 2 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 （ ） A ． 6 3 B ． 3 3 C ． 3 3 2 D ． 2 3 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝ 2 1 PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ） A ．6 21 B ． 3 3 8 C 60210 D ．30 210 8．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱 21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ?的重 心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ） A ． 3 2 B ． 3 7 C ． 2 3 D ． 7 3 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱32 3 1= AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ） A ． 3 π B ． 6 π C ．65π D ． 3 2π 10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ， CD 的中点，G BD EF =?．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ） A ． 6 6 B ． 3316 C ．3 16 D ．16 11．有以下命题： ①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是 不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面；