1
经济数学基础综合练习及参考答案
第一部分 微分学
一、单项选择题 1.函数()
1lg +=
x x
y 的定义域是(1->x 且0
≠x
). .
2.若函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)2(x
f 的定
义域是(
]0,(-∞ ).
3.下列各函数对中,( x x x f 22cos sin )(+=,1
)(=x g )中的两个函数相等.
4.设
11
)(+=
x
x f ,则))((x f f =(11++x
x
).
5.下列函数中为奇函数的是( 1
1
ln
+-=x x y
).
6.下列函数中,(
)1ln(-=x y )不是基本初等函
数.
7.下列结论中,( 奇函数的图形关于坐标原点对 )
是正确的. 8. 当
x →0时,下列变量中(
x
x 21+ )是无穷
大量. 9. 已知
1tan )(-=
x
x
x f ,当( x →0 )时,
)(x f 为无穷小量.
10.函数
sin ,0(),0
x
x f x x
k x ?≠?
=??=? 在x = 0处连续,则k = ( 1
).
11. 函数
??
?<-≥=0
,10,1)(x x x f 在x = 0处(
右连续 ).
12.曲线
1
1
+=
x y 在点(0, 1)处的切线斜率为
( 2
1- ).
13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为(
y =
x ).
14.若函数x x f =)1(,则)(x f '=(-2
1
x ).
15.若x
x x f c o s )(=,则='')(x f ( x x x cos s i n 2-- ).
16.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是(e x
).
17.下列结论正确的有( x 0是f (x )的极值点,且f '(x 0
)存在,
则必有
f '(x 0
) = 0 ).
18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=,则
需求弹性为E p =(
--p
p
32 ).
二、填空题
1.函数???<≤-<≤-+=20,105,2)(2
x x x x x f 的定义域是[-5,2]
2.函数
x
x x f --
+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )
3.若函数
52)1(2-+=+x x x f ,则=
)(x f 62-x .
4.设函数1)(2-=u u f ,
x
x u 1)(=,则
=))2((u f 4
3
-.
5.设
2
1010)(x x x f -+=
,则函数的图形关于 y 轴对称.
6.已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ,则当产量q = 50时,该产品的平均成本为3.6 .
7.已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ,其中p 为该商品的价格,则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 . 8. =
+∞
→x
x x x sin lim
1 .
9.已知x x x f sin 1)(-
=,当0→x 时,)(x f 为无穷
小量.
10. 已知
??
?
??=≠--=1
11
1)(2x a x x x x f ,若f x ()
在
),(∞+-∞内连续,则=a 2 .
11. 函数
1
()1e x
f x =
-的间断点是0x =.
12.函数
)
2)(1(1
)(-+=
x x x f 的连续区间是)1,(--∞
),2(∞+.
)
1处的切线斜率是
(1)0.5y '=
14.函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)
15.已知x x f 2ln )(=,则[f =
0 .
16.函数
y x =-312()的驻点是x =1.
17.需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p
p q -?=,则需
求弹性为E p =2
p
-.
18.已知需求函数为
p
q 3
2320-=,其中p 为价格,则需求弹
性E p =
10
-p p
.
三、计算题(答案在后面)
1.4
23lim
22
2-+-→x x x x 2
.
231lim
21+--→x x x x 3.x → 4.
2343lim
sin(3)x x x x →-+- 52)1tan(lim 21-+-→x x x x 6.))32)(1()23()21(lim 6
25--++-∞→x x x x x x 7.已知y x
x
x cos 2-
=,求)(x y ' . 8.已知)(x f x x x ln sin 2+=,求)(x f ' . 9.已
知
x y cos 25=,求)2
π(y ';
10.已知y =3
2ln x ,求y d . 11.设x y x
5sin cos e +=,求y d .
12.设x
x y -+=2tan 3,求y d .
13.已知2
sin 2cos x y x -=,求)(x y ' .
14.已知x
x y 53e ln -+=,求)(x y ' . 15.由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '.
16.由方程0e sin =+y
x y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '.
17.设函数
)(x y y =由方程y x y e 1+=确定,求0
d d =x x
y
.
18.由方程x y x y =++e )cos(确定y
是
x 的隐函
数,求
y d .
四、应用题(答案在后面) 1.设生产某种产品
x
个单位时的成本函数为:
x x x C 625.0100)(2
++=(万元),
求:(1)当
10=x 时的总成本、平均成本和边际成本;
(2)当产量x
为多少时,平均成本最小?
2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为
q p =-100010(q 为需求量,p 为价格).试求:
(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利
润最大?
3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数p q 42000-=,其中
p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的,试
求:(1)价格为多少时利润最大?(2)最大利润是多少? 4.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2(元),单位销售价格为p = 14-0.01q (元/件),试求:(1)产量为多少时可使利润达到最大?(2)最大利润是多少?
5.某厂每天生产某种产品
q
件的成本函数为
9800365.0)(2++=q q q C (元).为使平均成本最低,
每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少? 6.已知某厂生产
q
件产品的成本为
C q q q ()=++
2502010
2(万元).问:要使平均成本最少,
应生产多少件产品? 三、极限与微分计算题(答案) 1.解
4
23lim
222
-+-→x x x x =
)
2)(2()1)(2(lim
2+---→x x x x x =
)2(1lim
2+-→x x x = 41
2.解:
231lim
2
1
+--→x x x x =)
1)(2)(1(1
lim 1+---→x x x x x
=
2
1
)
1)(
2(1lim
1
-
=+-→x x x
3.解
l i
x →0x → =x
x x x x 2sin lim
)11(
lim 00
→→++=2
?2 = 4
4.解 2343
lim sin(3)
x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---
=
33
3
lim
lim(1)sin(3)x x x x x →→-?--= 2
5.解
)
1)(2()1tan(lim
2)1tan(lim
121
-+-=-+-→→x x x x x x x x
1
)1tan(lim
21lim
11
--?+=→→x x x x x 31131
=?= 6.解
))32)(1()23()21(lim 6
25
--++-∞→x x x x x x =
))3
2)(11()2
13()21(lim 6
25x
x x x x
x --++-∞→
=2
32
3
)
2(6
5-
=?-
7.解:
2
y '(x )=)cos 2('-x
x x =2
cos sin 2ln 2x x
x x x --- =
2
cos sin 2ln 2x x
x x x ++
8.解
x
x x x f x x 1cos 2s i n 2ln 2)(+
+?=' 9.解 因为
5
ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='
所以
5ln 25ln 52
πsin 2)2π(2
πcos
2-=?-='y
10.解 因为 )(ln )(ln 3
231'='-x x y
3
31
ln 32)(ln 32x
x x x ==- 所以
x x
x y d ln 32d 3
=
11.解 因为
)(cos cos 5)(sin e
4
sin '+'='x x x y x
x x x x
sin cos 5cos e
4
sin -=
所以
x x x x y x
d )sin cos 5cos e
(d 4
sin -=
12.解 因为
)(2ln 2)(cos 1
332'-+'='-x x x
y x
2ln 2cos 3322
x x
x
--=
所以 x x
x y x d )2ln 2cos 3(d 322
--=
13.解 )(cos )2(2sin )(2
2'-'-='x x x y x x
2cos 22ln 2sin 2x x x x --=
14.解:
)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y x
x x
x
52
5e ln 3--=
15.解 在方程等号两边对x 求导,得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y
0)(e 1)1ln(='++++
+'y x y x
y
x y xy
xy xy
y x
y
y x x e 1]e )1[ln(-+-='++
故
]
e )1)[ln(1(e )1(xy
xy
x x x y x y y +++++-
='
16.解 对方程两边同时求导,得
0e e cos ='++'y x y y y
y
y
y
y x y e
)e (cos -='+
)(x y '=
y
y
x y e cos e +-.
17.解:方程两边对x 求导,得 y x y y
y '
+='e e
y
y x y e
1e
-=
'
当
0=x 时,1=y
所以,
d d =x x
y
e e 01e 1
1=?-=
18.解 在方程等号两边对x 求导,得
)()e (])[cos('='+'+x y x y
1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y
)
sin (1)]sin(e [y x y y x y
++='+-
)
sin(e )sin(1y x y x y y +-++=
'
故
x y x y x y y
d )
sin(e )
sin(1d +-++=
四、应用题(答案)
1.解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:
x x x C 625.0100)(2++=
625.0100
)(++=
x x
x C ,
65.0)(+='x x C
所
以
,
1851061025.0100)10(2=?+?+=C
5.1861025.010
100
)10(=+?+=
, 116105.0)10(=+?='C
(2)令
25.0100
)(2=+-='x
x ,得
20=x (20-=x 舍去)
因为20=x 是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实
存在最小值,所以当
=x 20时,平均成本最小.
2.解 (1)成本函数C q ()= 60q +2000.
因为 q
p =-100010,即p q =-
1001
10
, 所以 收入函数
R q ()=p ?q =(1001
10
-
q )q =100110
2
q q -
. (2)因为利润函数L q ()=R q ()-C q ()
=100110
2
q
q -
-(60q +2000)
= 40
q -
110
2
q -2000 且
'L q ()=(40q -110
2q -2000')=40-
0.2
q
令
'L q ()= 0,
即40- 0.2q = 0,得q = 200,它是L q ()在其定义域内的唯一驻点. 所以,
q = 200是利润函数L q ()的最大值点,即当
产量为200吨时利润最大.
3.解 (1)C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400p
R (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2
利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000,且令
)
(p L '=2400 – 8p = 0
得p =300,该问题确实存在最大值. 所以,当价格为p =300元时,利润最大.
(2)最大利润
11000
25000030043002400)300(2=-?-?=L (元).
4.解 (1)由已知
201.014)01.014(q q q q qp R -=-==
利润函数
2
22
02.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=
则q L 04.010-='
,令004.010=-='q L ,解出唯
一驻点
250=q .
因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润
达到最大,
(2)最大利润为
1230
125020250025002.02025010)250(2=--=?--?=L (元)
5. 解 因为 C q ()=
C q q ()=
05369800.q q
++
(
q >0)
'C q ()=(.)05369800q q
++'=0598002
.-q
令'C q ()=0,即0598002
.-q =0,得q 1=140,q 2
=
-140(舍去).
q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点,且该问
题确实存在最小值. 所以
q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点,即为使
平均成本最低,每天产量应为140件. 此时的平均成本为
C ()140=05140369800140
.?++
=176 (元/件) 6.解 (1) 因为 C q ()=C q q ()=2502010
q q ++
'C q ()=()2502010
q
q ++'=-+
250
110
2q
令
'C q ()=0,即-+
=250
1
10
0q ,得q 1=50,
q 2=-50(舍去),
q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点.
所以,
q 1=50是q ()的最小值点,即要使平均成本
最少,应生产50件产品.
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
数学建模与计算机关系研究 【摘要】高等数学与计算机教学具有内在相关性,尤其是在数学建模应用中,根据计算机学科发展来发挥数学建模理论的作用及效果,有助于增强学生对高等数学的理解和应用能力。基于此,本文笔者就从高等数学建模理论与计算机技术的关系研究入手,来阐述建模嵌入在计算机辅助教学中的重要潜力。 【关键词】计算机;高等数学;教学改革;数学建模 1.高等数学与计算机学科发展 有人说,计算机技术的发展可以省去学习数学的麻烦,即便是很多专业计算机教师也抱有同样的想法。然而,对于计算机应用领域及实践中,计算机技术确实给很多从业者带来了便捷与高效,但计算机技术不等于数学,更不能替代数学。从高等数学教学实践来看,对于我们常见的数学概念,如比率、概率、图像、逻辑、误差、机会,以及程序等知识的认识,很多行业都在进行数字化、数量化转变,对数学知识的应用也日益广泛。从这些应用中,数学理论及知识,尤其是数学基本理论研究就显得更为重要。数学,在数学知识的应用中,更需要从练习中来提升对数学知识及概念的理解,也需要通过练习来提升运算能力。如果对数学概念及方法应用的不过,对数学单调性的知识缺乏深刻的认识,就会影响数学知识在实践应用中出现偏差。计算机技术的出现,尤其是程序化语言的应用,使得数学知识在表达与反映中能够依据不同的应用灵活有效、准确的运算,从而减少了不必要的验证,也提升了数学在各行业中的应用效率。 数学软件学科的发展,成为计算机重要的辅助教学的热门领域,也使得计算机技术能够发挥其数学应用能力。在传统的数学教学中,逻辑与直观、抽象与具体始终是研究的矛盾主体,如有些太简单的例子往往无法进行全面的计算;有些复杂的例子又需要更多的计算量。在课堂表现与讲解中,对于理性与感性知识的认知,学生缺乏有效的理解和应用,而强大的计算机运算功能却能够直观的表达和弥补这些缺陷,并依托具体的演示过程中来营造概念间的差异性,帮助学生从中领会知识及方法。在计算机的辅助教学下,教师利用对数学理论课题或应用课题,从鲜活的思维及形象的表达上借助于软件来展现,让学生从失败与成功中得到知识的应用体验,从而将被动的知识学习转变为主动的参与实践,更有助于通过实践来激发学生的创新精神。这种将数学教学思维与逻辑与计算机技术的融合,便于从教学中调整教学目标,依据学生所需知识及专业需求来分配侧重点。数学建模就是从数学学科与计算机学科的融合与实践中帮助学生协作学习,提升自身的能力。 2.信息技术是高等数学应用的产物 现代信息技术的发展及应用无处不在,对数学知识的渗透也是日益深入。当前,各行业在多种协作、多种专业融合中,借助于先进的信息技术都可以实现畅通的表达与物化。如天气预报技术、卫星电视技术、网络通讯技术等都需要从数