24．1 圆
第1课时
教学目标
1、知识与技能目标
了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．2、过程与方法目标
从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
3、情感态度与价值观目标
在问题的探索过程中培养学生动手实践、观察和归纳问题的能力。
教学重难点
重点：垂径定理及其运用．
难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）
1、举出生活中的圆三、四个．
2、你能讲出形成圆的方法有多少种？
老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．
二、探索新知
从以上圆的形成过程，我们可以得出：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，?另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
学生四人一组讨论下面的两个问题：
问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
老师提问几名学生并点评总结．
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新定义：
圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧
记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC
叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
（学生活动）请同学们回答下面两个问题．
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？?你能找到多少条对称轴？
2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，?我能找到无数多条直径．
2．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．
因此，我们可以得到：
（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．
（2）AM=BM ，AC BC =，AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB 及ADB ． 这样，我们就得到下面的定理：
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M
求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.
分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、?OB 或AC 、BC 即可．
证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB
在Rt △OAM 和Rt △OBM 中 OA OB OM OM
=??=? ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM
∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称 ∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．
∴AC BC =，AD BD =
进一步，我们还可以得到结论：
（本题的证明作为课后练习）
B
例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，?其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．
分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
解：如图，连接OC ，设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m ∵OE ⊥CD ∴CF=12CD=12
×600=300（m ） 根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2
即R 2=3002+（R-90）2 解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m ．
三、巩固练习
教材P81 练习1、2。 P83 练习．1、2。
四、应用拓展
例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=?60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m?是否需要采取紧急措施，?只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ．
解：不需要采取紧急措施 设OA=R ，在Rt △AOC 中，AC=30，CD=18 R 2=302+（R-18）2 R 2=900+R 2-36R+324
解得R=34（m）
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16
342=162+（34-x）2
解得x1=4，x2=64（不合舍）∴DE=4 ∴不需采取紧急措施．
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆的有关概念
2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴
3．垂径定理及其推论以及它们的应用．
六、布置作业
1．教材P89 复习巩固2
2．车轮为什么是圆的呢？
3．垂径定理推论的证明．
七、板书设计：
24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计 岫岩满族自治县 雅河中学关良壬
24.1.2垂直于弦的直径教学设计 岫岩雅河中学关良壬 教材分析 本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 学情分析 本节课实际是圆的计算在八年级下册第十八章勾股定理的基础上加上新知识圆的内容所以上课前先要了解学生对勾股定理的掌握情况。 教学目标 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——作弦心距。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。 3．情感目标：①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质； ②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获 得成功的体验。 教学重点垂径定理及其应用。 教学难点垂径定理的语言表述。 教学方法探究发现法。 教具准备圆形纸片、电脑、三角板、圆规。 教学设计 一、教学活动设计：
圆内两条互相垂直的弦 1、已知：如图1，四边形ABCD内接与圆O，对角线AC⊥BD于点M，F是AD中点，连接FM并延长交BC于点E，求证：ME⊥BC（2）已知如图2，△ABC内接于圆O，∠B＝30°∠ACB＝45°，AB＝2，点D在圆O上，∠BCD＝60°，连接AD交BC于点P，作ON⊥CD于点N，延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA并求PN的长． 2、如图1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AC、DB并延长相交于点P，连接AO，DO，AD，BC．（1）求证：∠AOD＝90°+∠P；（2）如图2，若AB平分∠CAO， 求证：AD＝AB；（3）如图3，在（2）的条件下，若OA＝5，PB＝，求四边形ACBD的面积．
3、已知，△ADB内接于⊙O，DG⊥AB于点G，交⊙O于点C，点E是⊙O上一点，连接AE分别交CD、BD于点H、F．（1）如图1，当AE经过圆心O时，求证：∠AHG＝∠ADB；（2）如图2，当AE不经过点O时，连接BC、BH，若∠GBC＝∠HBG时，求证：HF＝EF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若AB＝8，DH＝6，求sin∠DAE的值． 4、已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证： EA?EC＝EB?ED；（2）如图2，若＝，AD是⊙O的直径，求证：AD?AC＝2BD?BC；（3）如图3，若AC⊥BD，BC＝3，求点O到弦AD的距离．
5、△ABC内接于⊙O，已知∠ABC＝∠ACB．（1）如图（1），求证：AO平分∠BAC； （2）如图（2），点D是弧AC上一点，连接BD交AC于点G，连接CD，弦AE交BD 于F、交CD于H，并且AE⊥BD，求证：BD+CD＝2BF；（3）如图（3）在（2）的条件下，BD经过圆心O，连接DE，OG＝DH，S△DEH＝9，求OG的长． 6、已知△ABC，AB＝AC，⊙O经过点B、C两点，点D在AC边上，BC＝BD，过点B作AC的垂线垂足为E，交⊙O于F，延长BD交⊙O于H，连接CH、DF．（1）如图1，求证：∠BHC＝∠BFD；（2）如图2，当点A在⊙O上时，连接AF，求证：AF⊥BH；（3）如图3、 在（2）的条件下，若AD＝3DE，PH＝，求⊙的半径．
课后巩固 1．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是（） A．3B．6C．4D．8 2．CD为⊙O的直径，弦AB⊙CD于M，若CM=12，DM=8，则AB等于（） A．4B．8C．8D．4 3．如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为中点，则说法错误的是（） A．AD⊙BC B．=C．AE=DE D．OE=BE 4．已知如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，则OP长的取值范围为（） A．OP＜5B．8＜OP＜10C．3＜OP＜5D．3≤OP≤5 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则⊙BAC等于（）
A．15°B．20°C．30°D．45° 6．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的速度为（） A．0.4厘米/分B．0.6厘米/分C．1.0厘米/分D．1.6厘米/分 7．已知⊙O的半径是5cm，弦AB⊙CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（） A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断 二．填空题（共7小题） 8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为． 9．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊙AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=5cm．
10．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为． 11．如图，⊙O的半径为5，弦BC=8，点A在⊙O上，AO⊙BC，垂足为D、E为BC延长线上一点，AE=10，则CE的长为． 三．解答题（共8小题） 12．（2017?顺德区一模）如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊙AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O 的半径． 13．（2017?普陀区一模）如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊙BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径． 14．（2016?云南校级模拟）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，⊙DEB=30°，求弦CD 长．
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题 （1）过椭圆22 221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点22 2 (,0)a c a b +。 （2）过椭圆22 221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ， CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a s a b +。 设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1 x y s m =- +， 222222 x my s b x a y a b =+??+-=?，22222222 ()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 22 22 2 2 4()0a b m b a s ?=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222 () a s a y y m b a -?=+， 由中点公式得M 22 22 2222 (,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1 m -代换，得到N 的坐标22222 2222 (,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222 222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222 a s x a b =+ 所以直线MN 恒过定点22 2 (,0)a s a b +。 （3）过椭圆22 221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ， CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b t a b +。
垂直于弦的直径 ------垂径定理 【教学内容】垂径定理 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。
【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一复习提问 1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？ 2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流． 3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径． 4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 二、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400
多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1幻灯片放映） 三、尝试诱导，发现定理 （一）学生活动 1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。 如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e．2教师用电脑演示重叠的过程。 提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由． ⌒ ⌒
24.1.2 垂直于弦的直径 一、课前预习 (5分钟训练) 1.如图24-1-2-1，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，则可推出的相等关系是___________. 图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-3 2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为__________. 3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦. 4.圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B 、C,那么弦BC 的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________. 2.如图24-1-2-2，在⊙O 中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C ，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________. 3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm. 4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长. 图24-1-2-4 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( ) A.32 B.33 C. 22 3 D.2 33 图24-1-2-5 图24-1-2-6
2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( ) A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边 摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？ 图24-1-2-7 5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12 日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米. 图24-1-2-8
《垂直于弦的直径》拓展练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（） A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（） A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm 3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（） A．4B．5C．6D．6 4．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）
A．4m B．5m C．6m D．8m 5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（） A．5米B．7米C．米D．米 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为． 7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面米． 8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸．
垂直于弦的直径 一、课前预习(5分钟训练) 1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________. 图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-3 2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________. 3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦. 4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________. 2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣 弧有______________. 3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm. 4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长. 图24-1-2-4 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( ) 2 B.3 3 C. 22 3 D. 23 3 图24-1-2-5 图24-1-2-6 2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )
A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边 摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？ 图24-1-2-7 5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12 日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米. 图24-1-2-8 6.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
圆垂直与玄的直径
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A C B O 24.1.1 圆、垂至于弦的直径 ◆基础训练 一、选择题: 1、如图1，AD 是⊙O 的直径，AB ∥CD ，∠AOC=60°，则∠BAD=______度. B A O D C 图1 图2 图3 2.已知⊙O 的半径为4，则垂直平分这条半径的弦长是( ) (A)23 (B) 43 (C) 4 (D) 42 3.如图2，⊙O 中弦AB 垂直于直径CD 于点E ，则下列结论：①AE=BE ；②； ? ?AC BC =;③??AD BD =；④EO=ED.其中正确的有( ) (A)①②③④ (B)①②③ (C)②③④ (D)①④ 二、填空题 4、如图3，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于C ，若25cm AB =，1cm OC =，则⊙O 的半径长为 cm ． 5.圆的半径为3，则弦AB 长度的取值范围是 . 6.P 为圆外一点，且P 点到圆上点的最近距离为3，到圆上点的最远距离为15，则圆的半径为 . 7、某公园的一石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度是24m ，拱的半径是13m ，则拱高为 。 三、综合题 8、已知：如图4，AB 、CD 为⊙O 的两条直径，M 、N 分别为AO 、BO 的中点. （1）求证：四边形CMDN 为平行四边形； （2）四边形CMDN 能够是菱形吗？若能，你知道需要添加什么条件吗？ E O D C B A C
图4 9、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。 10．如图6，⊙O 的弦AB 、半径OC 延长交于点D ，BD=OA ，若∠AOC=105°，求∠D 的度数. 图6 ◆综合迁移 一、选择题 1、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP =4，在过P 点的所有⊙O 的弦中，你认为弦 长为整数的弦的条数为（ ） A.6条 B.5条 C.4条 D.2条 2、下列命题中，正确的命题是（ ） A. 平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦; A B C 图 C O D B A P O
xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型 选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分 得分 一、xx题 （每空xx 分，共xx分） 试题1: 下列说法正确的是( ) A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D．长度相等两条弧是等弧 试题2: 下列说法错误的有( ) ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3 cm为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试题3: 如图2418，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( ) A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm 试题4: 评卷人得分
如图2419，在⊙O中，弦AB垂直于直径CD于点E，则下列结论：①AE＝BE；②＝；③＝；④EO＝ED.其中正确的有( ) A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 试题5: 如图24110，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝60°，则弦长AB＝________. 试题6: 如图24111，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，其大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和________(结果保留 π)． 试题7: 如图24112，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交于点D. (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径． 试题8: 平面内的点P到⊙O上点的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O的面积为__________．
第1课时 圆和垂直于弦的直径 1．下列说法正确的是( ) A ．直径是弦，弦是直径 B ．半圆是弧 C ．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D ．长度相等两条弧是等弧 2．下列说法错误的有( ) ①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm 且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图24-1-8，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长 为( ) A ．2 cm B. 3 cm C ．2 3 cm D ．2 5 cm 图24-1-8 图24-1-9 4．如图24-1-9，在⊙O 中，弦AB 垂直于直径CD 于点E ，则下列结论：①AE ＝BE ；②AC ＝BC ；③AD ＝BD ；④EO ＝ED .其中正确的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①④ 5．如图24-1-10，在⊙O 中，半径为5，∠AOB ＝60°，则弦长AB ＝________. 图24-1-10 图24-1-11 6．如图24-1-11，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，其大圆的半径是2，则其阴影部 分的面积之和________(结果保留π)． 7.如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=?，则BOC ∠=_________ 8、如图，⊙O 的直径为8，弦CD 垂直平分半径OA ，则弦CD ＝ ． B C
9、已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是 ． 10、如图，在⊙O 中，∠B=50o，∠C=20o，则∠BOC 的=____________ 11、已知如图,AB 为⊙O 的弦,半径OE 、OF 分别交AB 于点C 、D ， 且AC=BD 。 求证：CE=DF 12、已知如图，，AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ，MN 是△ABC 的中位线吗？ 13、已知⊙O 中，M 、N 分别是不平行的两条弦AB 和CD 的中点， 且AB = CD ， 求证：∠AMN=∠CNM 14．如图24-1-12，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC 于点D . (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径． 图24-1-12 D
24.1.2 垂直于弦的直径 1．如图24-1-16所示，已知⊙O的半径为13，弦AB的长为24，则点O到AB的距离是( ) 图24-1-16 A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图24-1-17所示，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是( ) 图24-1-17 A．CE＝DE B．AE＝OE C. D．△OCE≌△ODE 3．如图24-1-18所示，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm 4．如图24-1-19所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为____． 5．如图24-1-20所示，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，点P是弦AB上的一个动点，求
OP的长度范围． 6．本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为120米，A到BC 的距离为4米，如图24-1-21所示． 请你帮他们求出该湖的半径． 7．有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为8 m，拱顶高出水面2 m，现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6 m，高1.5 m(货箱底与水面持平)，示意图如图24-1-22所示，问该货船能否顺利通过该桥？ 图24-1-22
参考答案 【分层作业】 1．B 2.B 3.C 4.5 5.3 cm≤OP≤5 cm.6.人工湖的半径为452米．7.该货船不能顺利通过该桥． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
24.1.2 垂直于弦的直径 【知能点分类训练】 知能点1 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______． 2．两个同心圆的对称轴（）． A．仅有1条 B．仅有2条 C．有无数条 D．仅有有限条 3．如图所示，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （3）①在图中，连接OA，OB，则△OAB是等腰三角形，那 么直径CD既是⊙O 的________，又是△OAB的 ________． ②把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重 合，点A与点B重合，AE与____?重合，AC与______重 合，AD与_____重合． ③同理可得到AE_____BE，AC=_______，AD=________． 知能点2 垂直于弦的直径 4．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）． A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BC BD 5．如图所示，在⊙O中，OD⊥AB于P，AP=4cm，PD=2cm，则OP的长等于（）．
A．9cm B．6cm C．3cm D．1cm 6．在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm，则⊙O 的半径为________． 7．在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于E，∠COD=100°，则∠COE=_______． 8．如图所示，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，当______时，CD ⊥AB．（填写一个你认为适当的条件） 9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA?为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长． 10．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB中点E，交 吗？ CD于F，试问：（1）点F是CD的中点吗？（2）AC BD 【综合应用提高】 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的直径为（）．A．6.5m B．9m C．13m D．15m (第11题) (第12题) 12．如图，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=8m，?那么油的最大深度是_________． 13．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD，点O是CD?的圆心，CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD于F，EF=90m，则这段弯路的半径是多少？
24．1．2 垂直于弦的直径 教学目标 1、知识目标： （1）充分认识圆的轴对称性。 （2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。 （3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。 2、能力目标： 让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动 手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。 让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。 3、情感目标： 通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时 培养学生勇于探索的精神。 教学重点 垂直于弦的直径的性质及其应用。 教学难点 1、垂径定理的证明。 2、垂径定理的题设与结论的区分。 教学辅助 多媒体、可折叠的圆形纸板。 教学方法 本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。 教学过程
引入新课引入新课 问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？ 拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折， 重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结 论？： （1）圆是轴对称图形。 （2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所 在的直线） （3）圆的对称轴有无穷多条 实验：把圆形纸片沿着圆的 任意一条直径对 折，重复做几次 观察：两部分重合，发现得 出圆的对称性的结 论 培养学生 的动手能 力，观察能 力，通过比 较，运用旧 知识探索 新问题 揭示课题揭示课题 电脑上用几何画板上作图： （1）做一圆 (2) 在圆上任意作一条弦 AB； (3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。 （板书课题：垂直于弦的直径） 在圆形纸片上作一条弦AB， 过圆心作AB的垂线的直径 CD且交AB于E 师生互动师生互动 运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动 画让学生观察，讨论 （1）图中圆可能会有哪些等量关系？ （2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？ 实验：将圆沿直径CD对折 观察：图形重合部分，思考 图中的等量关系 猜想： AE=EB、 弧AC=弧CB、 弧AD=弧DB (电脑显示))垂直于弦的直 径平分弦，并且平分弦所对 的两条弧？ 引导学生 通过“实验 --观察-- 猜想”，获 得感性认 识，猜测出 垂直于弦 的直径的 性质 O E D C B A
垂直于弦的直径练习 一、选择题（每题4分，共计24分） 1．如图所示，在⊙0中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是 () A．AC=CB B. C. D. OC=CN 2．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 cm，则OM的长等于() A．B． C. 8 cm D． 3．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm， AP：PB=1：5，那么⊙O的半径等于() A．6 cm B．C．8 cm D． 4．如果⊙O中弦AB与直径CD垂直，垂足为E，AE=4，CE=2，那么⊙O的半径等于() A. 5 B. C. D. 5. 如图所示，AB是⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB．∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A、B两点)上移动时，点P() A．到CD的距离保持不变B．位置不变 C. 等分D．随C点的移动而移动 6. 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AC=CD， AB的弦心距等于CD的一半。则这两个同心圆的大小圆的半径之比() A. 3：1 B. C. D.
二、填空题（每题5分，共计40分） 7．在半径为5 cm的圆内有两条平行弦。分别为6 cm和8 cm．则两弦之间的距离是______． 8．在圆中，垂直平分一条半径的弦长为，则此圆的半径等于_________. 9．在半径为5cm的⊙O中，若O到弦AB的距离为，则∠AOB的度数为____，AB的长等于______. 10．如图所示，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点．那么OP长的取值范围是_______. 11．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB、CD相交于点P．AP=8 cm，BP=2 cm，∠CPA=30°，那么CD的弦心距等于________. 12. ⊙O的半径是20 cm，AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，则S△AOB等于_____． 13．有一圆弧形拱桥，拱形的半径为10m，拱的跨度为16m，则拱高等于____. 14．若弓形的弦长为4，弓形的高为1，那么弓形所在圆的半径等于_____． 三、解答题（15题16题各8分，17题18题各10分，共计36分） 15. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，以C为圆心，AC为半径的⊙C交AB于D，求AD长．
第二十四章圆 24.1.2 垂直于弦的直径 精选练习答案 一、单选题（共10小题) 1．（2019·广东铁一中学初三期中）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（） A．90°B．120°C．135°D．150° 【答案】B 【详解】 过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD 1 2 =OC 1 2 =OA，由此可得．在Rt△AOD中，∠OAD=30°，同理可得∠OBD=30°．在△AOB中，由内角和定理，得：∠AOB=180°﹣∠OAD﹣∠OBD=120°． 故选B． 【名师点睛】 本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形． 2．（2019菏泽市期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已
知4EF CD ==，则球的半径长是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 【答案】B 【详解】 如图： EF 的中点M ，作MN⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴四边形CDMN 是矩形， ∴MN=CD=4， 设OF=x ，则ON=OF ， ∴OM=MN -ON=4-x ，MF=2， 在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2=OF 2， 即：（4-x ）2+22=x 2， 解得：x=2.5， 故选：B ． 【名师点睛】 本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2018·扬州中学教育集团树人学校初三期中）已知⊙O 的直径为，弦AB 为8cm ，P 为弦AB 上的一动点，若OP 的长度为整数，则满足条件的点P 有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．5个 D ．7个
【中考冲刺】圆心角、弧、弦的关系
【中考冲刺】圆心角、弧、弦的关系 一、选择题（共7小题） 1．（2004?昆明）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是（） A．180°B．150°C．135°D．120° 2．（2009?永州）下列命题是真命题的是（） A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．平移不改变图形的形状和大小 C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D．相等的弦所对的弧相等 3．（2008?台湾）如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（） A． ＜B．=C． ＜ D．= 4．（2005?哈尔滨）半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10 C．8D．6 5．（2000?武汉）已知下列四个命题： ①过原点O的直线的解析式为y=kx（k≠0）； ②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④在同圆或等圆中，若圆周角不等则所对的弦也不等． 其中不正确的命题是（） A．只有①②B．①②③C．①②④D．②③④
A．105°B．120°C．135°D．150° 7．（2007?江苏）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于（） A．50°B．55°C．65°D．80° 二、填空题（共7小题）（除非特别说明，请填准确值） 8．（2010?广安）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于_________度． 9．（2005?武汉）长度相等的两弧是等弧．_________（填“正确”或“错误”） 10．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为_________cm． 11．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 的半径和圆心C的坐标分别是_________，_________． 12．（2010?扬州）如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC=70°，AD∥OC，则∠AOD=_________度．
人教版九年级上册数学 24.1.2垂直于弦的直径同步练习 一．选择题 1．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（） A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm 2．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD 互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（） A．6 B．8 C．3D．6 3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（） A．2 B．4 C．6 D．8 4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）
A．13 B．24 C．26 D．28 5．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB 长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm． A．350 B．700 C．800 D．400 6．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（） A．5 B．4 C．D．2 7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C 是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（） A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 8．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（）
、课前预习(5 分钟训练) 1. __________________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-1 ，AB 是⊙ O的弦，CD是⊙ O的直径，CD ⊥ AB ，垂足为E，则可推出的相等关系是___________ 图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24 -1-2-3 2. __________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它 垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为____________________________________ . 3. 判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2) 平分弦的直径垂直于弦. 4. __________________________________________________________________________ 圆O 的半径 OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于________________________________ . 二、课中强化(10 分钟训练) 1. _________________________________________ 圆是轴对称图形，它的对称轴是. 2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1- 2-2，在⊙ O中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C，图中相等的线段有 ___________________________ ，相等的劣弧有 ________________ . 3. ____________________________________________________________________________ 在图24-1-2-3 中，弦AB 的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙ O的半径R= ___________________________________ cm. 三、课后巩固(30 分钟训练) 1. 如图24-1-2-5,⊙ O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙ O于B、C,则BC等于( ) 33 D. 垂直于弦的直径 4.如图24-1-2-4 所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦 B.3 3 C. 3 2 AB 的距离为 图24-1-2-5 图24-1-2-6
练习1 圆 1．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径； 线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；_____半圆． (2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______． 2．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：∠AOC=∠BOD； (2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论． 3．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数． 4．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O． 练习2 垂直于弦的直径 【基础知识填空】1．圆是______对称图形，它的对称轴是________。 2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．【练习题】 4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm． 5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm， 则AB=______cm．
6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______． 8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD 的距离是______． 9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长． 12．已知：如图，试用尺规将它四等分． 13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)． 14．已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为2，3，求∠BAC的度数． 圆的定义圆的确定垂直于弦的直径练习 一、选择题 1. 在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AB=13，D是AB的中点，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则⊙C与点D的位置关系是() A. D在圆内B．D在圆上C．D在圆外D．不能确定