2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第36讲空间向量及
其应用
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案
第36讲空间向量及其应用
一．课标要求：
（1）空间向量及其运算
①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
①理解直线的方向向量与平面的法向量；
②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；
④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
二．命题走向
本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
三．要点精讲
1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2．向量运算和运算率
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
加法交换率：?Skip Record If...?
加法结合率：?Skip Record If...?
数乘分配率：?Skip Record If...?
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。?Skip Record If...?平行于
?Skip Record If...?记作?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?。
注意：当我们说?Skip Record If...?、?Skip Record If...?共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说?Skip Record If...?、?Skip Record If...?平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：对空间任意两个向量?Skip Record If...?（?Skip Record If...?≠?Skip Record If...?）、?Skip Record If...?，?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?的充要条件是存在实数?Skip Record If...?使?Skip Record If...?＝
?Skip Record If...??Skip Record If...?
注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?（?Skip Record If...?≠0），则有?Skip Record If...?＝?Skip Record
If...??Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?（?Skip Record If...?≠0），则有?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?（若用此结论判断?Skip Record If...?、?Skip Record If...?所在直线平行，还需?Skip Record If...?（或?Skip Record If...?）上有一点不在?Skip Record If...?（或?Skip Record If...?）上）。
⑵对于确定的?Skip Record If...?和?Skip Record If...?，?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?表示空间与?Skip Record If...?平行或共线，长度为 |?Skip Record If...??Skip Record If...?|，当?Skip Record If...?>0时与?Skip Record If...?同向，当?Skip Record If...?<0时与?Skip Record If...?反向的所有向量。
⑶若直线l∥?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导?Skip Record If...?的表达式。
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量?Skip Record If...?的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
?Skip Record If...??Skip Record If...?①其中向量?Skip Record If...?叫做直线l的方向向量。
在l上取?Skip Record If...?，则①式可化为 ?Skip Record If...?②
当?Skip Record If...?时，点P是线段AB的中点，则 ?Skip Record If...?
③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。
注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
4．向量与平面平行：如果表示向量?Skip Record If...?的有向线段所在直线与平面?Skip Record If...?平行或?Skip Record If...?在?Skip Record If...?平面内，我们就说向量?Skip Record If...?平行于平面?Skip Record If...?，记作?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?。注意：向量?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?与直线a∥?Skip Record If...?的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理如果两个向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?不共线，则向量?Skip Record If...?与向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?共面的充要条件是存在实数对x、y，使?Skip Record If...?①
注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使
?Skip Record If...?④
或对空间任一定点O，有?Skip Record If...?⑤
在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵?Skip Record If...??Skip Record If...?代入⑤，整理得
?Skip Record If...?⑥
由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。
5．空间向量基本定理：如果三个向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?、?Skip Record If...?不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使?Skip Record If...?
说明：⑴由上述定理知，如果三个向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?、?Skip Record If...?不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是?Skip Record If...?，这个集合可看作由向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?、
?Skip Record If...?生成的，所以我们把{?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?}叫做空间的一个基底，?Skip Record If...?，?Skip Record
If...?，?Skip Record If...?都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于?Skip Record If...?可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是?Skip Record If...?。
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?
6．数量积
（1）夹角：已知两个非零向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，在空间任取一点O ，作?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则角∠AOB 叫做向量?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角，记作?Skip Record If...?
说明：⑴规定0≤?Skip Record If...?≤?Skip Record If...?,
因而?Skip Record If...?=?Skip Record If...?；
⑵如果?Skip Record If...?=?Skip Record If...?，则称
?Skip Record If...?与?Skip Record If...?互相垂直，记作?Skip Record If...?⊥?Skip Record If...?； A
B
O （3???? A B O （1） O ????A B （2）
⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重
合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，
图（3）中∠AOB =?Skip Record If...?，
图（4）中∠AOB =?Skip Record If...??Skip Record If...?, 从而有?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...??Skip Record If...?.
（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积：?Skip Record If...?叫做向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?的数量积，记作?Skip Record If...?。
即?Skip Record If...?=?Skip Record If...?，
向量?Skip Record If...??Skip Record If...?:
?Skip Record If...?
（4）性质与运算率
⑴?Skip Record If...?。 ⑴?Skip Record If...?
⑵?Skip Record If...?⊥?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record
If...?=0 ⑵?Skip Record If...?=?Skip Record If...?
⑶?Skip Record If...? ⑶?Skip Record If...?
四．典例解析
题型1：空间向量的概念及性质 例1．有以下命题：①如果向量?Skip Record If...?与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么?Skip Record If...?的关系是不共线；②?Skip Record If...?为空间四点，且向量?Skip Record If...?不构成空间的一个基底，那么点?Skip Record If...?一定共面；③已知向量?Skip Record If...?是空间的一个基底，则向量?Skip Record If...?，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）
?Skip Record If...?①② ?Skip Record If...?①③ ?Skip Record If...?②③ ?Skip Record If...?①②③
解析：对于①“如果向量?Skip Record If...?与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么?Skip Record If...?的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。
点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。
例2．下列命题正确的是（ ）
?Skip Record If...?若?Skip Record If...?与?Skip Record If...?共线，?Skip
Record If...?与?Skip Record If...?共线，则?Skip Record If...?与?Skip Record If...?共线；
?Skip Record If...?向量?Skip Record If...?共面就是它们所在的直线共面； ?Skip Record If...?零向量没有确定的方向；
?Skip Record If...?若?Skip Record If...?，则存在唯一的实数?Skip Record If...?使得?Skip Record If...?；
解析：A 中向量?Skip Record If...?为零向量时要注意，B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D 中需保证?Skip Record If...?不为零向量。
答案C 。
点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。
题型2：空间向量的基本运算
例3．如图：在平行六面体?Skip Record
If...?中，?Skip Record If...?为?Skip Record If...?
与?Skip Record If...?的交点。若?Skip Record
If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则下列向量中与?Skip Record If...?相等的向量是
（ ）
?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 解析：显然?Skip Record If...??Skip Record If...?；
答案为A 。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例4．已知：?Skip Record If...?且?Skip Record If...?不共面.若?Skip
Record If...?∥?Skip Record If...?,求?Skip Record If...?的值.
解：?Skip Record If...??Skip Record If...?∥?Skip Record If...?,,且?Skip
Record If...?即?Skip Record If...?
又?Skip Record If...?不共面,?Skip Record If...?
点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
题型3：空间向量的坐标
例5．（1）已知两个非零向量?Skip Record If...?=（a 1，a 2，a 3），?Skip Record If...?=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）
A. ?Skip Record If...?：|?Skip Record If...?|=?Skip Record If...?：|?Skip
Record If...?| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3
C1
3.1.1 空间向量及其运算 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 一、自主学习 1.预习教材P 84～ P 86, 解决下列问题 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三 种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与b ； 当λ＜0时，λa 与b ； 当λ＝0时，λa ＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2.导学提纲 1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________. 2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +- . a b 3.点C 在线段AB 上，且52 AC CB =,则AC = AB , BC = AB . 4.知识反思：可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系？ 5.知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都 是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 二、典型例题 例1、（1）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教
材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与
空间向量及其运算（理科 ） 一、 学习目标： 1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。 3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。 二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b 1、±=a b 2、λa = 3、?a b = 4、共线向量定理：（1）//a b ()≠?0b ? （2）//a b 222(0)x y z ≠? （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是 5、共面向量定理： 6、空间向量分解定理： 7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ； （2）两个向量b a ,数量积的定义： ； （3）两个向量b a ,数量积的性质 ， ， ， 。 （4）数量积满足的运算律： ， ， 。 8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==， 则=a ________，cos= ____________ 三、基础训练： （1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC === a b c 点M 在OA 上，且 OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = . （2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ） （A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a （3）设非零向量a ，b ，c ，,|||||| =++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ） （A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3] （4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠= ,
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 第14课时 空间向量及其线性运算导学案苏教版选修2-1 【教学目标】 理解空间向量的基本概念，掌握空间向量的线性运算及其运算律，理解共线向量定理。 【自主学习】 1．平面向量： . 空间向量： ___________________________________________________________. 思考：平面向量与空间向量有什么关系？ 2．相等向量： . 共线向量： . 3.空间向量的线性运算及其运算律： （1）交换律： . （2）结合律： . （3）λ(a +b )= . 4.共线向量定理： 对空间任意两个向量, (0)a b a ≠，b a 与共线的充要条件是_____________； 思考：（1）若实数λ=0，λa 表示什么？ （2）为什么规定0a ≠？ 【合作探究】 例1. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简 得到的向量： （1）1CB BA +; （2）11 2 AC CB AA ++ ; （3）1AA AC CB --.
例2．如图，在长方体OADB-CA ’D ’B ’中，OA=3，OB=4，OC=2，OI=OJ=OK=1，点E,F 分别是DB,D ’B ’的中点，设,,,,,.OI i OJ j OK k i j k OE OF ===试用向量表示和
例3.设1e ，2e 是平面上不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、C 三点共线，求k 的值. 【回顾反思】 【学以致用】 1. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式1DD AB BC -+化简后的结果是 . 2. 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，用向量11,AB AD AA AC ，来表示向量的表达式为
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算 预习课本P84～85，思考并完成以下问题 1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？ 2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？ [新知初探] 1．空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模． (3)表示法：????? ①几何表示法：空间向量用有向线段表示. ②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也 可以记作AB ，其模记为|a |或|AB |. 2．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a |＝1或|AB |＝1 相反向量 与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量 －a
相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或AB＝CD 3.空间向量的加法和减法运算 空间向量的运算 加法OB＝OA＋AB＝a＋b 加法Z CA＝OA－OC＝a－b 运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同() (2)零向量没有方向() (3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致() 答案：(1)√(2)×(3)√ 2．化简PM－PN＋MN所得的结果是() A．PM B．NP C．0 D．MN 答案：C 3．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则四边形ABCD的形状一定是() A．平行四边形B．菱形 C．矩形D．正方形 答案：A 4．在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． 答案：球面 空间向量的概念辨析 [典例] A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC [解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|
3.1.3 空间向量的数量积 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 3. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 4. 掌握空间向量的坐标运算的规律； 【重点】利用两个向量的数量积解决立体几何中的问题． 【难点】空间向量的坐标运算的规律 一、自主学习 1预习教材P 90~ P 92, 解决下列问题 复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？ 复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ?. 2.导学提纲 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 ，作 ,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 . ⑴ 范围: ,a b ≤<>≤ ,a b ??=0时,a b 与 ;,a b ??=π时,a b 与 ⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？ ⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 . 2) 向量的数量积： 已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ?，即a b ?= . ⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a ?= （选0还是0） ⑶ 你能说出a b ?的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ?=<>． （2）a b a b ⊥??= ． （3）a a ?= ＝ . （4）cos ,a b <>=____________
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
空间向量及其运算 【考点梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2 ，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 考点一、空间向量的线性运算 【例1】如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. [解析] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1 2 b . (2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12 A 1A →＋AP → ＝－12a ＋? ? ???a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→
2017级人教版数学选修2-1 编号：1 编制时间： 2018/12/11 编制人: §3.1.1空间向量及其运算 学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、【预习案】 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ， 和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与A. ； 当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 二、【探究案】 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表 示？ 新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面 内，变为两个平面向量的加法和减法运算， 例如右图中， OB = ， AB = ， 试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形 法则求,.a b a b +-a .b
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
第六节空间向量及其运算 [考纲传真]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． (对应学生用书第120页) [基础知识填充] 1．空间向量的有关概念 2. (1)共线向量定理：空间两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在实数λ，使 得a＝λb. (2)空间向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量．a是空间任 一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底． 3．两个向量的数量积及运算律 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①交换律：a·b＝b·a； ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ③(λa)·b＝λ(a·b)． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)对任意两个空间向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b .( ) (3)若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) (4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA → ＝0.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．(教材改编)如图7-6-1所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB → ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) 图7-6-1 A ．－12a ＋1 2b ＋c B ．12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －1 2 b ＋c D ．12a －1 2 b ＋ c A [BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB → )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12 b ＋ c .] 3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥d C ．c 不平行于d ，c 也不垂直于d D ．以上三种情况均有可能 B [由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面． ∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d .] 4．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 2 6 [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0， ∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2 ＋22 ＋22 ＝2 6.]
8.6空间向量及其运算 考情分析 1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 基础知识 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律 (1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )． (2)运算律：(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a . (3)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (4)数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做 向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；
②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．基本定理 (1)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 注意事项 1.用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ， c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 2.(1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a ＝λb ?a ∥b ； ②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb . ③若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”． 3.空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习． 题型一 空间向量的线性运算 【例1】已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1 →＋xAB →＋yAD →，则x 、y 的值分别为( )
3.1.2 空间向量的数乘运算 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 一、自主学习 1.预习教材P86~ P87, 解决下列问题 复习1：化简： ⑴ 5（32 -）； b a a b -）+4（23 ⑵()() -+--+-. a b c a b c 63 复习2：在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是 2.导学提纲 1.空间任意两个向量有____种位置关系？如何判定它们的位置关系？任意两个向量的夹角的范围是______________? 2. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫_____________ 3.对空间任意两个向量,a b（0 a b的充要条件是存在唯一实数λ， b≠），// 使得 ______,为何要求0 b≠？ 4.如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间 的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是 5.对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件 是存在，使得 . 6.空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： ⑴存在，使 ⑵对空间任意一点O，有
7.向量共面的充要条件的理解 （1）MP ＝xMA →＋yMB → .满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内； 反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． (2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z ) 使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC → ，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据． 二、典型例题 例1.1. 下列说法正确的是（ ） A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 D. 若向量a 与b 共线，则a b λ= 2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD y AB z AA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ . 3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB . 4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与1的交点,则'1 ()3 AB AD AA ++= AO 5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ） A. 1122a b c -++； B. 11 22a b c ++； C. 1122a b c -+； D. 11 22 a b c --+. 6. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.
欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．
3.1.1 空间向量及其运算 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 一、自主学习 1.预习教材P 84～ P 86, 解决下列问题 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与b ； 当λ＜0时，λa 与b ； 当λ＝0时，λa ＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2.导学提纲 1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________. 2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-. a b 3.点C 在线段AB 上，且52 AC CB =,则AC = AB , BC = AB .
安阳县实验中学“四步教学法”导学案 Anyangxian shi yan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean 课题：3.1.5 空间向量运算的坐标表示 制单人： 审核人：高二数学组 班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__ 一. 自主学习 1学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 2. 会用这些公式解决有关问题. 2学习指导 一：空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知： 1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝ 2. 两个向量的夹角公式： 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ， 由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞， 又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试： ① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思： 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 ⑴ a //B. ? a 与b 所成角是 ? a 与b 的坐标关系为 ；
⑵ a ⊥b ?a 与b 的坐标关系为 ； 3. 两点间的距离公式： 在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为： 222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-. 4. 线段中点的坐标公式： 在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则线段AB 的中点坐标为: . 二. 合作交流 1如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值． 2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥. .三. 拓展延伸 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.