& BASIC
中国化学工程第四建设公司
高用全
目录
前言…………………………………………………………………………………（ 3 ）第一部分两体相贯展开………………………………………………………………（ 5 ）
1 ．封头与圆管相贯………………………………………………………………… （ 5 ）
2 ．方管与封头垂直体相贯………………………………………………………… （ 9 ）
3 ．直管与封头水平相贯…………………………………………………………… （ 12 ）
4 ．直角二节弯头…………………………………………………………………… （ 14 ）
5 ．任意角度二节弯头……………………………………………………………… （ 15 ）
6 ．任意角度四节弯头……………………………………………………………… （ 1
7 ）
7 ．虾米弯管托……………………………………………………………………… （ 19 ）
8 ．圆锥体弯头……………………………………………………………………… （ 21 ）
9 ．圆筒上直管……………………………………………………………………… （ 24 ）
10 ．圆管与圆筒中心线平行相贯及开孔……………………………………………（ 25 ）
11 ．圆台与圆筒相贯…………………………………………………………………（ 28 ）
12 ．直管与圆筒体斜相贯……………………………………………………………（ 32 ）
13 ．特殊形状圆变方与圆筒相贯……………………………………………………（ 34 ）
14 ．特殊形体圆变圆与圆筒相贯一…………………………………………………（ 38 ）
15 ．特殊形体圆变圆与圆筒相贯二…………………………………………………（ 41 ）
16 ．圆锥与直管垂直相贯……………………………………………………………（ 45 ）
17 ．直管与圆锥水平相贯……………………………………………………………（ 48 ）
18 ．直管与圆锥相贯开孔……………………………………………………………（ 50 ）
19 ．圆管与圆台中心线平行相贯……………………………………………………（ 53 ）
20 ．球体与圆柱相贯（球罐柱腿）…………………………………………………（ 55 ）
第二部分单形体展开…………………………………………………………………（ 58 ）
21 ．天圆地方…………………………………………………………………………（ 58 ）
22 ．倾斜天圆地方……………………………………………………………………（ 60 ）
23 ．天圆地方二………………………………………………………………………（ 63 ）
24 ．圆台体大圆弧展开法……………………………………………………………（ 66 ）
25 ．偏心大小头 (69)
26 ．马蹄形体 (72)
27 ．斜圆台 (75)
附： BASIC 语言程序计算值……………………………………………………………… 78)
第一部分两体相贯展开
1 ．封头与圆管相贯
已知： R 、 r 、 a 、 b 、 H ，求：圆管素线实长（展开圆管实形）
椭圆封头上的节管是石油化工容器设备上常见的一种，这里计算的是节管的下料长度。在制造容器设备过程中，对封头上节管下料，很少有人采用放样，而是将节管按图纸上给定的节管尺寸加上足够的余量，事先开好封头上的孔，再将节管插入封头开孔中，然后，顺着封头开孔的边缘画出节管与封头的相贯素线，再进行二次切割下料。这种方法虽然简单，但浪费材料，。由于封头的开孔投影是椭圆，实际孔形近似椭圆，在不用样板情况下开孔比较麻烦，往往先开粗孔，然后将管子插入慢慢修割，这种方法很容易造成偏离图纸给定的尺寸。采用放样后的节管，按图纸标注的位置放在封头上画线，可准确地开出节管与封头相贯的孔。
采用作图法放样展开封头上节管本身很容易，但求相贯线难，难就难在要做多次按节管等分点通过椭圆顶点（俯视图中的圆心）做多次切面，而且每次切面后还要旋转投影面，工作量大旋转又不易掌握，因此，许多人仍然采用上述的“土”方法，但仍可以达到下料的目的。计算节管下料长度，克服了上述的缺点。
下面介绍计算公式的推导过程：
计算放样一般步骤是：①、先徒手画出需要展开构件的草图；②、根据二物体相交的特征画出相贯线的大致形状；③、标出构件展开计算的素线；
④、根据图纸给定的尺寸和参数推导计算公式。
公式推导过程一般从后向前找出素线与素线、夹角之间的计算关系，也就是先从需要展开的素线入手，确定展开素线与其它素线、夹角的之间的计算关系，如果这些素线和夹角是未知的，还须找出这些素线、夹角与图纸给定的尺寸和参计算关系，再确定它们的最终计算式。本文为节省篇幅，还是采用顺序方法逐步介绍。
大家知道解析几何中椭圆方程式为：X 表示横坐标的数值， Y 表示纵坐标的数值， a 为椭圆的长半轴， b 为椭圆的短半轴，标准椭圆规定了短半轴
是长半轴的一半，因此，公式化简后为。由于公式中的 a 是本图中的椭圆的半径 R ， Rn 为椭圆方程式中的变量 X 所以，椭圆方程式：。
H 是椭圆封头口到节管上口的标注尺寸，图纸中一般标注到包括封头直边的高度，这里为了计算方便只标到椭圆方程所能计算到的范围，在实际计算时要首先减去封头直边高度，再将 H 值代入公式。
公式中的 hn 、 Yn ，后面例题中的 Ln 、 Fn 等等都表示所需要计算的素线投影长度或素线实长。素线 hn 、 Yn 、 Ln 、 Fn 分别表示该系列素线的统称， hn 、 Yn 、 Ln 、 Fn 中的 n 表示素线的序号， h 0 、 h 1 、h 2 …… hn 分别表示 h 的第 0 条素线； h 的第 1 条素线； h 的第 2 条素线到 h 的第 n 条素线。为了计算方便，计算式中的θ表示人为等分一个圆中的等分角度，如果一个圆等分 24 等份，那么，θ为 360 0 的二十四分之一，即θ等于 15 0 ，2 θ为 30 0 ，n θ等于n ×θ。
从主视图中可以直观看出， h 1 实长等于 H 减 Y 1 ， h 2 =H-Y 2 ，那么 hn=H-Yn ， Yn 是一个未知的变量，必须先计算出 Yn 才能求出 hn 的实长， Yn 可以用标准椭圆方程求得。要计算 Yn 必须要先计算 Rn ， Rn 在视图中的投影（实长）是一个从节管圆的等分点到圆心的距离， Rn 的计算方法有二种，第一种方法是利用勾股定律方法；第二种是本题采用的余玄定理方法。见下列公式：
( 标准椭圆时 )
有人不理解，认为 Rn 投影不是在俯视图中的水平中线上，怎能满足椭圆方程式？这种理解不是没有道理，这就要求我们要正确掌握各种形体在按“切面法”做形体切面时的断面图形，椭圆体通过椭圆顶点（俯视图中是圆心）的任何方向，做垂直切面的断面图形是椭圆， Rn 相当于方程式中的横坐标 X 。
在计算放样整个过程中，就是通过视图中的投影关系，利用辅助“切面法”计算辅助素线长度，辅助素线长度既可能是投影长度，也可能是实长，利用辅助素线的实长计算出需要开展的素线实长。一般情况下，在一个圆上等分多少份，就要做辅助“切面”多少次，由于很多视图为对称图形，
因此，只要做等份点数的一半切面即可。这里所说的
“切面”不是象作图法中的真实切面，而是虚设一种“切面”，作为解题和思考问题的一种方法，但原理相同。在实际操作时要灵活运用需要展开素线和辅助素线的投影关系以及空间概念。
hn 的实长计算公式：①
将求 Rn 公式代入 yn ，再将求 yn 的公式代入公式①中，整理得 hn 的实长公式：
BASIC 语言程序
设： R=1000 r=r1=300 a=500 H=800 且设四分之一圆为八等份即：
θ =b=22.5 0
10 LET R = 1000
20 LET r1 = 300
30 LET a = 500
40 LET H = 800
50 LET b = 22.5 * 3.1416 / 180
60 FOR n = 0 TO 8
70 PRINT "n="; n
80 LET x = r1 ^ 2 + a ^ 2 - 2 * r1 * a * COS(n * b)
90 LET Ln = H - 1 / 2 * SQR(R ^ 2 - x)
110 PRINT "Ln="; Ln
120 NEXT n
130 END
2 . 方管与封头垂直相贯
已知 : 标准椭圆封头 R 、 F 、 H 、 A 、 B ，求：方管素线 L Pn 、 L Vn 、 L Dn 的实长。
方管与封头相贯，一般为宾馆供热的加热器上常用的接口形式，方管是为加热器的管束的安装设置的，封头上开方孔的容器受力情况较差，一般用在低压和微压容器上，但往往管程压力较高，这是容器计算所涉及的范围，可不必考虑。这里只考虑怎样展开方管的计算下料。
从俯视图中可以看出方管有四个面组成， P 面、 D 面、 V 面和 E 面， V 面和 E 面是对称图形只要计算其中的一个面即可。每个面可等分若干个点，等分点越多越准确，每个面的等分点到圆心的距离分别用 R Pn 、 R Dn 和 R Vn 表示，从 R Pn 、 R Dn 和 R Vn 作垂直“切面”它们的断面图形为椭圆，将 R Pn 、 R Dn 和 R Vn 看着是椭圆方程式中横坐标的自变量，代入椭圆方程式就可求出方管每个面的高度 Y Pn 、 Y Vn 和 Y Dn 。 R Pn 、 R Dn 和 R Vn 可用勾股定律求得，见公式①、②、③。下公式中的 Pn 、 Dn 、 Vn 是根据图纸给定的尺寸，人为设定的等分数的累加。
计算出 YPn 、 YVn 和 YDn 后 , 再用 H 分别减去 YPn 、 YVn 和 YDn 中的每一条素线的计算长度 , 就是我们要展开的 LPn 、 LVn 、 LDn 的实长（实形）。公式推导如下：
①
②
③
其实长公式：
P 面：
V 面：
D 面 :
BASIC 语言程序
设 : R=1000 F=200 H=700 A=300 B=400 LPRINT "P 面 "
10 LET R = 1000
20 LET F = 200
30 LET H = 700
40 LET A = 300
50 LET B = 400
60 FOR Pn = 0 TO A STEP 50
70 PRINT "Pn="; Pn
75 LET x = R ^ 2 - F ^ 2 - Pn ^ 2
80 LET LPn = H - 1 / 2 * SQR(x)
90 PRINT "LPn="; LPn
100 NEXT Pn
110 PRINT "V 面 "
120 FOR Vn = 0 TO B STEP 50
125 PRINT "Vn="; Vn
130 LET x1 = R ^ 2 - (F + Vn) ^ 2 - A ^ 2 140 LET LVn = H - 1 / 2 * SQR(x1)
150 PRINT "LVn="; LVn
160 NEXT Vn
170 PRINT "D 面 "
80 FOR Dn = 0 TO A STEP 50
190 PRINT "Dn="; Dn
200 LET x2 = R ^ 2 - (F + B) ^ 2 - Dn ^ 2 210 LET LDn = H - 1 / 2 * SQR(x2)
220 PRINT "LDn="; LDn
230 NEXT Dn
240 END
3 ．直管与封头水平相贯
已知： A 、 H 、 R 、 r ，求 L 1 ～ Ln 实长。
节管与封头水平相贯，这种形式受压情况较差，一般不采用，这里作为一个特例谋求计算节管的展开实形，而不必考虑其它作用。
这一例题与前面二题有所不同，前例是先求 Rn 再求 Yn ，辅助切面是通过椭圆顶点（圆心）作垂直“切面”，计算出 Rn 的值，而这一题先作主视图中的辅助圆的水平“切面”计算出 Yn 的高度， Yn 的高度在主视图中很直观，它的范围在 H-r 到 H+r 之间， Yn 的计算公式是：
求出 Yn 值代入椭圆方程式计算出 Rn ， Rn 是由演变而来即 :
将代入得
那么 Ln 计算实长公式为： Ln=A －Rncos γ n 计算 Ln 实长还必须算出γ n ，γ n 计算公式是：γ n =arcsin[rsin(n θ )/Rn] 必须注意得是：γ n （又可以用θ n 表示）和n θ是二个完全不同的角度概念，前面讲述过n θ表示 n 个θ角，γ n 表示第 n 个角，γ n 是由二条素线之间通过反函数反算出的夹角γ 1 、γ 2 、……γ n 分别表示第 1 个夹角、第 2 个夹角、到第 n 个夹角、它的增量不是成倍增加或减小，而是逐渐地增加或减小，例如：γ 1 =arctg(L 1 /B) 、γ 2 =arctg(L 2 /B), 假定γ 1 等于30 0 , γ 1 一定不等于 60 0 这一点千万不要混淆γ n ( θ n ) 和n θ两个完全不同的角度概念。
将上述有关公式代入 Ln=A －Rncos γ n 实长公式：
BASIC 语言程序
R=1000 r=r1=200 A=1100 H=250 γ =x 二分之一圆为八等份，
即: θ =c=22.5 0
10 LET A = 1100
20 LET R = 1000
30 LET r1 = 200
40 LET H = 250
50 LET c = 22.5 * 3.1416 / 180
60 FOR n = 0 TO 8
70 PRINT "n="; n
80 Yn = r1 * COS(n * c) + H
90 PRINT "Yn="; Yn
100 LET Rn = SQR(R ^ 2 - 4 * Yn ^ 2)
110 LET x = r1 * SIN(n * c) / Rn
120 LET wn = ATN(x / SQR(1 - x ^ 2))
130 LET Ln = A - Rn * COS(wn)
140 PRINT "Ln="; Ln
150 NEXT n
160 END
4 ．直角 ( 二节 ) 弯
已知： d 、 h ，求实长即 y 0 、 y 1 ～ yn
直角弯头的展开计算是所有计算展开公式中最简单的一种，由方法简单这里不再叙述，请读者自己分析。ｄ＝ 2r 因为是等直角管 (90 0 ), 故α =45 0 、tg α =1
展开实长公式为 :
BASIC 语言程序
设： h=600 r=1/2d=300 且设：二分之一圆为八等份，即： a=22.5 0
10 LET h = 600
20 LET r = 300
30 LET a = 22.5 * 3.1416 / 180
40 FOR n = 0 TO 8
55 PRINT "n="; n
50 LET Ln = h - r * COS(n * a)
60 PRINT "Ln="; Ln
70 NEXT n
80 END
5 . 任意角度弯头 ( 二级 )
已知：β、 h 、 R ，求 L 1 、 L 2 ～ Ln 实长
直角二节弯头是任意角度二节弯的一种特殊形式，但比任意角度弯头常用，任意角度的计算公式同样适合于直角二节弯。在直角弯头中辅助线与相贯线的夹角α是 45 0 ，因为 tg45 0 =1 ，底边边长就等于对边的高，因此计算公式中可以省略正切 45 0 在公式中的乘。
本题辅助线与相贯线的夹角用γ表示，弯头的任意角度用β表示，γ与β之间的关系是：γ =90 0 - β /2 。 Ln 的实长等于 A 加 yn 即： Ln ( 实长 ) =A+yn 要计算 Ln 的实长还必须求出 A 和 yn 从视图上可以看出： A=h-Rtg γ。
计算 yn 的公式是： yn=[R-Rcos(n θ )]tg γ， yn 是整个计算式的核心，只要弄清其道理，其它就迎刃而解。接下来举例 y 2 的求法来说明，视图中 2 点对应的高是 y 2 ， 2 点到中心点（也是辅助圆的圆心）的长度就是 2 点到 3 点的距离， 2 到 3 点的计算公式是：Rcos(2 θ ) ，因此， 0 到 2 点长度是半径 R 减去 2 到 3 点的长度，即： R- Rcos(2 θ ) ，那么 y 2 长度等于 0 到 2 点长度乘以 2 θ的正切，即： y 2 =[R-Rcos(2 θ )]tg γ。求出 y 2 的实长，所计算展开的 L 2 的实长就一目了然，即 L 2( 实长 ) =A+[R-Rcos(2 θ )]tg γ。
由此推论求实长通用公式为 :
BASIC 语言程序
设：β =b=135 0 γ =d h =400 且设：二分之一圆为八等份，即：θ =c22.5 0
10 LET b = 135
20 LET R = 300
30 LET d = (90 - b / 2) * 3.1416 / 180
40 LET h = 400
50 LET A = h - R * TAN(d)
60 LET c = 22.5 * 3.1416 / 180
70 FOR n = 0 TO 8
75 PRINT "n="; n
80 LET Ln = A + (R - R * COS(n * c)) * TAN(d)
90 PRINT "Ln="; Ln
100 NEXT n
110 END
6 . 任意角度弯头 ( 四节 )
已知：β、 R 、 r 和 N 节 ( 本图曾四节 ) ，求 L 1 、 L 2 ～ Ln 实长。
四节虾米弯是低压管道中最常见的一种管件，一般为 90 度。计算公式为了适合任何角度四节弯的计算，特介绍带有通用性的任意角度四节弯。
一般四节弯是由二大节和二小节组成，二小节之和等于一大节，实际上是由相同的三节组成，展开时只要计算其中的一个小节，其大节是小节的对称图形。β是弯头的角度，由于一大节是二小节的之和，因此，β 1 = β /2(N-1) ，本题中的β 1 相当于上题中的γ，其公式的推导与上题基本相同，推导过程如下，这里不再赘述。
L 0 =(R-r)tg β 1 yn=[r-rcos(n θ )]tg β 1
Ln=L 0 +yn Ln=[r-r cos(n θ )]tg β 1 +(R-r)tg β 1
Ln ( 实长) =Rtg β 1 - rcos(n θ )tg β 1
求实长的通用公式 :
BASIC 语言程序
设：β =b=22.5 R=1000 r=R1=250 且设：二分之一圆为八等份，即：θ =a=22.5 0
10 LET R = 1000
20 LET R1 = 250
30 LET a = 22.5 * 3.1416 / 180
40 LET b = 22.5 * 3.1416 / 180
50 FOR n = 0 TO 8 STEP 1
55 PRINT "n="; n
60 LET L = (R - R1 * COS(n * a)) * TAN(b) 70 PRINT "L="; L
80 NEXT n
90 END
6.1 方法之二
10 LET r = 1000
20 LET r1 = 250
30 LET b = 22.5 * 3.1416 / 180
40 LET a = 22.5 * 3.1416 / 180
50 INPUT n
60 IF n = -1 THEN GOTO 110
65 LET y = n * a
70 IF y > 3.1416 THEN GOTO 110
80 LET l = (r - r1 * COS(y)) * TAN(b)
90 PRINT "n="; n, "l="; l
100 GOTO 50
110 END
7 ．虾米弯管托
已知 :A 、 B 、 R 、β 求管托 Ln 实长。
管托在管道中作为管件和管道支撑，硫酸装置的转化工段设有多处。
视图中管托高 (A) 与弯头相交部分 h=A-C 为了直观反映管托与弯头相贯实形，作一辅助投影面 P 面，从 P 面上可以看出， L 0 是一个点，其实长等于 0 ， L 1 到 Ln 已经反映了实际长度，如若采用作图法展开就可直接量出 L 1 到 Ln 的实长。我们将 h 分成若干等份，即 n 等份，那么h 1 表示 n 等份中的一份； h 2 表示 n 等份中的二份； hn 表示 n 等份中的 n 份，也就是等份之间的累加。现在，我们举例分析 L2 实长的求
法：从 P 面视图知道即：（①式）。 R 是给定的常数半径； Y 2 是一个未数， Y2 由主视图 h2 、β夹角和 P 面视图中的 R 之间的关系求得。主视图中的 0 到 2 的长度等于h 2 cos β， h 2 是人为等分 hn 的一个已知数。 P 面视图中的 Y 2 ，它等于 R-h 2 cos β，再将 Y 2 代入公式①就计算出 L 2 的实长。其它素线实长的求法以此类推。
管托的 Ln 计算公式：
在 BASIC 语言程序里为了一次计算完所有需要计算参数，增设了 An=C+hn 公式，它也适合人工计算。其实在划样图时也间接用到 An=C+hn 公式。