经典易错题会诊与2012届高考试题
预测（九）
考点9 圆锥曲线
?对椭圆相关知识的考查 ?对双曲线相关知识的考查
?对抛物线相关知识的考查 ?对直线与圆锥曲线相关知识的考查 ?对轨迹问题的考查 ?考察圆锥曲线中的定值与最值问题 ?椭圆 ?双曲线
?抛物线 ?直线与圆锥曲线
?轨迹问题 ?圆锥曲线中的定值与最值问题 经典易错题会诊 命题角度1
对椭圆相关知识的考查
1．(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F l PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) 12.2
2.2
12.
2
2.
---D C B A
[考场错解] A
[专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把|
||
|21PF PF 当作离心率． [对症下药] D 设椭圆的方程为2
22
2b y a x +
=l (a ，b >0) 由题意可设|PF 2|=|F 1F 2|=k ，
|PF 1|=2k ，则e=
12222-=+=k
k k a
c
2．(典型例题)设双曲线以椭圆
9
252
2y x +
=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )
A ．±2
B ．±3
4 C ．±2
1 D ．±4
3
[考场错解] D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆9
252
2y x +=1长轴的两个端点为
焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=4
3±=±
a b [专家把脉] 没有很好理解a 、b 、c 的实际意义．
[对症下药] C 设双曲线方程为22
22b
y a x -=1，则由题意知c=5，c a 2
=4 则a 2=20 b 2=5，而
a=25 b=5 ∴双曲线渐近线斜率为±
a b =2
1± 3．(典型例题)从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程
2
22
2n y m x +
=1中的m 和n ，
则能组成落在矩形区域B={(x ，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( )
A ．43
B ．72
C ．86
D ．90
[考场错解] D 由题意得，m 、n 都有10种可能，但m ≠n 故椭圆的个数10310-10=90． [专家把脉] 没有注意，x 、y 的取值不同．
[对症下药] B 由题意得m 有10种可能，n 只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m ≠n ，故椭圆的个数：1038-8=72．
4．(典型例题)设直线l 与椭圆16
252
2y x +=1相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2-y 2=1相交于C 、
D 两点，C 、D 三等分线段AB ，求直线l 的方程 ( ) [考场错解] 设直线l 的方程为y=kx+b
如图所示，l 与椭圆，双曲线的交点为A(x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有AB DB AC ,==3CD
由)1(0)40025(50)2516(116
252222
2=-+++?????=+
+=b bkx x k y x b
kx y 得 所以x 1+x 2=-.2516502
k bk +
由?????=-+=1
2
2y x b
kx y 得(1-k 2)x 2-2bkx-(b 2+1)=0
(2)
若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1 所以x 3+x 4=2
12k
bk -、由?=BD AC x 3-x 1=x 2-x 4 ?x 1+x 2=x 3+x 4?-
?-=
+2
2
12251650k
bk k
bk bk=0或
b =0
①当k=0时，由(1)得x 1、2=±
2164
5b - 由(2)得x 3、4=±12
+b 由123x x CD AB -?==3(x 4-x 1)即
13
16
161641022±=?+=-b b b 故l 的方程为y=±1316
②当b=0时，由(1)得x 1、2=±2
251620k
+，由(2)得x 3、4=2
11k
-±
由123x x CD AB -?==3(x 4-x 3)
即
.25
16
,2516162516402
2
x y l k k k ±=±
=?-=
+的方程为故
综上所述：直线l 的方程为：y=x y 25
16,1316=±
[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．
[对症下药] 解法一：首先讨论l 不与x 轴垂直时的，情况．
设直线l 的方程为y=kx+b ，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x 1，y 1)、B(x 2， y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有CD AB BD AC 3,==．
由?????=+
+=.116
25,2
2y x b kx y 得(16+25k 2)x 2+50bkx+(25b 2-400)=0．(1) 所以x 1+x 2=-.2516502
k bk +
由????
?=-+=.
1,
2
2y x b kx y 得(1-k 2+x 2-2bkx-(b 2+1)=0．
若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1． 所
以
x 3+x 4=
2
12k
bk -由
?-=-?=4213x x x x BD AC x 1+x 2=x 2+x 400122516502
2
=?=?-=
+-
?k bk k
bk k
bk 或 b=0．
①当k=0时，由(1)得.164
5
22,1b x -±
= 由(2)得x 3、4=±12+±b 由3312=-?=x x CD AB (x 4-x 3)． 即
.13
16
11641022±=?+=-b b b 故l 的方程为 y=±1316
②当b=0时，由(1)得x 1、2=2
251620k
+±
自(2)得x 3、4=33,11122
=-?=-±
x x CD AB k 由(x4-x3)．即
.25
16
162516402
2
±
=?-=
+k k k 故l 的方程为y=x 25
16
±
．再讨论l 与x 轴垂直时的情况． 设直线l 的方程为x=c ，分别代入椭圆和双曲线方程可解得y l 、2=.255
4
2c -±
y 3、4=.||3||||3||.134122y y y y CD AB c -=-?=-±由 即.241
25,2412516255822=±=?-=-x l c c c 的方程为故
综上所述，直线l 的方程是：y=2516±
x 、y=±1316和x=241
25±
解法二：设l 与椭圆、双曲线的交点为：
A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，则有?????==-==+
.
4,3.
12,1,116
25222
2j y x i y x j j
i i
由i 的两个式子相减及j 的两个式子相减，得：
??
?=-+--+=-++-+.
0))(())((,
0))((25))((163434343412121212y y y y x x x x y y y y x x x x 因C 、D 是AB 的三等分点，故CD 的中点(x 0，y 0)与AB 的中点重合，且.3CD AB = 于是x 0=,221342x x x x +=+y 0=,2
23
412y y y y +=+x 2-x 1=3 (x 4-x 3)． 因此??
?-=-=--=-)2().
()()
1(),(25)(16340340340340y y y x x x y y y x x x 若x 0y 0≠0，则x 2=x 1?x 4=x 3?y 4=y 3?y 2=y 1．
因A 、B 、C 、D 互异，故x i ≠x j ，y i ≠y j ，这里ij=1，2，3，4且 i ≠j(1)÷(2)得16=-25，矛盾，所以x 0y 0=0．
①当x 0=0，y 0≠0时，由(2)得y 4=y 3≠0，这时l 平行 x 轴．
设l 的方程为y=b ，分别代入椭圆、双曲线方程得：x l 、2=,164
5
2b -±x 3、4=.12+±b ∵x 2-x 1=3(x 4-x 3)4
10?
13
16161622±
=?+=-b b b ． 故l 的方程为y=±
13
16 ②当y 0=0，x 0≠0，由(2)得x 4=x 3≠0，这时l 平行y 轴． 设l 的方程为x=c ，分别代入椭圆、双曲线方程得：y l 、2=,255
4
2c -±y3、4=.12-±c ∵y 2-y 1=3(y 4-y 3)241
25
16255822±
=?-=-?
c c c 故l 的方程为：241
25±=x
③当x 0=0，y 0=0时，这时l 通过坐标原点且不与x 轴垂直． 设l 的方程为y=kx ，分别代入椭圆、双曲线方程得：x 1、2=.11,2516202
4,32
k
x k
-±
=+±
.25
16
)(33412±
=?-=-k x x x x 故l 的方程为y=.2516x y ±=
综上所述，直线l 的方程是：y=x 2516±
、y=1316±和x=.241
25
± 5．(典型例题)设A 、B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB 的中点，线段AB
的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点．
(1)确定A 的取值范围，并求直线AB 的方程；
(Ⅱ)试判断是否存在这样的A ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)
[考场错解] (1)设A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)则有:
??????=+=+λ
λ
2
22
2212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y l -y 2)(y l +y 2)=0 依题意，x 1≠x 2 ∴k AB -
2
121)
(3x x y y ++
∵N(1，3)是AB 的中点， ∴x 1+x 2=2,y l +y 2=6从而k AB =-9
又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<3312+32=12 ∴λ的取值范围是(-∞，12)
直线AB 的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0 [专家把脉]
①用“差比法”求斜率时k AB =2
)
(3121y y x x ++-
这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3
312+32=12应用结论时也易混淆．
[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB 的方程为y=A(x-1)+3，代入3x 2+y 2=λ，整理得(k 2+3)x 2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．①
设A(x 1，y 1)、B(x 2、y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个不同的根， ∴△=4[λ(k 2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x 1+x 2=
3
)3(22+-k k k ，由N(1，3)是线段AB 的中点，得
12
21=+x x ，∴A(k-3)=k 2
+3． 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)． 于是，直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0． 解法2：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有
??????=+=+λ
λ
2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0
依题意，x 1≠x 2，∴k AB =-
2
121)
(3y y x x ++
∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y l +y 2=6，从而k AB =-1． 又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3312+32=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．
直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．
(Ⅱ)解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x 2+4x+4
又设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为M(x 0，y 0)，则x 3， x 4是方程③的两根，∴x 3+x 4=-1，且x 0=
21(x 3+x 4)=-21，y 0=x 0+2=2
3，即
M(-
21，2
3
)．于是由弦长公式可得
|CD|=.)3(2||)1
(1432-=-?-+λx x k
④
将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x 2-8x+ 16-λ=0 ⑤ 同理可得|AB|=.)12(2||.1212-=-+λx x k ⑥ ∵当λ>12时，)3(2-λ>)12(2-λ,∴|AB|<|CD|
假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心．点M 到
直线AB 的距离为d=.2232
|
42321|2|4|00=-+-=-+y x ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d 2+.|2
|2321229|2|2
2CD AB =-=-+=λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|2
|
CD
为半径的圆上． (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)
A 、
B 、
C 、
D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角?|AN|2 =|CN|2|DN|， 即)2
||)(2||()2(
2d CD d CD AB -+=. ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=2
12
-λ,由④和⑦知，⑧式右边
=,2
12
)29232232)3(2)(2232)3(2(
-=--=--+-λλλλ
∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，
∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③ 将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x 2-8x+16-λ=0．⑤ 解③和⑤式可得 x l ，2=.2
3
1,21224,3-±-=-±λλx 不妨设A(1+
)2
3
3,231(),233,231(,12213,1221-+-+---------λλλλλλD C )
2
12
33,23123(
)
212
33,23123(-------+=---+-+-+=∴λλλλλλλλCA CA
计算可得0=?CA CA ,∴A 在以CD 为直径的圆上．又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．
(注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD) 专家会诊
1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．
2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形……
3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等． 考场思维调练
1 已知椭圆的中心O 是坐标原点，A 是它的左顶点，F 是它的左焦点，l 1，l 2分别为左右准
线，l 1与x 轴交于O ，P 、Q 两点在椭圆上，且PM ⊥l 1于M,PN ⊥l 2于N ，QF ⊥AO ，则下列比值中等于椭圆离心率的有( ) |
||
|)
5(;||||)4(;||||)3(;||||)2(;||||)
1(BF QF BA AF BO AO PN PF PM PF A.1个 B ．2个 C.4个 D ．5个
答案： C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于
c
a
a
BO AO 2||||==e ，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|=
,2
a
b |BF|=c
b c c a 2
2=-,e BF QF =||||故,故(5)正确；(2)显然不对，所选C ．
2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经
过随圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为20，焦距为2c ，静放在点A 的小球 (小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 ( ) A ．4a B ．2(a-c)
C.2(a+c) D ．以上答案均有可能
答案： D 解析：(1)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(d-c)，则选B ；
(2)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小
球经过的路程是2(a+c)，则选C ；
(3)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A. 于是三种情况均有可能，故选D. 3 已知椭圆
2
2a x +y 2=1(a>1)，直线l 过点A(-a ，0)和点B(a ，ta)(tt>0)交椭圆于M ．直线MO 交
椭圆于N
(1)用a ，t 表示△AMN 的面积S ；
(2)若t ∈[1，2]，a 为定值，求S 的最大值．
答案：易得l 的方程为了y=2
t
(x+a)…1分由
,1)1(222
2
????
???=++=y a x x t y 得(a 2t 2+4)y 2-4aty=0 解得了y=0或y=4
422+t a at 即点M 的纵坐标y M =4
422+t a at S=S △AMN =2S △AOM =|OA|2y M =
4
422+t a at (2)由
(1)得， S=
4
422+t a at
=
t a t
a 224
4+ (t>0)
令V=t
4+a 2
t ，V ′=-2
4t +a 2
由V ′=O a
t 2=
? 当时t>