上海市九年级上期末考试数学试卷及答案
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一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．已知a
bc
x =
，求作x ，那么下列作图正确的是………………………………………………（ ）.
(A) (B) (C) (D)
2．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，由下列比例式不能得到 DE ∥BC 的是（ ）．
（A ）BC DE AB AD =（B ）CE AE
BD AD =（C ）AC CE AB BD =
（D ）
AE AC AD AB =． 3．下列图形一定相似的是--------------------------------------------------------------------------（ ）
（A ）有一个锐角相等的两个直角三角形 （B ）有一个角相等的两个等腰三角形 （C ）有两边成比例的两个直角三角形 （D ）有两边成比例的两个等腰三角形．
4．在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，EF ∥CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是（ ） （A ）
BC DE DF AF = （B ）AB AD BD AF = （C ）DF AF DB DF = （D ）BC
DE
CD EF =
5．平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，a AB =，b AD =，那么b a 2
1
21+等于 （A ）AO ； （B ）AC ； （C ）BO ； （D ）CA ．．
6．已知c bx ax x f ++=2
)(（其中c b a 、、为常数，且0≠a ），小明在用描
点法画)(x f y =的图像时，列出如下表格.根据该表格，下列判断中，不．正确的是（ ） （A ）抛物线)(x f y =开口向下； （B ） 抛物线)(x f y =的对称轴是直线1=x ； （C ）2)3(-=f ； （D ）)8()7(f f <．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若2m = 3n ，那么n ︰m= ．
8．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、BC 边上，DE ∥AC ．如果AD ＝6cm ，AB ＝9cm ，DE ＝4cm ，那么AC ＝ cm ． 9．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB = 2，AC = 5，DF = 10，则DE = ．
10．若直角三角形的重心到直角顶点的距离为3厘米，则这个直角三角形的斜边上的中线长为__ __．
11． 抛物线2)1(2
++-=x y 的顶点坐标为 ．
12． 把抛物线2
3x y =先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，这时抛物线的解析式为： ． 13． 一条抛物线具有下列性质：（1）经过点)3,0(A ；（2）在y 轴左侧的部分是上升的，在y 轴右侧的部分是下降
的. 试写出一个满足这两条性质的抛物线的表达式. ．
x … 1-
0 1 2 …
y
… 2- 2.5 4
2.5 …
A B
l 3
l 1
l 2
F E D
C
a b x c
a
b c x a b c
x a b c x
14．已知矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，如果b DC a BC ρρ
==,3，___=BO ．
15．如果c b a ρρρ=+，c b a ρρρ33=+，那么a ρ与b ρ
是 向量（填“平行”或“不平行” ）
16． ABC ?中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC . 若ADE ?的面积与四边形BCED 的面积相等，
则
AB
AD
的值为 . 17．如图，已知，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，则 AF ∶FC = ．
18. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,将矩形折叠,使点C 与点A 重合,则折痕EF= .
三、（本大题共6题，第19--22题,每题8分；
第23、24题,每题10分．满分52分）
19．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m ，跨度为 10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？
20. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点F ，点E 在AB 上，且EF //BC ， （1）若6,3==BC AD ， 求EF 的长
（2）设c AC b AB ρ
ρ==,，分别求出EF 向量在c b ρρ、方向上的分向量.
A C D
B E F
第（17）题
B
D
C
A
O
F
E
_A
_F
_
C
_B
_D
_E
（第21题）
C B
21．如图,已知AD ∥BE,OC OA OB ?=2
,求证:∠C=∠OBD.
22、已知：如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，AC 平分∠DAB ，点E 为AC 的中点．
求证：DE =
BC 2
1
．
23. （本题满分10分）如图10,已知ABC ?中, AB CE ⊥于点E, AC BF ⊥于点F,如果2400=?ABC S ,600=?AEF S . (1)求证：AEC ?～AFB ? (2) 求角A 的正弦值.
24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．二次函数2
3y x bx =-++的图像经过点(1
0)A -，，顶点为B ． （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B 的坐标；
（2）如果点C 的坐标为(40)，
，AE BC ⊥，垂足为点E ，点D 在直线AE 上，1DE =，求点D 的坐标．
图
D A
B
C E
1
y
图10
F
E
C
B
A
25.（本题共3小题，4分+4分+6分，满分14分）
如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，
射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
25．∵DEC B BDE ∠=∠+∠，DEC DEF FEC ∠=∠+∠，
又DEF B ∠=∠，∴BDE FEC ∠=∠，…………………………………（2分） ∵AB =AC ，∴B C ∠=∠,
∴△DBE ∽△ECF ．………………………………………………………（2分） （2）由△DBE ∽△ECF ，得BD BE
CE CF
=
．………………………………（2分） 设BE 长为x ， 则
253
x
x =-， 解得12x =，23x =． ∴BE 的长为2或3．……………………………………………………（2分） （3）1o 当FDE BED ∠=∠时，
F
B
A
C D E
B
A
C
D (备用图)
DF∥BC，∴AF AD AC AB
=，
∴2
FC=．………………………………………………（2分）2o解一：当FDE BDE
∠=∠时，
作EO⊥DF，EP⊥BD，EQ⊥CF，垂足分别为O、P，Q，∵FDE BDE
∠=∠，∴EO=EP．
∵DFE DEB EFC
∠=∠=∠，∴EO=EQ．
∴EP=EQ，∴AE是BAC
∠的平分线．
∵AB=AC，∴
5
2
BE EC
==………………………（2分）
由△DBE∽△ECF，得BD BE
CE CF
=，∴
25
8
FC=………………………（1分）
综上所述，FC的长为2或25
8
时，△DEF与△DBE相似……………（1分）解二：当DFE BED
∠=∠时，
DE BD
EF BE
=，
由△DBE∽△ECF，得DE BD EF EC
=，
∴BD BD
BE EC
=，∴
5
2
BE EC
==…………………………………………（2分）
由△DBE∽△ECF，得BD BE
CE CF
=，∴
25
8
FC=………………………（1分）
综上所述，FC的长为2或25
8
时，△DEF与△DBE相似……………（1分）
Q
P
O
F
B
A
C
D
E