习题4
1. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。 解：x x f =)( 2
12
1)(-
=
'x
x f ，2
34
1
)(-
-=''x
x f ,2
58
3)(-
=
'''x
x f ,
2
7)
4(16
15)(-
-
=x
x f
，72380529.10)115(=f 1000=x ，
121
1=x ， 144
2=x ， 1693=x
10
0=y ，
111=y ，
12
2=y ，
13
3=y
)
)(())(()
)(())(()
)(())(()(1202102
2101201
2010210
2x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----=
)
121144)(100144()121115)(100115(12)
144121)(100121()144115)(100115(11)
144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----?
+----?
+----?
=L
=23
44)6(1512)
23(21)29(1511)
44)(21()29)(6(10?-??
+-?-??
+----?
72276.1006719.190683.988312.1=-+= ))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=
-ξ
，144100<<ξ
)
44115()121115()100115()(max 61
)115()115(1441002-?-?-?'''≤
-≤≤x f L f x 2961510
83615
?????≤
-
001631
.010
1631.02
=?=-
实际误差 22101045.0)115()115(-?=-L f
))()(())()(())()(())()(()(3121013201
3020103210
3x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= )
)()(()
)()(()
)()(())()((2313032103
3212023102
x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+
)
169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-?-?--?-?-?
=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-?-?--?-?-?+ )169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-?-?--?-?-?+ )
144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-?-?--?-?-?+
)
48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-?-?-?-??
+-?-?--?-?-?
=
25
4869)29()6(1513)
25(2344)54()6(1512??-?-??
+-??-?-??
+
723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+=
))()()((!4)()()(3210)
4(3x x x x x x x x f
x L x f ----=
-ξ，169
100<<ξ
)
169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(7
3----???≤
--L f )
54()29()6(1510
16
152417
-?-?-????=-
0005505
.010
5505.03
=?=-
实际误差 321023429.0)115()115(-?=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1) k n
j j k j x x l x =∑=)(0 ),,1,0(n k =;
(2) 0)()(0
=-∑=x l x x j k
n
j j ),,1(n k =。
解：(1) 考虑函数 )0(,)(n k x x g k h ≤≤=以n x x x ,,,10 为插值节点的
n 次插值多项式，由插值余项公式有
0)()!
1()()(~
)
1(0=-+=
-=+==∑
i i n k j
n
j k
j k
x x n x x l x x x πξ
∴ k j n
j k j x x l x =∑=)(0
, n k ≤≤0
(2) 法1 当n k ≤≤1时
)()()()()(000
x l x x C x l x x j l
k l j n
j k
l l k j n
j k
j -===-=-∑∑∑
)()()
(0
0x l x x C j n
j l
j l
k k l l
k
∑∑
=-=-=
00))(()(0
==-+=?-=-=∑k k l l k k
l l k x x x x C
法2 设 k t x x g )()(-=，n k ≤≤1考虑它的n 次插值多项式 有
k j n
j k j t x x l t x )()()(0-=-∑=，n k ≤≤1
令 x t =得
∑==-n
j j k j x l x x 0
0)()(，n k ≤≤1
4. 设],[)(2b a C x f =，且0)()(==b f a f ，求证：
)
(max
)(8
1)(max
2
x f a b x f b
x a b
x a ''?-≤
≤≤≤≤
解：考虑)(x f 以b x a x ==,为节点的一次插值多项式)(1x L ，则
有
0)
()
()(1=--+--=a
b a x b f b
a b x a f x L
))((2
)()()()(1b x a x f x L x f x f --''=
-=ξ，
当],[b a x ∈时 ),(b a ∈ξ 于是 )
(max
)
(8
1))((max )(max
21)(2
x f a b b x a x x f x f b
x a b
x a b
x a ''-=
--?''≤
≤≤≤≤≤≤
],[b a x ∈
)
(max
8
)
()(max
2
x f a b x f b
x a b
x a ''-≤
≤≤≤≤
法2 设)(x f 在],[b a c ∈处达到最大值，如果a c =或b c = 则结论显然成立，现设),(b a c ∈ 则有0)(='c f
0)()(21)()(12
=''-+
=ξf c a c f a f
),(1c a ∈ξ 0)()(2
1)()(22
=''-+
=ξf c b c f b f
),(1b c ∈ξ
当)2
,
(b a a c +∈时， )
(max
8
)
()()(2
1)(2
12
x f a b f c a c f b
x a ''-≤
''--
=≤≤ξ
当),2
(
b b a
c +∈时， )
()(2
1)(22
ξf a b c f ''--=
5.设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 有个不同的实根n x x x ,,,21 ,证明: ???='-=∑
1
010)(a x f x n
j j k
j
12
0-=-≤≤n k n k 。
解：由于n x x x ,,,21 是)(x f 的n 个不同的实根，所以)(x f 可为 ∏∏≠==--=-=n
j
i i i j n
i i x x x x a x x a x f 1
01
0)()()()(
???
?
??????????
'?????
?????--+-='∏∏≠=≠=n j i i i j n j i i i x x x x x x a x f 110)()()()(
∏≠=-='n
j i i i j j x x a x f 1
0)()(
因而 ∑
∏∑
=≠==-=
'n
j n
j
i i i j
k
j
n
i
j j k
j
x x x a x f x 1
10
)
(1)
( (*)
法 1
记 k k x x g =)(，则
)!
1()
(],,,[)
()
()()
1(211
11
1-=
=-=
--=≠==≠=∏
∏
∏
∏
n g x x x g x x k g x x x n k
n k n
j n
j
i i i j j k n
j n
j
i i i j k
j
ξ
= 1
1
20-=-≤≤n k n k
将上式代入(*)得
='∑
=n
j j k
j
x f x 1
)
( ,
1,00
a
1
20-=-≤≤n k n k
法2 考虑)(x g k 以n x x x ,,,21 为插值节点的1-n 次插值多项式，则有 ∏∏∑
≠=≠==--
n
j
i i i j
n
j
i i i n j k j
x x x x x 111)()( k
x
=，10-≤≤n k
比较两边1-n x 的系数，得 =
-∑
∏
=≠=n
j n
j
i i i j k
j
x x x 11)
( 0
1
2
01-≤≤-=n k n k
6. 设有函数值表
x
1 3 4 6 7 9
y 9 7 6 4 3 1 试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。 解：
9
7643
1
1
3467
9 1
111
1----- 0
000 0
00
0 0
)1)(1(9)(5--+=x x N
7.设13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f 。 解：1!
7)
(]2,2,2[)
7(7
1
==
ξf
f ，0!
8)
(]2,2,2,2[)
8(8
710==
ξf
f
11. 设n x x x ,,,10 互不相同， (1) 作12+n 次多项式)(x a i 满足
ij j i x a δ=)( , 0)(='j i x a )0(n j ≤≤ (2) 作12+n 多项式)(x i β满足
0)(=j i x β , ij j i x δβ=')( (n j ≤≤0)
解：由条件 0)(,0)(='=j i j i x x αα n j ≤≤0,i j ≠
可设 )]([)(i i i
i x x B A x -+=α)(2
x l i
再由 1)(=i i x α 得 1)(2==i i i i A x l A
对)(x i α求导得 αα)]([)()(2i i i i i i x x B A x l B x -++=')()(x l x l i i '
由 0)(2)(2)(='+='+='i i i i i i i i i x l B x l A B x α
得
)(2i i i x l B '-=
于是
)()](21[)(2x l x l x i i i i '-=α 2) 由 0)(=j i x β，n j ≤≤0 0)(='j i x β，n j ≤≤0，i j ≠ 可设 )()()(2x l x x C x i i i i -=β
求导得 )]()(2)()([)(2x l x l x x x l C x i i i i i i '?-+='β 求 1)(='i i x β 得 1=i C
于是
)()()(2x l x x x i i i -=β
13. 给定x e x f =)(。设0=x 是4重插值节点，1=x 是单重插值节点，
试求相应的Hermite 插值公式，并估计误差])1,0[(∈x 。 解：1)0(=f ，
1)1(='f ，1)1(=''f ，1)1(='''f ，e f =)1(
1
000
0 e
111
1
2111-e
2
212
1-e
2
561
-
e 3
8
-e
4
3
2
4)3
8(6
12
11)(x
e x x x x H -
++
++=
)1(!
5)1()0(!5)
()(4
4
)
5(-=
--=x x e
x x f
x R ξ
ξ
)
1(!
5)(4
-≤
x x e x R
00186.008192.0120
718.251)54(!5)(max 41
0=?=?≤
≤≤e x R x
14. 在[b a ,]上求插值多项式)(3x H ，使得
)()(3a f a H =,
)()(3
a f a H '=', )()(3a f a H ''='', )()(3
b f b H ''='' 解： 作)(2x H 满足
)()(2a f a H = )()(2
a f a H '='，)()(2a f a H ''=''， 则 2
2))((2
1))(()()(a x a f a x a f a f x H -''+-'+=
令
)()()(23x H x H x g -=，
(*)
则 0)(=a g ，0)(='a g ，0)(=''a g 又 )(x g 为3次多项式，故 3)()(a x A x g -=
代入(*)得
)()()(23x g x H x H +=
3
2)())((2
1))(()(a x A a x a f a x a f a f -+-''+
-'+= (**)
求2阶导数得 )()()(3
a x bA a f x H -+''='' 由
)()(3
b f b H ''=''得
)()()(b f a b bA a f ''=-+''
解得 a
b a f b f A -''-''?
=)
()(6
1
因而
2
3))((2
1))(()()(a x a f a x a f a f x H -''+
-'+=
3
)
()
()(6
1a x a
b a f b f --''-''?
+
16．设2
2511)(x
x f +=
，在11≤≤-x 上取20=n ，按等距节点求分段
线性插值函数)(x I h ，计算各相邻节点间中点处的)(x I h 与)(x f 的值，并计算误差。 解：1.020
2==
h ，,1.011i ih x i +-=+-=200≤≤i
)(2
112
1++
+=
i i i x x x
，19
0≤≤i
)()
()()()(11i i i i i i h x x x x x f x f x f x I ---+
=++，1+≤≤i i x x x ，19
,,2,1,0 =i
)]()([2
1)(12
1++
+=
i i i h x f x f x
I ，19
0≤≤i
各相邻节点间中点处的)(x I n 的值)(x f 的值及误差列于下表
i
2
1+
i x
)(2
1+
i h x
I )(2
1+
i x
f )
()(2
12
1+
+
-i n i x
I x
f
0 95.0- 0.0427602 0.0424403 0.0003199 1 85.0- 0.0529412 0.0524590 0.0004822 2 75.0- 0.0671476 0.0663900 0.0007576 3 65.0- 0.0877358 0.0864865 0.0012493 4 55.0- 1189655.0 0.1167883 0.0021772 5 45.0- 0.1689655 0.1649485 0.0040170 6 35.0- 0.2538162 0.2461538 0.0076924 7 25.0- 0.4038462 0.3902439 0.0136023 8 15.0- 0.65 0.64 0.01 9 05.0- 0.9 9411765
.09411765.0 0.0411765
10 05.0 0.9 0.64 0.0411765
11 0.15 0.65 0.3902439 0.01
12 0.25 0.4038462 0.2461538 0.0136023
13 0.35 0.2538462 0.1649485 0.0076924
14 0.45 0.1689655 0.1167883 0.004017
15 0.55 0.1189655 0.0864865 0.0021772
16 0.65 0.0877358 0.0663900 0.0012493
17 0.75 0.0671476 0.0524590 0.0007576 18 0.85 0.0529412 0.0424403 0.0004822
19 0.95 0.0427602 0.0003199
17. 欲使线性插值具有4位有效数字。在区间[0,2]上列出函数x e sin 的具有五位有效数字的等距节点的函数值表，问步长最多可取多大？ 解：
ih
x i = ，n i ≤≤0 n
h 2=
。
x e x f s i n )(=，x e x f x cos )(sin ?='，
x e
x e
x f x
x
sin cos )(sin 2sin
-=''
]sin sin 1[2sin x x e x --= ]1[2u u e u --=， x u sin = )(u g = 当]1,0[]2,0[∈∈u x 时，
i
i i i i i i i x x x x x f x x x x x f x L --+--=++++111
11)
()
()(
h
x x x f h
x x x f x L i i i i -+-=++)
()
()(11~
~
1
)()()()()()(1~
111~
x L x L x L x f x L x f -+-=-
h
x x x f x f h
x x x f x f x x x x f i i i i i i i i i --+--+--''=++++)]
()([)]
()([))()((2
11~
11~
1ξ
][
10
2
1)(max
8
1)()(max
14
2
1~
1
1
h
x x h
x x x f h
x L x f i i x x x x x x i i i i -+
-??+
''≤
-+-≤≤≤≤++
0)3()3()21()1()(22<+-=--=--+--='u u u u e u u u u e u e u u e u g 1)0(=g , e g -=)1(, e u g x f u x ==''≤≤≤≤)(max )(max 102
4
2
1~
10
2
18
1)()(max
1
-≤≤?+
≤-+e h x L x f i i x x x
3
4
2
10
2
110
2
18
1--?≤?+
e h
4
4
3
2
10
910
10
4
1---?=-≤e h
e
h 2
10
6-?≤
即 只要e
h 2
10
6-?≤
18. 求4)(x x f =在[0,5]上的分段3次Hermite 插值，并估计误差(1=h )。
解：
i x i =， 5,,2,1,0 =i
当),(1+∈i i x x x 时 2
12)
4()
(3
)
()(!
4()
)(+--=
-i i i x x x x f
H
x f ，.4,3,2,1,0=i
212)()(+--=i i x x x x ，],[1+∈i i x x x
2
24)(3
)1()(----=i x i x x H i ，],[1+∈i i x x x 19.给定下列函数值表
i 0 1 2 i x
3 4 6 i y 6 0 2
i y '
1 1-
求3次样条插值函数。 解： 30=x , 41=x , 62=x 60=y ,
01=y , 22=y
10
='y
12
-='y 1010=-=x x h , 2121=-=x x h , 3
11=u , 3
21=
λ
7],,[110-=x x x f , 3
7],,[210=
x x x f ,
1],,[221-=x x x f
6
643
3 2206
6
1161--
1
377
--
????
??????21
32231012 ???
??????
?--=??????????--=?????
?????6144213
776210M M M
解得
667
.283
860
-=-
=M
，333
.153
461==
M ，667
.103
222-=-
=M
将210,M M M 和代入插值函数表达式中 得
=)(x S
,
)4(6
13)4(3
23)4(3
17,
)3(3
22)3(3
43)3(63
23
2
--
-+
--
-+
--
-+x x x x x x
]
6,4[]
4,3[∈∈x x
30. 观测物体的直线运动，得出以下数据： s t
0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0
m s
0 10 30 51 80 111
求运动方程。
解： 设 2210)(t c t c c t S ++=, 1)(0=t ?,t t =)(1?,22)(t t =?
?????????? ??=-
1111110
? ,??????????
??=-
0.59.30.39.19.001?, ?????????? ??=-2521.15961.381.002?, ???????
??
?
??=-111805130100S
6),(00=--??, 7.14),(10=--??, 63.53),(11=-
-??
907
.218),(_
21=-
?? 63.53),(20=--?? 032.951),(22=-
-??
282
),(0=-
s ? 1086),(1=-
-
s ? 2.4567),(2=-
-
s ?
正规方程为
??
?
?
?
???
??032.951907
.21863
.53907
.21863.537.1463.537.146 ?????
?????=??????????2.45671086282210c c c
6184
.00-=c ，1607
.111
=c ，2683
.22
=c
2
2683.2160.116184.0)(t
t t s ++-=
均方误差
0245
.19)
)((6
1
2
=-=
-∑=-
i i i s t s s s
31. 用最小二乘法，求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差：
x 19 25 31 38 44
y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
解：
i
1 2 3 4 5 i x 19 25 31 38 44 i y
19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
1)(0=x ?, 21)(x x =?
5)(),(5
1
2
000==∑=i i x ???, 5327)()(),(205
1
010==∑=i i i x x ????
7277699),(11=??, 4.271),(0=y ? 5.369321
),(1=y ?
正规方程组 ????
??72776995327
5327
5
??
????=??????5.3693214.271b a
列主元Gauss 消去法得到 050035.0=a ,972748.0=b
经验公式 2
972748.0050035.0x y +=
12257
.0)
)((5
1
2
=-∑=i i i y x y
33. 设已知一组实验数据
x 2.2 2.6 3.4 4.0 1.0 y 65 61 54 50 90
试用最小二乘法确定拟合模型b ax y =中的参数b a ,。
解：
i 1 2 3 4 5 i x 2.2 2.6 3.4 4.0 1.0
i y
65 61 54 50 90
b ax y = x b a y ln ln ln += 令 y Y ln =，x t ln =，则有 t
c c Y 10+=，其中a
c ln 0
=，b
c =1
实验数据转化为
i 1 2 3 4 5
i i x t ln = 0.342 0.415 0.531 0.602 0 i i
y Y ln =
1.813 1.785 1.732 1.699 1.954
正规方程组
983
.889.1510=+c c
303311
.3933554.089.111=+c c
421
.01-=c ,
956.10=c
即 956.1ln =a 071
.7956
.1==e
a
421
.01-==c b
经验公式为
∴ 421.0071.7-=e y
34. 试用最小二乘法，求解下列超定方程组： 4221=+x x
5221=+x x 62221=+x x
2221=+-x x
4321=-x x
解：将该方程组两边同时左乘以T A ，得
??
????--12
2
1
2
31221
??
????--=???????
?
????????--12
2
1
23122113
21221
221???????
?
????????42654
??????143319??
????=??????253621x x 解得
42802
.12=x ，66926
.11
=x
最小二乘解为
???
? ?
?42802.166926.1
35. 求b a ,，使dx bx a x ?+-202)]([sin π
为最小，并与26题结果作比较。
解： x x f sin )(=， bx a x p +=)(， 1)(0=x ?，x x =)(1?
?==202
0021),(π
π
??dx ， 220108
1
),(π??π
==?x d x ，
?=
=203
22124
),(π
π
??dx x ?-==200cos sin ),(π
?x xdx f 120=π
??-=-=
=
20201cos )cos
(sin
),(π
π
?x
x x xd xdx x f ?=+20
20
sin cos π
π
x
xdx 120
=π
正规方程组为
????
?
?
??????248
8
1
2322
ππππ??
????=??????11b a 11477
.0)3(8
2
=-=
ππ
a , 66444
.0)4(24
)4
11(96
3
3
=-=
-
=
ππ
ππ
b
x x p 66444.011477.0)(+=
36. 设},,1{423x x Span M =，在3M 中求x x f =)(在[1-,1]上的最佳平方逼近多项式。
解：},,1{423x x Span M = 1)(0=x ?，21)(x x =?，42)(x x =?，
)()()()(210x c x b x a x p ???++=
x x f =)(，]1,1[- ?-==
1
12
0021),(dx ??，52),(1
1
4
11=
=
?-dx x ??，92),(1
1
8
22=
=
?-dx x ??
3
2),(1
1
2
10=
=
?-dx x ??，7
2),(1
1
6
21=
=
?-dx x ??，5
2),(1
1
4
20=
=
?-dx x ??
12),(1
1
1
0===
??-xdx dx x f ?，
212),(1
11
3
2
1=
==
??-dx x dx x x f ?
3
12),(1
5
1
1
4
2=
==
??-dx x dx x x f ?
正规方程组
????????????
????92725
2725232
523
22????
?
???????????=
??????????31211c b a ????????????????
??
?→?????????????????--15
222532105160
611051645801528
32319
27
25
2217252321
52322131
25
1
31r r r r ?????
???
????????
-
???
?→?-10517
151280
0611051645801
523222
2
7
6
2
3r r 8203.0128
105-=-
=c 6406.164
1058
87158
24745==??=??=
b 1172.0128
1532
1245
32
122
105385==?=
??-?=
a
=),,(c b a 1172.0( 6406.1 )8203
.0- 所求最佳平方逼近多项式为
4
2
8203.06406.11172
.0)(x x x p -+=
第四章 静态场的解 练习题 1、设点电荷q 位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置 （2） 直角劈内任意一点),,(z y x 处的电位表达式 （3） 解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。 （2）如图2所示任一点),,(z y x 处的电位为 ??? ? ??-+-= 4321011114r r r r q πεφ 其中， ()()()()()()()()2 22422 232 2222 22121212121z y x r z y x r z y x r z y x r +-++= ++++=+++-=+-+-= 2、 两个点电荷Q +和Q -位于半径为a 的接地导体球的直径延长线上，距球心均为 d 。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为232d Q a 。 证明：由点电荷的球面镜像法知，＋Q 和－Q 的镜像电荷Q Q ''',分别位于球内＋Q 和－ Q 连线上大小分别为Q D a μ，且分别距球心为D a 2（分别位于球心两侧）。可见Q Q ''',构 成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为： 图1 图2 q - q +q -
2 322D Q a D a Q D a ql p =?==。结论得证。 3、已知一个半径为a 的接地导体球，球外一个点电荷q 位于距球心O 为d 处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。 解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷q '必定位于球内，且在q 与球心0连线上，位置在距离球心设为f 处。建立直角坐标系，由边界条件(?球）=0可取球面上两个特殊点B A ,讨论。B A ,是q 与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得： 0)(4)(4)(00=+' ++= f a q a d q A πεπε?， 0) (4)(4)(00=-' +-= f a q a d q B πεπε?。 解此方程组得：d a f q d a q 2 ,=-='。 所以任意场点),(y x P 处的电位为： r q r q ' '+ = 0044πεπε?。 其中r r ',分别是点电荷q 和q ' 到场点P 的距离。 值分别为21 2221 22])[(,])[(y f x r y d x r +-='+-=。 4、半径为a 的不接地导体球附近距球心O 为d （?d a ）处有一点电荷q ，用镜像法计算 球外任一点的电位。 解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷除了有q '（即导体球接地时对应的结果， q d a q -='，其位置为d a f 2=），还在球心处有另外一个镜像电荷q ''，以保证导体球面电 势不为零的边界条件成立，且可知q q '-=''。 所以任意场点P 处的电位为： r q r q r q ' '''+ ' '+ = 000444πεπεπε?
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
习题 1．选择题 （1）设A、B两个数据表的记录数分别为3和4，对两个表执行交叉联接查询，查询结果中最多可获得（C ）条记录。 A．3 B. 4 C. 12 D. 81 （2）如果查询的SELECT子句为SELECT A, B, C * D，则不能使用的GROUP B子句是（ A ）。 A．GROUP BY A B．GROUP BY A,B C．GROUP BY A,B,C*D D．GROUP BY A,B,C,D （3）关于查询语句中ORDER BY子句使用正确的是（ C ）。 A．如果未指定排序字段，则默认按递增排序 B．数据表的字段都可用于排序 C．如果在SELECT子句中使用了DISTINCT关键字，则排序字段必须出现在查询结果中 D．联合查询不允许使用ORDER BY子句 （4）在查询设计器中，不能与其他窗格保持同步的是（D ）。 A．关系图窗格 B. 网格窗格 C．SQL窗格 D. 结果窗格 （5）下列函数中，返回值数据类型为int的是（B）。 A．LEFT B. LEN C．LTRIM D. SUNSTRING 2．填空题 (1) 在启动查询分析器时，在登录对话框中可使用（Local）作为本地服务器名称。 (2) 查询分析器窗口主要由对象浏览器和（查询）窗口组成。 (3) 从Windows“开始”菜单启动查询分析器后，默认数据库为（master）。 (4) 以表格方式显示的查询结果保存为（导出）文件，其文件扩展名为（csv）；以文本方式显示的查询结果保存为（报表）文件，其文件扩展名为（rpt）。 (5) 可使用（PRINT）或（SELECT）语句来显示函数结果。 (6) 在查询语句中，应在（SELECT）子句中指定输出字段。 (7) 如果要使用SELECT语句返回指定条数的记录，则应使用（TOP）关键字来限定输出字段。 (8) 联合查询指使用（UNION）运算将多个（查询结果）合并到一起。 (9) 当一个子SELECT的结果作为查询的条件，即在一个SELECT语句的WHERE子句中出现另一个SELECT语句，这种查询称为（嵌套）查询。 (10) 连接查询可分为3种类型：（内连接）、（外连接）和交叉连接。 3．问答题 (1) 在SELECT语句中，根据列的数据对查询结果进行排序的子句是什么？能消除重复行的关键字是什么? (2) 写出与表达式“仓库号NOT IN('wh1','wh2')”功能相同的表达式。用BETWEEN、AND形式改写条件子句WHERE mark> 550 AND mark<650。 (3) 在一个包含集合函数的SELECT语句中，GROUP BY子句有哪些用途?
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
第四章课后思考题及参考答案 1、为什么说资本来到世间，从头到脚，每个毛孔都滴着血和肮脏的东西？ [答案要点]资本来到世间，从头到脚，每个毛孔都滴着血和肮脏的东西。资本主义的发展史，就是资本剥削劳动、列强掠夺弱国的历史，这种剥夺的历史是用血和火的文字载入人类编年史的。在自由竞争时代，西方列强用坚船利炮在世界范围开辟殖民地，贩卖奴隶，贩卖鸦片，依靠殖民战争和殖民地贸易进行资本积累和扩张。发展到垄断阶段后，统一的、无所不包的世界市场和世界资本主义经济体系逐步形成，资本家垄断同盟为瓜分世界而引发了两次世界大战，给人类带来巨大浩劫。二战后，由于社会主义的胜利和民族解放运动的兴起，西方列强被迫放弃了旧的殖民主义政策，转而利用赢得独立和解放的广大发展中国家大规模工业化的机会，扩大资本的世界市场，深化资本的国际大循环，通过不平等交换、资本输出、技术垄断以及债务盘剥等，更加巧妙地剥削和掠夺发展中国家的资源和财富。在当今经济全球化进程中，西方发达国家通过它们控制的国际经济、金融等组织，通过它们制定的国际“游戏规则”，推行以所谓新自由主义为旗号的经济全球化战略，继续主导国际经济秩序，保持和发展它们在经济结构和贸易、科技、金融等领域的全球优势地位，攫取着经济全球化的最大好处。资本惟利是图的本性、资本主义生产无限扩大的趋势和整个社会生产的无政府状态，还造成日益严重的资源、环境问题，威胁着人类的可持续发展和生存。我们今天看到的西方发达资本主义国家的繁荣稳定，是依靠不平等、不合理的国际分工和交换体系，依靠发展中国家提供的广大市场、廉价资源和廉价劳动力，通过向发展中国家转嫁经济社会危机和难题、转移高耗能高污染产业等方式实现的。资本主义没有也不可能给世界带来普遍繁荣和共同富裕。 2、如何理解商品二因素的矛盾来自劳动二重性的矛盾，归根结底来源于私人劳动和社会劳的矛盾？[答案要点]商品是用来交换的劳动产品，具有使用价值和价值两个因素或两种属性。在私有制条件下，商品所包含使用价值和价值的矛盾是由私有制为基础的商品生产的基本矛盾即私人劳动和社会劳动的矛盾所决定的。以私有制为基础的商品经济是以生产资料的私有制和社会分工为存在条件的。一方面，在私有制条件下，生产资料和劳动力都属于私人所有，他们生产的产品的数量以及品种等，完全由自己决定，劳动产品也归生产者自己占有和支配，或者说，商品生产者都是独立的生产者，他们要生产什么，怎样进行生产，生产多少，完全是他们个人的私事。因此，生产商品的劳动具有私人性质，是私人劳动。另一方面，由于社会分工，商品生产者之间又互相联系、互相依存，各个商品生产者客观上都要为满足他人和社会的需要而进行生产。因此，他们的劳动又都是社会劳动的组成部分。这样，生产商品的劳动具有社会的性质，是社会劳动。对此，马克思指出，当劳动产品转化为商品后，“从那时起，生产者的私人劳动真正取得了二重的社会性质。一方面，生产者的私人劳动必须作为一定的有用劳动来满足一定的社会需要，从而证明它们是总劳动的一部分，是自然形成的社会分工体系的一部分。另一方面，只有在每一种特殊的有用的私人劳动可以同任何另一种有用的私人劳动相交换从而相等时，生产者的私人劳动才能满足生产者本人的多种需要。完全不同的劳动所以能够相等，只是因为它们的实际差别已被抽去，它们已被化成它们作为人类劳动力的耗费、作为抽象的人类劳动所具有的共同性质。”私有制条件下，商品生产者私人劳动所具有的这二重性质，表现为生产商品的劳动具有私人劳动和社会劳动的二重性。 生产商品的私人劳动和社会劳动是统一的，同时也是对立的。其矛盾性表现在：作为私人劳动，一切生产活动都属于生产者个人的私事，但作为社会劳动，他的产品必须能够满足一定的社会需要，他的私人劳动才能转化为社会劳动。而商品生产者的劳动直接表现出来的是它的私人性，并不是它的社会性，他的私人劳动能否为社会所承认，即能否转化为社会劳动，他自己并不能决定，于是就形成了私人劳动和社会劳动的矛盾。这一矛盾的解决，只有通过商品的交换才能实现。当他的产品在市场上顺利地实现了交换之后，他的私人劳动也就成了社会劳动的一部分，他的具体劳动所创造的使用价值才是社会需要的，他的抽象劳动所形成的价值才能实现。如果他的劳动产品在市场上没有卖出去，那就表明，尽管他是为社会生产的，但事实上，社会并不需要他的产品，那么他的产品
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("
数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k
n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!
.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj
第六章习题解答 2 2、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值， 并估计两种方法计算值的最大 1 误差限。 解：①由梯形公式： T ( f ) b a [ f (a) f (b)] 2 1 [ln1 ln 2] ln 2 0.3466 2 2 2 最大误差限 R ( f ) (b a)3 f '' ( ) 1 1 1 0.0833 T 12 12 2 12 12 其中， (1,2) ②由梯形公式： b a 4 f ( b a f (b)] 1 4ln( 3 ln 2] 0.3858 S( f ) [ f (a) ) [ln1 ) 6 2 6 2 最大误差限 R S ( f ) (b a)5 f (4) ( ) 6 6 0.0021， 2880 2880 4 2880 其中， (1,2) 。 4、推导中点求积公式 f ( x)dx (b a) f ( a b ) (b a) 3 (a b) b a 2 24 证明： 构造一次函数 P （ x ），使 P a 2 b f a b , P ' ( a b ) f ' ( a b ), P '' ( x) 0 2 2 2 则，易求得 P( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 且 P(x)dx f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) dx b b a a 2 2 2 f ( a b )dx (b a) f ( a b ) ，令 P(x)dx I ( f ) b b a 2 2 a 现分析截断误差：令 r ( x) f ( x) P(x) f ( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 由 r ' ( x) f ' (x) f ' ( a b ) 易知 x a 2 b 为 r (x) 的二重零点， 2 a b )2 ， 所以可令 r (x) ( x)( x 2
第4章网络基础知识与Internet应用一、单项选择题 二、填空题 1．局域网、城域网、广域网或LAN、MAN、WAN 2. C、A、C 3. 127.0.0.1（本机）、255.255.255.255（限制广播）、0.0.0.0（广播） 4. Electronic Commerce, EC 5.B2B、B2C 6. Instrumented：物联化 Interconnected：互联化 Intelligent：智能化 7.感知层、网络层、应用层 8.接入（网络层）、应用（业务层） 9.硬件系统、软件系统 10.不可否任性
三、简答题 1. 计算机网络发展包括四个阶段：第一，面向终端的计算机网络；第二，计算机-计算机网络；第三，开放标准网络阶段；第四，因特网与高速计算机网络阶段。各阶段的特点：第一，面向终端的计算机网络：以单个计算机为中心的远程联机系统，构成面向终端的计算机网络。第二，计算机-计算机网络：由若干个计算机互联的系统，组成了“计算机-计算机”的通信时代，呈现出多处理中心的特点。第三，开放标准网络阶段：由于第二阶段出现的计算机网络都各自独立，不相互兼容。为了使不同体系结构的计算机网络都能互联，国际标准化组织ISO提出了一个能使各种计算机在世界范围内互联成网的标准框架―开放系统互连基本参考模型OSI。第四，因特网与高速计算机网络阶段：采用高速网络技术，综合业务数字网的实现，多媒体和智能型网络的兴起。 2.TCP/IP网络使用32位长度的地址以标识一台计算机和同它相连的网络，它的格式为：IP 地址=网络地址+ 主机地址。标准IP地址是通过它的格式分类的，它有四种格式：A类、B类、C类、D类。 3. 电子商务所涵盖的业务范围包括：信息传递与交流；售前及售后服务；网上交易；网上支付或电子支付；运输；组建虚拟企业。 4. 包括banner(网幅广告)、button广告、文字链接广告、弹出式广告(pop up window)及其它形式(如移动logo、网上分类广告等)。其中banner广告是主流形式，也被认为是最有效的。 5. 国际电信联盟( ITU)对物联网做了如下定义：通过二维码识读设备、射频识别(RFID) 装置、红外感应器、全球定位系统和激光扫描器等信息传感设备，按约定的协议，把任何物品与互联网相连接，进行信息交换和通信，以实现智能化识别、定位、跟踪、监控和管理的一种网络。
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
纵联保护依据的最基本原理是什么？ 答：纵联保护包括纵联比较式保护和纵联差动保护两大类，它是利用线路两端电气量在故障与非故障时、区内故障与区外故障时的特征差异构成保护的。纵联保护的基本原理是通过通信设施将两侧的保护装置联系起来，使每一侧的保护装置不仅反应其安装点的电气量，而且哈反应线路对侧另一保护安装处的电气量。通过对线路两侧电气量的比较和判断，可以快速、可靠地区分本线路内部任意点的短路与外部短路，达到有选择、快速切除全线路短路的目的。 纵联比较式保护通过比较线路两端故障功率方向或故障距离来区分区内故障与区外故障，当线路两侧的正方向元件或距离元件都动作时，判断为区内故障，保护立即动作跳闸；当任意一侧的正方向元件或距离元件不动作时，就判断为区外故障，两侧的保护都不跳闸。 纵联差动保护通过直接比较线路两端的电流或电流相位来判断是区内故障还是区外故障，在线路两侧均选定电流参考方向由母线指向被保护线路的情况下，区外故障时线路两侧电流大小相等，相位相反，其相量和或瞬时值之和都等于零；而在区内故障时，两侧电流相位基本一致，其相量和或瞬时值之和都等于故障点的故障电流，量值很大。所以通过检测两侧的电流的相量和或瞬时值之和，就可以区分区内故障与区外故障，区内故障时无需任何延时，立即跳闸；区外故障，可靠闭锁两侧保护，使之均不动作跳闸。 4.7 图4—30所示系统，线路全部配置闭锁式方向比较纵联保护，分析在K点短 路时各端保护方向元件的动作情况，各线路保护的工作过程及结果。 ?? 答：当短路发生在B—C线路的K处时，保护2、5的功率方向为负，闭锁信号 持续存在，线路A—B上保护1、2被保护2的闭锁信号闭锁，线路A—B两侧 均不跳闸；保护5的闭锁信号将C—D线路上保护5、6闭锁，非故障线路保护 不跳闸。故障线路B—C上保护3、4功率方向全为正，均停发闭锁信号，它们 判定有正方向故障且没有收到闭锁信号，所以会立即动作跳闸，线路B—C被切 除。 答：根据闭锁式方向纵联保护，功率方向为负的一侧发闭锁信号，跳闸条件是本 端保护元件动作，同时无闭锁信号。1保护本端元件动作，但有闭锁信号，故不 动作；2保护本端元件不动作，收到本端闭锁信号，故不动作；3保护本端元件 动作，无闭锁信号，故动作；4保护本端元件动作，无闭锁信号，故动作；5保 护本端元件不动作，收到本端闭锁信号，故不动作；6保护本端元件动作，但有 闭锁信号，故不动作。 4.10 图4—30所示系统，线路全部配置闭锁式方向比较纵联保护，在K点短路 时，若A—B和B—C线路通道同时故障，保护将会出现何种情况？靠什么保护 动作切除故障？
第七章非线性方程求根 一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程 ()0f x = (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为 函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为 ()(*)()m f x x x g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法 设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在 (a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001 ()2x a b =+和0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若 00()()0 f a f x <,则令 10,10 a a b x ==,得新的有根区间 11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001()2b a b a -=-.再令1111 ()2x a b =+计算1()f x ,同上法得 出新的有根区间22[,] a b ,如此反复进行,可得一有根区间套 1100...[,][,]...[,] n n n n a b a b a b --????
第4章违背基本假设的情况 思考与练习参考答案 4.1 试举例说明产生异方差的原因。 答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Y i=β0+β1X i+εi 其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。 由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。 例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Y i=A iβ1K iβ2L iβ3eεi 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 4.2 异方差带来的后果有哪些？ 答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 2、变量的显著性检验失去意义 3、回归方程的应用效果极不理想 总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差
的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。 加权最小二乘法的方法： 4.4简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的类似。多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββ （2） 加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值pw w w βββ?,,?,?10 使式（2）的离差平方和w Q 达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做 22011 1 ???()()N N w i i i i i i i i Q w y y w y x ββ===-=--∑∑22 __ 1 _ 2 _ _ 02 222 ()() ?()?1 11 1 ,i i N w i i i w i w i w w w w w kx i i i i m i i i m i w x x y y x x y x w kx x kx w x σβββσσ==---=-= = ===∑∑1N i =1 1表示=或
第六章 习 题 1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。 （1）1101A ???=????，（2）312020116A ????=??????? . 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组 1231231 238322041133631236x x x x x x x x x ?+=??+?=??++=? 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。 3. 用Gauss-Seidel 迭代求解 12312312 35163621122x x x x x x x x x ??=??++=???+=?? 以(0)(1,1,1)T x =?为初值，当(1)() 310k k x x +?∞?<时，迭代终止。 4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=?? +=? （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。 （2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件. 5. 设有系数矩阵 122111221A ?????=?????? ， 211111112B ?????=??????? ， 证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛. （2）对于矩阵B ，. 6. 讨论方程组 112233302021212x b x b x b ?????????????=??????????????????? 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快.