第20讲 概率(二)
本节主要内容有：几何概型，期望．各种概率问题选讲
概率的基本知识．
1.随机变量：随机变量x 是样本空间I 上的函数，即对样本空间I 中的每一个样本点e ，有一个确定的实数X(e)与e 对应，X=X(e)称为随机变量．
2.数学期望：设X 是随机变量，则E(x)=
e I
??
X(e)P(e)
称为X 的数学期望．其中e 跑遍样本空间I 的所有样本点，P(e)是e 的概率． 如果a 是常数，那么E(a X)=a E(X)．
如果X 、Y 是两个随机变量，那么E(X+Y)=E(X)+E(y)．
A 类例题
例1 (2004年福建理科卷)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． （1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
分析 利用随机事件的概率公式确定概率分布列，利用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式解决此类问题 ．
解 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×
301＋1×103＋2×21＋3×61=5
9． （2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P(A)=3
10361426C C C C +=1202060+=32，P(B)=3103
81228C C C C +=1205656+=15
14． 因为事件A 、B 相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为：P(B A ?)=P(A )P(B )=1－
32)(1－1514
)=451． ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为：P=1－P(B A ?)=1－451=45
44
．
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45
44
．
例2.(2004年全国高考湖北卷)某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0．3，一旦发生，将造成400万元的损失． 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用． 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0．9和0．85． 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少． （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值．） 分析 优选决策型概率问题是指通过概率统计来判断实施方案的优劣的问题．这类问题解决的关键是要分清
各方案实施的区别，处理好概率与统计的综合．此部分内容实际意义较浓，所以解决这类问题必须密切联系生活实际，才能从中抽象出一些切合实际的数学模型．
解 ①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0．3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0．9=0．1， 损失期望值为400×0．1=40（万元）， 所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0．85=0．15， 损失期望值为400×0．15=60（万元）， 所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元）， 发生突发事件的概率为（1－0．9）（1－0．85）=0．015， 损失期望值为400×0．015=6（万元）， 所以总费用为75+6=81（万元）．
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．
情景再现
1.(2004年全国理Ⅲ) 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0．8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率．
2．(2004年全国高考湖北文史卷) 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供
采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费用如下表：
确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.
B 类例题
例3（2003年全国高考辽宁、天津理科卷）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3 ．按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场, 每场胜队得1分, 负队得0分．设A 队、B 队最后总分分别为 ξ、η． (Ⅰ) 求 ξ、η 的概率分布； (Ⅱ) 求E ξ、E η．
分析 本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力． 解 (Ⅰ) ξ、η 的可能取值分别为3, 2, 1, 0.
P (ξ = 3) =75
8525232=?? （即A 队连胜3场）
P (ξ = 2) =75
28525231525332535232=??+??+?? （即A 队共胜2场）
P (ξ = 1) =5
27530525331535231535332==??+??+?? （即A 队恰胜1场）
P (ξ = 0) =253759535331==?? （即A 队连负3场）
根据题意知 ξ + η = 3，所以
P (η = 0) = P (ξ = 3) = 8
75， P (η = 1) = P (ξ = 2) = 28
75， P (η = 2) = P (ξ = 1) = 2 5，
P (η = 3) = P (ξ = 0) = 3 25.
(Ⅱ) E ξ =15222535275287580123=?+?+?+? ；
因为ξ + η = 3， 所以E η = 3 – E ξ =15
23．
例4 (2005年全国高考辽宁卷) 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有Ａ、Ｂ两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为Ａ级时，产品为一等品，其余均为二等品． （1）已知甲、乙两种产品每一道工序的
加工结果为Ａ级的概率如表一所示，分别求生 产出的甲、乙产品为一等品的概率Ｐ甲、Ｐ乙；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、
η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（Ⅰ）
的条件下，求ξ、η的分布列及ξE 、ηE ；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资 金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资 金60万，设x 、y 分别表示生产甲、乙产品 的数量，在（2）的条件下，x 、y 为何值时
ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？
（解答时须给出图示）
分析 本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力． 解（1）.6.08.075.0,68.085.08.0=?=?=乙甲P P
（2）随机变量ξ、η的分别列是
,2.432.05.268.05=?+?=ξE .1.24.05.16.05.2=?+?=ηE
（3）由题设知?????
?
?≥≥≤+≤+.
0,0,4028,60105y x y x y x
目标函数为.1.22.4y x yE xE z +=+=ηξ作出可行域（如图）
作直线:l ,01.22.4=+y x
将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上 的点M 点与原点距离最大，此时y x z 1.22.4+=
取最大值． 解方程组???=+=+.
4028,
60105y x y x
得.4,4==y x 即4,4==y x 时，z 取最大值，
z 的最大值为25．2 ．
说明 线性规划与概率都是新课程中增加的内容, 概率与线性规划牵手，给人耳目一新的感觉，这种概率与其他的交汇使概率内容平添了新的灵气，焕发出新的活力．
例5 街道旁边有一游戏:在铺满边长为9cm 的正方形塑料板的宽广地而上,掷一枚半径为1 cm 的小圆板.规则如下:每掷一次交5角钱.若小圆板压在边上.可重掷一次;若掷在正方形内.须再交5角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点从上.可获得一元钱.试问: (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少? (2)小圆板压在塑料板顶点从上的概率是多少?
分析 小圆板中心用O 表示,考察O 落在BCD 的哪个范围时,能使 圆板与塑料板A BCF 的边相交接,又O 落在哪个范围时能使圆板 与A B CD 的顶点从相交接.
解 (1)因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，圆板 与正方形塑料ABCD 的边相交接是在圆板的中心O 到与它靠 近的边的距离不超过1时，而它与正方形相接触的边对于一个 正方形来说是一边或两边.所以O 落在图1阴影部分时,小圆板 就能与塑料板A BCD 边相交,这个范围面积等于92－72=32,因此 所求概率是3292=32
81
.
(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O 与正方形的顶点从的距离不超过圆板的半径1时，如图2阴影部分，四块合起来而积为π, 故所求概率是π
81.
例6(1)一次数学测验，由20个选择题构成，每个选择题有4个选择项，其中有且仅有一个是正确的.若某学生在测验中对每题都从4个选项中随机地选择1个，求该生在这次测验中答对多少个题的概率最大? (2)将一枚骰子任意地抛掷500次，问一点出现多少次的概率最大? 解 (1)设该生在测验中，答对题的个数为ξ，由题意知，ξ服从二项分布，即ξ～B(20,1
4)
所以E ξ=np =20×1
4
=5(恰为整数)
故该生在这次测验中答对5个题的概率最大.
(2)设ξ表示将一骰子抛掷500次一点出现的次数，由题意知ξ服从二项分布，即ξ～B(500, 1
6)，
则E ξ=np=500×16=831
3. 所以出现次数概率最大的ξ取值可能是83或8
4.
比较p(ξ=83)与p(ξ=84)得P(ξ=83)>P(ξ=84).因此一点出现83次的概率最大.
情景再现
3．(2005年全国高考湖南卷)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是
0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
（1）求ξ的分布及数学期望；
（2）记“函数f (x )＝x 2－3ξx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.
4．(2002年安徽省高中数学竞赛题)甲乙两人相约10天之内在某地会面.约定先到的人等候另一个人经过3天以后方可离开.若他们在限期内到达目的地是等可能的.则此两人会面的概率为 .
C 类例题
例7 已知圆O ，任作它的三条切线．圆O 是这三条切线所成三角形的内切圆与是傍切圆的概率的比为1
3．
解 设PA 、PB 为两条切线，切点为A ，B ．它们的对径点分别为A '，B '． 当且仅当切点在 ⌒
A'B'上，第三条切线与PA ，PB 组成的三角形以⊙O 为内切圆． 于是，设⌒
AB 的弧度数为α，则若第三个切点在 一个弧度数为α的弧上，⊙O 是内切圆．而在一个 弧度数为2π－α的弧上，⊙O 是傍切圆．
在⌒
AB 的弧度数为π－α时，若第三个切点在一个弧度数为π－α的弧上， ⊙O 是内切圆．而在一个弧度数为2π－(π－α)=π＋α的弧上，⊙O 是傍切圆． 将这两种情况合在一起，即得使⊙O 为内切圆的切点所在弧为α＋(π－α)=π， 而使⊙O 为傍切圆的切点所在弧为(2π－α)+(π＋α)=3π,两者之比为1
3,
对每一一对弧均是如此．所以概率之比为1
3
例8 在长为a+b+c 的线段上，随意量出长为a ，b 的两段．
求证：(1)这两段没有公共点的概率为c 2
(c+a )(c+b )
(2)这两段的公共部分不超过d 的概率为(c+d )2
(c+a )(c+b )
(d ＜a ,b )
解 如图(1)，(2)，设一段为CD=a ，一段为EF=b ，而AC=x ，AE=y ，则0＜x ＜b+c ，0＜y ＜a+c ．
(1)两段没有公共点，则y ＞a+x 或x ＞y+b ．它们构成图(3)中的阴影部分， 这两个三角形的面积和为c 2
，所述概率为c 2
(c+a )(c+b )
(2)两段的公共部分不超过d ，则y+d ＞a+x 或x+d ＞y+b ． 则它们构成图(4)中的阴影部分，所述概率为(c+d )2(c+a )(c+b )
情景再现
5． 某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如下图（例如，A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为
101，路段CD 发生堵车事件的概率为15
1）． （1）请你为其选择一条由A 到B 的路线，便得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记路线A →C →F →B 中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E ξ． 6．在一条长为a +b 的线段上，随机量出长为a 、b 的两段．
证明这两段的公共部分不超过c 的概率为c 2
ab (c ＜a ，b )，而较短的一段(长为b )完全落在较长的一段(长为a )
内的概率是a －b
a ．
习题20
A
类题
1. 事件A 出现的概率是
34,事件B 出现的概率是2
3
.设p 是A 和B 同时出现的概率. 那么包含p 的区间是 A 、
11,122??????. B 、51,122??????. C 、12,23??????. D 、52,123??
????
.
2. 设P 在［0,5］上随机地取值，则方程x 2+px +
2
1
4+p =0有实根的概率为 . 3. 一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（ ） A ．1 B ． n C ．
21+n D ． 2
1
-n 4. (2005年全国高考江西理科卷)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数. （1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.
5. (2005年全国高考北京卷)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2
1
，乙每次击中目标的概率为.3
2
（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ；
（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率； （Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
6. 对三种型号的计算器进行质量检验，它们出现故障的概率分别是0．1、0．2、0．15，检验时，每种计算器选取一台，设ξ表示出现故障的计算器的台数． （I ）求ξ的概率分布；（II ）求E ξ．
B 类题
7. (2005年全国高考广东卷)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数． （Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望．
8. (2005年全国高考重庆理科卷)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：
（Ⅰ）该顾客中奖的概率；
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .
9. 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内利润期望.
10. 某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km 时，租车费为6
元，若行驶路程过3km ，则按每超出1km （不足1km 也按1km 计程）收费3元计费． 设
出租车一天行驶的路程数ξ（按整km 数计算，不足1km 的自动计为1km ）是一个随机
变量，则其收费数η也是一个随机变量．已知一个司机在某个月中每次出车都超过了
3km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它们出
现的概率依次是0．12、0．18、0．20、0．20、100a2＋3a、4a．
（1）求作这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差；
（2）求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差．
C类题
11.一副纸牌共N张，其中有三张A. 现随机地洗牌，然后从顶上开始一张接一张地翻牌，直翻到第二张A出现为止．求证：翻过的牌数的数学期望是N+1
2
．
12.n(n+1)
2不同的数排列成一个三角形
☆
☆☆
☆☆☆
…
☆☆☆…☆☆
设M k是从上往下第k行中最大数,求M k是M1＜M2＜…＜M n是的概率. 本节“情景再现”解答：
1.（1）ξ的可能值为－300，－100，100，300．
P（ξ=－300）=0．23=0．008，P（ξ=－100）=3×0．22×0．8=0．096，
P（ξ=100）=3×0．2×0．82=0．384，P（ξ=300）=0．83=0．512，
所以ξ的概率分布为
根据ξ的概率分布，可得ξ的期望
Eξ=（－300）×0．08＋（－100）×0．096＋100×0．384＋300×0．512=180．
（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）=0．384＋0．512=0．896．
2.方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.
方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为
1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.
方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为
1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.
综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使
此突发事件不发生的概率最大. 3.（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5， P （A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取 值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.
P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+ P （321A A A ??）
= P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （)()()321A P A P A ） =2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P （ξ=1）=1－0.24=0.76. 所以ξ的分布列为
E ξ=1×0.76+3×0.24=1.48.
（2）解法一 因为,4
9
1)23()(22ξξ-+-
=x x f 所以函数),2
3[13)(2
+∞+-=ξξ在区间x x x f 上单调递增，
要使),2[)(+∞在x f 上单调递增，当且仅当.3
4
,223≤≤ξξ即
从而.76.0)1()3
4
()(===≤=ξξP P A P
解法二：ξ的可能取值为1，3.
当ξ=1时，函数),2[13)(2+∞+-=在区间x x x f 上单调递增， 当ξ=3时，函数),2[19)(2+∞+-=在区间x x x f 上不单调递增.0
所以.76.0)1()(===ξP A P
4. 解 设甲乙两人分别在第x,y 天到达某地.0≤x ≤10,0≤y ≤10.他们会而的充要条件是｜x －y ｜≤3.则点(x,y)分布在如图正方形OABC 内,其基木事件S 为介于两直线x －y= ±3之间的阴影内.故所求概率p=100－(10－3)2100=51100
5. (1)记路段MN 发生堵车事件为MN ．
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A →C →D →B
中遇到堵车的概率P 1为1－P （AC ·CD ·DB ）= 1－P （AC ）·P （CD ）·P （DB ） = 1－[1－P （AC ）][1－P （CD ）[1－P （DB ）]
=1－
109·1514·65 =10
3
同理：路线A →C →F →B 中遇到堵车的概率为P 2为 1－P （AC ·CF ·FB ）=
800
239（小于103
）
路线A →E →F →B 中遇到堵车的概率P 3 为
1－P （AE ·
EF ·FB ）=300
91（小于103
）
显然要使得由A 到B 的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线
A →C →F →
B ，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
（2）路线A →C →F →B 中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．
P （ξ=0）= P （AC ·
CF ·FB ）=800
561
． P （ξ=1）= P （AC ·CF ·FB ）＋P(AC ·CF·FB )＋P(AC ·CF ·FB)
=
101·2017·1211＋109·203·1211＋109·2017·121=2400
637
， P （ξ=2）=P （AC ·CF ·FB ）＋P （AC ·CF ·FB ）＋P （AC ·CF ·FB ） =
101·203·1211＋101·2017·121＋109·203·121=2400
77 P （ξ=3）=P （AC ·CF ·FB ）=101·203·121=2400
3
∴E ξ= 0 ×
3
1
240033240077224006371800561=?+?+?+． 答：路线A →C →F →B 中遇到堵车次数的数学期望为
3
1
． 6. 如图(1)，(2)，设一段为CD=a ，一段为EF=b ，而AC=x ， AE=y ，则0≤x ≤b ，0≤y ≤a ． (1)公共部分不超过c ，即 x+a －y ＜c 或y+b －x ＜c
它们构成图(3)中的两个三角形．面积的和为c 2
．所以所述概率为c 2
ab
(2)较短的一条完全落在较长的一条内，即x ＜y 并且a －y ＞b －x 它们构成图(4)中的平行四边形．面积与长方形的比为a －b
a
,
即所述概率为a －b
a
. 本节“习题20”解答：
1. 选D. 设P(E) 表示事件E 出现的概率.由公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B) －P(A ∩B), ∴p= P(A ∩B)= P(A)+P(B) －P(A ∪B) =
3243+－P(A ∪B), 其中1≥P(A ∪B) ≥max {P(A),P(B)}=34
.
因而
3243+－1≤p ≤3243+－34,即 5
12
≤p ≤23. 2. 一元二次方程有实数根?Δ≥0而Δ=P 2－4(2
1
4+P )=P 2－P －2=(P +1)(P －2),
解得P ≤－1或P ≥2, 故所求概率为P =
5
3
]5,0[)},2[]1,{(]5.0[=+∞--∞的长度的长度
3. C 提示：当n =2时，打开柜门需要的次数为
23，故答案为C 或已知每一位学生打开柜门的概率为n 1，所以打开柜门次数的平均数（即数学期望）为2
1
11211+=?++?+?n n n n n ，故答案为C
4. （1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则??
?
??≤≤=+=-915
||ξξn m n m ，可得：
.
9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m
（2）;64
5)21(2)7(;161322)21(2)5(7
155=====
?==C P P ξξ .
32275
6455964571615;64
55
6451611)9(=?+?+?==--
==ξξE P
5. （I ）
03313(();28P C ξ=0)== 13
313(1();
28P C ξ=)==
23313(2();28P C ξ=)== 33
313(3();
28P C ξ=)==
ξ的概率分布如下表：
1331
0. 1. 2. 3. 1.5(8888
E ξ=+++=或13. 1.5.)2E ξ==
（II ）乙至多击中目标2次的概率为33
32191().327
C -=
（III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A,甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次
为事件1B ,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件2B ,则12.A B B =+
12,B B 为互斥事件.
1231121
()()() (8278924)
P A P B P B =+=+=
所以,甲恰好比乙多击中目标2次的概率为1
24
.
6. 设三台计算器出现故障的事件分别为A 、B 、C ，则A 、B 、C 相互独立
（I ）由已知P A P B P C ().().().===01
02015，， P A P B P C ().().().===0908085，， 于是，P P A B C P A P B P C ()()()()()ξ===0，，··
=??=0908085
0612
....
()P P A B C P A B C P A B C ξ==++1()()()······
=??+??+??=++=0108085090208509080150068015301080329
.........
....
()P P A B C P A B C P A B C ξ==++2()()()······
=??+??+??=++=0102085090201501080150017002700120056
.........
....
()P P A B C P A P B P C ξ===3()()()().... =??0102015 (0003)
（II ）E ξ=?+?+?+?00612103292005630003....
=++032901120009... =045. 7. (I)ξ的分布列为
(II) ξ的数学期望为：
2123012...(1)()()()()n n
n n
s st st st t E n n s t s t s t s t s t ξ-=?+?+?++-?+?+++++…(1) 231134112(2)(1)...()()()()()n n n n n n t st st n st n st nt E s t s t s t s t s t s t ξ-+++--=+++++++++++…(2) (1)－(2)得：11(1)(1)()()()n n n
n n n t nt n t n t E s s s t s t s s t ξ+---=--++++.
8. 解法一：（Ⅰ）32
45151210
26=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.
（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.
.151
)60(,152
)50(,151)20(,52
)10(,31)0(2
10
1
3112
101
611210232
101
61321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且
故ξ有分布列：
从而期望.1615
1
6015250151205210310=?+?+?+?+?
=ξE 解法二：（Ⅰ）,32
4530)(2
10
241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一 由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.
9. 以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X －B (5，0.2)，于是X 有概率分布P (X =k )=C k
50.2k 0.85
－
k
,k =0,1,2,3,4,5. 以Y 表示一周内所获利润，则Y =g (X )=??
?
??
??≥-===3 22 01 50
10X X X X 若若若若
Y 的概率分布为：P (Y =10)=P (X =0)=0.85=0.328 . P (Y =5)=P (X =1)=C 150.2·0.84
=0.410
P (Y =0)=P (X =2)=C 2
5·0.22·0.83=0.205. P (Y =－2)=P (X ≥3)=1－P (X =0)－P (X =1)－P (X =2)=0.057. 故一周内的期
望利润为：EY =10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(万元)
10. （1）由概率分布的性质2有，0．12＋0．18＋0．20＋0．20＋100a 2＋3a ＋4a =1，3.071002=+∴a a
03100,03.0),(10
1
,1003,0370100022=+∴=-==
=-+∴a a a a a a a 即舍去或 18，4a =0．12，ξ∴的分布列为
)
(km
;96412.05018.03020.01020.01018.03012.050222222=?+?+?+?+?+?=ξD
（2）由已知7473250333)33(),,3(33=-?=-=-=∴∈>-=ξξηξξξηE E E Z (元)
.86763)33(2==-=ξξηD D D
11. 对于每种翻过的牌数为k 的情况，如果将牌序倒过来，即倒数第一张成为最上面的第一张，倒数第二张
成为第二张，…，第一张成为最后一张，那么就得出一种翻过的牌数为N+1－k 的情况，反之亦然．因此，将这些情况两两配对(翻过的牌数为N +12的情况不必配对)，平均张数为N +12．因此，所述数学期望为N +1
2.
12.设所求的概率为Pn, P 1=1, P 2=23, 设P k = 2k (k +1)！
,则对n=k+1,最大的数第k+1行的概率为k +1(k +1)(k +2)2 = 2
k +2
因此P k+1,= 2k +2P k =2k+1(k +2)！,所以对所有n P n = 2n
(n +1)！
.
第一章 随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4）A 、B 、C 都不发生； （5）A 、B 、C 不都发生； （6）A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B B C A C A B B C C A 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年 级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？ （2）在什么条件下ABC =C 成立？ （3）在什么条件下关系式C B ?是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？ 解 所求的事件表示如下 （1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员.
第2讲 概率、随机变量及其分布 考情解读 1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n 次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题． 1．随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率 P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数. (3)几何概型的概率 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . 2．条件概率 在A 发生的条件下B 发生的概率： P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) . 3．相互独立事件同时发生的概率 P (AB )＝P (A )P (B )． 4．独立重复试验 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为 P n (k )＝C k n p k (1－p ) n － k ，k ＝0,1,2，…，n . 5．超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝ 0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n . 6．离散型随机变量的分布列
第十讲 Ch.2 随机变量及其分布 §2.4 常用离散型分布 Remark 讨论常用分布的目的及常用分布的类型 §2.4§2.5???常用离散型分布（中讨论)常用分布常用连续型分布（中讨论） 2.4.1 二项分布(以n 重伯努利试验为背景的分布) 1. 二项分布的定义与记号 记 =X “n 重伯努利试验中A 发生(即‘成功’)的次数”， 则X 为离散型..V R ，其可能值为n ,,2,1,0???.且由事件的独立性可得 n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(???=-==-. 其中)(A P p =,满足10<
☆检查不合格品率为p 的一批产品中的10件，其中不合格品数~X b ),10(p ； ☆随机调查色盲率为p 的任意50个人中的色盲人数 ~Y b ),50(p ； ☆命中率为p 的射手5次射击中命中次数~Z b ),5(p . 2. 利用二项分布的分布列计算概率 例2.4.1 (题目叙述没有区分患者与健康者！换讲 .101.P 习题的第2题) 一条自动化生产线上产品一级品率为0.8，检查5件，求至少有2件一级品的概率. 解 记 X =“抽检5件产品中一级品的件数”， 则依题意可知~X b )8.0,5(，于是 (P 抽检5件中至少有2件是一级品) ()()()() ()() 5 4 11 5 5 21210110.810.80.810.80.99328 P X P X P X P X C C =≥=-<=-=-==-??--??-= 例 2.4.2 已知~X b ),2(p ，~Y b ),3(p ，若 ()5 19 P X ≥= ，求()1P Y ≥.
概率统计（二） 1．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()1 98 P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为 2.网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)： （1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人； （2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12 ，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k 到 2k +） ，直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第(119)n n ≤≤格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值. 附：在线性回归方程???y bx a =+中，1 22 1???,n i i i n i i x y nx y b a y b x x nx ==-==--∑∑. 3.湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城.
两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e
P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以:
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3, k =,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次 出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3, k =. 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 【 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . ！
第二讲概率 1．事件的相关概念 2．事件的关系与运算 定义符号表示包含如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B B?A
3. (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． 例1．(2019·山东曲阜检测)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与都是红球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球 【答案】D [对于A ，事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，∴A 不正确；对于B ，事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴B 不正确；对于C ，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正确；对于D ，事件：“恰有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴D 正确．] 4．概率和频率 (1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n 为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )． 5. (1)概率与频率的关系
概率统计模拟题 2 一、 填空题： .____2 1 )1,0(.1的概率为两数之差小于中随机地取两个数，则在区间 .________),()(),2,6(~.22=<=≥k k X P k X P N X 则常数且设 . __________)1(_________,)(,0, 00 ,1)(.32=≤=???≤>-=-X P x f X x x e x F X x 的密度函数则 的分布函数为设 . __________),,0(.42==+=ξηρηξσ的相关系数－和 则分布相互独立且都服从正态和设随机变量bY aX bY aX N Y X 当___________________,==βα时，X 和Y 相互独立。 二、 选择题： 23 ,21)(23,21)(32 ,32)(52,53)(_________ )()()(.)()(.1212121- ===-== =-==-=b a D b a C b a B b a A x bF x aF x F X X x F x F 布函数，则也是某一随机变量的分若的分布函数与分别为随机变量与设 2 12 121212122)()()()(____ __________}3{},2{)3,(),2,(~.2p p D p p C p p B p p A Y P p X P p N Y N X =><=-≤=+≥==的个别值，有对，有对任意实数，有对任意实数，有对任意实数则， ，记设随机变量μμμμμμμμ9 .18)D (2 .15)C (8.14)B (6.12)A (__ __________)2(4.0,10(~),3.0,10(~,.32=-Y X E B Y B X Y X ），则 相互独立，且设随机变量 3 )(5 1 )D () 53 ()C () (5)B () 35()A (______)(35)(.4++-=y F y F y F y F y F X Y x F X X X X X Y X 为的分布函数－，则的分布函数为已知随机变量
第二章 作业题解: 2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式. 解： 由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。 并且，361)12()2(= ===X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 36 5)8()6(= ===X P X P ；366)7(==X P 。 即 36 | 7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据 1)(0 ==∑∞=k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率： (1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则 12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=???=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为： 2016 .06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=????=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124 .00784.02016.00324.0=++
0 1 -1 10.3 0.3 0.3 概率论与数理统计练习（二） 一、填空题 1、A、B是两个随机事件，已知，则 (1) 若互斥，则 ; (2) 若独立,则 ; (3) 若,则 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只， (1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再 取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： . 3、设随机变量X服从泊松分布，则 . 4、设随机变量X服从B（2，0. 8）的二项分布,则___ , Y服从B（8，0. 8）的二项分布, 且X与Y相互独立，则=____，_ 。 5 设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（75，25），则该学校学生的及格率为 __ ，成绩超过85分的学生占比为 __。 其中标准正态分布函数值. 6、设二维随机向量的分布律是有 则__，的数学期望_________，的相关系数 _______。 7、设及分别是总体的容量为16，8的两个独立样本，分别为样本均值， 分别为样本方差。 则：， __，= ， ____，。 此题中 8、设是总体的样本，下列的统计量中，__ 是的无偏统计量，的无偏统计量中统计量最有效。
A. B. C. D. 9. 设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布,为总体的样本，的矩估计量为____，160，168，152，153，159，167，161为样本观测值，则的矩估计值为 10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指：____,也称为_____错误。 二、已知随机变量X的密度函数 求：（1）常数，（2）（3）X的分布函数F（X）。 三、设随机变量X，Y的概率密度分别为： ，且随机变量X，Y相互独立。 （1）求（X，Y）的联合概率密度为： （2）计算概率值。 (3)求概率密度 四、从总体~中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本方差分别是：， 求u的置信度为0.95的置信区间和的置信度为0.95的置信区间。 五、设总体X服从均匀分布,是X的一个样本，求的矩估计量 六、某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布,该校校长声称学生平均成绩为70分，现抽取16名学生的成绩，得平均分为68分，标准差为3分，请在显著水平下，检验该校长的断言是否正确。（此题中）七、设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似服从正态分布,现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过10克, 现检验了一组16只数显称重器,得标准差12克，试检验制造商的言是否正确（取），此题中。 八、某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知，提示用中心极限定理）
事件类型 定义 概率 确定事件 必然事件 一定会发生的事件 1 不可能事件 一定不会发生的事件 0 随机事件 可能发生也有可能不发生 0~1 2、求概率的方法： ①一般的，如果在一次实验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为n m A P ）（ ②几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A ，然后计算阴影区域的面积在总面积中所占的比例，这个比例即事件A 发生的概率 3、运用列表法或画树状图法求概率的一般步骤： ①把所有可能发生的实验结果一一列举出来（用表格或者树状图的形式） ②把所求事件可能发生的结果都找出来 ③代入概率的计算公式 【方法技巧】 第二节 概率 【知识梳理】
4、判断游戏公平的步骤： ①画出树状图 ②根据概率公式求出事件的概率 ③比较是否相等，相等就公平，否则就不公平 【考点突破】 考点1、概率 例1、转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（） A．B．C．D． 变式1、如图是一个可以自由转动的转盘，转动这个转盘后，转出（）色的可能性最小． A．红B．黄C．绿D．不确定 变式2、布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，下列判断正确的是（） A．摸出的球一定是白球B．摸出的球一定是黑球 C．摸出的球是白球的可能性大 D．摸出的球是黑球的可能性大 例2、如图，有5张扑克牌，从中随机抽取一张牌，点数是偶数的可能性大小是（） A．B．C．D． 变式1、一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是（）
第2讲 概 率 [做真题] 1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23 B.35 C.25 D.15 3.(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14 B.π8 C.12 D.π4 4.(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B.14 C.13 D.12 5.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( ) A.p 1＝p 2 B.p 1＝p 3 C.p 2＝p 3 D.p 1＝p 2＋p 3 6.(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
概率及其意义 1. 在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是( ) A ．甲组 B ．乙组 C ．丙组 D ．丁组 2. 从2，0，π， 3.14,6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率为( ) A.15 B ．25 C.35 D ．45 3. 某事件的概率为15 ，则下列说法不正确的是( ) A ．每做5次实验，该事件就发生1次 B ．无数次实验中，该事件平均每5次会出现1次 C ．逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和15 逐渐接近 D ．无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在15 左右 4. 一个不透明的布袋里装有5个红球、2个白球、3个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意找出1个球，是黄球的概率为( ) A.12 B ．15 C.310 D ．710 5．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外部相同，其中有5个黄球，4个 蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为13 ，则随机摸出一个红球的概率为( ) A.14 B ．13 C.512 D ．12 6. 某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是( ) A ．购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格 B ．购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格 C ．即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格 D ．购买20个该品牌的电插座，一定都合格 7．九一(1)班在参加学校4×100m 接力赛时，安排了甲，乙，丙，丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为( ) A ．1 B ．12 C.13 D ．14 8. 在一个不透明的袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是( ) A.13 B ．35 C.38 D ．58 9．在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其它均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是( ) A.17 B ．37 C.47 D ．57 10．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号1,2,3,4,5，随机摸出一个小球，
1. 已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??? ，求系数A= ， X 的密度函数()x ?= ，概率{00.25}P X ≤≤= ； 4. 设连续型随机变量X 的密度函数为： 1(1),11()20, x x x ??+-≤≤?=???其它 求：1）{||0.5}P X <； 2）21Y X =-的密度函数()Y y ? 5.设在测量某产品的规格尺寸中，其测量误差2~(0,10)X N ，求在100次重复测量中至少有2次测量误差绝对值大于19.6的概率。（注：(1.96)0.975Φ=） 6. 设连续型随机变量X 的密度函数为???=0 )(2 Ax x ? []其它2,0∈x ，求: (1)常数A (2)X 的分布函数)(x F ； (3){||1}P X <； (4)2Y X =的密度函数)(y Y ? 7. 设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X 表 示取出的3件产品中的次品件数，则X 的分布律为 。 8．设连续型随机变量X 的分布函数为 ()arctan(),F x A B x x R =+∈
则(,)A B = ，X 的密度函数()x ?= 。 9.设随机变量~[2,2]X U -，则随机变量112 Y X =+的密度函数()Y y ?= 。 10. 设随机变量X 的概率密度,01()0,k bx x x ??<<=?? 其它，0,0b k >>其中，且1{}0.752 P X >=，则k = ；b = 。 11.．设随机变量X 的概率密度为： 2(2)4()x x ?--= 则Y=f (X)= 服从分布N(0, 1)； 12设离散型随机变量X 的分布律为：,...)2,1,0(! 3)(===k k a k X P k ，则a =_______，=≤)1(X P 13、若连续型随机变量X 的分布函数为???????>≤<-+-≤=3,133,3arcsin 3,0)(x x x B A x x F 则常数=A ，=B ，密度函数=)(x ? ;. 14. 设随机变量X 的密度为 34,01()0,x x x ??<<=??其它，则使{}{}P X a P X a >=<成立的常数a = ；{0.5 1.5}P X <<= ； 15. 设2~(,)X N a σ，则3 2X Y -=服从的分布为 。 16.设连续型随机变量X 的密度为： ,0()0, 0x ce x x x ?-?>=?≤? （1）求常数c ； （2）求分布函数()F x ； （3）求21Y X =+的密度()Y y ? 17.设随机变量2~(,)X N a σ，则(0,Y cX b c b =+≠是常数）的概率密度函数为()Y y ?= 18. 设每年袭击某地的台风次数~()X P λ，且{1}{2}P X P X ===， 则
《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()= 1 3 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ
答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,,,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2 n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - C 、 2 22 1 ~(1)n n S X n σ-- D ~(1)n t n - 答案：B 9、容量为n =1的样本1X 来自总体~(1,)X B p ，其中参数01p <<，则下述结论正
必修3 第2讲概率（专题测试） 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题） 1．（2020?甘肃模拟）某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（） A．20B．16C．14D．12 2．（2020?辽阳一模）将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行）， 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 则抽取的第11个个体是（） A．38B．13C．42D．02 3．（2020?闵行区二模）某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（）A．45B．46C．47D．48 4．（2020?重庆模拟）在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如图，测试成绩的分组为[10，30），[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是（）
第三章 数字特征 一、选择题 1. 随机变量X 服从二项分布) 2.0,10(B ，则（ ） A ．==DX EX 2 B ．==DX EX 6.1 C ．=EX 2，=DX 6.1 D ．=EX 6.1，=DX 2 2. X 可取无穷多个值 ,2,1,0，其概率分布为普阿松分布)3(P ，则（ ） A ．DX EX ==3 B ．DX EX == 31 C ．EX =3，DX =31 D ．EX =31，DX =9 1 3. 随机向量),(Y X 有25,36==DY DX ,协方差12=XY σ，则)()(=-Y X D A ．1 B ．37 C ．61 D ．85 4. 设X~B(10, 3 1 ), 则=)X (E )X (D （ ） A.31 B.32 C.1 D. 3 10 5．已知随机变量X 的分布函数为F(x)=? ??>--.0; 0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为 （ ） A.E(X)=2, D(X)=4 B.E(X)=4, D(x)=2 C.E(X)= 41,D(X)=21 D.E(X)=21, D(X)=4 1 6 则E （XY ）=（ ） A ．9 1- B ．0 C ． 91 D ．3 1 7．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（ ） A ．- 2 B ．0 C ．2 1 D ．2
8．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21 )，则E(X-Y)= （ ） A ．2 5- B ． 21 C ．2 D ．5 9．设二维随机变量(X ，Y )的协方差Cov(X ，Y )=6 1 ，且D (X )=4，D (Y )=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ ） A ．2161 B ． 36 1 C ． 6 1 D ．1 二、填空题 1. 设X 服从二项分布),(p n B ，则=-)12(X D 2. 总体X 服从)2,2(2 N ，则=2 EX 3．设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则=)(XY E 4．设随机变量X ，则)(2X E = 5.设随机变量X 在区间[-1，2]上服从均匀分布。随机变量?? ? ??<-=>=,0,1,0,0, 0,1X X X Y 则=)(Y D 6．设随机变量X 与Y 相互独立，且0)(,0)(>>Y D X D ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ 7．设随机变量X 与Y 相互独立，且0)(,0)(>>Y D X D ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ
习题1 2. 设,,A B C 都是事件,试通过对,,,,,A B C A B C 中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件: 1) ,,A B C 中仅有A 发生. 2) ,,A B C 中至少有两个发生. 3) ,,A B C 中至多两个发生. 4) ,,A B C 中恰有两个发生. 5) ,,A B C 中至多有一个发生. 答案 1) ABC ; 2) AB AC BC ; 3) A B C (或ABC ); 4) ABC ABC ABC ; 5) ABC ABC ABC ABC . 3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率: A =“三次都是红的”, B =“三次颜色全同”, C =“三次颜色全不同”, D =“三次颜色不全同”, E =“三次中无红”, F =“三次中无红或无黄”. 解 每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有3464=种可能，因此样本空间含有64个样本点。 每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有328=种可能，因此事件A 含有8个样本点。 3次抽球都抽到紅球共有328=种可能，3次抽球都抽到黄球共有311=种可能，3次抽球都抽到白球共有311=种可能，因此事件B 含有81110++=个样本点。 3种颜色的排列有3 33!6A ==种，对应于每一种排列，抽到的球有2112??=种可能， 因此事件C 含有6212?=个样本点。 因为事件B 含有10个样本点，故事件D B =含有641054-=个样本点。 每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有328=种可能，因此事件E 含有8个样本点。 3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有3327=中可能，3次都抽不到红球和黄球有311=中可能，因此事件F 含有827134+-=个样本点。
一．问答题（共4题，每题5分，共计20分） 1．试写出概率的古典定义. 概率的古典定义：设随机试验为古典概型，它的样本空间，即共有n个样本点，事 件A由其中m个样本点组成，则事件A的概率为：. 2．试写出条件概率的定义. 答：条件概率的定义：在事件B发生的条件下事件A发生的概率定义为 ?(). 3．试写出随机变量X的定义. 答：随机变量X的定义：对于给定的随机试验，是其样本空间，对中每一样本点，有且只有一个实数与之对应，则称此定义在上的实值函数X为随机变量。常用大写英文字母X，Y，Z 等表示随机变量，用小写英文字母表示其取值。 4．试写出离散型随机变量的数学期望和方差的定义 答：定义1:设离散型随机变量的分布列为，则和式 称为X的数学期望。记为. 定义2：设有随机变量X，其数学期望为E（X），如果存在，则称它为随机变量X 的方差，记为或，进而对于离散型随机变量有，X为离散型随机变量。
二．填空题（共6题，每题5分，共计30分） 1．用事件A，B，C的运算关系式表示下列事件，则事件“A出现，B，C都不出现”可表示为；同样有 （1）事件“A，B都出现，C不出现”可表示为（）； （2）事件“三个事件都出现”可表示为（）； （3）事件“三个事件中至少有一个出现”可表示为（）。 2．设P(B)=0.8,P(AB)=0.6，则由条件概率知，P(A|B)＝（0.75）. 3．（二项分布定义）若随机变量X的分布列为P{X=k}＝（），k=0,1…,n，其中0 )B= (A) 0.6 B是两个随机事件， )B= 0(B) B,C是两个随机事件 色不同的概率为: C ; (A) 815 (B) 415 (C) 12 25 (D) 625 6.在区间[0,1]上任取两个数,则这两个数之和小于1的概率为 C ; (A) l/8 (B) 1/4 (C) 1/2 (D) 1 7.在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生.假设矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/2，通过第二个通道逃生成功的可能性为1/3，通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃生的可能性是 B . (A) 1/6 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{199}2{200}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 C . (A) 199 (B) 200 (C) 100 (D) 99 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 0.0010.001, 0 ()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, kx x f x ≤≤?=? ?其它.10-11(2)概率统计B答案
相关主题
文本预览