西南财经大学本科期末考试试卷（B）
课程名称：高等数学
担任教师：谢果等
考试学期：2012 一2013学年第1学期
专业：全校各专业学号：
年级：2012 姓名：
考试时间：2012年月曰（星期）午
出题教师必填：1、考试类型：闭卷［v ］开卷［］（____________ 页纸开卷）
2、本套试题共五道大题,共—页，完卷时间120分钟。
3、考试用品中除纸、笔、尺子外，可另带的用具有：
计算器［］字典［］_______________ 等
（请在下划线上填上具体数字或内容，所选［］内打钩）
考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌而左上角，以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空白页及刷模
糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
-、填空题（每小题2分，共20分）
1. 设函数/(%)= 兀
在兀=0处连续，则a = _
a x = 0
2. 设/⑴在点x = Q 处可导，那么lim
"TO
h
3. 设/(x)可导，y = f(e x ),则)/= ____________________ ?
2
4.使f(x) = (Ux 2)^在x = 0处连续，应补充定义/(0)的值为 _________________________
&函数/(x) = 2x-ln(4x)2的单调递增区间为 ____________________ _
9.函数/(x) = ln(l + x 2)在区间［一1,2］的最大值是 _______ ,最小值是 ________ 10.设/(劝连续可导，则J.厂(2劝必= ________________________________ .
a
答案：1? 一2； 2. 3广(d)；3. e x f\e x ) ； 4. e -2 ； 5. 2sinx ； 6. -； 7. 0
8. (-oo,0)u((l ?+oo)； 9. ln5,0； 1().丄广(2Q + C
A.若兀()为函数y = /(兀)的驻点，则兀()必为函数『=/(兀)的极值点
B. 函数y = f(x)导数不存在的点，一定不是函数y = /(x)的极值点
5?设 y = sin 2 x.则狞=
dsinx.
6. lim XTO
+ sin o
x 3 7.
arctan x
l + x 2
dx-
二、单项选择题(每小题2分，共10分)
1.
下
列命题正确的是(
).
A. 无穷大是很大很大的数 C.无界变量必为无穷大 .2 sin 2%
2. hm (xsm — + — )=( ；VT8 X 兀
A. 4
B. 3
B. 有限个无穷大的和是无穷大 D.无穷大必是无界变量 )
C. 2
D. 1
C.若函数y = /(x)在兀处取得极值，且r(x0)存在，则必有广(兀0)=0
(2分)
2.设 y = y(x)由方程%(1 + y 2)-ln(x 2 + 2y) = 0 确定，求 Z(O) <>
解：方程班1 +尸)- ln (? +2y) = °两边同时对x 求导
(1 +戸+ 2炒一芈学=0
兀+2y
(5分)
x = 0, y =—
将 2代入上式
D.若函数y 二/(x)在兀。处连续，则一定存在
4.若 f/(%)6k= F(x) + c,则]sinh(cosxM = ( ).
A. F (sinx) + c
B. -F(sinx) + c
C. F(cosx) + c
D. -F(cosx) + c
5.设/(兀)为连续函数，则^f(2x)dx 等于( A ? /⑵-/(O) C. |[/(2)-/(0)]
答案：D C C D C
三、计算下列各题(每小题7分，共49分)
1.求极限Hm [丄 ----- -- ]?
xAo X ln(x + l)
).
B. ^[/(1)-/(0)] D ? /(!)-/⑼
-「1 1 . 一 ln(x + l)-x
li 卵蚀 71^7
(1分)
1 X+1 (2分)
ln(x + l) +
x +1
(兀+1)2
(2分)
(2分)
3.设/(兀)="cos；,兀>0,试讨论/⑴的可导性，并在可导处求出/?). x. x<0
x > 0, f\x) = 2xcos —+ sin —解：当x ?
当 x （1 分） A Y 2 cos —-0 x = 0 f *(0) = lim ---------------- 土一二0 故/(兀)在戸0处不可导，于是 2xcos- + si n- X 广（兀） =< x <0 4. y = (cosx)s,nA \ 求dy. 解 两边取对数得In j = sin x In cos x 1 / . e - sin x —y = cos x In cos x + sin x ------- y cos x y = (cos x) sm x (cos 兀 In cos x-sinx tan 兀) dy = y'dx = (cos x)sln x (cos x In cos x - sin x tan x)dx 。 5. 求不定积分J .—- <4-x 2 —dx 2 —XT =arcsin- + (-—)[ , d(4-x 2) 2 2 J V4-x 2 =arcsin —- —? 2\j4-x 2 + C 2 2 =arcsin — -』4_分 + C 2 6.求不定积分J-y==6tXo 解令t = y/x- l ,则 — J"'% Jx-1 」 t 2（（1 + 3”+3『+严） 力 （3分） （1分） （1 分） （3 分） （2 分） （1分） （1分） （3 分） （2 分） （1 分） （3分） （2 分） 3 t 1 w+f+R+C 7.已知/（兀）具有连续导数，/⑵=*,门2） = 0 及f （x ）dx = 1,求J#厂（2切必。 解令r = 2x,则 加门2切心抑2厂（M =#（尸门训：_2『几）力| 1 f2 二-扣处朮-打⑴力］ =0 四、应用题（每小题8分，共16分） 1.设某产品销售单价为5万元，可变成本为每单位3.75万元，乂设产品经广告宣 传后 全部售出，且销量与广告费A 有关系式x = 200VI,求使产品利润最大时的广 告投入。 =2( V x — 1 + J(x-1)' + 寸 J (兀-1)" +:y J (兀一 I)? ) + C （1 分） （3 分） （1 分） （2 解收益函数为 R= px = 5X 200A /A （2分） C = 3.75x + C(0) = 3.75 X 20071 + C(0) (2 分) L = 5x 200VI - 3.75 X 200石 一 C(0) 一 A = 250V A -C(0)-A 得 A = 1252, X L (A) = ----------- A 2 < 0 ,知 A = 125?为最大 4 值点,即广告费投入为A = 1252万元时利润最大. （2分） 2.设某厂产品的市场需求函数为2=1000 - 10/; （Q 为产量，〃为价格），且该产品生产的 固 定成本为1000,每增加一个单位的产量，成本将增加20。求该产品的价格应订为多少时工厂获 利最大？此时产品生产多少？ 解：设工厂的利润为厶 L 二（1000 一 10P ）P -1000 - 20（1000 一 10P ） L = — lOP? + 1200P-21000 （4 分） Z/=—20P + 1200 成木函数为 利润函数为 250 令 L(A) = ^^-l = 0, 2VA （2分） （2分）所以厶在P = 60时取最大值2 = 1000-10x60 = 400 当产品生产400时，工厂获利最大；要使利润最大，该产品的价格应订为60。（2分）五、证明题（5分） 证明：当兀＞0时，1 —x＞ Jl + x. 2 证令,广（兀）=1+丄兀一Ji+兀,贝g （1分） = = （2 分） 2 2＞/1 + 兀2 + 兀 当兀＞0时，.厂（兀）＞0,所以/（兀）在（0,+oo）内单调增加，即/（x）＞/（0） = 0. 故1+丄x＞ J1 +兀（2分） 2
相关主题
文本预览