第一节 平面向量的概念及坐标运算
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·四川，9)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →
|＝1， PM →＝MC →，则|BM →
|2的最大值是( ) A.434
B.494
C.37＋634
D.37＋2334
2.(2015·北京，6)设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.(2015·四川，2)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
4.(2015·新课标全国Ⅰ，2)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)
D ．(1,4)
5.(2015·新课标全国Ⅱ，4)已知a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
6.(2014·北京，3)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)
7.(2014·广东，3)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0)
D ．(4,3)
8.(2014·新课标全国Ⅰ，6)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC →
D.12
BC →
9.(2014·福建，10)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →
等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM →
D ．4OM →
10.(2016·新课标全国Ⅱ，13)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 11.(2015·安徽，15)△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b , 则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.
12.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )， 则m －n 的值为________．
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·济宁市高三统考)如图，在平行四边形ABCD 中，M 为CD 中点，若AC →＝λAM →＋μAB →，
则μ的值为( ) A.14 B.13 C.12
D.1
2.(2016·石家庄质量检测)已知点A (－1，2)，B (3，4)，若AB →
＝2a ，则向量a ＝( ) A.(－2，－1) B.(1，3) C.(4，2)
D.(2，1)
3.(2016·江西八所重点中学联考)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝4DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.45b －15
c D.45b ＋15
c 4.(2015·长春第一次调研)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →
＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →
等于( ) A.(－2，7) B.(－6，21) C.(2，－7)
D.(6，－21)
5.(2015·湖南四大名校检测)已知向量a ，b ，c 都不平行，且λ1a ＋λ2b ＋λ3c ＝0(λ1，λ2，λ3∈R )，则( )
A.λ1，λ2，λ3一定全为0
B.λ1，λ2，λ3中至少有一个为0
C.λ1，λ2，λ3全不为0
D.λ1，λ2，λ3的值只有一组
答案精析
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.解析建系如图，则易知B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3).
设M (x ，y )，P (a ，b )， ∵PM →＝MC →，
∴???x －a ＝3－x ，y －b ＝0－y ????a ＝2x －3，b ＝2y ，
即P (2x －3，2y )，又∵|AP →
|＝1. ∴P 点在圆①x 2＋(y －3)2＝1上， 即(2x －3)2＋(2y －3)2＝1，
整理得，?
???x －3
22
＋????y －322
＝14(记为圆②)， 即点M 在该圆上，求|BM →
|的最大值转化为B 点到该圆②上的一点的最大距离，
即点B 到圆心的距离再加上该圆的半径：|BM →
|2＝?
??
??????32＋32＋????322
＋122＝494. 答案B
2.解析∵a ·b ＝|a |·|b |·cos θ＝|a |·|b |，(θ为a ，b 夹角)， ∴cos θ＝1，
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°， ∴a ∥b ；
反之，当a ∥b 时，a ，b 的夹角θ＝0°或180°， a ·b ＝±|a |·|b |. 答案A
3.解析a ＝(2，4)，b ＝(x ，6)， ∵a ∥b ，∴4x －2×6＝0，∴x ＝3. 答案B
4.解析AB →＝(3，1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 答案A
5.解析因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)， 得(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C. 答案C
6.解析因为a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，
所以2a －b ＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5，7)，选A. 答案A
7.解析因为a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，
所以b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B. 答案B
8.解析EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →
，故选A.
答案A
9.解析依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点， 所以OA →＋OC →＝2OM ，OB →＋OD →＝2OM →
， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →
，故选D. 答案D
10.解析因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6. 答案－6
11.解析∵△ABC 为边长是2的等边三角形，∴|AB →
|＝|2a |＝2|a |＝2，从而|a |＝1，故①正确；又BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，∴b ∥BC →
，故④正确； 又(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，故⑤正确. 答案①④⑤
∴(AB →＋AC →)⊥BC →，即(4a ＋b )⊥BC →
，故⑤正确．] 12.解析∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)， ∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，
即?????2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得?
????m ＝2，n ＝5， 故m －n ＝2－5＝－3. 答案－3
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析∵AC →＝AB →＋AD →，AM →＝AD →＋12AB →
，
∴AC →＝12AB →＋AM →
，故μ＝12.
答案C
2.解析设a ＝(x ，y )，则由题意得2a ＝AB →
＝(4，2)，
即?????2x ＝4，2y ＝2，
解得x ＝2，y ＝1， 所以a ＝(2，1)，故选D. 答案D
3.解析∵BD →＝4DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝4DC →＝4(AC →－AD →)， ∴5AD →＝4AC →＋AB →， ∴AD →＝45AC →＋15AB →＝45b ＋15c .
答案D
4.解析BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →
＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21). 答案B
5.解析在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →
＝c ，则a ，b ，c 都不平行，且a ＋b ＋c ＝0，排除A ，B ；又2a ＋2b ＋2c ＝0，排除D.故选C. 答案C
第二节 平面向量的数量积及其应用
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·新课标全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝????12，32，BC →
＝????32，12，则∠ABC ＝( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
2.(2015·广东，9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB →
＝(1,－2), AD →＝(2,1),则AD →·AC →＝( ) A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2015·陕西，8)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )
A ．|a ·b |≤|a ||b |
B ．|a －b |≤||a |－|b ||
C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2
D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2
4.(2015·重庆，7)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.5π6
5.(2015·福建，7)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A.－32B.－53C.53D.32
6.(2015·湖南，9)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →
|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8
D ．9
7.(2014·安徽，10)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6
D ．0
8.(2014·湖南，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →
|的取值范围是( ) A ．[4,6] B ．[19－1，19＋1] C ．[23，27 ]
D ．[7－1，7＋1]
9.(2014·山东，7)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π
6，则实数m ＝( )
A.2 3
B. 3
C.0
D.－ 3
10.(2014·新课标全国Ⅱ，4)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.5
11.(2016·新课标全国Ⅰ，13)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 12.(2016·山东，13)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4).若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________. 13.(2016·北京，9)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________. 14.(2015·湖北，11)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.
15.(2015·浙江，13)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1
2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，
则|b |＝________.
16.(2015·江苏，14)设向量a k ＝????cos k π6
，sin k π6＋cos k π
6(k ＝0,1,2，…，12)，则∑k ＝0
11 (a k ·a k ＋1)的值为________．
17.(2015·天津，13)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →
的值为________．
18．(2014·重庆，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 19.(2014·四川，14)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝______.
20.(2014·陕西，18)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2，3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23
，求|OP →
|；
(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·晋冀豫三省一调)已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ， 则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C.2 5
D.10
2.(2016·江西赣州摸底)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π).若|a ·b |＝|a ||b |， 则tan x 的值等于( ) A.1 B.－1 C. 3
D.2
2
3.(2016·山西质量监测)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →
|，CA →在CB →
方向上的投影为( ) A.－3 B.－ 3 C. 3
D.3
4.(2015·唐山一中高三期中)若a ，b ，c 均为单位向量，a ·b ＝－1
2
，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，
则x ＋y 的最大值是( ) A.2 B. 3 C. 2
D.1
5.(2015·山西大学附中月考)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.
答案精析
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.解析|BA →|＝1，|BC →
|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →
|BA →|·|BC →|＝32.
答案A
2.解析∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →
＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5. 答案A
3.解析对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |恒成立； 对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立； 对于C 、D 容易判断恒成立．故选B. 答案B
4.解析因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0， 即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，又|b |＝4|a |，
则上式可化为2|a |2＋|a |×4|a |·cos 〈a ，b 〉＝0，即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0， 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为23π.
答案C
5.解析c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，
∵b ⊥c ，∴b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0， ∴k ＝－3
2，故选A.
答案A
6.解析∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ， ∴线段AC 为圆的直径，
故P A →＋PC →＝2PO →
＝(－4，0).
设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →
＝(x －2，y )， ∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )，|P A →＋PB →＋PC →
|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时，此式有最大值49＝7，故选B. 答案B
7.解析设S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，若S 的表达式中有0个a ·b ，则S ＝2a 2＋2b 2，记为S 1，若S 的表达式中有2个a ·b ，则S ＝a 2＋b 2＋2a·b ，记为S 2，若S 的表达式中有4个a ·b ，则S ＝4a ·b ，记为S 3.
又|b |＝2|a |，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )2＞0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2＞0，S 2－S 3＝(a －b )2＞0，所以S 3＜S 2＜S 1，故S min ＝S 3＝4a ·b .
设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a ·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，即cos θ＝12，
又θ∈[0，π]，所以θ＝π
3.
答案B
8.解析设D (x ，y )，则(x －3)2＋y 2＝1，OA →＋OB →＋OD →
＝(x －1，y ＋3)， 故|OA →＋OB →＋OD →
|＝（x －1）2＋（y ＋3）2， |OA →＋OB →＋OD →
|的最大值为
（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝
7＋1，最小值为
（3－1）2＋（0＋3）2－1＝7－1， 故取值范围为[7－1，7＋1]． 答案D
9.解析根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝3
2，即3＋3m ＝3×9＋m 2， 两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意． 答案B
10.解析因为|a ＋b |＝10， 所以|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a·b ＋b 2＝10.① 又因为|a －b|＝6， 所以a 2－2a·b ＋b 2＝6.② 由①－②得4a·b ＝4， 即a·b ＝1，故选A. 答案A
11.解析由题意，得a ·b ＝0?x ＋2(x ＋1)＝0?x ＝－2
3.
答案－23
12.解析∵a ⊥(t a ＋b )，∴t a 2＋a ·b ＝0，又∵a 2＝2，a ·b ＝10，∴2t ＋10＝0， ∴t ＝－5. 答案－5
13.解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝1×3＋1×312＋（3）2·12＋（3）2＝234＝32， 所以θ＝π6.
答案π6
14.解析因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →
＝0.
所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 答案9
15.解析因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以e 1与e 2的夹角为60°.
又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0， 所以b ⊥(e 1－e 2)，所以b 与e 1的夹角为30°， 所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝23
3
. 答案233
16.解析∵a k ＝????cos k π6
，sin k π6＋cos k π6， ∴a k ·a k ＋1＝????cos k π6，sin k π6＋cos k π6·????cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝cos k π
6·cos k ＋16π＋????sin k π6＋cos k π6·????sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故
1111
100
k k k k a a +==?=∑∑????32cos π6＋12
cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π ＝32
11
k =∑
cos π6＋12
11
k =∑
cos 2k ＋16
π＋
11
k =∑
sin
2k ＋1
6
π.
由
11
k =∑
cos 2k ＋16
π＝0，
11
k =∑
sin 2k ＋16π＝0，得∑k ＝0
11 a k ·a k ＋1＝32cos π
6×12＝9 3.
答案93
17.解析在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴CD ＝1.
AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →
，
∴AE →·AF →＝????AB →＋23BC →·????
AD →＋16DC → ＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →
＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×1
6×cos 120°
＝29
18. 答案2918
18.解析因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210， 又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°， 所以a·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.
答案10
19.解析由已知可以得到c ＝(m ＋4，2m ＋2)，且cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉， 所以c·a |c|·|a|＝c ·b |c|·|b|，
即
m ＋4＋2（2m ＋2）
（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×12＋22＝4（m ＋4）＋2（2m ＋2）
（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×42＋22， 即
5m ＋85＝8m ＋20
25
，解得m ＝2. 答案2
20.解(1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →
＝(2，1)，
∴OP →＝2
3(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，
∴|OP →
|＝22＋22＝2 2.
(2)∵OP →
＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，
∴?
????x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，
两式相减得，m －n ＝y －x .
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1， 故m －n 的最大值为1.
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析因为向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ， 所以2x －4＝0，2y ＝－4，解得x ＝2，y ＝－2， 所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，
所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10. 答案B
2.解析设a 与b 的夹角为θ，由|a ·b |＝|a ||b |，得|cos θ|＝1， 所以向量a 与b 共线，
则sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x . 又x ∈(0，π)，所以2cos x ＝2sin x ，即tan x ＝1. 答案A
3.解析由OA →＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →， ∴四边形OBAC 为平行四边形.
又|OA →|＝|AB →
|，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形. ∴∠ACB ＝π
6
，
∴三角形OAB 为正三角形. ∵外接圆的半径为2，
∴CA →在CB →方向上的投影为|CA →
|cos π6＝2×32＝ 3.故选C.
答案C
4.解析由c ·c ＝(x a ＋y b )·(x a ＋y b )＝x 2＋y 2－xy ＝1，
得(x ＋y )2
－1＝3xy ≤3·????
x ＋y 22
，
即(x ＋y )2≤4，故(x ＋y )max ＝2. 答案A
5.解(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14
.
(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5， 从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ????2θ＋π4＝－22
. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π
4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π
4，
所以θ＝π2或θ＝3π
4
.
第三节 数系的扩充与复数的引入
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·新课标全国Ⅰ，2)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A.－3 B.－2 C.2
D.3
2.(2016·新课标全国Ⅱ，2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －
＝( ) A.－1＋2i B.1－2i C.3＋2i
D.3－2i
3.(2016·新课标全国Ⅲ，2)若z ＝4＋3i ，则z
－
|z |＝( )
A.1
B.－1
C.45＋35
i D.45－35
i 4.(2016·四川，1)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )
A.0
B.2
C.2i
D.2＋2i
5.(2016·北京，2)复数1＋2i
2－i ＝( )
A.i
B.1＋i
C.－i
D.1－i
6.(2016·山东，2)若复数z ＝2
1－i
，其中i 为虚数单位，则z －
＝( )
A.1＋i
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
7.(2015·福建，1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A.3，－2 B.3,2 C.3，－3 D.－1,4
8.(2015·湖北，1)i 为虚数单位，i 607＝( ) A.i B.－i C.1 D.－1
9.(2015·新课标全国Ⅰ，3)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A.－2－i B.－2＋i C.2－i D.2＋i
10.(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且2＋a i 1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )
A.－4
B.－3
C.3
D.4
11.(2015·山东，2)若复数z 满足z
1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i
12.(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i
13.(2015·湖南，1)已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )
A.1＋i
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
14.(2014·安徽，1)设i 是虚数单位，复数i 3＋2i
1＋i ＝( )
A.－i
B.i
C.－1
D.1
15.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设z ＝1
1＋i ＋i ，则|z |＝( )
A.12
B.22
C.32
D.2
16.(2014·新课标全国Ⅱ，2)1＋3i
1－i ＝( )
A.1＋2i
B.－1＋2i
C.1－2i
D.－1－2i
17.(2014·福建，2)复数(3＋2i)i 等于( ) A.－2－3i B.－2＋3i C.2－3i
D.2＋3i 18.(2014·湖北，2)i 为虚数单位，? ??
?
?1－i 1＋i 2＝( ) A.1 B.－1 C.i D.－i
19.(2014·广东，2)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4i
D.3＋4i
20.(2014·陕西，3)已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( ) A.5 B.5C.3 D. 3
21.(2014·山东，1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( ) A.3－4i B.3＋4i C.4－3i D.4＋3i
22.(2014·重庆，1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 23.(2015·北京，9)复数i(1＋i)的实部为________． 24.(2015·重庆，11)复数(1＋2i)i 的实部为________．
25.(2015·江苏，3)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 26.(2015·天津，9)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i
的结果为________．
27.(2014·浙江，11)已知i 是虚数单位，计算1－i
1＋i 2＝______.
28.(2014·四川，12)复数2－2i
1＋i
＝________.
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·四川宜宾第一次适应性测试)若复数z ＝2－i
1＋i ，则|z |＝( )
A.1
B.10
C.102
D.3
2.(2016·长春市质检三)设复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则2
z ＋z 2＝( )
A.1＋i
B.1－i
C.－1－i
D.－1＋i
3.(2016·江西九校联考)若复数(1＋m i)(3＋i)(i 是虚数单位，m 是实数)是纯虚数，则复数
m ＋2i
1－i 的模等于( ) A.2 B.3 C.132
D.
262
4.(2015·湖南十二校联考)复数????12＋32i 2(i 是虚数单位)的共轭复数为( ) A.－12＋32i
B.12－32i
C.12＋32
i D.－12－32
i
5.(2015·郑州模拟)设i 是虚数单位，复数i
1＋i 对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.(2015·四川省统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z －
，则2－z
－
z 等于( )
A.－1－2i
B.－2＋i
C.－1＋2i
D.1＋2i
7.(2015·潍坊一模)若复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) A.(1，1)
B.(1，－1)
C.(－1，1)
D.(－1，－1)
8.(2015·河南六市联考)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1＋3i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.
答案精析
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.解析∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A. 答案A
2.解析由z ＋i ＝3－i ，得z ＝3－2i ，
∴z －
＝3＋2i ，故选C. 答案C
3.解析z ＝4＋3i ，|z |＝5，z －
|z |＝45－35i.
答案D
4.解析(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i. 答案C
5.解析1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i 5＝i.
答案A
6.解析∵z ＝2（1＋i ）
（1－i ）（1＋i ）
＝1＋i ，∴z －
＝1－i ，故选B.
答案B
7.解析(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案A
8.解析方法一 i 607＝i 4
×151＋3
＝i 3＝－i.故选B.
方法二 i 607
＝i 608i ＝i 4×152
i ＝1
i ＝－i.故选B.
答案B
9.解析由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 答案C
10.解析由2＋a i
1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，
即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D.
答案D
11.解析∵z
1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.
答案A
12.解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C. 答案C
13.解析由（1－i ）2z ＝1＋i 知，z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i
1＋i ＝－1－i.故选D.
答案D
14.解析i 3＋2i
1＋i ＝－i ＋i(1－i)＝1.
答案D
15.解析11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋1
2i ，
则|z |＝（12）2＋（12）2＝2
2
，选B. 答案B
16.解析1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）
（1－i ）（1＋i ）＝－1＋2i ，故选B.
答案B
17.解析复数z ＝(3＋2i)i ＝－2＋3i ，故选B. 答案B
18.解析? ??
??1－i 1＋i 2
＝－2i 2i ＝－1，选B.
答案B
19.解析由(3－4i)z ＝25?z ＝25
3－4i ＝25（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）
＝3＋4i ，选D. 答案D
20.解析∵z ＝2－i ， ∴z ·z ＝|z |2＝22＋12＝5. 答案A
21.解析由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1， 则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 答案A
22.解析实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B. 答案B
23.解析i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，实部为－1. 答案－1
24.解析(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，其实部为－2. 答案－2
25.解析∵z 2＝3＋4i ， ∴|z |2＝|3＋4i|＝5，即|z |＝ 5. 答案5
26.解析1－2i 2＋i ＝（1－2i ）i （2＋i ）i ＝（1－2i ）i
－1＋2i ＝－i.
答案－i
27.解析1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝－1－i
2. 答案－1－i 2
28.解析2－2i 1＋i ＝（2－2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i 2－4i 1－i 2＝－4i
2＝－2i.
答案－2i
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析z ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－3i 2＝12－3
2i ，|z |＝
????122＋????－322
＝102
.
答案C
2.解析∵z ＝1＋i ，
∴2z ＋z 2＝2
1＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i. 答案A
3.解析因为(1＋m i)(3＋i)＝3－m ＋(3m ＋1)i 是纯虚数， 所以3－m ＝0且3m ＋1≠0，得m ＝3，
故复数m ＋2i 1－i 的模为|3＋2i 1－i |＝|3＋2i||1－i|＝32＋2212＋（－1）2＝262，选择D. 答案D
4.解析由题意知，????12＋32i 2＝14－34＋32i ＝－12＋32i ，其共轭复数为－12－32i.
答案D
5.解析由i
1＋i 得i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i 2，其对应的点在第一象限.故选A.
答案A
6.解析∵z ＝－1－i ，
∴z －
＝－1＋i ，2－z －
z ＝2＋1－i
－1－i
＝－1＋2i.
答案C
7.解析由z (1＋i)＝2i ，可得z ＝2i
1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i 2＝1＋i ，
所以z 对应的点的坐标是(1，1). 答案A
8.解析z ＝1＋3i 1＋i ，|z |＝|1＋3i 1＋i |＝|1＋3i||1＋i|＝2
2＝ 2.
答案 2
5．平面向量（含解析） 一、选择题 【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A ．(-7,-4) B ．(7,4) C ．(-1,4) D ．(1,4) 【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+( ) A ． B ． 21 C ．2 1 D ． 二、填空题 【2017，13】已知向量()1,2a =-，(),1b m =，若向量a b +与a 垂直，则m = ． 【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______． 【2012，15】15．已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________． 【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数， 若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编 4．平面向量 一、选择题 （2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（ ） A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b （2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 （2014·4）设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a ，则=?b a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 二、填空题 （2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. （2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?=uu u r uu u r _______. （2012·15）已知向量a ，b 夹角为45o，且|a |=1，|2-a b |b |= . （2011·13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k = .
数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?
【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+u u u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u v g 22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=. 23.（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，AB= ，BC=2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若=， 则的值是 ． 24.（2014江苏）如图，在□ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ，则AB AD ?u u u r u u u r 的值是 ． 【简解】AP AC -u u u r u u u r =3(AD AP -u u u r u u u r ),14AP AD AB =+u u u r u u u r u u u r ;34 BP AD AB =-u u u r u u u r u u u r ;列式解得结果22 25.（2015北京文）设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ?=r r r r ”是“//a b r r ”的（ A ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 26.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ， ()D 2,1A =u u u r ，则D C A ?A =u u u r u u u r （ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 27.（2015年安徽文）ABC ?是边长为2的等边三角形，已知向量b a ρρ、满足a AB ρ2=→，b a AC ρρ+=→2， 则下列结论中正确的是 ①④⑤ 。（写出所有正确结论得序号） ①a ρ为单位向量；②b ρ为单位向量；③b a ρρ⊥；④→BC b //ρ；⑤→⊥+BC b a )4(ρρ。 28.（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长 为________． 【简解】如图建系: 由题意AD=1，ο60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,2 12(-x B ， 13(2,)22AC x =+u u u r ,13(,)22BE x =-u u u r 由题意 .1AD BE =u u u r u u u r 得：14 3)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为2 1。 29．（2012福建文）已知向量)2,1(-=→ x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ D ） A ．2 1-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 30．（2012陕西文）设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ C ）
三年高考真题分类汇编 平面向量 五年高考真题分类汇编 平面向量 1．（19全国1文理）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 2．（19全国2理）已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ?u u u r u u u r =（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 3．（19全国2文）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（ ） A B ．2 C ． D ．50 4．（19全国3理）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0 ，若2=c a ，则cos ,<>=a c 23 5．（19全国3文）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>= a b 6.（19天津文理）在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥， 点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ?=u u u r u u u r 1- 7．（18浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3 ，向量b 满足b 2?4e ·b +3=0，则|a ?b |的最小值是（ ） A 1 B C ．2 D ．2 8．（18天津文）在如图的平面图形中， 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=o , 2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ） （A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）0 9．（18天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则?uu u r uur AE BE 的最小值为 （ ）
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）
平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A． B． C． D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A． B． C． D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B． C． D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A． B． C． D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A． B． C． D．0
模块 知识点考查内容了解理解集合的含义、元素与集合的属于关系√列举法、描述法√包含于相等的含义√识别给定集合子集√全集于空集√并集于交集的含义与运算√补集的含义与运算√韦恩图表达集合的关系与运算√简单函数定义域和值域，了解映射√图像法、列表法、解析法表示函数√分段函数√函数单调性、最值及几何意义√函数奇偶性√函数图像研究函数性质指数函数模型背景√有理、实数指数幂、幂的运算指数函数概念、单调性√指数函数图像√对数的概念与运算√换底公式、自然对数、常用对数√对数函数的概念、单调性√对数函数的图像指数函数与对数函数互为反函数√幂函数的概念√幂函数的图像√二次函数、零点与方程的根√一元二次方程根的存在性及跟的个数√集合图像，用二分法求近似解指、对、幂函数的增长特征√函数模型的应用√柱、锥、台的结构特征√三视图√斜二测画法和直观图√平行、中心投影√三视图和直观图√球、柱、锥、台的表面积和体积公式√线面的位置关系定义√线面平行的判定 √面面平行的判定 √线面垂直的判定 √面面垂直的判定 √线面平行的性质 √面面平行的性质 √线面垂直的性质 √面面垂直的性质 √ 用已获结论证明空间几何体中的位置关系点、线、面位置关系集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算函数指数函数对数函数知识要求集合 函数概念 与基本初 等函数1 立体几何初步幂函数函数与方程函数模型及应用空间几何体
结合图形，确定直线位置关系的几何要素√直线倾斜角和斜率的概念√过两点的直线斜率计算公式√判定直线平行或垂直√点斜式、两点式、一般式√斜截式与一次函数的关系√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式√ 点到直线的距离公式两条平行线间的距离公式√圆的几何要素，标准方程和一般方程判断直线与圆的位置关系应用直线与圆的方程√代数方法处理几何问题的思想√空间直角坐标表示点的位置√空间两点间的距离公式√算法的含义与思想√顺序、条件分支、循环逻辑结构√基本算法语句输入、输出、赋值、条件、循环语句√简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√样本频率分布表、频率分布直方图、折线图√茎叶图√标准差的意义和作用√平均数和标准差√用样本估计总体的思想√会画散点图，认识变量间的相关关系√最小二乘法，线性回归方程√频率和概率的意义√互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型及其计算公式√随机事件所含的基本事件数及发生的概率√随机数的意义，运用模拟方法估计概率√几何概型的意义√任意角的概念√弧度制的概念、弧度与角度的互化√正弦、余弦、正切的定义√单位圆的三角函数线√诱导公式√三角函数的图像√ 三角函数的周期性√ 正余弦函数的单调性、最值、对称 中心 √正切函数性质 √同角三角函数的基本关系式 √正弦型函数的参数对图像变化的影响√向量的实际背景√ 平面向量的概念√ 向量的实际背景用样本估计总体变量的相关性事件与概率几何概型任意角的概念、弧度制三角函数直线与方程 圆的方程空间直角坐标系算法的含义、程序框图随机抽样统计 基本初等函数2平面解析几何初步算法初步
平面向量高考试题精选(含详细答案)
平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则 的最大值等于（） A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6
4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）
12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC 的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D． 14．（2014?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2 C．3 D．4 二．选择题（共8小题） 15．（2013?浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．
平面向量高考经典试题 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与 b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与 b 垂直，则=a （ ） A ．1 B C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______； 答案：3 2 ； 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???=
6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．1 3 - D ．2 3 - 9（全国2文9）把函数e x y =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x + B ．e 2x - C ．2 e x - D ．2 e x + 10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 11、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是 A 若 ，则a ＝0或b ＝0 B 若 ，则λ＝0或a ＝0 C 若＝，则a ＝b 或a ＝－b D 若 ，则b ＝c 13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量 一、选择题 1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．3 455?? ??? ，- B ．4355?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355??- ??? ， 2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投 影为 （ ） A B C ．D ． 3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量 ()()()()1,1,2,2,,= m n m n m n λλλ =+=++⊥-若则 （ ） A ．4- B ．3- C ．-2 D ．-1 4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ．____ （ ） A 1- B C 1 D 2 5 ．（2013年高考广东卷（文））设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+ a b c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+ a b c ; ③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+ a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+ a b c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于 （ ） A ． B C ． D ．0 7 ．（2013年高考福建卷（文））在四边形 ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为 （ ） A ．5 B ．52 C ．5 D ．10
2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________.
15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值．
高考数学平面向量的概念与运算 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( ) A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ．31 44AB AC + D ．1344 AB AC + 【答案】 2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“ 33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ， 1?=-a b ，则(2)?-=a a b ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】 4．(2017北京)设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0?
平面向量高考真题精选（一） 一．选择题（共20小题） 1．（2017?新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（） A．⊥B．||=||C．∥D．||＞|| 2．（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 3．（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3 4．（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（） A．3 B．2 C．D．2 5．（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 6．（2016?新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 7．（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、
BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣ B．C．D． 8．（2016?山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 10．（2016?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 11．（2015?新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 12．（2015?新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4） 13．（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 15．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N
三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析 第五章 平面向量 一、选择题 1. 【2014高考北京文第3题】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r ，则2a b -=r r （ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 2. 【2015高考北京，文6】设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ?=r r r r ”是“//a b r r ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 【2014高考广东卷.文.3】已知向量()1,2a =r ,()3,1b =r ,则b a -=r r ( ) A .()2,1- B .()2,1- C .()2,0 D .()4,3 4. 【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ， ()D 2,1A =u u u r ，则D C A ?A =u u u r u u u r （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5. 【2014山东.文7】已知向量(3a =r ，()3,b m =r .若向量,a b r r 的夹角为π6 ，则实数m =（ ） （A ）23（B 3 （C ）0 （D ）36. 【2015高考陕西，文8】对任意向量,a b r r ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤r r r r B ．||||||||a b a b -≤-r r r r C ．22()||a b a b +=+r r r r D ．22 ()()a b a b a b +-=-r r r r r r 7. 【2014全国2，文4】设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=?b a ρ ρ（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 8.【2015高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 9. 【2014全国1，文6】设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A.AD B. AD 21 C. BC 2 1 D. BC
历年平面向量高考试 题汇集
高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12
向 量 1. 向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ） . (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜ . (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?? ?==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量 . 2.. 向量的运算 运算类 型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 AB BA =-,AB OA OB =- 数 乘 向 量 1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=.
向 量 的 数 量 积 a b ?是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ?=. 2. 00||||cos(,) a b a b a b a b ≠≠=且时， 3.向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 4.向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B= --． 5.向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 6.向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 7.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且
2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4）
对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
常考题型大通关：第14题 平面向量 1、已知向量(,1),(4,2)a x b ==-r r ,若//a b r r ,则a b +=r r _________. 2、设向量(),,11,2()a m b ==r r ，且222a b a b +=+，则m =___________________________ 3、已知非零向量,a b r r 满足1,1a b +-r r ,且4a b -=r r ,则a b +=r r _________. 4、若向量,a b r r 满足8,12a b ==r r ,则a b +r r 的最小值是_________;当非零向量,a b r r (,a b r r 不共线) 满足__________时,能使a b +r r 平分,a b r r 的夹角(AOB ∠是向量,OA OB u u u r u u u r 的夹 角,0180AOB ?≤∠≤?). 5、在菱形ABCD 中,60DAB ∠=?,2AB =u u u r ,则BC DC +=u u u r u u u r __________. 6、已知向量()1,2a =-r ，b r ，a b -r r |a b +=r r ____________． 7、已知向量,a b r r 满足1,1a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°，则2a b +=r r __________． 8、已知平面向量,a b 满足2,4,2a b a b ==+=则a 与b 的夹角为_______. 9、已知平面向量(1)a b =-=-r r ,则a r 与b r 的夹角为__________ 10、已知向量(2,3)a =-r ,(3,)b m =r ,且a b ⊥r r ,则m =__________. 11、已知()()1,21,2,2a m b m =-=--r r ,若向量//a b r r ,则实数m 的值为__________. 12、向量()()1,1,1,0a b =-=r r ,若()()2a b a b λ-⊥+r r r r ,则λ=__________. 13、若2sin15a =?r ,4cos15,b =?r a r 与b r 的夹角为?30,则a b ?r r 的值_______________ 14、设()5,2a -r ＝，()6,2b r ＝，则212|a|a b 2 -?r r r ＝______________. 15、在等腰直角三角形ABC 上(包括边界)有一点P ，2AB AC ==，1PA PB ?=u u r u u r ，则PC uu u r 的取 值范围是 。