分析：将f(x)配方，得顶点为 -，
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（1）当-∈m，n时，f(x)的最小值是f -?=
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若- 学习必备欢迎下载 二次函数在闭区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设fx)=ax2++bxc(a≠0)，求f(x)在x∈[m，n]上的最大值与最小值。 ?b4ac-b2?b ?、对称轴为x=- ?2a4a?2a 当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f(x)的最值：b ? b ? 4 a c - b 2 2a?2a?4a ，f(x)的最大值是 f(m)、f(n)中的较大者。 （2）当- b ? [m，n] 时 2a b 2a f(n) 若n<- b ，由f(x)在 [m，n] 上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n) 2a 当a<0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2） 轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1.轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数y=-x2+4x-2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习.已知2x2≤3x，求函数f(x)=x2+x+1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 [ ] f (m )，- ≥ (m + n)(如图1) ?? 2a 2 f (n )，- > n (如图3) 2a = ? f (- )，m ≤ - ≤ n (如图4) 2a 2a ? f (m )，- < m (如图5) 2a - ? f (n )，- > n (如图6) ? ? b 1 f (m )， - ≥ (m + n)(如图9) ?? 2a 2 max = ? f (- )，m ≤ - ≤ n (如图7) f (x)min = ? ? f (n)， - b < 1 (m + n)(如图10) 2a 2a ? 2a 2 f (m )，- < m (如图8) 2a 2 例 2. 如果函数 f ( x ) = ( x - 1)2 + 1 定义在区间 t ，t + 1 上，求 f ( x ) 的最值。 例 3. 已知 f ( x ) = - x 2 - 4x + 3 ，当 x ∈ [t ，t + 1](t ∈ R) 时，求 f ( x) 的最值． 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当 a > 0 时 f (x) max ? b 1 =? f (x) ? f (n)， b < 1 (m + n)(如图2) ? 2a 2 min ? b ? b b ? b 当 a < 0 时 f (x) ? b 2a ? b b 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称 这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例 4. 已知 x 2 ≤ 1，且 a -≥ 0 ，求函数 f ( x ) = x 2 + ax + 3 的最值。 y 2 = 4a( x - a)(a > 0), u = ( x - 3)2 + y 2 例 9. 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + ( 2a - 1)x + 1 在区间 ?- ,2 ? 上的最大值为 3，求实数 a 例 5. (1) 求 f ( x ) = x 2 + 2ax + 1 在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数 y = - x ( x - a) 在 x ∈ [-1 , 1] 上的最大值。 4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数 在动区间上的最值”。 例 6. 已知 ，求 的最小值。 （二）、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。 例 7. 已知函数 f ( x ) = ax 2 + 2ax + 1在区间 [-3,2] 上的最大值为 4，求实数 a 的值。 例 8.已知函数 f ( x ) = - x 2 2 + x 在区间 [m , n ] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ，求 m ，n 的值。 ? 3 ? ? 2 ? 的值。 二次函数在闭区间上的最值专题演练 1．函数 y = x 2 + x + 1 在 [-1,1] 上的最小值和最大值分别是 （ ） ( A) 1 ,3 ( B ) 3 1 1 ,3 （C ） - ,3 （D ） - , 3 4 2 4 2．函数 y = - x 2 + 4 x - 2 在区间 [1,4] 上的最小值是 （ ） ( A) - 7 ( B ) - 4 (C ) - 2 ( D ) 2 3．函数 y = 8 x 2 - 4 x + 5 的最值为 （ ） ) x (2ax 13) - (a ≠0) 在区间[- ( A) 最大值为 8，最小值为 0 ( B ) 不存在最小值，最大值为 8 （C ）最小值为 0, 不存在最大值 ( D ) 不存在最小值，也不存在最大值 4．若函数 y = 2 - - x 2 + 4 x , x ∈ [0,4] 的取值范围是______________________ 5．已知函数 f ( x a =+- 2 3 ，2] 上的最大值是 1，则实数 2 a 的值为_____________. 6．已知函数 y = x 2 - 2 x + 3 在闭区间 [0, m ] 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 （ ） (A) [1,+∞) (B) [0,2] (C) [1,2] (D) (-∞,2] 7．设 f ( x ) = x 2 - 4 x - 4, x ∈ [t, t + 1](t ∈ R), 求函数 f ( x ) 的最小值. 8. 已知函数 f ( x ) = 4 x 2 - kx - 8在[5,20]上具有单调性，求实数 k 的取值范围。 9. 若函数 f ( x ) = (a - 2) x 2 + 2(a - 2) x - 4 < 0对一切x ∈ R 恒成立，则 a 的取值范围（ ） A. (-∞, 2] B. [-2,2] C. (-2,2] D. (-∞, -2) 10.. 已知函数 f ( x ) = 4 x 2 + 4ax + 2在(-∞,0] 内单调递减，则 a 取（ ） A. a ≥ 3 B. a ≤ 3 C. a <-3 D. a ≤ -3 11. 已知函数 f ( x ) = - x 2 + kx 在[2,4] 上是单调函数，求 k 的取值范围。 12. 已知函数 f ( x ) = x 2 - 2 x + 3在[0,m]上有最大值是 3，最小值是 2，求 m 的取值范围。 13. 已知函数 f ( x ) = 3 - x 2 + 4 的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M+m=________. 14. 已知函数 f ( x ) = 4 x 2 - 4ax + a 2 -2a+2在[0,2]上的最小值为 3，求 a 的值。 15.求函数 f ( x ) = - x 2 + 2 x +3 的单调区间。 16. 已知函数 f ( x ) = -2 x 2 + 6 x 在 下列定义域上的值域： （1）定义域为{x ∈ Z ︱ 0 ≤ x ≤ 3} （2）定义域为[-2,1]. 17. 已知函数 f ( x ) = x 2 + ax + 3 - a, 若 x ∈ [-2, 2] ，有 f ( x ) ≥ 2 恒成立，求 a 的取值范围。 18. 已知函数 f ( x ) = x 2 ， -2 ≤ x ≤ a, 其中 a ≥ 2 ，求该函数的最大值与最小值。 19已知二次函数f(x)=-x2+6x+a的函数值总为负数，求a的取值范围。 20.已知二次函数f(x)=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图像与x轴总有交点，求m的取 值范围。 21.已知二次函数f(x)=x2+(m-1)x+m+3顶点在y轴上，求m的值。 22.已知函数f(x)=mx2+(m2-m)x+2的图像关于y轴对称，求m的值。 23.已知函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x恒成立，求m的取值范围。 24.已知函数f(x)=x2-4ax,(1≤x≤3)是单调增函数，求实数a的取值范围。 25.已知函数f(x)=x2-ax+1有负值，求a的取值范围。 26.已知函数f(x)=(m-2)x2-3-2m的图像在x轴下方，求m的值。 1 27.已知函数f(x)=x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,]成立，求a的取值范围。 2 28.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-∞,-1]时是减函数，求m的取值范围。 29已知函数f(x)=x2-2ax-a的定义域是R，求a的取值范围。 30.已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R)的值域为[0,+∞]，求a的值。 31..已知函数f(x)=x2-4x≥m对于x∈(0,1]恒成立，，求m的取值范围。 32..已知函数f(x)=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数，则b的取值范围。 33.已知函数f(x)=2x2-(2+a)x+2a(a>2)，求在[0,2]上的最小值。 34..已知函数f(x)=2x2-(2+a)x+2a，在[0,2]上是单调函数，求a的取值范围。 35.已知函数f(x)=2x2-(2+a)x+2a，在[t,t+2]上是偶函数，求a的取值范围。 36.当a=-2时，求.函数f(x)=2x2-(2+a)x+2a在[t,t+2]上的最小值。 37.已知函数f(x)=2x2-(2+a)x+2a的定义域为R，求a的取值范围。 38.已知函数f(x)=x2+2ax+1，求x∈[-2,1]上的最值。 39.已知函数f(x)=x2+2x-1，求x∈[m,m+1]上的最值。 40.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a，x∈[0,1]上的最值为2，求a的值。 41.已知函数f(x)=x2+2x+2： （1）若x∈R，求f(x)的最小值。 （2）若x∈[1,3]，求f(x)的最小值。 （3）若x∈[a,a+2],a∈R，求f(x)的最小值。 42.已知函数f(x)=-x2+2kx+3，求x∈[-1,2]上的最大值。 43.已知函数f(x)=kx2+2kx+1，求x∈[-3,2]上的最值。 1 44.已知函数f(x)=-3x2-3x++b2，求x∈[-b,b],(b>0)上的最值。 4 45.已知函数f(x)=-x(x-t)+1，求x∈[-1,1]上的最值。 46.已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3，求x∈[-3 2 ,2]上的最大值。 47.已知函数f(x)=x2+ax+3，求x∈[0,1]上的最值。 48.已知函数f(x)=-x(x-a)，求x∈[-1,a]上的最大值。 49.已知函数f(x)=x2+2ax+1，在x∈[-1,2]上的最大值为4，求a的值。 50.若不等式9x2-6ax+a2-2a-6≥0在-11 ≤x≤内恒成立，求a的取值范围。33 51.已知函数f(x)=x2+2x+3，求x∈[t,t+1]上的最值。 52.已知函数f(x)=ax2-2ax+5，求x∈[0,3]上的最值。 53.已知函数f(x)=-2x2-ax+3，求x∈[-3,1]上的最值。 54.已知函数f(x)=ax2-3x+8，求x∈[-2,+∞]上的最值。 55.已知函数f(x)=(4-3a)x2-2x+a，求x∈[0,1]上的最值。 56.已知函数f(x)=x2+(2t+1)x+t2-1，当t取何值时，函数的最小值为0. 57.已知函数f(x)=x2-2tx+1，求x∈[-1,1]上的最大值。 58.已知函数f(x)=x2-4x+a，在x∈[0,6]上的最大值为13，求a的值。 59.已知函数f(x)=x2-2ax+4，在x∈[0,3]上的最小值为1，求a的值。 60.已知函数f(x)=x2-2ax+4，在x∈[1,3]上的最大值为13，求a的值。 61.已知函数f(x)=x2-2ax+4，在x∈[1,3]上的值域。 62.已知函数f(x)=x2-10x+30，在x∈[a,a+3]上的最小值为6，求a的值。 63.已知函数f(x)=x2-10x+30，求在x∈[a,a+3]上的最小值。 64．已知f(x)=x2-ax+a 2，在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值。
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