第十一章组合变形
2.5 组合变形
一、教学目标
1、掌握组合变形的概念。
2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。
3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。
4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。
二、教学内容
1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。
2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。
3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。
4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。
5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。
6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。
7、简单介绍截面核心的概念和计算。
三、重点难点
重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。
难点：
1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：
斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；
弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；
拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；
偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。
2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：
⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；
⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。
四、教学方式
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、学时:2学时
六、讲课提纲
(一)斜弯曲
斜弯曲梁的变形计算
仍以矩形截面的悬臂梁为例：
图11-5(a) (b) 1、解题思路及计算公式
将p F 力分解为两个在形心主惯性平面的分力py F 和pz F 后（见图11-5，b ），分别计算梁在平面弯曲下自由端处的挠度y ω和z ω：
z
p z
py y EI l F EI l F 3cos 33
3?ω=
=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoy 平面内的挠度
y
p y
pz z EI l F EI l F 3sin 33
3?ω=
=
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoz 平面内的挠度
2、总挠度及其方位
自由端B 点的总挠度ω是上述两个挠度的几何和，即 ⑴总挠度值计算：2
2
z y ωωω+=
⑵总挠度方位计算，即总挠度与y 轴的夹角β的计算。将z 轴方向的挠度除以y 轴方向的挠度，即可得：
?????ωωβtg I I I I EI l F EI l F tg y
z
y z z
p y p y z ?====cos sin 3cos 3sin 33
(a)
⑶确定总挠度方位：
∵?cos M M z = ?s i n
M M y = 代入⑶式，即 ???αtg I I M M I I z y tg y
z
y z o o ?=?==
cos sin (b) 比较(a)、(b)两式，可见：
中性轴与z 轴的夹角α=总挠度与y 轴的夹角β。 即：斜弯曲时，总挠度ω发生垂直于中性轴的平面内。
在前面已经分析过，在一般情况下，梁的两个形心主惯性矩并不相等，即y z I I ≠则?β≠，说明斜弯曲梁的变形（挠曲平面）不发生在外力作用平面内。如果y z I I =，则?β=，即为平面弯曲，例如正方形、圆形等截面。
3、刚度条件
l
l
ω
ω
≤
例题11-1 跨度为l =3m 的矩形截面木桁条，受均布荷载q=800N/m 作用，木桁条的容许应力[σ]=12MPa.容许挠度l ω=200
1，材料的弹性模量E =MPa 1093
?,试选择木桁条的截面尺寸，并作刚度校核。
解：⑴先将q 分解为
m
N q q m N q q z y /2.355'3426sin 800sin /8.716'3426cos 800cos =?===?==
??
⑵求
m
N l q M m
N l q M z y y z ?=?==?=?==
6.3998/32.3558
4.8068/38.716822
max 22
max ⑶设截面的高宽比为
5.1=b
h
。则根据强度条件 622max max max 10126
/6.3996/4.806?≤+=+=hb bh W M W M y y z z σ
解得
,101275.372366
3?≤b 36
10
1275.37236b ≤?? ????=??=?=---m
h m
b 2
221016.81044.55.11044.5 取b=60mm ，h=90mm ⑷校核刚度
483
3105.36412
09.006.012m bh I z -?=?==
483
31016212
06.009.012m bh I y -?=?==
mm m y 23023.0105.36410938438.7165894
==??????=-ω
mm m z 26026.010
16210938432.35558
94
==??????=-ω 梁跨中的总挠度mm z y 7.342623222
2
=+=
+=ωωω
200
1
2004.21002.130007.34
===
l
ω
刚度条件不满足，必须增大截面尺寸，然后再校核刚度。 若b=80mm ，h=120mm
483
1011521212.008.0m I z -?=?=
483
105121208.012.0m I y -?=?=
mm y 29.710115210938438.71658
94
=??????=-ω mm z 13.81051210938432.35558
94
=??????=-ω
mm 9.1013.829.722=+=ω
200
1
20072.010036.030007.34≤
===
l ω
满足刚度条件，截面尺寸应取b=80mm ，h=120mm (二)拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 结构受力情况如图所示：
图11-8
梁AB上除作用横向力外，还有轴向拉（压）力，则杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。
1、内力分析
图11-9
2、应力分析：杆件内有轴力FN、弯矩M产生正应力
图11-10
3、强度条件][max
max σσ≤+=Z
N W M A F 4、纵横弯曲的概念
图11-11
⑴何谓纵横弯曲？
p F 、1p F 共同作用，1p F 在p F 作用下产生的ω上引起的梁的附加弯矩=1M ω1p F ，这个附加弯
矩1M 又反过来增大梁的挠度，这时的杆件变形已不是荷载的线性函数。像这类变形通常称为纵横弯曲。
⑵分两种情况讨论：
EI 较大，ω与截面尺寸比较显得很小，可不考虑附加弯矩的影响，用叠加法计算横截面上的应力。
EI 较小,ω较大，附加弯矩的影响不可能不考虑，内力与荷载不是线性函数关系。
(三)偏心压缩 1、偏心压缩的概念
轴向压缩 单向偏心压缩 双向偏心压缩
图11-12
2、外力的简化与分解
图11-13
3、内力
??
?
???==?===z p y y y p z z p
N e F m M e F m M F F ∴偏心压缩=轴向压缩+弯曲（FQ =0）
4、应力计算
⑴单向偏心压缩时的应力计算
图11-14 结论：距荷载Fp较近的边缘总是压应力。
⑵双向偏心压缩时的应力计算
图11-15
任意点（E ）处的应力计算
)
1(z
y y
z p z y p y z p p z y y y
N I y e A I z
e A A
F y I e F z I e F A F y I M z I M A F ??+??+
-
=??-??--=?-?--
=σ
∵A
I i y y =
, A
I i z
z =
∴ 上式可写成
)1(2
2
z
y y
z p i y e i z e A
F ?+
?+
-
=σ──────任意点（E ）处的应力计算式
5、中性轴 ⑴中性轴方程
由
0)1(2
2
=?+
?+
-
=z
y y
z p i y e i z e A
F σ
得中性轴方程
012
2
=?+
?+
z
o y y
o z i y e i z e （直线方程）
式中：o z ，o y 代表中性轴上任一点的坐标。
z e ，y e 代表偏心力Fp 的作用点位置（坐标）。
注意；形心
0==o o z y 不能满足中性轴方程，即中性轴不通过形心。
由此可见，中性轴的特征之一：中性轴是一条不通过形心的直线。 ⑵中性轴位置的确定
方法是通过计算中性轴在坐标轴上的截距z a ，y a 来确定；
根据中性轴方程：
当y
z
o y o z
y
o z o e i y a o z e i z a y 22
0-
===-
===时，时，
图11-16
由此得到中性轴截距计算式 y
z
y z y
z e i a e i a 2
2
-
=-
=
注意：截距y
z
a a 与偏心距恒相反。
可见，中性轴的特征之二：中性轴与偏心压力Fp 的作用点(ey , ez )分别居于截面2侧
第十二章 组合变形 §12.1 组合变形和叠加原理 一、组合变形的概念 由两种或两种基本变形的组合而成的变形。 例如：转扬机，牛腿，水坝，烟囱等。 二、组合变形的计算方法 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。 §12.2 斜弯曲 一、斜弯曲的概念 若梁作用的载荷的荷载不在同一平面内或虽在同一平面但并不位于梁的一个形心主惯性矩内，这时梁发生非平面弯曲。这种非平面弯曲可分解为两个平面弯曲。两个互相垂直平面弯曲的组合，构成斜弯曲或双向弯曲。 二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解 对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算 形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计
算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z 轴的外力将引起横截面上的弯矩y M ，也可列出弯矩方程y M 或画出其弯矩图。 合成弯矩：2 Z 2y M M M += 合成弯矩矢量M 与y 轴的夹角为：y z M M tan =? 以上弯矩z M 和y M 均取绝对值计算， 由力偶的矢量表示法可知，合成弯矩M 的作用平面垂直于矢量M 。 3. 计算 y z I z I y y z M M + =''+'=σσσ 4. 轴的位置 两平面弯曲组合成斜弯曲，只在横截面上正应力为零的点的连线才是斜弯曲 的中性轴。设中性轴上任一点的坐标）（00,y z ，将0y ，0z 代入应力计算公式，并令σ等于方程：零，得中性轴： 0M M 0 y 0z =+y z I z I y 中性轴与y 轴的夹角α,?αtan tan z z 00 I I M M I I y z y y z y =?== 5. 最大正压力 中性轴把横截面分为两个区域，一个受拉区，另一个受压区，离中性轴最远的点，正应力最大。 （1） 矩形或矩形组合截面 对于有棱角的矩形（含正方形）或矩形组合截面，截面上的最大正应力一定发生在离形心最远的棱角上。将最远点的坐标代入应力计算公式 y y z z y z W M W M I z I y +=+=max y max z max M M σ （2） 圆形截面 圆形截面的合成弯矩作用面与中性轴垂直。合成弯矩作用面与圆截面的两交点即最大拉应力和最大压应力点，其最大拉、压应力相等。 W M max =σ, 2 z 2y M M M += 例题 图示简支梁由22a 工字钢构成，许用应力[]MPa 140=σ。求该梁的许用载[]F ,图中长度l=1000mm 。
第十四章 组合变形 习 题 14?1 截面为20a 工字钢的简支梁，受力如图所示，外力F 通过截面的形心，且与y 轴成φ角。已知：F =10kN ，l =4m ，φ=15°，[σ]=160MPa ，试校核该梁的强度。 解：kN.m 104104 1 41=??== Fl M kN.m;58821510kN.m;65991510.sin φsin M M .cos φcos M M y z =?===?==οο 查附表得：3 3 cm 531cm 237.W ;W y z == 122.9MPa Pa 10912210 5311058821023710569966 3 63=?=??+??=+=--....W M W M σy y z z max []σσmax <，强度满足要求。 14?2 矩形截面木檩条，受力如图所示。已知：l =4m ，q =2kN/m ，E =9GPa ，[σ]=12MPa ， 4326'=οα，b =110mm ，h =200mm ，200 1][=l f 。试验算檩条的强度和刚度。 z
解：kN.m 4428 1 8122=??== ql M kN.m;789143264kN.m;578343264.sin φsin M M .cos φcos M M y z ='?==='?==οοm ...W ;m ...W y z 424210033411022061 10333722011061--?=??=?=??= MPa 329Pa 1032910 033410789110333710578364 343......W M W M σy y z z max =?=??+??=+=-- []σσmax <，强度满足要求。 m ...sin EI φsin ql f m ...cos EI φcos ql f y y z z 33 943433 943410931411022012 1 1093844326410253845100349220110121 1093844326410253845--?=?????'????==?=?????' ????= =οο mm ..f f f y z 4517104517322=?=+= - 200 1 2291< =l f ，所以挠度满足要求。 14?3 一矩形截面悬臂梁，如图所示，在自由端有一集中力F 作用，作用点通过截面的形心，与y 轴成φ角。已知：F =2kN ，l =2m ，φ=15°，[σ]=10MPa ，E =9GPa ，h/b =1.5，容许挠度为l /125，试选择梁的截面尺寸，并作刚度校核。 解： =M kN.m;0351154kN.m;8643154.sin φsin M M .cos φcos M M y z =?===?==οο []62 3 2310106 110035*********?=≤?+?=+=σhb .bh .W M W M σy y z z max 将h/b=1.5代入上式得：mm b 113≥;则mm h 170≥。 取b=110mm;h=170mm z
第十二章 组合变形 习 题 12.1 矩形截面杆受力如图所示。已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ， mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。 题12.1图 解：危险点在固定端 max y z z y M M W W σ= + max 6.69[]10MPa MPa σσ=<= 12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为0 30=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为m 4=l ， mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150 l w = 。试校核梁的强度和刚度。 题12.2图 22zmax 11 cos3088y M q l q l ==?解： 22ymax 11 sin 3088 z M q l q l ==?
22 ymax zmax 2 211 cos30sin 308866 z y q l q l M M bh bh W W σ??= +=+ 26cos30sin 30 ()8ql bh h b =+ 3 2 616210422 ( )8120160100.1600.120 -???=+??? []6 11.971012.0,Pa MPa σ=?==强度安全 44 z 3 5512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ?== 4 4 3 5512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ?== max W == = []4 0.0202150 m w m =<=刚度安全。 12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ， 30=?，如图所示。檩条跨长 m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。 14 kN/m q = 题12.3图 解： cos ,sin y z q q q q ??== 22 max max ,8 8 y z z y q l q l M M = = max max max []y z z y M M W W σσ=+≤
第 9 章 组 合 变 形 9-1 试分析下列构件在指定截面A 的内力分量（判断基本变形） 解：（a ）拉伸与弯曲； （b ）压缩、扭转与两个方向的弯曲； （c ）压缩、扭转与两个方向的弯曲。 9-2 木制矩形截面悬臂梁受力如图，已知 F 1 = 0.8 kN ，F 2 = 1.65 kN ，木材的许用应力 [ σ ] =10 MPa ，若矩形 h ／b = 2 ，试确定其截面尺寸。 解：显然固定端是危险截面。 kNm 6.128.01=?==l F M y kNm 65.1165.12 2 =?==l F M z =+=+=2 2max 66bh M hb M W M W M z y z z y y σ ][)2 3 3(1 3 σ≤+ = z y M M b 代入数据得到 363mm 7275001010 65 .15.16.13=??+?≥ b ， mm 180h ,mm 90≥≥b 。 9-3 工字钢简支梁受力如图，已知 F = 7 kN ，[ σ ] =160 MPa ，试选择工字钢型号。（提示：先假定 W z ／W y 的比值进行试选，然后校核。） 解：显然中间截面是危险截面。 kNm 74 1 max == l F M kNm 394.220sin max == M M y ， kNm 578.620cos max == M M z （b ）车刀 （a ）机械 构件
][max σσ≤+ = z z y y W M W M 选 6=y z W W 试算 33cm 8.2110160 6394 .26578.6] [66=???+= +≥ σy z y M M W 查表取 16 号工字钢 W y = 21.2 cm 3 ，W z = 141 cm 3 校核强度 ][M Pa 15910)2 .21394 .2141578.6(3max σσ≤=?+=+ = z z y y W M W M 强度刚好够，所以选定 16 号工字钢。 9-4 证明斜弯曲时横截面仍然绕中性轴转动（提示：证明截面形心位移垂直于中性轴）。 证明：假设在任意相距很近 dx 的截面之间作用两个M y ，M z ，其中下标 y ，z 为截面 形心主惯性轴，中性轴方程由 0=- = y I M z I M z z y y σ 确定为 ?tan ==y z z y I M I M z y 两截面之间由M z 和M y 产生的相对位移分别为 2)(dx EI M dx d Y z z z =?=θ，2)(dx EI M dx d Z y y y -=?=θ， tan =-=z y y z I M I M Z Y 显然 tan α tan ? = -1 ，α = ?±90° 即截面形心位移与中性轴互相垂直。 [反证法] 假设斜弯曲时横截面绕非中性轴转动，则中性轴上的纵向纤维将有伸长或缩短，这与斜弯曲时横截面存在有中性轴的结论是相矛盾的。故斜弯曲时横截面绕中性轴转动。 9-5 证明对正多边形截面梁，横向力无论作用方向如何偏斜，只要力的作用线通过截面形心，都只产生平面弯曲。 证明：只要证明任意正多边形的形心坐标轴为形心主惯轴即可。现以正三角形为例，图中y 、z 轴为一对正交形心主轴，y 和y 1轴为对称轴，显然，I y = I y 1，I yz = 0；由式（A-13）有 β2cos 221y z y z y y I I I I I I -++== 即 z y y z y z I I I I I I =?=-?=--00)2cos 1(2β 设Y 、Z 为一对任意正交形心轴，由式（A-15）有 02cos 2sin 2 =+-=ααyz y z YZ I I I I 即任意形心轴都是主惯性轴，其惯性矩都相等，只可能发生平面弯曲，不会发生斜弯曲。 z
第十章 组合变形 10-2 图a 所示板件，b =20mm ， =5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[] = 100 MPa ， 试求板边切口的允许深度x 。 题10-2图 解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为 F F =N )(a b F M -= (a) 显然， 2 22x b x b a -=-= (b) 将式(b)代入式(a)，得 2 Fx M = 切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为 2 2N max 432(2a)6 22a Fx a F Fx a F W M A F δδδδσ+ =+=+= 根据强度要求，在极限情况下， ][4322 σδδ=+a Fx a F 将式(b)与相关数据代入上式，得 01039.61277.042=?+--x x 由此得切口的允许深度为 m m 20.5=x
10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为a ε=×10 -3 与b ε=×10-3 ，材料的弹性模量E =210GPa 。试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。 题10-3图 解：1.求a σ和b σ 截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有 MPa 84Pa 104.010210 MPa 210Pa 100.1102103 9 39=???===???==--b b a a E εσE εσ 偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。 图10-3 2．求F 和e 将F 平移至杆轴线，得 Fe M F F ==，N 于是有 a z a E εW Fe A F σ=+= E εW Fe A F σz b =-= 代入相关数据后，上述方程分别成为 26250240=+Fe F 10500240=-Fe F
第十二章 组合变形的强度计算 思 考 题 1 何谓组合变形？如何计算组合变形杆件横截面上任一点的应力？ 2 何谓平面弯曲？何谓斜弯曲？二者有何区别？ 3 何谓单向偏心拉伸（压缩）？何谓双向偏心拉伸（压缩）？ 4 将斜弯曲、拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）分解为基本变形时，如何确定各基本变形下正应力的正负？ 5 对斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆进行强度计算时，为何只考虑正应力而不考虑剪应力？ 6 什么叫截面核心？为什么工程中将偏心压力控制在受压杆件的截面核心范围内？ 习 题 1 矩形截面悬臂梁受力如图所示，Ｆ通过截面形心且与ｙ轴成角，已知Ｆ＝1.2ｋN ，ｌ＝２ｍ，5.1, 12==?b h ?，材料的容许正应力［σ］＝10MPa ，试确定ｂ和ｈ的尺寸。 2 承受均布荷载作用的矩形截面简支梁如图所示，ｑ与ｙ轴成?角且通过形心，已知ｌ＝4ｍ，ｂ＝10ｃｍ，ｈ＝15ｃｍ，材料的容许应力［σ］＝10MPa ，试求梁能承受的最大分布荷载m ax q 。 题 1 图 题 2 图 3 如图所示斜梁横截面为正方形，a ＝10ｃｍ，Ｆ＝３ｋＮ作用在梁纵向对称平面内且为铅垂方向，试求斜梁最大拉压应力大小及其位置。
4 矩形截面杆受力如图所示，Ｆ 1和Ｆ2的作用线均与杆的轴线重合，Ｆ3作用在杆的对称平面内，已知Ｆ1＝5ｋN ，Ｆ2＝10ｋN ，Ｆ3.＝1.2ｋN ， ＝2ｍ，ｂ＝12cm ，ｈ=18cm ，试求杆中的最大压应力。 题 3 图 题 4 图 5 图为起重用悬臂式吊车，梁ＡＣ由№18工字钢制成，材料的许用正应力[σ] =100MPa 。当吊起物重（包括小车重）Ｑ＝25ｋＮ，并作用与梁的中点Ｄ时，试校核梁ＡＣ的强度。 6 柱截面为正方形，边长为ａ，顶端受轴向压力Ｆ作用，在右侧中部挖一个槽（如图），槽深4 a 。求开槽前后柱内的最大压应力值。 题 5 图 题 6 图 7 砖墙及其基础截面如图，设在1ｍ长的墙上有偏心力Ｆ＝40kN 的作用，试求截面1-1和2-2上的应力分布图。 8 矩形截面偏心受拉木杆，偏心力Ｆ＝160kN ，ｅ＝5cm ，［σ］＝10MPa ，矩形截面宽度ｂ＝16cm ，试确定木杆的截面高度ｈ
第十二章 组合变形 习 题 12.1 矩形截面杆受力如图所示。已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ，mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。 题12.1图 解：危险点在固定端 12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为m 4=l ，mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150 l w =。试校核梁的强度和刚度。 题12.2图 12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ，ο30=?，如图所示。檩条跨长m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。 题12.3图 解： 对工字钢，z y W W 大约在6～10之间，现设为8，由上式得 查40C 号钢，有， 验算 最大应力略大于许用应力，但不超过许用应力的5%，工程上允许，故可选40C 号钢 12.4 图示构架的立柱AB 用25号工字钢制成，已知kN 20=F ，[]M Pa 160=σ，试校核立柱的强度。 题12.4图 解： 由图可知 由受力图可知D 截面为危险截面，其上的轴力和弯矩分别为 25号钢3402z W cm =，248.541A cm = 12.5 图示一混凝土挡水墙，浇筑于牢固的基础上。墙高为m 2，墙厚
为m 5.0，试求：（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（混凝土重力密度3kN/m 24=γ）。（2）如果要求混凝土中不出现拉应力，试求最大允许水深h 为多少？ 题12.5图 解：以单位宽度的水坝计算 水压30 1.0109.8219.6/q gh kN m ρ==???= 混凝土对墙底的压力 墙坝的弯曲截面系数 墙坝的截面面积 墙底处的最大拉应力 最大压应力 如果混凝土中不出现拉应力，即 12.6图示一楼梯木斜梁的长度为m 4=l ，截面为m 1.0m 2.0?的矩形，受均布载荷作用，m /kN 2=q 。试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力和最大压应力。 题12.6图 杆为弯压组合变形，最大压应力和最大拉应力分别发生在跨中截面上边缘和下边缘处： 11.7 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18号工字钢，其长度为m 6.2=l 。试求当载荷kN 25=F 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 题12.7图 解： 取AB 杆为隔离体， 由∑=0A M ，即 030sin 2 =??+?-l F l F B ∴ FB =F 由B 点平衡可知 F F F B NAB 2330cos - =?-= 杆AB 在D 点的弯矩 Fl W W 41max == 故杆AB 在D 点截面有最大压应力， 查18号工字钢，得A =30.6cm 2，Wz=185cm 3
习题 [8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l8.0 =，kN F5.2 1 =，kN F0.1 2 =，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： y z y y z z W l F W l F l F W M W M 2 1 1 max 2+ + ? = + = σ 式中， z W， y W由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1. 16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1. 79 10 1. 79 10 1. 16 8.0 10 0.1 10 102 2 8.0 10 5.2 3 6 3 6 3 3 6 3 max = ? = ? ? ? + ? ? ? ? ? = - - σ [8-2]矩形截面木檩条的跨度m l4 =，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12 ] [= σ，GPa E9 =，许可挠度200 / ] [l w=。试校核檩条的强度和刚度。
图 习题?-2 8 解：（1）受力分析 )/(431.13426cos 6.1cos '0m kN q q y ===α )/(716.03426sin 6.1sin '0m kN q q z ===α (2)内力分析 )(432.14716.081 8122max ,m kN l q M z y ?=??=== )(864.24432.18 1 8122max ,m kN l q M y z ?=??=== （3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。 z z y y W M W M max ,max ,max + = + σ 式中，32 232266*********mm hb W y ≈?== 32 24693336 1601106mm bh W z ≈?== MPa mm mm N mm mm N 54.1046933310864.232266710432.13 636max =??+??=+ σ （4）强度分析 因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ，即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。 （5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： z y cy EI l q w 38454 = ，y z cz EI l q w 38454 =
8-2 人字架及承受的荷载如图所示。试求m-m 截面上的最大正应力和A 点的正应力。 m 解：（1）外力分析，判变形。由对称性可知，A 、C 两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折将发生压弯组合变形。引起弯曲的分力沿y 轴，中性轴z 过形心与对称轴y 轴垂直。 截面关于y 轴对称，形心及惯性矩 1122123 122 32 8444 A A 20010050200100(100100) 125A +A 200100+200100 200100200100(12550)12100200100200(300125100)12 3.0810 3.0810C z z z y y y I I I -+??+??+= ==???=+=+??-?++??--=?=?mm mm m (2)内力分析，判危险面：沿距B 端300毫米的m-m 横截面将人字架切开，取由左边部分为研究对象，受力如图所示。梁上各横截面上轴力为常数： ,m-m 250(1.80.3sin )(1.80.3202.5(k 22250cos =100(k ) 22y N P M P F ??= ?-=?-=?=?=N m) N (3)应力分析，判危险点，如右所示图 ①m-m 截面上边缘既有比下边缘较大的弯曲压应力，还有轴力应力的压应力，故该面上边缘是出现最大压应力。
m m max 33410010202.510(0.30.125)(Pa) 2.5115.06MPa 117.56MPa 2(0.20.1) 3.0810 N z F M y A I σ ---= +?-??=-?-=--=-???上② A 点是压缩区的点，故 m m 334 10010202.510(0.30.1250.1)(Pa) 2.549.31MPa 51.83MPa 2(0.20.1) 3.0810N a a z F M y A I σ--= +?-??=-?--=--=-???注意：最大拉应力出现在下边缘 m m max 3 3 4 10010202.510 0.125(Pa) 2.582.18MPa 79.68MPa 2(0.20.1) 3.0810N z F M y A I σ ---=+?-??= +?=-+=???下 8-3 图示起重机的最大起吊重量为W=35kN ，横梁AC 由两根NO.18槽钢组成。 材料为Q235，许用应力[σ]=120MPa 。试校核横梁的强度。 (a ) Ay (b) 解：〈1〉外力分析：外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC 发生压弯组合变形。对C 取矩BA 杆所受拉力为： 70(3.5) ()0sin 30 3.535(3.5)070203.5 C AB AB x m F F x F x ?-=→?-?-=→= -∑=kN 2〉内力分析： 轴力、弯矩均是x 的函数
第十一章组合变形 2.5 组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；
弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可； ⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。 四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、学时:2学时 六、讲课提纲 (一)斜弯曲 斜弯曲梁的变形计算 仍以矩形截面的悬臂梁为例：
12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？ N B B C N B A B C C D 解：（1）各杆的临界力 2 2 2 ..2 2 2cr BD cr EI EI P P a a ππ= = = 外 （2）求各杆的轴力与P 的关系。 由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N N N N ===。研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。 第一种情况： C:)02450CB CB X P N cos N =→ --=→=- ∑ 压杆 B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P = →--=→==∑ 拉杆 令2 ,.2 = C B cr C B cr EI N P P P a a π=- == ?外第二种情况： )C B P N = 拉杆 ()-BD BC N P ==压杆 2 2 .2 2 -== 22BD BC cr BD EI EI N P P P a a ππ=== ? 12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.
解：（1）计算柔度： ①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。 0.57101.04xz xz y l i μλ??= = = ②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。 27242.490.200xy xy z l i μλ??= = = ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。 m ax(.)242.49xz xy λλλ== （2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 2 2 2 11 2(0.110) (0.1200.200)40.28242.49 cr cr E P A A πσλ π=?= ???= ??=N kN 12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。试确定荷载P 为最大时的θ角。（2 0π θ< <） 解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：
第十一章组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、
强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；
第八章 组合变形 内容提要 一、组合变形综述 组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。 组合变形的计算方法：在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。 二、斜弯曲 斜弯曲的概念：在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心(梁不产生扭转变形)。当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度仍垂直于中性轴。 斜弯曲的计算方法：将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。 ▲正多边截面梁，不会产生斜弯曲。 ▲横截面具有外棱角(例如工字形、矩形、角形等)时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为 []max σσ≤ (8-1) ▲圆截面梁，不会产生斜弯曲，且圆截面对任一形心轴的弯曲截面系数均为3 32 d W π= (d 为圆截面的直径)。于是 max M M W σ? =? ?=? ? (8-2) 式中，y M 、z M 分别为绕y 、z 轴的弯矩，M 为总弯矩，M 的矢量方向为中性轴，max σ发生在图中的a 和b 点处。 三、拉伸(压缩)与弯曲 Ⅰ、构件发生拉伸(压缩)与弯曲组合变形时，分别计算其中拉伸(压缩)与弯曲时的应力，并将其叠加就得到组合变形的应力。 II 、构件受偏心拉伸(压缩)荷载作用时，将偏心力向横截面的形心简化，得到一轴向荷载以及绕横截面的形心主轴弯曲的弯矩y M 和z M 。偏心拉伸(压缩)仍然是拉伸(压缩)与弯曲的组合变形问题。 1、横截面具有外棱角(例如工字形、矩形等)时，危险点在横截面的外角点处，该点处于单向应力状态，只需计算出最大正应力，便可建立强度条件。
7-14 图示圆截面杆，受荷载 F1，F2 和 T 作用，试按第三强度理论校核杆的强度。已知： F1=0.7kN，F2=150kN，T=1.2kN·m，［σ］=170MPa，d=50mm， l=900mm。解：由内力分析，该杆发生拉弯扭组合变形，固定端为危险截面其内力为 FN = F2 ， M Z = F1l ， M x = T 该截面上顶点为危险点，上顶点应力状态如图，大小为τ σ s= FN M z F Fl + = 2 2 + 1 3 = 76.39MPa + 51.34MPa=127.73MPa pd A Wz p d 4 32 Mx T = = 48.89MPa WP p d 3 / 16 t= 由第三强度理论强度条件 s r 3 = s 2 + 4t 2 = 160.86MPa<[s ] ，杆安全 9-2 3 圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力［σ］=170MPa。 (1绘出A、B、C、D 四点处单元体上的应力； (2用第三强度理论对危险点进行强度校核。解：（1）A、B、C、D 四点处所在截面内力(不考虑剪力: FN = 110kN M x = F y1 × d = 90kN ′ 0.05m = 4.5kN × m 2 M z = ( Fy1 - Fy 2 × l = 10kN ′ 1m = 10kN × m M y = Fx × d = 110kN ′ 0.05m = 5.5kN × m 2 A 、B、 C、D 四点应力分别为: sA = FN M z 110kN 10kN × m + = + = 14.01MPa + 101.91MPa = 115.92MPa A Wz p × 0.12 p × 0.13 4 32 M x 4.5kN × m = = 22.93MPa = t B = t C = t D Wp p × 0.13 16 tA = 6
第十二章 能量原理及其应用 第一节 概述 U=W 储存在弹性体内的变形能U ，载荷所做的功W 。 第二节 杆件的应变能 一、 基本变形的应变能 1、轴向拉伸或压缩 lF W ?=2 1 U=lF W ?=2 1 ⑴轴力沿杆长不变 EA Nl l =? F=N ∴EA l N U 22= ⑵沿杆长轴力为变量 )(x N N = EA dx x N dU 2)(2= ?=L EA dx x N U 0 22)( 2、圆轴扭转 ?k M W 21 = ?k M W U 2 1== ⑴沿轴长T M 为常量 k T M M = P T GI l M 2= ? ∴P T GI l M U 22 = ⑵沿轴线)(x M M T T = P T GI dx x M dU 2)(2 = ?=l P T GI dx x M U 0 22)(
3、平面弯曲 ⑴纯弯曲 θm W 21 = θm W U 2 1== m M = EI Ml =θ ∴EI l M U 22= ⑵横力弯曲 )(x M M = EI dx x M dU 2)(2= EI dx x M U l 2)(20 ?= 注意：因为变形能与载荷呈非线性关系，所以在计算变形能时，一般不能采用载荷叠加的方法。 如)()()(2121M U M U M M U +≠+ ?= =F W U 2 1 F ：广义力；?：与广义力F 相对应的广义位移。 二、组合变形的应变能 =++?=?θd x M d x M l d x N dU T )(21)(21)()(21EA dx x N 2)(2+EI dx x M 2)(2+P T GI dx x M 2)(2 =U +?L EA dx x N 0 22)(+? EI dx x M l 2)(20 ?l P T GI dx x M 0 2 2)( 注意：1、前面所说的计算U 一般不能采用叠加法，是指同一类内力引起的变形能U 不能用叠加法。而这里是不同类内力引起的U 却可以用叠加法计算。 2、储存在弹性体内的弹性变形能的大小，只与作用在弹性体上的最终值有关，而与加载的（中间过程）先后顺序无关。 第三节 克拉贝隆定理 线弹性材料制成的构件或线性结构 只受一个载荷作用 ?=F U 2 1
第11章组合变形杆件的强度和刚度 11-1选择题 1. 如图所示的矩形截面柱，受F P1和F P2力作用，将产生（C）的 组合变形。 A. 弯曲和扭转 B. 斜弯曲 C. 压缩和弯曲 D. 压缩和扭转 题1图 2、叠加原理的适用条件构件必须是（C）。 A.线弹性杆件 B.小变形杆件 C.线弹性、小变形杆件 D. 线弹性、小变形直杆
3、同时发生两种或两种以上的基本变形称为（）其强度计算方法的依据是（B ）。 A.复杂变形截面法 B.组合变形叠加原理 C.组合变形平衡条件D都.不对 4 在图示刚架中，( B) 段发生拉弯组合变形。 题4图
5 图示槽型截面梁，C点为截面形心，若该梁横力弯曲时外力的作用面为纵向 平面a-a，则该梁的变形状态为( C ) 。 A.平面弯曲 B.斜弯曲 C.平面弯曲+扭转 D.斜弯曲+扭转 6.截面核心的形状与（C）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 7．下列构件中，属于拉（压）弯组合变形的是（B）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．工作中的带传动轴
8．如图所示，AB杆产生的变形是（B）。 A．拉伸与扭转的组合B．拉伸与弯曲的组合 C．扭转与弯曲的组合D．压缩与弯曲的组合 题8图 9．如图所示结构，其中AD杆发生的变形为（C）。 A．弯曲变形B．压缩变形 C．弯曲与压缩的组合变形D．弯曲与拉伸的组合变形
题9图 10.下列构件中，属于“扭弯”组合变形的是（D）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．镗削中的刀杆 11-2 矩形截面悬臂梁受力如图所示，P1作用在梁的竖向对称平面内，P2作 用在梁的水平对称平面内，F1、F2的作用线均与梁的轴线垂直，已知F 1 =2kN、 F 2=lkN，l 1 =lm，l 2 =2m，b=12cm，h=18cm，材料的容许正应力[σ]=10MPa，试校
第八章组合变形 目录 第八章组合变形 (2) §8.1 组合变形和叠加原理 (2) 一、组合变形的概念 (2) 二、组合变形的计算方法 (2) §8.2 斜弯曲 (2) 一、斜弯曲的概念 (2) 二、斜弯曲的应力计算 (2) §8.4 扭转与弯曲的组合 (4) 一、基本概念 (4) 二、扭转与弯曲的组合的应力计算 (4) 三、强度条件 (5) §8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合 (8) 一、基本概念 (8) 二、拉伸或压缩与弯曲的组合的应力计算 (8)
第八章 组合变形 §8.1 组合变形和叠加原理 一、组合变形的概念 由两种或两种基本变形的组合而成的变形。 例如：转扬机，牛腿，水坝，烟囱等。 二、组合变形的计算方法 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。 §8.2 斜弯曲 一、斜弯曲的概念 若梁作用的载荷的荷载不在同一平面内或虽在同一平面但并不位于梁的一个形心主惯性矩内，这时梁发生非平面弯曲。这种非平面弯曲可分解为两个平面弯曲。两个互相垂直平面弯曲的组合，构成斜弯曲或双向弯曲。 二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解 对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算 形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z 轴的外力将引起横截面上的弯矩y M ，也可列出
第十二章组合变形 【学时】4 内容：组合变形的概念及工程实例；斜弯曲时的应力和强度计算；拉（压）与弯曲组合时应力和强度计算；偏心压缩（拉伸）；截面核心；弯曲与扭转组合时的强度计算。 基本要求：【基本要求】 1．理解组合变形的概念[2]。 2．掌握斜弯曲时的应力和强度计算[1]。 3．掌握拉（压）与弯曲组合时应力和强度计算[1]。 4．理解偏心压缩（拉伸）[2]。 5．了解截面核心的概念[3]。 6．掌握弯曲与扭转组合时的强度计算[1]。 重点：【重点】斜弯曲，弯扭组合时的强度计算 难点：【难点】截面核心
§12–1 概 述 一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ① 外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 ③ 内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。 §12–2 斜弯曲 一、斜弯曲：挠曲线与外力（横向力）不共面。 二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。 2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。 解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 ?sin P P y =?cos P P z =
2.研究两个平面弯曲 ①内力 ???c o s s i n sin )()(M M M x L P x L P M y y z ==-=-= （2）应力M y 引起的应力：?σcos I M I z M y y y z - =- ='M z 引起的应力： ?σsin I M I y M z z z y -=- =''合应力：)sin I y cos I z (M z y ??σσσ+-=''+'= （3）中性轴方程 000=+-=)sin I y cos I z (M z y ??σ ?αctg tg 00y z I I z y == 可见：仅当Iy = Iz ，中性轴与外力才垂直 （4）最大正应力 距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点 （5）变形计算 当? = β 时，即为平面弯曲 【例】 矩形截面木檩条，简支在屋架上，跨度ｌ＝4ｍ，荷载及截面尺寸(图中单位：mm)如图所示，材料许用应力[σ]＝10MPa ，试校核檩条强度，并求最大挠度。