Mathematica数学实验——极限和导数

极限、导数和积分是高等数学中的主要概念和运算，如果你在科研中遇到较复杂的求 极限、求导数或求积分问题， Mathematica 可以帮你快速解决这些问题。

Mathematica 提供了方便的命令使这些运算能在计算机上实现，使一些难题迎刃而解。

4.1求极限运算极限的概念是整个高等数学的基础，对表达式进行极限分析也是数学里很重要的计算分析。

Mathematica 提供了计算函数极限的命令的一般形式为：Limit[函数,极限过程]具体命令形式为命令形式 1:Limit[f, x->xO]功能:计算lim f x ,其中f 是x 的函数。

x x 0命令形式 2:Limit[f, x->x0, Direction->1]功能:计算lim f x ，即求左极限，其中f 是x 的函数。

x x -0命令形式 3:Limit[f, x->x0, Direction->-1]功能:计算lim f x ，即求右极限，其中f 是x 的函数。

x x 0注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时， Mathematica 的默认状态为求右极限。

例题:1 1例1.求极限lim (22)x 1xln x x 1解：Mathematica 命令为In [1]:= Limit[1/(x Log[x]A 2)-1/(x-1)A 2, x->1]1OUt[1]= 11n1例2.求极限lim 1—nn解：Mathematica 命令为In [2]:= Limit[(1+1/ n)A n, n->I nfin ity] Out[2]=E第四章微积分运算命令与例题此极限的计算较难，用 Mathematica 很容易得结果。

例31写出求函数e 亍在x->0的三个极限命令解:Mathematica 命令为 1. Limit[Exp[1/x], x->0]2. L imit[Exp[1/x], x->0, Direction->1]3. L imit[Exp[1/x], x->0, Direction->-1] 读者可以比较其结果，观察区别。

mathematica数学实验报告本次实验使用Mathematica进行数学建模实验，主要包括以下内容：三角函数、极限和导数、积分和微分方程。

一、三角函数1. 三角函数的绘制使用Mathematica的Plot函数绘制正弦函数和余弦函数的图像。

代码：Plot[{Sin[x], Cos[x]}, {x, -2 Pi, 2 Pi},PlotStyle -> {Blue, Red}, PlotTheme -> "Web"]结果：![trigonometric_functions.png](2. 求三角函数的值使用Mathematica的N函数计算正弦函数和余弦函数在不同角度下的取值。

代码：N[Sin[Pi/6]]N[Cos[Pi/6]]N[Sin[Pi]]N[Cos[Pi]]结果：0.50.8660251.22465*10^-16-1.二、极限和导数1. 求函数的极限使用Mathematica的Limit函数计算函数x^2/(4-x)在x趋近于4时的极限。

代码：Limit[x^2/(4 - x), x -> 4]结果：82. 求函数的导数使用Mathematica的D函数计算函数x^3 - 3x的导数。

代码：D[x^3 - 3x, x]结果：3 x^2 - 3三、积分和微分方程1. 求定积分使用Mathematica的Integrate函数计算函数e^x * cos(x)在0到π/2之间的定积分。

代码：Integrate[E^x * Cos[x], {x, 0, Pi/2}]结果：1/2 (1 + E^(π/2))2. 解微分方程使用Mathematica的DSolve函数求解微分方程y''(x) + 4y(x) = 0。

代码：DSolve[y''[x] + 4 y[x] == 0, y[x], x]结果：y[x] -> C[1] Cos[2 x] + C[2] Sin[2 x]本次实验使用Mathematica进行数学建模实验，主要包括三角函数的绘制、求三角函数的值，函数的极限、导数，积分和微分方程等内容。

一个返回的是y[x]的表达式，并不能给出y[0],y’[x] 一个返回的是y的纯函数


例：

DSolve[y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y, x] DSolve[{y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y[1]==2E}, y, x]



2
1 (1 x )
2
dx
0

分段函数的积分


Hale Waihona Puke 2| x 1 | dx
0
原函数无法用初等函数表示的积分

sin x x
dx
极限概念的理解
方法：列表、作图、动画
数列极限的直观说明
观察数列 an=1/n2在n趋于无穷时的变化趋势
函数极限的直观说明
考察函数f(x)=sinx/x当x趋向于0时的变化趋势

它有时求不出，可结合极限存在的条件 有时需对被求极限的式子作一变形 无穷振荡处极限的表示方法
导数和微分
导数： D[f,x] 计算偏导数 D[f,x1,x2,…] 计算多重导数 D[f,{x,n}] 计算n阶导数 微分 Dt[f] 计算全微分 Dt[f,x] 计算全导数 Dt[f,x1,x2,…] 计算多重全导数 Dt[f,x, constants—>{c1,c2,…}] ， 其中c1,c2,…为常数
求最值所对应的程序
f[x_] = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 zhudian = Solve[f'[x] == 0, x] fxyvalue = Union[({x, f[x]}/.zhudian), {{a,f[a]}}, {{b, f[b]}}] fvalue = Transpose[fxyvalue][[2]] fmax = Max[fvalue] fmin = Min[fvalue] xx1 = Position[fxyvalue, fmax] xx2 = Position[fxyvalue, fmin] xmax = fxyvalue[[xx1[[1, 1]]]] xmin = fxyvalue[[xx2[[1, 1]]]]

Mathematica 实验报告【实验名称】利用MA THEMA TICA 作图、运算及编程.【实验目的】1。

掌握用MA THEMATICA 作二维图形，熟练作图函数Plot 、ParametricPlot 等应用，对图形中曲线能做简单的修饰.2。

掌握用MATHEMA TICA 做三维图形，对于一些二元函数能做出其等高线图等，熟练函数Plot3D ，ParametricPlot 的用法。

3、掌握用MA THEMATICA 进行微积分基本运算：求极限、导数、积分等。

【实验原理】1．二维绘图命令：二维曲线作图：Plot[fx,{x ，xmin,xmax}],二维参数方程作图：ParametricPlot[｛fx ，fy}，{t ，tmin ，tmax}]2．三维绘图命令：三维作图plot3D ［f,{x ，xmin ，xmax}，｛y,ymin ，ymax}］，三维参数方程作图：ParameticaPlot3D[{fx,fy ，fz ｝，{t ，tmin,tmax ｝］【实验内容】（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等)1。

作出函数)sin(22y x z +=π的图形. 步骤： z=Sin ［Pi Sqrt[x^2+y^2］];Plot3D ［z ，{x,-1，1},{y,—1，1}，PlotPoints →30,Lighting →True]2。

椭球面()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈==u z v u v u y v u x R R R R R R sin ,,,2,0,2,2,sin cos cos cos 332121πππ自行给定,作图. 步骤：ParametricPlot3D ［{4Cos[u ］Cos[v],3Cos ［u]Sin[v]，2Sin[u]｝，{u ，—Pi/2，Pi/2}，｛v,0，2Pi}]3.做出极坐标描绘的图形：)cos 1(4θ+=r步骤：r ［t_］:=4(1+Cos[t ］）；ParametricPlot ［{r ［t ］Cos[t]，r ［t ］Sin ［t]},｛t,0,2Pi}]【实验结果】结果1：结果2:结果3：【总结与思考】MATHEMATICA作图的常见错误：General::spell1: Possible spelling error，因为在MATHEMATICA中作图函数大小写有区别.由于拼写间要有空格，易导致错误。

mathematica二元函数求导Mathematica是一款功能强大的计算机代数系统，其在数学和科学领域被广泛应用。

其中一个重要功能就是求导。

当我们想要求二元函数的偏导数时，可以使用Mathematica的求导功能。

下面，我们将介绍如何在Mathematica中求解二元函数的偏导数。

第一步：定义函数在Mathematica中，我们可以使用“:=”符号来定义函数。

例如，我们可以定义一个二元函数f(x,y)=2x^2+3xy+4y^2：f[x_,y_]:=2x^2+3x*y+4y^2在上面的代码中，“x_”和“y_”表示这是两个未知数。

在这种情况下，我们需要告诉Mathematica这个函数有两个输入变量。

第二步：求偏导数接下来，我们可以使用D函数来求偏导数。

偏导数用于计算函数在一个特定变量上的变化率。

我们用D[f[x,y],x]来表示f(x,y)对x 求偏导数。

同样地，我们用D[f[x,y],y]表示f(x,y)对y求偏导数。

例如，我们可以计算f(x,y)对x的偏导数：D[f[x,y],x]=4x+3y同样地，我们也可以计算f(x,y)对y的偏导数：D[f[x,y],y]=3x+8y第三步：验证偏导数我们可以通过验证偏导数是否正确来确认结果。

我们可以使用Limit函数来计算函数在某一点的极限。

例如，f(x,y)的偏导数等于在(x,y)处的函数在x或y方向上的变化率，而极限则是在(x,y)处“无限接近”于函数的点。

因此，偏导数可以用以下公式进行验证：对于f(x,y)对x求偏导数，我们可以计算以下极限：Limit[(f[x+h,y]-f[x,y])/h,h->0]如果D[f[x,y],x]的计算结果与该极限的结果相同，则可以确认结果正确。

对于f(x,y)对y求偏导数，我们可以计算以下极限：Limit[(f[x,y+h]-f[x,y])/h,h->0]如果D[f[x,y],y]的计算结果与该极限的结果相同，则可以确认结果正确。

Dxyt[y_,x_,t_]:=D[y,t]/D[x,t]
自定义函数用于求参数方程所确 定的导数
例：求下列函数的一阶导数
y x3 cos x
In[1] : D x 3 * Cos[x ],x
Out[1] 3x 2Cos[x ] x 3Sin[x ]
y ln ln x
In[2] : D Log[Log[x]],x
命令
D[f[x],x] D[f[x],{x,n}]
功能 计算一元函数导数df/dx 计算一元函数高阶导数f(n)(x)
D[f,{x,n},{y,m}]
求函数f对x的n阶，对y的m阶混 合偏导数
Dt[f]
求函数f的全微分
DFxy[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0, 自定义函数用于隐函数求导 y′[x]]
学生实验
基础操作
用mathematica求下列函数的导数
y e4x
y axex
y x 1 x 1 x
y sin x2
y (x 1 x2 )n y ln tan x
应用部分
• 将一物体垂直上抛，其运动方 s 10t ，1 g试t 2 求： １）物体从t=1秒到t=2秒的平均速度；2 ２）物体从t=1秒到t=1+△t秒的平均速度 ２）物体在t=1时的瞬时速度； ３）物体从t秒到t+△t秒的平均速度； ４）物体在任意t秒时的瞬时速度。
某公司在推销一种产品个月后，每月销售额（千元）可表示为
S(t) 2t3 40t2 220t 160
1）分别求1个月，4个月，6个月，9个月，20个月后的每月销售额； 2）求变化率 S(t) 3）分别求在 t 1, 4,6,9,12 处的变化率； 4）解释该公司的CEO为什么不必为6月份的销售额下降而发愁。

负向逼近(右极限)
3. Limit[2^x,x->0,Direction->1] Out[3]=1
正向逼近(左极限)
x 0
lim 2
x
4. Limit[ArcTan[x],x->Infinity]
x
lim arctan x
Pi Out[4]= 2
正无穷大
5. Limit[ArcTan[x],x->-Infinity]
例
求下列极限:
e2 x 1 1. lim ; x 0 x
2. 3. 4. 5.
x 0
lim 2 ;

1 x
x0
lim 2 ;
x
lim arctan x ;
x
lim arctan x .
编程 解 1. Limit[(Exp[2*x]-1)/x,x->0] Out[1]=2 2. Limit[2^(1/x),x->0,Direction->-1] Out[2]=Infinity
在mathematica系统中求函数的极限mathematica求反函数mathematica求极限mathematica分段函数mathematica定义函数mathematica函数mathematica隐函数mathematica画图函数mathematica拟合函数mathematica函数赋值
x
lim arctan x
Pi Out[5]= 2
负无穷大
在Mathematica系统中求函数的极限
在 Mathematica 系统中， 求极限的函数为 Limit，其形 式如下： Limit[f[x],x->a], 其中 f[x]是以 x 为自变量的函数或表达式，x->a 中的箭头 “->”是由键盘上的减号及大于号组成的.求表达式的左极 限和右极限时，分别用如下形式实现： Limit[f[x],x->a，Direction->1] (左极限) Limit[f[x],x->a，Direction->-1] (右极限)

u 1,0 x, y
x u x, y y v x, y , v 1,0 x, y x2 y2
y u x, y x v x, y x2 y2
u 0,1 x, y
y u x, y x v x, y , v 0,1 x, y x2 y2
x u x, y y v x, y
x2 y2
结果见Math界面
【例】观察f(x) = 4x3-5x2+x-2的单调性、 凹凸性与f '(x)，f "(x)符号的关系。
若该储户每季度结算一次，则每季度利率为：0.005
4
故第一季度后储户本息共计：100,000(1 0.005;) 第二季
度后储户本息共计：100,000(1 0.005)2……
4
依此，一年后该储户
4
本息共计：100,000(1 0.005)4. 若该储户每月结算4一次，月利率为：0.005 按上面的方法
12 知一年后储户本息共计：100,000(1 0.005)12
12
若该储户等间隔结算n次，则一年后本息共计：100,000(1 0.005)n
n
随着结算次数的无限增加，即在上式中n->∞,故一年后本
息共计：lim100,000(1 n
0.005) n n
程序如下： a[n_]:=100000(1+0.005/n)^n; Limit[a[n],n->Infinity]
TableForm[%]
f[100]
Limit[f[n],n->Infinity]
1 . 9523.81 3. 27232.5 5 . 43294.8 7. 57863.7 9. 71078.2 11 . 83064.1 13. 93935.7 15. 103797 17. 112741 19. 120853 20. 124622

Mathematica数学实验——极限和导数教师指导实验4实验名称：极限和导数的运算⼀、问题：求⼀元函数的极限和导数。

⼆、实验⽬的：学会使⽤Mathematica 求数列和⼀元函数的极限（包括左极限、右极限），会求⼀元函数的导数，及利⽤导函数求原函数的单调区间和极值。

三、预备知识：本实验所⽤的Mathematica 命令提⽰1、Limit[f,x →x 0] 求函数f(x) 在x →x 0时的极限；2、Limit[f,x →x 0,Direction →-1] 求函数f(x) 在x →x 0时的右极限；Limit[f,x →x 0,Direction →1] 求函数f(x) 在x →x 0时的左极限； 3、D[f, var] 求函数f(x) 对⾃变量var 的导数；SetAttributes[k,Constant] 设定k 为常数；4、FindMinimum[f, {x, x 0}] 从x 0出发求函数f(x)的⼀个极⼩值点和极⼩值。

四、实验的内容和要求：1、求数列的极限1lim 1nn n →∞??+ 、11lim (1)nn i i i →∞=+∑；2、求函数的极限0sin lim x xx →、/2lim tan x x π→+；1lim (1)x x x e →∞-3、求下列函数的导数；sin cos n x nx ?、2cos ln x x ?、2(sin )(cos2)f x f x +4、求函数2()2ln f x x x =-的导数，求其单调区间和极值。

五、操作提⽰1、求数列的极限1lim 1nn n →∞+ 、11lim (1)nn i i i →∞=+∑；In[1]:= Limit[?n11+n ,n->Infinity]Out[1]= e In[2]:= Limit[∑ni=11i(i+1),n->∞] Out[2]= 12、求函数的极限0sin lim x xx→、/2lim tan x x π→+；1lim (1)x x x e →∞-In[3]:= Limit[Sin[x]x,x->0]Out[3]= 1In[4]:= Limit[Tan[x],x->Pi/2,Direction->-1] Out[4]= -∞ In[5]:= Limit[x(E^1 x-1),x->Infinity] Out[5]= 13、求下列函数的导数；sin cos nx nx ?、2cos ln x x ?、2(sin )(cos2)f x f x +In[6]:= D[Sin[x]^n Cos[nx],x] Out[6]= nCos[nx]Cos[x]Sin[x]-1+nIn[7]:= ?x (Cos[x]^2 Log[x])（注:?x 可以在基本输⼊输出模板中输⼊）Out[7]=2Cos[x]-x2Cos[x]Log[x]Sin[x] In[8]:= D[f[Sin[x]^2]+f[Cos[2x]]]Out[8]= -2Sin[2x]f ’[Cos[2x]]+2Cos[x]Sin[x]f ’[Sin[x]2]4、求函数2()2ln f x x x =-的导数，求其单调区间和极值。

实验报告1 函数与极限院系 班号姓名学号成绩一、实验内容函数图形的显示，极限的运算，最值的计算．二、预期目标1.熟悉Mathematica 软件的基本操作．2.掌握函数与极限的有关操作命令．3.学会利用Mathematica 软件对函数进行分析研究．三、常用命令1． 作图命令： 2． 参数作图命令： 3． 图形显示命令： 4． 求极限命令： 5． 求极值名命令：四、练习内容1.画出下列函数的图形： （1） y=cos3x作图命令：（2） f （x ）=x 5+3e x+log 3（3－x ） x ∈[－2,2]作图命令：（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t t x 2sin作图命令：（4）⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 33sin cos t ∈[0,2π]作图命令：2.求下列极限：（1）110002lim+∞>-n nn （2）113)2(3)2(lim ++∞>-+-+-n n n n n （3）35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞>- （4）3522lim -+>-x x x （5）131lim +->-x x x（6）x e xx arctan lim -+∞>-（7）156182221lim +-->-x x x x （8）)sin 11sin (lim x x x x x -∞>-计算结果：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3.讨论函数f（x）=2x3－6x2－18x+7在点2.8附近的极值．命令：结果：五、思考与提高1.怎样对隐函数的图形进行显示?2.怎样利用软件对函数极限存在性进行判断?3.如何利用软件对函数的连续性进行判断?4.如何求函数的最大（小）值?实验报告2 微分及其应用院系 班号姓名学号成绩一、实验内容导数的运算法则,复合函数求导法及参数方程求导法等．二、预期目标1.进一步理解导数及其几何应用．2.学习Mathematica 的求导命令与求导法．三、常用命令1．求导命令： 2．求微分命令： 3．隐函数求导命令： 4． 参数方程所确定的函数求导命令：四、练习内容1.求下列函数的导数： （1）x y 2ln 1+=求导命令： 求导结果： （2）21121xx y +++=求导命令：求导结果：（3） y=cos 2（cos2x ）求导命令： 求导结果：（4）y=2x/lnx求导命令： 求导结果： （5）y=ln[ln(lnt)]求导命令：求导结果： （6）xxy arccos arcsin =求导命令： 求导结果：（7）y=e arcsinx +arctane x求导命令： 求导结果：（8）xey 1sin 2-=求导命令：求导结果：2.求下列函数的二阶导数：（1） y=tanx 计算结果：y ” =（2）y=（1+x 2）arctanx 计算结果：y ” =（3）y=xtanx －cscx 计算结果：y ” =（4）y=21ln （x －1）－21ln （x+1） 计算结果：y ” = （5）⎪⎩⎪⎨⎧-==21arcsin ty t x 计算结果：y ” =（6）⎪⎩⎪⎨⎧==tb y t a x sin cos计算结果：y ” =3.求下列方程所确定的隐函数y=y （x ）的导数xyd d ： （1） sin （xy ）+cosy=0 计算结果：xyd d =（2）arctan x y =ln 22y x + 计算结果：xyd d =（3）x y =y x计算结果：xy d d =4.验证参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x tt cos sin 所确定的函数y 满足关系：)d d (2)(d d 222y x y x y x xy -=+ 程序：五、思考与提高1. 如何利用函数的导数判定函数的单调性、凹凸性?2.如何求由方程F(x,y,z)=0确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数?实验报告3 积分及其应用院系 班号姓名学号成绩一、实验内容一元函数的不定积分与定积分二、预期目标1.加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法．2.学习求积分的命令Integrate 与NIntegrate ．3.熟悉Mathematica 软件在积分运算的重要作用．三、常用命令1．求和命令： 2．求不定积分命令： 3．求定积分命令：四、练习内容1.求下列函数的一个原函数：（1）41x （2）212x +积分命令： 积分命令： 积分结果： 积分结果：（3）)1()1(22x x x ++ （4）4211xx -+ 积分命令： 积分命令： 积分结果：积分结果：（5）x x 22sin cos 2cos （6）xxe e +1积分命令： 积分命令： 积分结果： 积分结果：（7）)tan 1(cos 12x x + （8）x e x 32 积分命令： 积分命令： 积分结果：积分结果：（9）x cos 1+ （10）)34cos()23sin(+⋅+x x 积分命令： 积分命令： 积分结果： 积分结果：2.计算下列定积分：（1）⎰2/6/2d cos ππx x （2）⎰+-4/02sin 12sin 1πxxdx计算结果： 计算结果：（3）⎰-2/0d cos 351πx x（4）⎰30d cot arc x x x计算结果： 计算结果：（5）⎰---222d 11x x （6）t t e td cos 2/02⎰π计算结果：计算结果：（7）⎰+12/3d 1x xx （8）⎰π222d sin x x 计算结果： 计算结果：3.计算下列积分,并求其结果关于变量x 的导数：（1）⎰+02d 1x t t （2）⎰-xt t te 0d 2积分结果： 积分结果： 关于x 的导数：关于x 的导数：（3）⎰0sin 2d )cos(x t t （4）⎰+203d 11x t t 积分结果： 积分结果： 关于x 的导数： 关于x 的导数： 4.判定广义积分⎰∞++12)1(1x x dx 及⎰--2022)2(x exdx 的敛散性，收敛时计算出积分值． ⎰∞++12)1(1x x dx ⎰--2022)2(x exdx 程序： 程序： 结果： 结果： 5．求积分⎰-102)43(x x dx 具有6位、10位有效数的近似值． 命令： 五、思考与提高1. Mathematica 系统对分段函数的积分能否进行自动处理?2.《高等数学》中所学的积分换元法在软件系统里如何应用?3.怎样用Mathematica 中动画来演示定积分的定义?实验报告4 三角级数院系 班号 姓名 学号 成绩一、实验内容级数敛散性的判定．二、预期目标1.掌握级数的展开与求和命令．2. 学习使用Mathematica 进行级数敛散性的判定．三、常用命令1．求taylor 展式命令：四、练习内容1.求下列泰勒展开式，并在同一坐标系下画出函数图形及展开式图形． （1） ln （1+x ） 在x0=0点的8阶Taylor 展开． 程序：（2） P （x ）=x 4－5x 3+x 2－3x+4 在x0=4点的4阶Taylor 展开． 程序：（3） f （x ）=x1在x0=－1点的n 阶Taylor 展开． 程序：2.求下列级数的和函数：（1）∑∞=--112121n n x n （2）∑∞=+1)1(1n n x n n （－1≤x ≤1） 命令：命令：结果： 结果：（3）∑∞=-+112)1(n n x n n 命令： 结果：3.判定下列级数的敛散性：（1）∑∞=12n n n（2）∑∞=++13211n nn 结论：结论：（3）∑∞=1!2n nn （4）∑∞=1)(sin n n n n n π结论： 结论：（5）∑∞=+112tann n n π（6）∑∞=12)!(n nn n 结论： 结论：4.判定下列级数是否收敛，收敛时请指出是绝对收敛，还是条件收敛? （1）∑∞=---11121)1(n n n （2）∑∞=+-122)1(n n n 结论：结论：（3）∑∞=--1ln )1(n nn n （4）∑∞=12sin n n na （a 为常数） 结论： 结论：五、思考与提高用判别法可以判别级数的敛散性，但在实际应用时，往往要使用其和，原则上可用Sum 语句求和，但许多数项级数仅仅使Sum 语句求不出其和，而另－Mathematica 命令NSum 可与判别结果一起用来求出其近似值，问：是否对任一级数均可用NSum 来求其近似值?试以∑∞=-1)1(n n 为例观察．实验报告5 空间解析几何院系 班号 姓名 学号 成绩一、实验内容空间图形的显示，简单动画的制作．二、预期目标1.能正确显示空间图形．2.能用Mathematica 制作简单的动画．三、常用命令1．三维作图命令： 2．参数方程作图命令（三维曲线）： （曲面）： 3．动画命令：四、练习内容1.显示下列函数图形：（1） 椭球面⎪⎩⎪⎨⎧===v z v u y v u x cos 3sin sin 5sin cos 2，),0(),2,0(ππ∈∈v u作图命令：（2） 椭球抛物面⎪⎩⎪⎨⎧===23sin 3cos 3u z v u y v u x ，其中)2,0(),2,0(π∈∈v u作图命令：（3） 双曲抛物面⎪⎩⎪⎨⎧-===3/)(22v u z v y u x ，其中)4,4(,-∈v u作图命令：（4） 圆柱螺线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x 4sin 34cos 3，其中)5,0(∈t作图命令：3. 制作平面振动动画（利用函数y x y x f 3sin 2cos ),(=，其中x,y 均属于（-1,1））．程序：五、思考与提高用参量函数与直接函数显示图形有什么区别？比较谁更容易作出图形？实验报告6 多元微分学院系 班号 姓名 学号 成绩一、 实验题目隐函数的导数，函数的偏导数，函数的极值．二、 预期目标1.求隐函数的导数．2.求函数的偏导数和全微分．3.用微分知识求函数的极值．三、常用命令1．求偏导命令： 2．求全微分命令： 3．解方程（组）命令：四、练习内容1. 设xx xy tan =，求dxdy ． 命令： 结果：2. 设),(y x f z =由方程02=+--z xye z e所确定，求xz ∂∂． 程序： 结果：3. 设0ln 2=--xyz xy xz 确定函数),(y x f z =，求z 的全微分． 程序： 结果：4.求下列函数的偏导数：（1）yz x z y y x y y x z ∂∂∂∂-=,sin cos sin cos 2323，求结果：（2）yzx z v u y v u x y x z ∂∂∂∂+=-==,2,22，求，其中结果：4. 求函数22y x z +=在平面x+y=1上的最小值．程序： 结果：五、思考与提高1． 隐函数的二阶(偏)导数应如何求？2．函数的方向导数怎样求？实验报告7 多元积分学院系 班号 姓名 学号 成绩一、 实验题目空间立体体积和表面积．二、 预期目标1.用Mathematica 软件计算重积分．2.能解决空间立体体积和表面积的计算．三、常用命令1．求二重积分命令：四、练习内容1.计算下列重积分：（1）⎰⎰1D dxdy x y，其中D 1是由y=2x ，y=x ，x=4，x=2所围成的区域 ． 积分命令：计算结果：（2）⎰⎰+2)(22D dxdy y x，其中D 2是由y=x ，y=x+2，y=2，y=6所围成的区域．积分命令：计算结果：（3）⎰⎰++3)1ln(22D dxdy y x ，其中D 3：0,0,122≥≥≤+y x y x ． 积分命令：计算结果：（4）⎰⎰⎰Ω++3)(z y x dxdydz，其中Ω：21≤≤x ，21≤≤y ，21≤≤z ． 积分命令：计算结果：（5）⎰⎰⎰Ω++222zy x dxdydz ，其中Ω是由222z y x =+及1=z 所围成的区域． 积分命令：计算结果：2.求抛物面x y x y 2,==及平面z=0，z+x=6所围成的物体（密度为1）的质量．程序： 结果：五、思考与练习1.在实验步骤1中{x,0,1}与{y,2*x,x^2+1}能不能交换次序？为什么？2.在重积分中，如果可以用换元法，也可以用Integrate直接积分时，用哪一种方法好，为什么？3.曲线积分和曲面积分如何计算？实验报告8 常微分方程院系 班号 姓名 学号 成绩一、 实验题目常微分方程(组)的精确解．二、 预期目标1.求一阶常微分方程的精确解．2.求解简单的微分方程组和高阶方程．三、常用命令1．求解微分方程命令： 2．求解微分方程组命令： 3．求微分方程数值解命令：四、练习内容1. 求x y x y tan cos '2=+的通解．命令：结果：2. 求13232=-+y xx dx dy ，且满足y(1)=0的特解． 命令：结果：3. 求⎩⎨⎧=--=++03'5'y x y e y x x t ，满足⎩⎨⎧==0)0(1)0(y x 的特解．命令：结果：五、思考与提高如果遇见无法直接用DSolve 求解的常微分方程，如22112'x y y +=+，怎么办？院系 班号 姓名 学号 成绩一、实验内容矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置、逆）二、预期目标熟悉Mathematica 软件中关于矩阵运算的各种命令．三、常用命令1．矩阵显示命令： 2．求矩阵转置命令： 3．求逆矩阵命令： 4．求矩阵和差命令： 5．求矩阵数乘命令： 6．求矩阵乘命令：四、思考与练习已知矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=031948118763812654286174116470561091143A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=503642237253619129113281510551201187851697236421B求：（1） Ａ＇； （2）Ａ-１；（３）Ａ*B ．（1）求Ａ＇的命令： （2）求Ａ-１的命令：Ａ＇= Ａ-１=（3）求Ａ*B 的命令：Ａ*B =（请用矩阵形式表示计算结果）院系 班号 姓名 学号 成绩一、实验内容对矩阵作各种变化,初等变换．二、预期目标1.复习并掌握矩阵初等变换的方法．2.掌握Mathematic 软件中关于矩阵初等变换的相关命令．三、常用命令1．取矩阵元素命令： 2．取矩阵的子矩阵命令： 3．求矩阵维数命令：四、练习内容1．已知矩阵;302 150311101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=A(1)求A 的行向量组a 1,a 2,a 3, 以及列向量组b 1,b 2,b 3,b 4程序：(2)求A 的一，三，五行，二，三，四列交叉点上的元素做出子矩阵．程序：结果： 2.判断下列向量组是否线性相关(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1211a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1302a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3123a 程序：结论：(2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1121a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1112a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1353a 程序：结论：实验报告11 行列式运算院系 班号 姓名 学号 成绩一、实验内容行列式的计算.二、预期目标1. 复习矩阵的行列式的求法，矩阵初等变换方法.2. 熟悉Mathematic 软件中关于求一个矩阵的行列式的命令把矩阵进行初等变换的命令以及与其相关的其它命令.三、常用命令1．求矩阵行列式命令：四、练习内容 1.求行列式βααββααββα+++100001000(共10阶)的值计算结果：2.利用克莱姆法则求解下列线性方程组(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-+--=++++=-+-+=+-+--=-+-+3322224343238243214225432154321543215422153321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x程序：结果：(2) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x结果：2.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=876174114A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=614475914B验证：｜Ａ×Ｂ｜=｜Ａ｜×｜Ｂ｜.程序：实验报告12 求解方程组院系 班号 姓名 学号 成绩一、实验题目求AX=B 的通解．二、实验目的通过本实验,使学生认识到虽然在《线性代数》中求AX=B 的通解比较繁，但在Mathematica 软件中却是比较简单的． 三、常用命令1．矩阵化简命令： 2．解线性方程组命令： 3．求AX=0的基础解系命令：四、练习内容1.求下列矩阵的秩:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=253414312311112A 命令： 结果： (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=189513411314311B 命令： 结果：2.解下列线性方程组:(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----512111211121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5514321x x x x 程序：结果：(2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1111145212142121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3/10324321x x x x结果：实验报告13 特征值、特征向量院系 班号 姓名 学号 成绩一、实验题目计算已知矩阵的特征值和属于每一个特征值的特征向量.二、实验目的1.复习线代中的特征值与特征向量的求法.2.比较Mathematic 软件与普通方法的异同之处.三、常用命令1．求矩阵特征值命令： 2．求矩阵特征向量命令：四、练习内容求出下列矩阵的全部特征值与特征向量:1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00a a A ； 程序：结果：2.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B ； 结果：3. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=1111111111111111C . 结果：实验报告14 离散型随机变量及其相关知识院系班号姓名学号成绩一、实验内容排列、组合的计算，几种离散型随机变量的产生及其相关内容.二、预期目标1.熟练掌握Mathematical软件的基本操作．2.熟悉与排列、组合、离散型随机变量有关的操作命令．3.掌握利用Mathematical软件处理简单的概率问题．三、常用命令1．（双）阶乘运算命令：2．组合数的计算命令：3．排列数的计算命令：4．服从二项分布的随机变量的生成命令：5．服从泊松分布的随机变量命令：6．将离散型随机变量的分布律拟合为函数的命令：四、练习内容1.计算下列结果（1）15！（2）15！！命令：命令：结果：结果：2.计算下列排列组合式的结果（1）P510（2）C510（3）!6!4!2!12⨯⨯命令：命令：命令：结果：结果：结果：3．生成以n=20，p=0.3为参数服从二项分布的随机变量bdist，将其分布律图形显示．程序：4.生成以p=0.4为参数服从几何分布的随机变量bdist，将其分布律图形显示．程序：5.生成以p=0.2为参数服从泊松分布的随机变量bdist，将其分布律图形显示．程序：五、思考与提高1.试分析几种离散型随机变量分布律的最值情况？2.怎样求解离散型随机变量有关的事件概率？实验报告15 连续型随机变量及其相关知识院系班号姓名学号成绩一、实验内容连续型随机变量的产生及其相关内容．二、预期目标1.熟练掌握几种连续型随机变量产生的有关操作命令．2.掌握利用软件对连续型随机变量进行分析的方法．3.掌握利用软件处理简单的概率问题．三、常用命令1．服从均匀分布的随机变量的生成命令：2．服从正态分布的随机变量的生成命令：3．服从t分布的随机变量的生成命令：4．服从χ2分布的随机变量的生成命令：5．服从F分布的随机变量的生成命令：6．求连续型随机变量的概率密度函数的命令：7．求连续型随机变量的分布函数的命令：四、练习内容1.生成以μ=10.05和σ=0.06为参数服从正态分布的连续型随机变量gdist及其概率密度函数、分布函数并图形显示；试求概率P{9.9<gdist<10.17}．程序：2.生成以a=0，b=1为参数服从柯西分布的连续型随机变量gdist及其概率密度函数、分布函数并图形显示．程序：3.生成以n1=4，n2=8为自由度服从F分布的连续型随机变量gdist及其概率密度函数、分布函数并图形显示．程序：4．生成以α=1，β=3为服从威布尔分布的连续型随机变量gdist及其概率密度函数、分布函数并图形显示．程序：五、思考与提高怎样利用软件对随机变量函数的分布进行分析，以及有关事件概率的求解？实验报告16 数字特征院系班号姓名学号成绩一、实验内容随机变量的数字特征及其相关内容．二、预期目标1.熟练掌握随机变量数字特征的有关操作命令．2.掌握利用软件对随机变量的特征函数(母函数)的求解．3.掌握利用软件处理简单的概率问题．三、常用命令1．求随机变量的期望的命令：2．求随机变量的方差的命令：3．求随机变量的标准差的命令：4．求随机变量的函数的方差的命令：5．求数据的协方差的命令：6．求数据的协方差矩阵的命令：7．求两随机变量的相关系数的命令：8．求两数据的相关系数矩阵的命令：四、练习内容1.（1）求以λ为参数服从泊松分布的随机变量的数学期望和方差．（2）求上述随机变量函数（f(x)=x2）的数学期望．（3）求服从参数λ=0.1的指数分布的随机变量的特征函数．程序：结果：2.(1)若样本data={16.5,13.8, 16.6, 15.7, 16.0, 16.4, 15.3},求样本均值、调和均值和中位数．结果：(2)若二维总体的样本data={{1612, 7627}, {1598, 6954},{1804, 8365},{1752, 9469}, {2067, 6410}, {2365, 10327},{1646, 7320}, {1579, 8196}, {1880, 9709}, {1773, 10370},{1712, 7749}, {1932, 6818}, {1820, 9307}, {1900, 6457},{1587, 8309}, {2208, 9559}, {1487, 6255}},求样本均值向量、中位数向量、方差向量和协方差矩阵．程序：结果：实验报告17 估计理论院系班号姓名学号成绩一、实验内容单个和两个总体均值、方差的估计．二、预期目标1.熟练掌握估计理论的相关操作命令．2.熟练掌握利用Mathematical软件对总体均值、方差进行估计．3.掌握利用Mathematical软件处理估计理论相关的实际问题．三、常用命令1．求总体均值的无偏估计的命令：2．求总体方差的无偏估计的命令：3．求总体方差的极大似然估计的命令：4．求单个总体均值的区间估计的命令：5．求两个总体均值之差的区间估计的命令：6．求单个总体方差的区间估计的命令：7．求两个总体方差之比的区间估计的命令：四、练习内容1.若样本data1={4506,4508,4499,4503,4504,4510,4497,4512,4514, 4505,4493,4496,4506,4502,4509,4496}来自正态总体，方差未知(置信度为0.95)：求出总体均值、方差的置信区间．程序：结果：2.若样本data2={4507,4507,4497,4506,4503,4511,4498,4510,4514,4510,4493,4491,4507,4501,4510,4495}来自正态总体，设置信度为0.95：（1）若data1与data2的总体方差都未知，均值之差的置信区间；程序：结果：（2）若data1与data2的总体方差都为40，均值之差的置信区间．程序：结果：3.data1与data2的总体方差之比值的置信区间（置信度为0.95）．程序：结果：实验报告18 假设检验院系班号姓名学号成绩一、实验内容对单个和两个总体均值、方差的假设检验．二、预期目标1.熟练掌握假设检验有关的操作命令．2.熟练掌握利用Mathematical软件对单个总体均值、方差的假设检验．3.掌握利用Mathematical软件对两个总体均值、方差有关的假设检验．三、常用命令1．求单个总体对均值的假设检验的命令：2．求两个总体对均值之差的假设检验的命令：3．求单个总体方差的假设检验的命令：4．求两个总体方差之比值的假设检验的命令：5．求标准正态分布有关概率的命令：6．求t分布有关概率的命令：7．求χ2分布有关概率的命令：8．求F分布有关概率的命令：四、练习内容设有甲、乙两种安眠药,比较其治疗效果．X表示服用甲药后睡眠时间延长时数，Y 表示服用乙药后睡眠时间延长时数，独立观察20个病人，其中10人服用甲药，另10人服用乙药，数据如下表：试就下列两种情况分析这两种药物的疗效有无显著性的差异．（显著性水平为0.05）（1）X与Y的方差相同；（2）X与Y的方差不同．程序：程序：结论：结论：五、思考与提高针对概率论与数理统计中左边、右边假设检验的问题,如何利用软件加以实现？31。

实验四 用Mathematica 软件作导数应用实验目的:1. 掌握用Mathematica 软件作求函数极大值和极小值的语句和方法。

2. 熟悉软件在建模中应用实验过程与要求:教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。

实验的内容:一、求函数的极小值在Mathematica 系统中用FindMinimum 函数求函数的极小值，基本格式为：FindMinimum [f [x ],{x ,x 0}]其中x 0为初始值，表示求出的是f [x ]在x 0附近的极小值.因此，一般需借助于Plot 函数先作出函数的图像，由图像确定初始值，再利用FindMinimum 求出f [x ]在x 0附近的极小值. 实验1 求x e y x sin 2-=的极小值.解 In[1]:= y =Exp[-x /2]Sin[x ]Plot[y,{x ,-5,6}]FindMinimum[y ,{x ,-3}] 图像如图二、求函数的极大值因为函数f [x ]的图像与函数-f [x ]的图像关于x 轴是对称的，f [x ]取得极大值时，-f [x ]正好取得极小值，因此仍用FindMinimum 函数求函数的极大值，基本格式为：FindMinimum [-f [x ],{x ,x 0}]其中x 0为初始值，表示求出的是-f [x ]在x 0附近的极小值，设为W ，实际上间接地求出了f [x ]在x 0附近的极大值，为-W .实验2 求213xxy +=的极值. 解 In[4]:= y =3x /(1+x ^2)Plot[y ,{x ,-2,2}] FindMinimum[y,{x ,0}] In[7]:=FindMinimum[-y ,{x ,0}] 图像如图实验一求下列函数的极值： 3122223)1(25.42.31)1(.232.1+-=-=--=-+=xy x x y x y x x y建模与实验一、 问题一幢楼房的后面是一个很大的花园。

x 1
(2)求函数
f ( x, y) x 3 y 3 3x 2 3 y 2 9x 的最值
（三）Solve，Which，Print，Plot综合应用 求极值 （1）求函数 f ( x) x 3 3x 2 9x 5 的极值、拐点， 描绘该函数图像 2 f ( x ) a ln x bx x 在 x 1, x 2 （2）设函数 两点处都取得极值，试确定a, b的值，并问这 时 f ( x) 在 x 1, x 2 处是取得极大值还是极小 值？
实验六 利用Mathematica求函数极值
实验目的：综合利用求导，解方程及确定极值 的相关知识求一元及多元函数极值。
预备知识： (一)极值概念及确定极值的必要条件、充分 条件 (二)最值与极值的关系，最值的确定 (三)Mathematica中求函数极值相关命令
边学边做： (一)用命令FindMinimum求极小值： FindMinimum[f[x],{x,x0}] FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}] （1）先作图，观察之后求函数 f ( x) x 4 2x 2 在 [-3，3]内的极值 （2）作图之后求函数 f ( x, y) x 2 y 2 xy 3 x 2 y 3 的极值 (二）用求驻点的方法求函数极值 4( x 1) (1)求函数 f ( x) 2 的极值
学生实验： 一、基础部分 1．求函数 f ( x) x 2 cos x ln x 在[5，20]上的极值 2．求函数 y 3x x 3 的单调区间。 3. 求函数
z x 4 8xy 2 y 2 3
的极值点与极值.
二、应用部分
1 f ( x ) a sin x sin 3 x (1)当a为何值时, 3

MATHEMATICA 实习二导数实习目的1. 进一步理解导数与微分的概念。

2. 学习Mathematica的求导命令和求导法则，掌握求导数、偏导数和高阶导数的方法3. 深入理解和掌握求隐函数的导数，以及求由参数方程定义的函数的导数的方法。

实习准备1. 求导命令D与求微分命令Dt.D[f,x]给出f关于x的导数，而将表达式中f中的其他变量看作常量。

因此，如果f是多元函数，则给出f关于x的偏导数。

D[f,{x,n}]给出f关于x的n阶导数或者偏导数。

D[f,x,y,z…]给出f关于x,y,z…的混合偏导数。

Dt[f,x]给出f关于x的全导数，将表达式f中的其他变量都看作x的函数。

Dt[f]给出f的微分。

如果f是多元函数，则给出f的全微分。

即使表达式是抽象函数，上述命令也可以给出相应正确的结果，当然是一些抽象符号。

命令D的选项Non Co nsta nts->{…}指出{…}内的字母是x的函数。

命令Dt的选项Constants->{…}指出{…}内的字母是常数。

2. 解方程或方程组的命令Solve 解方程命令的格式为Solve[f[x]==0,x]解方程组命令的格式为Solve[{f[x,y]==0,g[x,y]==0},{x,y}]执行命令后给出方程或方程组关于指定变量的解。

方程中的等号要用双等号“==”。

如果是方程组，要用大括号将所有的方程括起来，各方程之间用逗号隔开。

3. 循环语句Do循环语句Do的基本形式为Do[表达式，循环变量的范围]表达式中一般有循环变量，有多种方法说明循环变量的取值范围。

最完整的形式为Do[表达式，{循环变量名，最小值，最大值，增量}]当省略增量时，默认增量为1。

省略最小值时，默认最小值为1。

例如输入Do[Pri nt[Si n[n *x]],{ n,1,10}]Si n[8 x]Si n[9 x]Si n[10 x]实习内容与步骤1.求函数y x n的一阶导数。

Mathematica4.0使用方法数学实验课教材首钢工学院Mathematica数学实验Mathematica 是一个交互式的计算系统．这里说的交互是指：在使用Mathematica 系统的时候，计算是在使用者（用户）和Mathematica 互相交换、转递信息数据的过程中完成的．用户通过输入设备（一般指计算机键盘）给系统发出计算的指令（命令），Mathematica 完成给定的计算工作后把计算结果告诉用户（一般通过计算机显示器）．Mathematica 是一个集成化的计算机软件系统．它的主要功能包括三个方面：符号演算、数值计算和图形绘制．例如，它可以完成多项式的各种计算（四则运算、展开、因式分解）；可以求多项式方程、有理式方程和超越方程的精确解和近似解；做数值的或一般表达式的向量和矩阵的各种计算；求一般函数表达式的极限、导函数、积分、幂级数展开，求解微分方程等等．根据教学大纲的要求及学校的课时安排（共12课时，内含2课时考试），我们将Mathematica数学软件的学习缩编成下面的四个实验，以期在短时间内使同学们掌握该软件的基本使用方法，学会用它解决高等数学中的一些常见问题．目录第一篇微积分 (1)实验一……………………………………………………实验二……………………………………………………实验三……………………………………………………实验四……………………………………………………第二篇线性代数……………………………………………………实验一……………………………………………………实验二……………………………………………………第三篇概率统计……………………………………………………第四篇复数与积分变换……………………………………………附录Mathematiac一部分函数及意义……………………第一篇微积分实验一一、实验目的1.学习在Windows下Mathematica 4.0软件的启动与退出，并熟悉其界面；2.建立文件与保存文件；3.学习用基本运算符号和模板进行加、减、乘、除、乘方、开方等常用的算术运算；4.学习表示计算结果的近似结果；5.会用符号或模板进行常见函数的输入及多项式的变换；6.会给变量赋值．二、内容与步骤1.Mathematica 4.0的启动与退出启动计算机，屏幕上显示Windows界面，单击“开始”进入主菜单，将鼠标移向“程序”，找到包含Mathematica 4.0的程序组，单击可执行程序Mathematica 4.0就进入了该系统，此时系统已进入交互状态，在等待用户输入命令．当软件使用完毕后，需要退出Mathematica系统时，只须单击工作窗口右上方的“File”菜单中选用命令“Exit”，或者按“Alt+F4”键均可退出系统，回到操作系统状态．例如：输入2+3后，按Enter+Shift组合键或右边小键盘上的Enter键运行，屏幕上就显示出In[1]:=2+3Out[1]=5其中In[1]：= 表示第一个输入，Out[1] = 表示第一个输出，它们是在运行后由系统自动显示的，用户不必输入．注意：若直接按左边的Enter键，只是在输入的组合命令中起换行的作用．2.建立文件与保存文件在工作窗口做好的某些内容，如果想要保留以供今后多次使用，通常是建立一个文件，将做好的内容保存在文件中．单击File/ Save as，在文件名N一栏内键入一个文件名,然后左击保存S．3.算术运算与模板的使用a)：输入基本运算符号加+减-乘*（或用一个空格表示相乘）除/幂乘yx^优先运算：用圆括号，并可重复多次使用．b)：模板的调出与运用方法一：在Mathematica 3.0以上版本的输入中，可以使用工具按钮输入各种运算，其步骤如下：①单击菜单栏中的文件File选项；②在下拉菜单中选择调色板Palettes选项；③在下一级菜单中单击基本计算BasicaCalculations选项，将会另外出现一个工具窗口；④在其窗口中单击计算与数值Arithmetic and Numbers选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将出现加、减、乘、除、乘方、开方等工具按钮；⑤单击需要的按钮，在原Notebook窗口中将会出现相应输入格式，将光标移到标有“□”的位置上，输入数值或表达式，就可以完成输入格式．方法二：在第③步，在下一级菜单中单击基本计算BasicInput 选项，出现一个常用的含有多种运算的模板（加、减可以直接从键盘输入+、-号） 4. 近似与精确 a ） 命令输入：N[表达式，n] 精确到n 位有效数字；N[表达式] 近似值按计算机默认的数位（6位）处理； [表达式]// N 同上；% 表示最近一次计算机运行后的输出结果；注意：1）当输出结果是610以下的数字，近似值按计算机默认的6位有效数字处理；610及610以上的近似值计算机按科学计数法处理．2）N[表达式，n] 表示精确到n 位有效数字（注：当n=1~16时，结果都按计算机默认的6位处理）． b) 模板调出：与上述算术运算模板调出的方法一相同． 例1 1）输入： N310,结果显示：0.0141592653589792）输入：N ,结果显示： 3.1（按计算机默认的6位处理） 3）输入：N %, 表示对当前结果取18位有效数字近似 4）输入：4566000.66777777777777结果显示：4.5665.Mathematica中的常数、数学函数与常见的多项式变换a)直接从键盘输入（在英文状态下）Mathematica的常数：Pi 表示πE 表示eDegree （π/180）表示度I 表示虚数iInfinity 表示无穷大∞Mathematica中常用的数学函数：幂函数Sqrt[x] (求平方根) ；指数函数Exp[x] (以e为底的指数函数)；对数函数Log[x] (以e为底的对数函数)；Log[a，x] (以a为底的对数函数)；三角函数Sin[x]，Cos[x]，Tan[x]，Cot[x]，Sec[x]，Csc[x]；反三角函数ArcSin[x]，ArcCos [x]，……；双曲函数Sinh[x]，Cosh[x]，Tanh[x]，Coth[x]，……；反双曲函数ArcSinh[x]，……．Mathematica中常见的多项式变换：Factor[表达式] 将表达式分解因式Expand[表达式] 将表达式展开成多项式和的形式Simplify[表达式] 将表达式化简成最简形式Apart[表达式] 将表达式分解为部分分式之和函数表达式的运算规则有：1）.它们都以大写字母开头，后面用小写字母．当函数名可以分成几段时，每一个段的头一个字母用大写，后面的字母用小写．例如，ArcSin[x]．2）.函数的名字是一个字符串，其中不能有空格．3）.函数的自变量表用方括号括起来，不能用圆括号．4）.多元函数的自变量之间用逗号分隔．b）模板介绍在Mathematica3.0以上版本的输入中，可以使用工具按钮输入各种函数，其步骤如下：①击菜单栏中的文件File选项；②在下拉菜单中选择调色板Palettes选项；③在下一级菜单中单击基本计算BasicaCalculations选项，将会另外出现一个工具窗口；在其窗口中单击三角与指数函数Trigonometric and Exponential Finctions选项前的符号“”，使其符号变成“▽”并列出子选项的清单；在此清单中单击三角Trigonometric选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将会出现一些三角函数和反三角函数工具按钮；单击需要的按钮，在原Notebook窗口中将会出现相应三角函数或反三角函数输入格式，将光标移到标有“□”的位置上，输入数值或表达式，就可以完成输入格式；在此清单中单击指数与对数Exponential and Logarithmic选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将会出现一些指数与对数函数工具按钮；单击需要的按钮，在原Notebook窗口中将会出现相应指数或对数函数输入格式，将光标移到标有“□”的位置上，输入数值或表达式，就可以完成输入格式；在此清单中单击双曲函数Hyperbolic选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将会出现一些双曲函数和反双曲函数工具按钮；单击需要的按钮，在原Notebook窗口中将会出现相应双曲函数和反双曲函数输入格式，将光标移到标有“□”的位置上，输入数值或表达式，就可以完成输入格式． 在其窗口中单击计算与数值Algebra 选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将出现Polynomial Manipulation ，Simplifyication 等工具按钮进行相关选择即可完成多项式的变换； 例2In[13]：＝Log[2，3.256] Out[13]：＝1.7031 例3：已知1 ,1232221-=-+=x p x x p ，计算2121 ,p p p p ⨯+，21p p ÷并将2121 ,p p p p ⨯+的结果分解因式、展开多项式，将21p p ÷的结果分解为部分分式 输入：p1 3x^22 结果显示： 12xp2 x^1P122x p11x212xp1Factor p11x1x21Expand p1p212x 4x 22x3Apart p 136. 变量赋值：命令格式：x= a 将值a 赋给变量xu=v=a 将值a 赋给变量u 、v （给多个变量赋值）f[x]/. x->a 变量x 赋值为a （求函数f[x]在x=a 时的值） u := 延迟赋值，按Shift+Enter 键没有结果输出，待给变量赋值运行后才有结果u= 直接赋值，按Shift+Enter 键后有结果输出 u=. 清除变量u 的值Clear[x] 清除变量x 的值，多用作清除函数注意：应随时将以后不再使用的变量的值清除掉，以免影响后面某些计算结果的正确性．习题一１． 计算1)62456log 3e -+并保留15位有效数字.2) sin(30)+tan(6π)并精确到小数点后7位.3)7lg 21arctan 1arcsin ++2. 给变量赋值并计算1) 若x=6,y=e,z=x+3y ，计算3z-5y 2+6(x-7)52)x=3,y=5π,计算（lgx ）⨯arcos(2y)- 9并保留18位有效数字.3．设p1=2x-1, p2=3x-7, 求 p1×p2, 并展开它，再分解因式，最后将 1／（p1×p2）分解为部分分式. 练习过程及答案N 34Log 2,566,316．8．1.0z x 3y . x 6,y3z 5y 26 x 75. x 6,y ,z 665 23 69.000000000000000000.33490675722196522x 1 3x 12x 73Expandy9．实 验 二一、实验目的1、学习使用自定义函数，会求函数值；2、学习用绘图语句作函数图形；3、学习用解方程的语句解方程、方程组；4、会建立表，进行表的基本运算. 二、内容与步骤 1、自定义函数:一般函数： f[x_]= 表达式 定义的规则x 可以被替代 f[x_]：= 表达式 延迟赋值 f[x_]=. 清除f[x_]的定义Clear[f] 清除所有以f 为函数名的函数定义 分段函数：Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…条件n ，表达式n]Which 语句是表示分段函数的常用语句． 例1：定义函数：x x x x f cos )(2++=，并求f (2)的值输入命令：显示输出： 4.9输入显示结果注意：f[2.]表示求自变量为2时函数的近似值；f[2]表示为精确值．．10．例2:定义函数....0()0.. 0....0x x g x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩并求：)0(),3(),1(g g g -的值 输入命令g x_: Which x 0,x,x 0,0,x0,（将分段函数自定义成一个函数）显示结果 1 输入显示结果 3 输入显示结果 0注意：中括号内的等号要输成双等号 2．作图：1）基本作图命令格式（a ）只规定自变量范围的作图命令：Plot[f(x),{x,x1,x2}](b) 不仅规定自变量范围，还规定因变量范围的作图命令Plot[f(x),{x,x1,x2}，PlotRange->{y1,y2}](c) 不仅规定自变量范围，还可以加标注（函数名称，坐标轴） Plot[f(x),{x,x1,x2}，PlotLabel->“表达式 ”，AxesLabel ->{“x ”,“y ”}11．2）观察函数图形的叠加情况设)...(),(21x f y x f y==，若在一个坐标系里观察这几个函数图像命令格式为：Plot[{ )(),(21x f x f },{x,x1,x2}]注意：不要将“ )(),(21x f x f ”写成“ )(),(21x f y x f y ==”例3：做出y=sinx 在[-4π4π]之间的图像Plot S in x , x ,4Pi,4例4：做出y=tanx 在[0,4π]，y ∈[-5,5]之间的图像PlotT an x , x ,0,4 ,PlotRange 5,．12．例5：做出y=sinx,sin2x,sin3x 在[0,2π]内的标出坐标轴的且用三种不同颜色标示的图像．3) 分段函数的作图先利用条件语句Which 自定义分段函数，然后用Plot 语句画出分段函数的图形格式步骤：首先输入 f [x _]：= Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…条件n ，表达式n]再输入 Plot[f(x),{x,x1,x2}] 例6 作出....0()0.. 0....0x x g x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩的图像g x _ : Which x 0,x,x 0,0,x0, Plot g x , x ,2,13 ．4）参数方程作图使用 ParametricPlot 函数可以画参数形式的图形，格式如下： ParametricPlot[{x(t)，y(t)}，{t ，a ，b}，可选项]ParametricPlot[{{x1(t)，y1(t)，{x2(t)，y2(t)}，...}，{t ，a ，b}，可选项]例7 画出圆的参数方程的⎩⎨⎧==ty tx sin cos ，0＜t ＜2π曲线图形解 In[5]：＝ParametricPlot[{Sin[t]，Cos[t]}，{t ，0，2Pi}，AspectRatio －>Automatic] Out[5]：＝AspectRatio ：指定作图的纵横比例．系统默认值约0.618：1．可以为 AspectRatio 指定任何一个其他数值．如果希望系统按实际情况作图即纵横比例为1：1，则需要将这个可选项设置为Automatic ． 5）二元函数的图像命令格式：首先定义二元函数: z[x_,y_]：=表达式 然后作图Plot3D[z[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]．14．例8 做出222y x z +=的图像输入： 输出：上述命令大多可以通过模板调出 ① 左击菜单栏中的文件File 选项； ②在下拉菜单中选择调色板Palettes 选项；③在下一级菜单中单击基本计算BasicaCalculations 选项，将会另外出现一个工具窗口；④ 在其窗口中单击图形Graphics 选项前的符号“”，使其符号变成“▽”并列出子选项的清单进行选择3．解方程： 1）解方程命令格式：Solve[f(x)= =0，x] 2) 解方程组命令格式：Solve[{f (x)= =0，g (y)= =0,…},{x,y,…}]15．上述命令可以通过模板调出 ①左击菜单栏中的文件File 选项； ②在下拉菜单中选择调色板Palettes 选项；③在下一级菜单中单击基本计算BasicaCalculations 选项，将会另外出现一个工具窗口；④在其窗口中单击图形Algebra 选项前的符号“”，使其符号变成“▽”并列出Solving Equations 选项的清单进行选择 例9 求方程063523=++-x x x 的根． 解： 输入Solve x 35x 23x 60 输出：例10 求方程组⎩⎨⎧=+=-ny x m y x 2的根 解： 输入Solvex 2y m,x y n , x ,输出：例11求解方程b x x =++-11 解： 输入输出：4．表的操作 1）表的生成．16．一维表：{a,b,c…}二维表(表中表)：{{一维表1},{一维表2},{一维表n}…} 如：一维表{1，2，3}，二维表{{1，2}，{5，2}，{6}}2）表中元素的提取一维表b 的第i 个元素: b[[i]] 或Part[[b,i]] 二维表b 的第i 个分表：b[[i]] 或Part[[b,i]] 二维表b 的第i 个分表中的第j 个元素: b[[i,j]] 如：b={{1，2}，{5，2}，{6}} b[[2]]-----显示 {5，2} b[[2,1]]----- -显示53）表的运算设b1，b2表示结构完全相同的两个表，表b1，b2的和、差、积、商等于对应元素的相应运算（分母不为零）b1={{1，2}，{5，2}，{6}}，b2={{3，1}，{0，2}，{2}} b1+ b2={{4，3}，{5，4}，{8}}习题21． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=342y x x y 2．f(x)=2x 2+5x-8, 求f （1) f （3）f( 2)作出图像3．作出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<=2 (22)0........20................sin )(32x x x x x x x x f 的图像，并求f(0.3)17．4．作出y=cosx,cos2x,cos3x 在[0,2π],标出坐标轴并带有三种不同颜色的图像 答案：Solvey 2 4x,x y 3 , x ,yx 1,y 2 , x 9,y 6f x _2x^25x 85x 2fPlot f x , x ,5,5Graphicsg 0.0.79895Plot g x , x ,5,5GraphicsPlot C os x ,Cos 2x ,Cos 3x , x ,0,2Pi ,AxesLabel "x","y" PlotStyle R GBColor 1,0,1 ,RGBColor 0,1,0 ,RGBColor 0,0,1GraphicsSurfaceGraphics实 验 三一、 实验目的1．学习用软件计算极限，判断函数的连续性；2．学习用软件计算一元函数的导数、多元函数的偏导数；3．学习用软件计算隐函数、参数式函数的导数及函数的微分、全微分； 4．学习用软件计算微分方程的解； 5．导数的简单应用． 二、 内容与步骤 1． 极限、连续：1）求一元函数的极限的命令格式是：Limit[f[x]，x －>x 0] 表示求函数x →x 0 的极限；Limit[f[x]，x －>x 0，Direction －>1] 表示求函数x →x 0-的极限（左极限）； Limit[f[x],x －>x 0，Direction －>-1] 表示求函数x →x 0+的极限（右极限）．2）若x 趋于无穷，即 x → ∞,则格式为Limit[f[x],x → ∞] x 趋于负无穷或正无穷格式为：Limit[f[x],x → - ∞] , Limit[f[x],x → + ∞]3）注：->∞ 也可由File → Palettes → BasicInput 中的符号输入 例1 求下列函数的极限：（1）443lim 24---→x x x x输入： Limit[4 ,4432→---x x x x ]输出：5 （2）xxx 3arctan lim+∞→输入：Limit[ArcTan[x]3x,x→+∞]输出：0 （3）x x x 2)4751(lim -+∞→ 输入：Limit[x x 2)4751(-+,x→∞] 输出：例2 求 x x e --→133lim 及x x e +-→133lim输入：Limit[，x→3,Direction→1]Limit[，x→3,Direction→-1] （e 为BasicInput 符号栏中的 ）输出：0 输出：∞还有一些函数没有极限,此时系统会进行相应的处理,返回一些特殊的结果.例3 求当x →0时，y ＝sinx1的极限． 解：输入：Limit[Sin[1/x]，x→0]输出：Interval[{－1，1}]上面这个例子表示当x →0时，函数sin x1在－1与1之间无穷震荡，所以没有确定的极限．例4 判定函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=02302sin )(x x x xxx f 在 x=0点是否连续．解：输入：Limit[Sin[2x]x，x →0，Direction→-1] 右极限 输出：2输入： Limit[3x +2, x →0, Direction→1]] 左极限 输出：2输入：3x+2/.x→0 计算函数值 输出：2∴ 函数在x =0这一点连续． 2． 导数、偏导数1）一阶导数)(x f '的命令格式为： D[f ，x] （f 为函数表达式，x 为自变量） 2）n 阶导数)()(x f n 的命令格式为： D[f,{x,n}] （n 为导数的阶数） 3）用BasicInput 工具栏输入： （函数表达式变量∂ 此时的函数表达式可以是一元或多元函数，变量可有一个或多个，使用灵活．如输入： x x 3（求一元函数x 3对x 的一阶导数） 输出：8x输入： x,x x 3（求一元函数x 3对x 的二阶导数） 输出：输入： x x 3y 4x （求二元函数x 3y 4对x 的一阶偏导数）输出：3x 2y 8输入： y x 3y 4x （求二元函数x 3y 4对y 的一阶偏导数）输出：x 38输入： x,x x 3y 4x （求二元函数x 3y 4对x 的二阶偏导数）输出：6x y输入：x,y x 3y 4x （求二元函数x 3y 4先对x 后对y 的二阶偏导数）输出：3x 21输入： y,y x 3y 4x（求二元函数x 3y 4对y 的二阶偏导数）输出：例1 求下列显函数的导数：（1）3532x x y += （2）x e x y 2= （3）12ln +=x x y 解:（1）输入： D[2 x 5+3 x 3，x]输出： 9x 2+10x 4（2）输入：x x输出：2 xx（3）输入：x Log x2x输出：例2 求函数22ln ),(y x y x f +=的偏导数x f ∂∂，y f∂∂，y x f ∂∂∂2解： 输入：输出：x输入： 输出：x输入：输出：例3 求函数5-202Q Q R =，当Q=15和Q=20时的()20)15(R R ''及 解：求函数在一点x 0处的导数值,只需在输入表达式后面再继续输入“/.x→x 0”即可.方法一：输入：D[Q ,5Q -Q 202]/．Q →15 输出：14 （即 (15)14R '=）输入：D[Q ,5Q -Q 202]/．Q →20 输出：12． （即 (20)12R '=）方法二：（函数表达式）变量∂/.x->a输入：输出：输入：输出：12例4 求函数f （x ）＝sin ax cos bx 的一阶导数dx df ，并求ba x dxdf+=1．解: 输入：x S in a x Cos b x.x a输出：例5 求下列函数的高阶导数：（1）5x y = 求：y ''' （2）x xe y 3= 求：y '' （3）xx xy cos sin sin += 求：y ''解：（1）输入：D[x ^5，{x ，3}]输出：60x 2（2）输入：D[x Exp[3 x]，{x ，2}]输出：6 3x9输入：Simplify[D[Sin[x]/(Sin[x]+Cos[x]),{x,2}]] 输出：Cos[x]-Sin[x]Cos[x]+Sin[x]-22()()3． ㈠求隐函数的导数由方程F (x , y )=0 确定的函数)(x f y =，称为隐函数．方法：1）自定义一个导函数G[x_]对F (x ,y ）求导，但必须将变量y 输入成y[x],即y 是x 的函数．2）用Solve 函数将y [x]'解出即可．即先求导再解方程．例6 求由方程12222=+by a x 所确定的隐函数的导数．解：方法一输入：D[2222x y[x]+a b-1，x ]（先自定义一个导函数G[x]，这里表达式中的y 应写成y[x]）输出：22b [x]2y[x]y'a 2x + 输入：Solve[G[x]＝＝0，y'[x]]（用解方程Solve 命令，从导函数的方程G[x ]＝0 中解出y'[x]，这里方程必须使用双等号“＝＝” ）输出：{{y'[x] → －y[x]a xb 22}}方法二：利用工具栏与解方程语句：输入：输出：例7 已知方程0=-y xe xy 确定一个y 是x 的函数)(x f ，求 )(x f '． 解: 输入：Solve x xx y xy x0,y'输出：例8.设函数满足方程sin x x y ye +=0，求 ()y x '. 解：输入：Solve x x Sin y xy xx 0,y'输出：㈡ 求函数的微分、全微分求函数的微分dy ，其形式为Dt[f(x)].输出的表达式中所含的Dt[x],这里可以视为dx .求函数f (x, y )的全微分dz , 其形式为 Dt[f[x ，y]] 例9 求y ＝sin2x 的微分dy . 解: 输入：Dt[Sin[2x]]输出：2 Cos[2 x] Dt[x]例10 求函数x e x x y 23ln +=的微分dy . 解: 输入：Dt[x ∧ 3 Log[x]+Exp[2 x]]输出：2 e 2 x Dt[x]+x 2Dt[x]+3x 2Dt[x]Log[x] 再化简一下输入：Simplify[%]输出：Dt[x](2 e 2 x +x 2+3x 2 Log[x]) 即 dx x x x e dy x )ln 32(222++= 例11 求函数u xy z =23的全微分． 解: 输入：Dt[x y^2 z^3]输出：y 2 z 3 Dt[x] ＋ 2 x y z 3 Dt[y] ＋ 3 x y 2 z 2 Dt[z] ㈢ 参数式函数的求导形如 ⎩⎨⎧==)()(t x t y ψϕ 的函数为参数式函数，其导数 t t x x y y ''='． 其输入方式为：例12．设 ⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos ，求 dx dy解： 输入： 输出：Ta例13.求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 在 4π=t 处的导数解： 输入：输出：4．用 Mathematica 解微分方程其格式为： DSolve[微分方程，y[x]，x] 注意要将y 输入成y[x] 例14 解微分方程 ()()y x y x '+=1解: 输入：DSolve[y'[x]＋y[x]＝＝1，y[x]，x]输出：{{y[x]－>1＋xE C[1]}} 例15 求微分方程（x 2＋y 2）dx －xydy ＝0的通解．解: 输入：DSolve[(x^2＋y[x]^2)Dt[x]－x y[x] Dt[y[x]]＝＝0，y[x]，x]输出：{{y[x]－>－Sqrt[x 2 (C[1]＋2 Log[x])]}，y[x]－> Sqrt[x 2 (C[1]＋2 Log[x])]}}例16 求微分方程 ()x y xy '''+=212满足初始条件10==x y ，3'0==x y 的特解． 解: 输入：DSolve[{(x^2＋1)y''[x]＝＝2x y'[x], y[0]＝＝1, y'[0]＝＝3}, y[x]，x]输出：{{y[x]－> 1＋3 x ＋x 3}}5．导数的简单应用 （1）求函数的单调区间例17 求函数123+-=x x y 的单调区间解：函数的单调区间需要用到一阶导函数的图像、一阶导函数为零的驻点．输入:f x _ : x 32（建立函数） Plotf x ,f' x, x ,3,3 ,PlotStyle G rayLevel 0.01 ,Dashing0.01（画函数与导函数图像，其中虚线为导函数图像）输出：输入：Solve f ' x（求函数的驻点） 输出：观察图像，两个驻点将定义域分成三个区间，可看出函数在 ),32,(--∞),32(+∞内为增函数，在)32,32(-内为减函数．（2）求函数的极值例18 求函数21xxy +=的极值 解： 输入：g x _ : 1 Plotg x ,g' x, x ,3,3 ,PlotStyle G rayLevel 0.01 ,Dashing0.01输出：输入：Solve g ' x输出： x 1 , x（从图中可看出两驻点分别是极小值点和极大值点）输入： g输出：2（3）求极值的近似值 例19 求函数)2(cos 25)2(sin 222xx x y +=位于),0(π内的极值的近似值． 解：输入：Plot f x , x ,0,输出：观察图形，函数约在x=0.8、x=2.3处有极大值，在x=1.6处有极小值，可用命令FindMinimum 直接求极值的近似值，其格式为：FindMinimum[f[x]，{x ，x 0}]，求以x 0为初始点的局部极小值．FindMinimum 只可求极小值的近似值，欲求极大值的近似值，须将函数换成相反函数．输入： FindMinimum f x , x ,1 输出：1.94461, x 1.623即同时得到极小值1.94461和极小值点1.62391 输入：FindMinimum f x , x ,0输出： 3.73233,x 0.8641输入： FindMinimum f x , x ,2输出：2.95708,x 2.244即函数-y 的两个极小值和两个极小值点，从而得到函数y 的两个极大值和极大值点．（4）最大、最小值的应用例20 要制造一个容积为2,上端为半球形，下端为圆柱的粮仓，问：当圆柱的高和底半径为何值时，粮仓的表面积最小？ 解: 设粮仓的表面积为S ，圆柱的高为h>0, 底半径为r>0.由题意，粮仓的容积2=323421 r h r ππ⋅+，则 )31 1(2 322223r r r r h -=-=πππ ∴粮仓的表面积S=⋅r 2π)31 1(22r r -π+324 42122r r r ππ+=⋅. 输入： FindMinimum[4/r+2πr 2/3,{r,10}] 输出：{6.09295,{r →0.984745}}.（5）微分方程的应用例21 一质量为m 千克的物体从高处下落，所受空气阻力与速度成正比，设物体开始下落时（t=0）的速度为零，求物体下落速度与时间的函数关系v (t). 解：设物体所受空气阻力为f ，由题得 kv f =（k 为比例系数），下落时所受重力为mg ，根据牛顿第二定律有 v m ma kv mg f mg '==-=- 输入：DSolvem v' t m g k v t ,v 0 0 ,v t输出： 输入：Simplif输出：习题3 （每小题中括号内为该题答案）1. 求导数：（1）tan )2xy =[（2）1124=y （3）sin cos cos x y y y -+=220 求 .y '（4）cos()sin ,y xy x =223求 .y ' 326s i n [3x ]c o s [3x ]+y s i n [x y ][]2ycos[xy]-xy sin[xy]（5）,6x e y x ⋅= 求 )1()5(y [4051e] （6）x y z cos = ， 求 y x z z '' , [y Si ，Co]（7）xy e z =，求 y x z z '' , [，]（8）求 y e z x cos sin = 的二阶偏导数 [SinxCos x2Cos ySin xCos y Si，SinxCos x Si，Sin xCo] （9） 求函数 ⎪⎩⎪⎨⎧==-tt ey tex 的导数[（10）求函数 ⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的导数[2．求微分及全微分：（1）674335+-+=x x x y [7Dt x 12x 2Dt x 15x 4D] （2）32cot(ln )=x y ex[（3）xxx y ++=1sin ln [（4）y e z x sin = [ xCos y Dt yxDt x Si] （5）)cos(y x x z += [Cos x y Dt x x Dt x Dt ySinx] 3．解微分方程 （1）求微分方程yxdx dy -=的通解． [（2）求微分方程0)1(22=++dy x dx xy 的通解．[（3）求微分方程x yx y dx dy tan +=的通解． [{y xx ArcSin x}] （4）求微分方程x x x y dxdysin 2cot =-的通解．[y x x 2Sin x C 1 Sin] （5）求微分方程42x y y x =+'满足初始条件61)1(=y 的特解． [ y x]4．求下列极限 （1）1lim1-+→x xx [∞]（2）11lim31++-→x x x [31 ] （3）121lim +-∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x x [ 2e ]（4）判断函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=0,0,1)(2x x x x x f 在 0=x 处是否连续？ [ 不连续 ]实 验 四一、 实验目的1、 学习用软件计算不定积分；2、 学习用软件计算定积分、二重积分和广义积分；3、 定积分的简单应用，求平面面积和旋转体体积． 二、 内容与步骤 1．不定积分输入格式： BasicInput 符号栏中的符号注意：输出结果均不带积分常数． 例1 求下列不定积分 ⎰dx x5解：输入：x输出：6x 62． 定积分输入格式： BasicInput 符号栏中的符号例2 求下列定积分 ⎰-212 1dx x x解：输入：输出：3 例3 计算广义积分⎰+∞∞-+dx x 211解：输入：输出：例4 计算由抛物线2x y =和直线x y =所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积（表示出必要的步骤）解：（1）求交点输入：Solvey x,y x^2 , x ,输出： y 0,x 0 , y 1,x（2）作图 输入：Plotx ,x^2 , x ,2,输出：GraphClea Clea（3）定积分求面积输入：1 x x^2输出：6（4）定积分求体积输入：1x 2x输出：13．二重积分用Mathematica 计算二重积分的命令格式是：输入方法：先输入一元定积分符号，在中间积分变量的位置再输入一次定积分符号，作为累次积分的第一次积分．括号内为第一次积分，括号外为第二次积分． 例5 计算⎰⎰+1212x xxydy dx解: 输入：012xx 21x y输出：121 例6 计算⎰⎰+=Ddxdy y x I )(22， 其中D 由2 ,21,===y x y x y 围成解：①画平面区域图输入：输出：② Y - 型区域输入： 02y2yx 2y 2输出：3习题4（每小题中括号内为该题答案）求下列积分：(1)⎰-dx x x x)11(2[x+x](2)⎰+dx xsin 11[x 2Sin[]2x x Cos[]+Sin[]22] （3）⎰+dx x x 3)cos (sin [1(-9Cos[x]-Cos[3x]+9Sin[x]-Sin[3x])6]（4）2ln(sin )sin x dx x⎰[ -x-Cot[x]-Cot[x] Log[Sin[x]]] （5）⎰xdx x arctan 2 [（6）21sin 1cos x xdx x++⎰ [(7)⎰--1145dx xx [6](8)⎰∞--02dx xex []（9）[2](10) 计算由曲线282yx =-和x 轴所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积（表示出必要的步骤）[3，（11）计算由曲线21yx =-和22y x =+所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积（表示出必要的步骤） 过程： Solvey x 21,y 2x 2 , x ,y 0,x 1 , y 8,xPlotx 21,2x 2 , x ,2,Graph132x 2 x 213132x 2 ^2 x 21 ^2（12）计算二重积分3y Ded σ-⎰⎰，其中D 由20,1,x y y x ===围成过程：①画平面区域图② Y - 型区域1y 2 y3第二篇 线性代数实验 一一、实验目的6．掌握Mathmatica 中矩阵的输入方法； 7．学习用Mathmatica 软件计算行列式；8．学习用Mathmatica 软件进行矩阵的基本运算； 9．学习用Mathmatica 求逆矩阵及矩阵的秩.二、内容与步骤1．Mathmatica 中矩阵的输入方法 (1)按表的格式输入： （一般方法）}}{},{},{{1212222111211mn ,m ,m n ,,n ,,a a a a a a a a a A ，生成m 行n 列的矩阵(2)菜单输入：(适用于大矩阵) a)打开主菜单Input 项；b)单击Create Table/Matrix 项，输入行数及列数，填数即可。

（9）limln x ln(1 x)
x+ x+ x lim （10） x→+∞ x +1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解：
机动
目录
上页
下页
返回
结束
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例 2：当x →0时，比较下列无穷小的阶：
1 （1） x + tan2x与 cos x
（2）1 cos x与 x 解:
作 业
P33
1,2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1 x
（3） lim(1 2x) x→0
x→ 0
1 cos x lim （4） x→0 xsin x
lim x4 ln x （5）
（6）lim x→∞
ln(1+ ex ) 1+ x2
x
x +5 （7）lim x→∞ x 6
x→ 1
x
2 lim arctan x （8）x→+∞ π
2
（3）tan x sin x 与
x
2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
因此， 因此， x + tan2x 是比 1cosx 低阶的无穷小；
1 cosx 与
x2 是同阶的无穷小； x2 高阶的无穷小。
tan x sin x 是比
机动Biblioteka 目录上页下页返回
结束
内容小结
1. 掌握 六种计算极限的语句，从而熟练 利用Mathematica 计算极限。 2. 利用Mathematica 计算极限，比较无穷 小的阶

O u t L o g
2 2 2 [ 1 ] [ 3 ] 3 1 8 8 1
x
x
2
x
6
3
2 x 2 x O 2 x 3 2 4 1 2 1 5
4 5
( x 1 ) l n ( x 1 ) 在x=0处展开到x的4次幂 例，将函数 y
例：求下列函数的一阶导数
y x3 cos x
I n [ 1 ] : Dx 3 * C o s [ x ] , x
O u t [ 1 ]3 x C o s [ x ] x S i n [ x ]
2 3
y lnlnx
I n [ 2 ] : DL o g [ L o g [ x ] ] , x
解
I nS e r i e s x L o g x x
2 3 4 x x x 5 O u t [ 1 ] x O ( x )
[ 1 ] : [ ( 1 ) * [ 1 ] , { , 0 , 4 } ]
2
6 1 2
练习7
将函数 y e x 在x=1处展开到x的4次幂 将函数 y 在x= 0处展开到x的 y 5 e 次幂 s i n x 和 y c o s x
x
将函数 y
ln( x 1) 在x=1处展开到x的3次幂 x
求下列函数的一阶导数x可以按xx0的方幂展开为用mathematica进行级数运算在mathematica中函数展成幂级数的格式如下
用Mathematica进行求导运算
在Mathematica 中，求函数的导数或偏导数的格式为：
D[ f , x]
表示f对x求一阶导数

微积分基础实验报告mathematica 微积分基础实验报告【实验⽬的】1.验证Sinx 的泰勒级数；2.了解函数的升降情况以及求零点和极值；3.了解正弦函数的叠加图像;4.了解⽆极限的函数例;5.了解⽆穷积分;6.通过⽆穷⼤数列求⾃然对数e 【实验要求】1.观察多项式函数、、的图像逼进正弦曲线的情况。

2.观察函数及其导函数的图像，了解图像的升降情况以及凹凸情况，求出零点与极值。

3.观察函数与的图像，了解随着k 的增⼤，图像的变化。

4.（1）绘制函数在区间x [-1,1]上的图像，观察图像当x>0时的变化情况。

(2)在函数中取3000个点，绘制散点图。

观察这些点的分布。

5.绘制函数与的图像，观察当n 增加时p(x)向sinx 逼近的现象。

63x x y -=120653x x x y +-=!7!5!3753x x x x y -+-=63x x y -=21'2x y -k k kx y 1sin xy 1sin=∈x y sin =∏=-=nk k x x x p 1222)1()(π6.（1）通过计算与的值，观察这些值的变化趋势。

（2）绘制,与y=e 的图像，观察当x 增⼤时图像的⾛向。

（3）计算的近似值，观察这些近似值对e 的逼近情况。

【实验内容】（主要包含问题分析、计算过程、实验结果等，按课程要求完成）问题的分析（1）分别⽤不同颜⾊的曲线绘制出区间上正弦曲线以及多项式函数、、的图像。

（2）根据理论知识可知，多项式项数越多越接近正弦曲线的图像。

（1）分别⽤不同颜⾊的曲线绘制出区间上函数及其导函数的图像。

（2）当y ’<0时，函数下降，当y ’>0时函数上升，当y ’=0时，函数图像存在极值。

当y ’上升时，函数图像为凸函数，当y ’下降时，函数图像为凹图像。

当y ’取极值时，函数图像出现拐点。

（3）通过图像得出零点近似值，以及函数极⼩值的近似值，通过编程n nn a )11(+=1)11(++=n n n A x x y 10)1011(+=110)1011(++=x x y ∑∞=+=1!1=120653x x x y +-=!7!5!3753x x x x y -+-=]4,4[-∈x 63x x y -=21'2x y -=得出精确的零点与极值。