十、解直角三角形
葛泉云苏州市文昌实验中学
【课标要求】
1．掌握直角三角形的判定、性质．
2．能用面积法求直角三角形斜边上的高．
3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题．
4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系．
5．能根据已知条件求锐角三角函数值．
6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值．
7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题．
8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题．
【课时分布】
解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课
【知识回顾】
1．
2．基础知识
直角三角形的特征
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；
⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a 2+b 2=c 2；
则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2⑹射影定理：AC 2=AD AB ,BC 2=BD AB ,CD 2=DA DB ．
锐角三角函数的定义： 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c , 则sinA =a c ,cosA =b c ,tanA =a b ,cotA =b
a
特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随α的变化情况） 1
解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°） ⑴三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．
⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA =
A a c ∠的对边＝斜边,cosA = A b
c ∠的邻边＝斜边．
tanA =
A a A b ∠∠的对边＝的邻边,cotA = A b
A a
∠∠的邻边＝的对边．
⑷解直角三角形中常见类型：
①已知一边一锐角． ②已知两边．
③解直角三角形的应用． 2．能力要求
例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的四个三角函数值．
【分析】求∠BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD 是在Rt △BCD 中的一个内角，根据定义，仅一边BC 是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和CD ，二是把∠BCD 转化成∠A ，显然走第二条路较方便，因为在Rt △ABC 中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．
【解】 在Rt △ABC 中，∵ ∠ACB ＝90°∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°， ∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ． 在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB
10， ∴sin ∠BCD =sinA =BC AB =45 ,cos ∠BCD =cosA =AC AB =3
5 ,
tan ∠BCD =tanA =BC AC =43 ,cot ∠BCD =cotA =AC BC =3
4
．
【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，
即本题中角的转换．（或可利用射影定理，求出BD 、DC ，从而利用三角函数定义直接求出）
例2 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪离AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）
【分析】求CE 的长，此时就要借助于另一个直角三角形，
故过点A 作AG ⊥CD ，垂足为G ，在Rt △ACG 中，可求
出CG ，从而求得CD ，在Rt △CED 中，即可求出CE 的长．
【解】 过点A 作AG ⊥CD ，垂足为点G ，
在Rt △ACG 中，∵∠CAG ＝30°，BD ＝6， ∴tan 30°=CG AG ，∴CG =6×3
3
=2 3
∴CD =2 3 +1.5,在Rt △CED 中，sin 60°=CD EC ，∴EC =CD
sin60°
2
=4+ 3 ．
答：拉线CE 的长为4+ 3 米．
【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键．老师在复习过程中应加以引导和总结．
例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？
【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM 的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA 与AB 的坡度均为1∶0.5．
【解】 ⑴∵i =tanB ,即tanB =1
0.5 =2，∴∠B =63.43°．
⑵过点M 、N 分别作ME ⊥AD ，NF ⊥AD ， 垂足分别为E 、F ．
由题意可知：ME ＝NF ＝5，∴ME AE ＝1
0.5 ，
∴AE ＝DF ＝2.5，
∵AD =4， ∴MN =EF =1.5， ∴S 梯形ADNM ＝1
2 (1.5+4)×1＝2.75．
∴需要土方为2.75×90=247.5 (m 3) ．
【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝
垂直高度
水平距离
＝坡角的正
切值，虽然2007年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使用计算器，所以建议老师还是要复习一下计算器的使用方法．
例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A ,其正东方向有一棵大树B ，小明想测量A 、B 之间的距离，他从湖边的C 处测得A 在北偏西45°方向上，测得B 在北偏东32°方向上，且量得B 、C 间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A 、B 之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin 32°≈0.5299,cos 32°≈0.8480,tan s 32°≈0.6249,cot 32°≈1.600）
【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB 的长，只要去解Rt △ADC 和Rt △BDC 即可．
【解】过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．
由题知：∠α=45°，∠β=32°．
在Rt △BDC 中，sin 32°=BD
BC ，∴BD ＝100sin 32°≈52.99
cos 32°=CD
BC
，∴CD =100 cos 32°≈84.80．
在Rt △ADC 中，∵∠ACD =45°，∴AD =DC =84.80． ∴AB =AD +BD ≈138米． 答：AB 间距离约为138米．
【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形．
例5 在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P 处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．
B
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米．
(2)当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据2 1.41≈，3 1.73≈)． 【分析】⑴由题意易知． ⑵先要计算出OH 和PH 的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH 比较即可．
【解】⑴100； (6010)t +． ⑵作OH ⊥PQ 于点H ，可算得
1002141
OH =≈（千米），设经过t 小时时，台风中心从P 移动到H ，则201002PH t ==，算得52t =（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：601052130.5+?≈（千米）＜141（千米）．
∴城市O 不会受到侵袭．
【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决．
例6 如图所示：如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山
坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA =100米，山坡坡度为 1
2
，（即
tan ∠P AB = 1
2
）且O 、A 、B 在同一条直线上。求电视塔OC 的高度以及所在位置点P
的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留）． 【分析】很显然，电视塔OC 的高在Rt △OAC
中即可求得.
要求点P 的铅直高度，即求PE 的长，由坡度i =1:2，可设PE=x ,则AE ＝2x .此时只要列出关于x 的的方程即可.而此时要借助于
45°所在的Rt △来解决.故过点P 作PF ⊥OC ，垂足为F .在Rt △PCF 中，由PF ＝CF ，得100+2x =100 3 –x ,即可求得PE 的长. 【解】过点P 作PF ⊥OC ，垂足为F .
在Rt △OAC 中,由∠OAC ＝60°，OA ＝100，得OC ＝OA tan ∠OAC =100 3 米. 过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E .由i =1:2,设PE=x ,则AE ＝2x . ∴PF ＝OE ＝100+2x ，CF ＝100 3 –x .
在Rt △PCF 中,由∠CPF ＝45°，∴PF ＝CF ,即100+2x =100 3 –x , ∴x ＝100 3- 100
3
,
即PE =100 3- 100
3
C B O 山坡 60
45P E F
答：电视塔OC 高为100 3 米.点P 的铅直高度为100 3- 100
3
米.
【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型，即解直角三角形时，当不能直接解出三角形的边时，可设未知数，利用方程思想来解决，这是解决数学问题中常用的方法，沟通了方程与解直角三角形之间的联系． 【复习建议】
1、 立足教材，打好基础，学生通过复习，应熟练掌握解直角三角形的基本知识、基本
方法和基本技能．
2、 重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化数形结合的思想和方法的渗透、总结
和升华．
增强学生运用解直角三角形的知识解决与生产、生活相关问题的意识和能力． 3、 加强解直角三角形的知识与方程知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，
促进学生更快、更好地构建数学知识网络．
4、 重视题型的生活化，复习中强调三角函数的本质，正确理解解直角三角形中边角之
间的关系，引导学生用数学的眼光来看待问题．