16 工程地质计算机应用 2004年 第 4 期 总 36期
最短路径法射线追踪的MATLAB 实现
李志辉 刘争平（西南交通大学土木工程学院 成都 610031）
【摘要】MATLAB 是一种广泛应用的优秀的科学计算语言和工具。本文简要阐述了最短路径法的基
本原理，探讨了在MATLAB 环境中实现最短路径射线追踪的方法和步骤，并通过数值模拟演示了所
编程序在射线追踪正演计算中的应用。
【关键词】最短路径法 射线追踪 MATLAB 数值模拟
利用地震初至波确定近地表介质结构，在矿产资源的勘探开发及工程建设中有重要作
用。地震射线追踪方法是研究地震波传播的有效工具，目前常用的方法主要有有限差分解方
程法和最小路径法。最短路径方法起源于网络理论，首次由Nakanishi 和Yamaguchi 应用于
地震射线追踪中。Moser 以及Klimes 和Kvasnicha 对最短路径方法进行了详细研究。通过科
技人员的不断研究，最短路径方法目前已发展较为成熟，其基本算法的计算程序也较为固定。
被称作是第四代计算机语言的MATLAB 语言，利用其丰富的函数资源把编程人员从繁
琐的程序代码中解放出来。MATLAB 语言用更直观的、符合人们思维习惯的代码，为用户提
供了直观、简洁的程序开发环境。本文介绍运用Matlab 实现最短路径法的方法和步骤，便于
科研院校教学中讲授、演示和理解最短路径方法及其应用。
1 最短路径法射线追踪方法原理
最短路径法的基础是Fermat 原理及图论中的最短
路径理论。其基本思路是，对实际介质进行离散化，将
这个介质剖分成一系列小单元，在单元边界上设置若干
节点，并将彼此向量的节点相连构成一个网络。网络中，
速度场分布在离散的节点上。相邻节点之间的旅行时为
他们之间欧氏距离与其平均慢度之积。将波阵面看成是
由有限个离散点次级源组成，对于某个次级源（即某个
网格节点），选取与其所有相邻的点（邻域点）组成计
算网格点；由一个源点出发，计算出从源点到计算网格
点的透射走时、射线路径和射线长度；然后把除震源之
外的所有网格点相继当作次级源，选取该节点相应的计算网格点，计算出从次级源点到计算网格点的透射走时、射线路径和射线长度；将每次计算
出来走时加上从震源到次级源走时，作为震源点到该网格节点的走时，记录下相应射线路径
位置及射线长度（见图1）。
根据Fermat 原理逐步计算最小走时及射线方向。设Ω为已知走时点q 的集合，p 为与其
相邻的未知走时点，tq 分别和p 点的最小走时，tqp 为q 至p 最小走时。r 为p
的次级源位置，
图1 离散化模型（星点表示震源或次级震源，空心点为对应计算网格点）
工程地质计算机应用 2004年 第 4 期 总 36期 17
则：
)}(min :{qp q P t t t q r q +==?
∈ 根据Huygens 原理，q 只需遍历Q 的边界（即波前点），当所有波前邻点的最小走时都
求出时，这些点又成为新的波前点。应用网络理论中的最短路径算法，可以同时求出从震源
点传至所有节点之间的连线的近似地震射线路径。
2 最短路径法射线追踪基本算法步骤
把网格上的所有节点分成集合p 和q ，p 为已知最小旅行时的结点总数集合，q 为未知最
小旅行时的节点的集合。若节点总数为n ，经过n 次迭代后可求出所有节点的最小旅行时。
过程如下：
1）初始时 q 集合包含所有节点，除震源s 的旅行时已知为ts ＝0外，其余所有节点的旅
行时均为ti （i 属于Q 但不等于s ）。P 集合为空集。
2）在Q 中找一个旅行时最小的节点i ，它的旅行时为ti ；
3）确定与节点i 相连的所有节点的集合V ；
4）求节点j （j 属于V 且j 不属于P ）与节点i 连线的旅行时dtij ；
5）求节点j （）的新旅行时tj （取原有旅行时tj 与tj ＋dtij 的最小值）；
6）将i 点从Q 集合转到P 集合；
7）若P 集合中的节点个数小于总节点数N ，转2)，否则结束旅行时追踪；
8）从接收点开始倒推出各道从源点到接收点的射线路径，只要每个节点记下使它形成
最小旅行时的前一个节点号，就很容易倒推出射线路径。
Matlab 语言可以十分方便地构造用户自己的函数（可以同其它目录里的函数同名），供
主函数调用，并且通过Matlab 结构形式，根据属性名将节点上不同类型的数据组织起来，从
而简洁地实现算法中有关节点的判断、调用和运算。
3 数值模拟
3.1 构造数值模型
如图2所示，数值模拟探测区域长
Length=20m ，宽Width=8m 。假设已知背景介质速
度为V 低，存在三个黑色高速介质区，其中区域1、
2相对于水平中线对称，区域3相对水平居中，V
高＝4V 低。可离散化为行间距0.5m 、列间距为1m
的17行21列的网络。
3.2 私有函数构造 (1) 构造函数Vnew_jishuan （），用以确定子波源点所在的结点相连的所有结点集合V 。
[Vi, Vj]=Vnew_jishuan(jiedian_i,jiedian_j ,m,n)
其中，输出Vi ，Vj 分别为与子波源点所在的结点相连的所有结点的行向量与列向量；
输
图2 探测区域数值模型（空白区为低速介质区，黑色区为高速介质区）
18 工程地质计算机应用2004年第 4 期 总36期 入中jiedian_I，jiedian_j分别为子波源点所在的结点的网络行号与列号，m，n为离散网络行
列数。
(2) 构造函数wanzhengyan（），用以实现从（单一）震源激发后，追踪出已知速度场探
测区域内离散其它节点旅行时及其射线路径。
[DOTMN]=wanzhengyan(Length,Width,m,n,dotfa_i,dotfa_j,VDOTMN)
其中，输出DOTMN为Matlab结构构造出所在节点的各种属性（velocity，x，z，flag_A，
flag_Q，before_i，before_j，time，uptime，lujing_I，lujing_J）；输入中Length,Width为探测
区域长宽，dotfa_i,dotfa_j为震源点所在的结点的网络行号与列号，VDOTMN为数值模型数
度场。
3.3 程序及相关说明
本节程序，构成函数wanzhengyan（），可以实现从（单一）震源激发后，追踪出已知速
度场探测区域内离散其它节点旅行时及其射线路径。它们分别为DOTMN(i,j).time 、DOTMN(dotjie_i,dotjie_j).lujing_I、DOTMN(dotjie_i,dotjie_j).lujing_J。
程序及其说明如下：
clear,clc %清除工作空间及显示屏幕。
%第一步：初始化实际介质离散化方式及速度场分布，并设置震源点。
%输入以下输入探测区域x轴方向长度Length，z轴方向宽度Width。
Length=20; Width=8;
m=17; n=21; %区域离散化m行n列。
%输入以下输入结点矩阵速度模型VDOTMN：
VDOTMN=ones(m,n); VDOTMN([4:5],[8:10])=4;
VDOTMN([13:14], [8:10])=4; VDOTMN([8:10],[13:15])=4;%在此构造图2的速度场模型。
%定义Q为未作过子波源点的集合；P作过子波源点的集合；A为已经计算过走时的结
点集合
Q=zeros(m,n); P=zeros(m,n); A=zeros(m,n); S=zeros(m,n);
%结点矩阵DOTMN初始化。
for i=1:m
for j=1:n
DOTMN(i,j).velocity=VDOTMN(i,j);
DOTMN(i,j).x=(j-1)*Length/(n-1);
DOTMN(i,j).z=(i-1)*Width/(m-1);
DOTMN(i,j).flag_A=0;
DOTMN(i,j).flag_Q=1;
DOTMN(i,j).before_i=NaN;
DOTMN(i,j).before_j=NaN;
DOTMN(i,j).time=inf;
DOTMN(i,j).uptime=NaN;
工程地质计算机应用2004年第 4 期 总36期 19
end
end
%输入以下输入震源点初值
dotfa_i=1; dotfa_j=3;
DOTMN(dotfa_i,dotfa_j).flag_A=1;
DOTMN(dotfa_i,dotfa_j).flag_Q=0;
DOTMN(dotfa_i,dotfa_j).time=0;
jiedian_i=dotfa_i;
jiedian_j=dotfa_j;
for i=1:m
for j=1:n
if DOTMN(i,j).flag_Q == 0
P(i,j)=1;
end
end
end
%计算集合P的结点个数。
counter_P=nnz(P); %第一步初始化结束。
%第二步:找Q中一个旅行时最小的结点。
%第七部分判断部分开始。
while counter_P < (m*n)
%第三步：确定与子波源点所在的结点相连的所有结点集合V，调用函数Vnew_jishuan( ) [V_i, V_j]=Vnew_jishuan(jiedian_i,jiedian_j ,m,n);
for ii=1:length(V_i)
i=V_i(ii);
j=V_j(ii);
DOTMN(i,j).flag_A=1;
end
ii=[];
for i=1:m
for j=1:n
if DOTMN(i,j).flag_A == 1
A(i,j)=1;
end
end
end
%第四步：计算S=(A-P)不为零结点到子波源的走时。
S=A-P;
[S_i,S_j]=find(S);
for ii=1:length(S_i)
i=S_i(ii);
j=S_j(ii);
fanshu=(DOTMN(i,j).x-DOTMN(jiedian_i,jiedian_j).x).^2+(DOTMN(i,j).z-DOTMN(jiedian_i,jiedian_j).z).^2; DOTMN(i,j).uptime
20 工程地质计算机应用 2004年 第 4 期 总 36期 =2*sqrt(fanshu)/(DOTMN(i,j).velocity+DOTMN(jiedian_i,jiedian_j).velocity );
%第五步：求S 集合各结点的新旅行时
tmin_panju=min(DOTMN(i,j).time,DOTMN(jiedian_i,jiedian_j).time+DOTMN(i,j).uptime);
if tmin_panju < DOTMN(i,j).time
DOTMN(i,j).time=tmin_panju;
DOTMN(i,j).before_i=jiedian_i;
DOTMN(i,j).before_j=jiedian_j;
end
end
%第二步：找Q 中一个旅行时最小的结点。
time_min=inf;
for ii=1:length(S_i)
i=S_i(ii);
j=S_j(ii);
DotTime(i,j)=DOTMN(i,j).time;
if DotTime(i,j) <= time_min
time_min=DotTime(i,j);
jiedian_i=i;
jiedian_j=j;
end
end
%第六步：将子波结点移动出集合Q 并计算P 集合结点的个数。
DOTMN(jiedian_i,jiedian_j).flag_Q=0;
for i=1:m
for j=1:n
if DOTMN(i,j).flag_Q == 0
P(i,j)=1;
end
end
end
counter_P=nnz(P);
end
%第七部分判断结束结束。
%第八步：倒推出射线路径DOTMN().lujing_I 与,DOTMN().lujing_J
%预备接收点循环。
for dotjie_i=1:m
for dotjie_j=1:n
lu_i=dotjie_i; lu_j=dotjie_j;
Xi(1)=lu_i;
Zj(1)=lu_j;
counter_lu=2;
lu_panju=isnan( DOTMN(lu_i,lu_j).before_i ); while lu_panju< 1
Xi(counter_lu)=
DOTMN(lu_i,lu_j).before_i;
工程地质计算机应用 2004年 第 4 期 总 36期 21 Zj(counter_lu)=DOTMN(lu_i,lu_j).before_j;
lu_temp=lu_i;
lu_i =
DOTMN(lu_i,lu_j).before_i;
lu_j =DOTMN(lu_temp,lu_j).before_j;
lu_temp=[];
lu_panju =
isnan( DOTMN(lu_i,lu_j).before_i );
counter_lu=counter_lu+1;
end
DOTMN(dotjie_i,dotjie_j).lujing_I=Xi;
DOTMN(dotjie_i,dotjie_j).lujing_J=Zj;
Xi=[];Zj=[];
end
end
%第八步结束。
单一激发点最短路径射线追踪出来后，在以上程序段中加上激发点循环，可得到各激发点射线追踪路径和走时，这样就完成对探测区域数值正演计算。
在图2所示模拟区域上，标号1的列上的节点依次作为震源，在21列上各节点放置检波器，程序运行后，画出接收节点（检
波器放置点）到各激发点射线路径叠
加（见图3）。
从图3中所示的的射线路径可见，射线集中通过高速介质区域，射线透射走时最短。射线路径的对称性
与介质高速区域对称性完全一致，印
证了程序运行的正确。 4 小结
本文侧重于通过数值模拟介绍运用MATLAB 实现最短路径射线追踪的简要方法和基本步骤，文中数值模型和其计算节点设置都仅考虑十分简单的情形。在实际应用中，除计算节点设置增多外，人们不断通过引入一系列其它方法进一步修正射线路径，来提高计算效率，减少计算误差。以上最短路径射线追踪程序在MATLAB6.5运行通过，可供大家交流。
（收稿日期：2004-09-19；Email ：lizhihui1689@https://www.doczj.com/doc/8a11542617.html, ）
参考文献
[1]苏晓生.掌握MATLAB6.0及其工程应用.北京:科学出版社, 2002年1月
[2]Moser T J.Shortest path calculation of seismic[J].Geophysics,1991, 56(1):59?67
[3]张建中,陈世军,余大祥.最短路径射线追踪方法及其改进.地球物理学进展V ol.18，No.1.2003.3
[4]林伯香,孙晶梅,刘清林.层析成像低速带速度反演和静校正方法.石油物探 V ol.41，No.2.2002.6
图3 多震源穿透射线路径 （*点为震源，Δ检波器，－为初至波射线路径）
两个指定顶点之间的最短路径 问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。 以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的权和。问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。 求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。下面是该算法。 (i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。 (ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用 )}()(),({min uv w u l v l i S u +∈ 代替)(v l 。计算)}({min v l i S v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令}{11++=i i i u S S 。 (iii). 若1||-=V i ，停止；若1||- 硕士生考查课程考试试卷 考试科目：MATLAB教程 考生姓名：考生学号： 学院：专业： 考生成绩： 任课老师(签名) 考试日期：20 年月日午时至时 《MATLAB教程》试题： A、利用MATLAB设计遗传算法程序，寻找下图11个端点的最短路径，其中没有连接的端点表示没有路径。要求设计遗传算法对该问题求解。 a c d e f h i k 1 2 1 6 8 3 1 7 9 4 6 7 2 9 4 2 1 1 B、设计遗传算法求解f(x)极小值，具体表达式如下： 要求必须使用m函数方式设计程序。 C、利用MATLAB编程实现：三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全渡河？ D、结合自己的研究方向选择合适的问题，利用MATLAB进行实验。 以上四题任选一题进行实验，并写出实验报告。 选择题目： A 一、问题分析（10分） 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 1 2 1 6 8 3 1 7 9 4 6 7 2 9 4 2 1 1 如图如示，将节点编号，依次为 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11，由图论知识，则可写出其带权邻接矩阵为： 0 2 8 1 500 500 500 500 500 500 500 2 0 6 500 1 500 500 500 500 500 500 8 6 0 7 500 1 500 500 500 500 500 1 500 7 0 500 500 9 500 500 500 500 500 1 500 500 0 3 500 2 500 500 500 500 500 1 500 3 0 4 500 6 500 500 500 500 500 9 500 4 0 500 500 1 500 500 500 500 500 2 500 500 0 7 500 9 500 500 500 500 500 6 500 7 0 1 2 500 500 500 500 500 500 1 500 1 0 4 500 500 500 500 500 500 500 9 2 4 0 注：为避免计算时无穷大数吃掉小数，此处为令inf=500。 问题要求求出任意两点间的最短路径，Floyd算法采用的是在两点间尝试插入顶点，比较距离长短的方法。我思考后认为，用遗传算法很难找到一个可以统一表示最短路径的函数，但是可以对每一对点分别计算，然后加入for循环，可将相互之间的所有情况解出。观察本题可发现，所有节点都是可双向行走，则可只计算i到j的路径与距离，然后将矩阵按主对角线翻折即可得到全部数据。二、实验原理与数学模型（20分） 实现原理为遗传算法原理： 按所选择的适应度函数并通过遗传中的复制、交叉及变异对个体进行筛选，使得适应度高的个体被保留下来，组成新的群体，新的群体既继承了上一代的信息，又优于上一代。这样周而复始，群体中个体适应度不断提高，直到满足一定的条件。 数学模型如下： 设图由非空点集合和边集合组成，其中 又设的值为，故可表示为一个三元组 则求最短路径的数学模型可以描述为： 算法描述： 输入图G，源点v0，输出源点到各点的最短距离D 中间变量v0保存当前已经处理到的顶点集合，v1保存剩余的集合 1.初始化v1,D 2.计算v0到v1各点的最短距离，保存到D for each i in v0;D(j)=min[D(j),G(v0(1),i)+G(i,j)] ,where j in v1 3.将D中最小的那一项加入到v0，并且从v1删除这一项。 4.转到2，直到v0包含所有顶点。 %dijsk最短路径算法 clear,clc G=[ inf inf 10 inf 30 100; inf inf 5 inf inf inf; inf 5 inf 50 inf inf; inf inf inf inf inf 10; inf inf inf 20 inf 60; inf inf inf inf inf inf; ]; %邻接矩阵 N=size(G,1); %顶点数 v0=1; %源点 v1=ones(1,N); %除去原点后的集合 v1(v0)=0; %计算和源点最近的点 D=G(v0,:); while 1 D2=D; for i=1:N if v1(i)==0 D2(i)=inf; end end D2 [Dmin id]=min(D2); if isinf(Dmin),error,end v0=[v0 id] %将最近的点加入v0集合，并从v1集合中删除 v1(id)=0; if size(v0,2)==N,break;end %计算v0（1）到v1各点的最近距离 fprintf('计算v0（1）到v1各点的最近距离\n');v0,v1 id=0; for j=1:N %计算到j的最近距离 if v1(j) TRANSPOWORLD 2009 No.12 (Jun) 104前言 在现实生活中，我们经常遇到最短路问题，例如寻找两点之间总长度最短或者费用最低的路径。在运输、物流、设施选址以及人员调度问题中，最短路径是很常见的问题。解决最短路问题的方法有很多，例如迪杰斯特拉算法、福特算法。在这里我们介绍基于遗传算法的最短路径问题的解决方案。 模型 遗传算法基本模型 遗传算法是模仿生物进化过程，针对复杂问题开发出来的非常有效的方 基于遗传算法的最短路径问题及其MATLAB 实现 文/张书源 郭 聪 法。根据生物进化过程中的选择机制，在问题的解空间中进行选择，实现“物竞天择，适者生存”。在遗传算法中，一条染色体代表问题的一个可行解，该染色体的适应值即为对应于该可行解的函数值。一般来说，遗传算法包括以下几个主要组成部分。编码 即将问题的解表示成一个编码串（染色体），每一染色体对应问题的一 个解。遗传过程 对染色体进行操作，以产生新的染色体，通常有不同染色体之间的交叉 操作以及一条染色体的变异操作。评价与选择 对每条染色体计算其适应值，用以评价染色体的优劣，从而从父代和子代中选择较优的染色体，进入下一代的繁殖。 初试种群的创建方法 其作为问题可行解的集合。初始种群中染色体个数称为种群规模。 遗传算法的流程图如图1所示。算法过程如下: 第一步初始化种群p(t)；第二步对种群进行评价； 第三步利用交叉和变异重组p(t)以产生c(t) 第四步评价c(t)，从p(t)和c(t)选择出p(t+1)，令t=t+1；若达到繁殖代数，转第五步；否则，回第四步； 第五步返回结果。 问题描述 在图2所示的算例中，我们要找到从节点①到节点⑨的最短路径。基于优先权的编码方式 例如，一条可能的染色体如表1。路径生长 路径生长即为根据一条染色体来得到其对应的一条路。在表1的例子中，路径生长的过程如下： 初试路径上只有节点①； 与①相连且不在当前路径上的节点有②和③，其中节点③的权较大，为6，将节点③加入当前路径，当前路径变为：①—③； 与③相连且不在当前路径上的节 点有④和⑤，其中节点⑤的权较大，为 图2 C OLUMNS 特别企划 最短路径法射线追踪的MATLAB 实现 李志辉 刘争平 （西南交通大学土木工程学院 成都 610031） 摘 要：本文探讨了在MA TLAB 环境中实现最短路径射线追踪的方法和步骤，并通过数值模拟演示了所编程序在射线追踪正演计算中的应用。 关键词：最短路径法 射线追踪 MATLAB 数值模拟 利用地震初至波确定近地表介质结构，在矿产资源的勘探开发及工程建设中有重要作用。地震射线追踪方法是研究地震波传播的有效工具，目前常用的方法主要有有限差分解程函方程法和最小路径法。最短路径方法起源于网络理论，首次由Nakanishi 和Yamaguchi 应用域地震射线追踪中。Moser 以及Klimes 和Kvasnicha 对最短路径方法进行了详细研究。通过科技人员的不断研究，最短路径方法目前已发展较为成熟，其基本算法的计算程序也较为固定。 被称作是第四代计算机语言的MA TLAB 语言，利用其丰富的函数资源把编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。MA TLAB 用更直观的、符合人们思维习惯的代码，为用户提供了直观、简洁的程序开发环境。本文介绍运用Matlab 实现最短路径法的方法和步骤，便于科研院校教学中讲授、演示和理解最短路径方法及其应用。 1 最短路径法射线追踪方法原理 最短路径法的基础是Fermat 原理及图论中的最短路径理论。其基本思路是，对实际介质进行离散化，将这个介质剖分成一系列小单元，在单元边界上设置若干节点，并将彼此向量的节点相连构成一个网络。网络中，速度场分布在离散的节点上。相邻节点之间的旅行时为他们之间欧氏距离与其平均慢度之积。将波阵面看成式由有限个离散点次级源组成，对于某个次级源（即某个网格节点），选取与其所有相邻的点（邻域点）组成计算网格点；由一个源点出发，计算出从源点到计算网格点的透射走时、射线路径、和射线长度；然后把除震源之外的所有网格点相继当作次级源，选取该节点相应的计算网格点，计算出从次级源点到计算网格点的透射走时、射线路径、和射线长度；将每次计算出来的走时加上从震源到次级源的走时，作为震源点到该网格节点的走时，记录下相应的射线路径位置及射线长度。 图1 离散化模型（星点表示震源或次级震源，空心点为对应计算网格点） 根据Fermat 原理逐步计算最小走时及射线方向。设Ω为已知走时点q 的集合，p 为与其相邻的未知走时点，tq 分别和p 点的最小走时，tqp 为q 至p 最小走时。r 为p 的次级源位置，则 )}(min :{qp q P t t t q r q +==Ω ∈ 根据Huygens 原理，q 只需遍历Q 的边界（即波前点），当所有波前邻点的最小走时都求出时，这些点又成为新的波前点。应用网络理论中的最短路径算法，可以同时求出从震源点传至所有节点之间的连线近似地震射线路径。 2 最短路径法射线追踪基本算法步骤 把网格上的所有节点分成集合p 和q ，p 为已知最小旅行时的结点总数集合，q 为未知最小旅行时的节点的集合。若节点总数为n ，经过n 次迭代后可为求出所有节点的最小旅行时。过程如下： 1) 初始时 q 集合包含所有节点，除震源s 的旅行时已知为ts ＝0外，其余所有节点的旅行时均为ti ＝（i 属于Q 但不 等于s ）。P 集合为空集。 2) 在Q 中找一个旅行时最小的节点i ，它的旅行时为ti ； 3) 确定与节点i 相连的所有节点的集合V ； 4) 求节点j （j 属于V 且j 不属于P ）与节点i 连线的旅行时dtij ； 5) 求节点j （）的新旅行时tj （取原有旅行时tj 与tj ＋dtij 的最小值）； 6) 将i 点从Q 集合转到P 集合； 7) 若P 集合中的节点个数小于总节点数N ，转2，否则结束旅行时追踪； 8) 从接收点开始倒推出各道从源点道接收点的射线路径，只要每个节点记下使它形成最小旅行时的前一个节点号， 用ACO 算法求解机器人路径优化问题 4.1 问题描述 移动机器人路径规划是机器人学的一个重要研究领域。它要求机器人依据某个或某些优化原则(如最小能量消耗，最短行走路线，最短行走时间等)，在其工作空间中找到一条从起始状态到目标状态的能避开障碍物的最优路径。机器人路径规划问题可以建模为一个有约束的优化问题，都要完成路径规划、定位和避障等任务。 4.2 算法理论 蚁群算法（Ant Colony Algorithm，ACA），最初是由意大利学者Dorigo M. 博士于1991 年首次提出，其本质是一个复杂的智能系统，且具有较强的鲁棒性，优良的分布式计算机制等优点。该算法经过十多年的发展，已被广大的科学研究人员应用于各种问题的研究，如旅行商问题，二次规划问题，生产调度问题等。但是算法本身性能的评价等算法理论研究方面进展较慢。 Dorigo 提出了精英蚁群模型（EAS），在这一模型中信息素更新按照得到当前最优解的蚂蚁所构造的解来进行，但这样的策略往往使进化变得缓慢，并不能取得较好的效果。次年Dorigo 博士在文献[30]中给出改进模型（ACS），文中 改进了转移概率模型，并且应用了全局搜索与局部搜索策略，来得进行深度搜索。 Stützle 与Hoos给出了最大-最小蚂蚁系统（MAX-MINAS），所谓最大-最小即是为信息素设定上限与下限，设定上限避免搜索陷入局部最优，设定下限鼓励深度搜索。 蚂蚁作为一个生物个体其自身的能力是十分有限的，比如蚂蚁个体是没有视觉的，蚂蚁自身体积又是那么渺小，但是由这些能力有限的蚂蚁组成的蚁群却可以做出超越个体蚂蚁能力的超常行为。蚂蚁没有视觉却可以寻觅食物，蚂蚁体积渺小而蚁群却可以搬运比它们个体大十倍甚至百倍的昆虫。这些都说明蚂蚁群体内部的某种机制使得它们具有了群体智能，可以做到蚂蚁个体无法实现的事情。经过生物学家的长时间观察发现，蚂蚁是通过分泌于空间中的信息素进行信息交流，进而实现群体行为的。 下面简要介绍蚁群通过信息素的交流找到最短路径的简化实例。如图 2-1 所示，AE 之间有 蚁群算法最短路径通用Matlab程序（附图） function [ROUTES,PL,Tau]=ACASP(G,Tau,K,M,S,E,Alpha,Beta,Rho,Q) %% --------------------------------------------------------------- % ACASP.m % 蚁群算法动态寻路算法 % ChengAihua,PLA Information Engineering University,ZhengZhou,China % Email:aihuacheng@https://www.doczj.com/doc/8a11542617.html, % All rights reserved %% --------------------------------------------------------------- % 输入参数列表 % G 地形图为01矩阵，如果为1表示障碍物 % Tau 初始信息素矩阵（认为前面的觅食活动中有残留的信息素） % K 迭代次数（指蚂蚁出动多少波） % M 蚂蚁个数（每一波蚂蚁有多少个） % S 起始点（最短路径的起始点） % E 终止点（最短路径的目的点） % Alpha 表征信息素重要程度的参数 % Beta 表征启发式因子重要程度的参数 % Rho 信息素蒸发系数 % Q 信息素增加强度系数 % % 输出参数列表 % ROUTES 每一代的每一只蚂蚁的爬行路线 % PL 每一代的每一只蚂蚁的爬行路线长度 % Tau 输出动态修正过的信息素 %% --------------------变量初始化---------------------------------- %load D=G2D(G); N=size(D,1);%N表示问题的规模（象素个数） MM=size(G,1); a=1;%小方格象素的边长 Ex=a*(mod(E,MM)-0.5);%终止点横坐标 if Ex==-0.5 Ex=MM-0.5; end Ey=a*(MM+0.5-ceil(E/MM));%终止点纵坐标 Eta=zeros(1,N);%启发式信息，取为至目标点的直线距离的倒数 %下面构造启发式信息矩阵 for i=1:N if ix==-0.5 计算机仿真期末作业 姓名：吴隐奎 班级：04601 学号：041751 日期：2007-6-15 题目：Floyd 算法实现和分析 内容：用MATLAB 仿真工具实现Floyd 算法，求任意两端间的最短路径。 要求：尽可能用M 函数分别实现算法的关键部分，用M 脚本来进行算法结果验证；分别用以下两个图（用初始距离矩阵表示）进行算法验证： 图一：(0)0 100 100 1.2 9.2 100 0.5100 0 100 5 100 3.1 2100 100 0 100 100 4 1.51.2 5 100 0 6.7 100 1009.2 100 100 6.7 0 15.6 100100 3.1 4 100 15.6 0 1000.5 2 1.5 100 100 100 0]W ??????????=???????????? 图二：(0) 0 0.5 2 1.5 100 100 1000.5 0 100 100 1.2 9.2 1002 100 0 100 5 100 3.11.5 100 100 0 100 100 4100 1.2 5 100 0 6.7 100100 9.2 100 100 6.7 0 15.6100 100 3.1 4 100 15.6 0W ??????????=???????????? 算法：给定图G 及其边(,)i j 的权,(1,1)i j w i n j n ≤≤≤ ≤ F0：初始化距离矩阵(0)W 和路由矩阵(0)R 。其中： (0)0ij ij ij ij w e E w e E i j ∈??=∞???=? 若（有边） 若（无边） 若(对角线元素) (0)(0)w 0,ij ij j r ?≠∞=?? 若 其它 F1：已求得(-1)k W 和(-1)k R ，依据下面的迭代求()k W 和()k R ()(1)(1)(-1),,,,min(,)k k k k i j i j i k k j w w w w --=+ 默认是Dijkstra 算法 是有权的, 我想如果把权都赋1的话, 就相当于没权的了 参数是带权的稀疏矩阵及结点 看看这两个例子(一个有向一个无向), 或许你能找到你想知道的 % Create a directed graph with 6 nodes and 11 edges W = [.41 .99 .51 .32 .15 .45 .38 .32 .36 .29 .21]; %这是权 DG = sparse([6 1 2 2 3 4 4 5 5 6 1],[2 6 3 5 4 1 6 3 4 3 5],W) %有权的有向图 h = view(biograph(DG,[],'ShowWeights','on')) %画图, 这个好玩 % Find shortest path from 1 to 6 [dist,path,pred] = graphshortestpath(DG,1,6) %找顶点1到6的最短路径 % Mark the nodes and edges of the shortest path set(h.Nodes(path),'Color',[1 0.4 0.4]) %上色 edges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(path),'ID')); set(edges,'LineColor',[1 0 0]) %上色 set(edges,'LineWidth',1.5) %上色 下面是无向图的例子 % % Solving the previous problem for an undirected graph % UG = tril(DG + DG') % h = view(biograph(UG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on')) % % Find the shortest path between node 1 and 6 % [dist,path,pred] = graphshortestpath(UG,1,6,'directed',false) % % Mark the nodes and edges of the shortest path % set(h.Nodes(path),'Color',[1 0.4 0.4]) % fowEdges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(path),'ID')); % revEdges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(fliplr(path)),'ID')); % edges = [fowEdges;revEdges]; % set(edges,'LineColor',[1 0 0]) % set(edges,'LineWidth',1.5) clc;close all; clear; load data; % global quyu; quyu = [2,3];%一片区域 z_jl = lxjl(jdxx,lxxh);%计算路线的距离 z = qyxz(jdxx,quyu,z_jl); % 根据节点信息，从z中将y区域的节点和路线选出所有点的信息 hzlx(z); %绘制Z的图像 《MATLAB及应用》 课程论文 实践选题：最短路径问题 专业班级：10级信信息管理与信息系统1班指导教师：周宏宇 成绩评定： 最短路径问题 摘要: 在图论当中，任意两点间的最短路径问题，运用Dijkstra 算法，Flord 算法，匈牙利算法等都可以就解决这类相关问题,本文主要就是运用图论相关知识，来分析问题的。 在问题一中，需要为货车司机选择一条从地点1到地点11的最短时间问题，其实际归结为求一个两点间最短路径问题，运用运筹学中的网络模型相关知识，建立了一个一个0-1线性模型，并最终求的其结果，最短时间为21，货车司机的运输路线为1891011 vvvvv →→→→。 运用Floyd 算法解决问题二，并且运用Matlab 软件编程，Floyd 算法与Matlab 软件编程所得出的结果一致，最后得出了一个最短航程表，及任意两点间的最短航程图。 本文的最大亮点在于将问题二进行更深一步的拓展，从问题实际出发，从公司的差旅费用最小出发，利用Mtlab 软件编程的出了公司到个城市间差旅费用最小图，从而更能为公司节省成本。 任意城市间差旅费用最小 其次是本文结果的准确性，问题一运用Lingo 软件编程，和WinQSB 软件，所得出结果都是一致的，问题二更是运用Floyd 算法，Matlab 软件编程，WinQSB 软件，大大地保证了结果的准确性，并且十分恰当地运用WinQSB 软件将作图功能，把每一提的最短路径都清晰的描绘出来，更加直观地将结果展现出来。 关键字：Matlab Lingo WinQSB Floyd 算法 0-1规划 一、 问题重述 问题一需要解决的问题是在一个城市交通网络中（图一），如何从地点1找到一条时间最短路径通往地点11，在这个城市交通网络中，有单向道，也有双向道，即如何处理一个有向图与无向图结合的图论问题，并且是一个两点间的最短路径问题： 图（一） 问题二阐述的是某公司员工往来于六个城市间，给出了这六个城市间的直达航班票价（表二），需要为这家公司提供出这六个城市间任意两点间的最小航班费用表 05040251050015202515010204020100102525201005510 25 25 55 0∞????∞????∞∞??????∞??∞ ?? 表（二） 二、问题分析 问题一的分析： 实际问题是货车运输问题，货车运输从起点1到终点11，一般情况下，不存在货物往回运输，所以地点1到地点8是可以看成是一个单向道，即8指向1，同样的地点8也是指向地点9的。假设货物到达地点9时，货物要运送到终点，则地点9只能指向地点10，同理货物到达地顶点点7，只能是往地点6 的方向运 蚁群算法最短路径通用Matlab程序 下面的程序是蚁群算法在最短路中的应用，稍加扩展即可应用于机器人路径规划 function [ROUTES,PL,Tau]=ACASP(G,Tau,K,M,S,E,Alpha,Beta,Rho,Q) %% ---------------------------------------------------------------% ACASP.m % 蚁群算法动态寻路算法 % ChengAihua,PLA Information Engineering University,ZhengZhou,China % Email:aihuacheng@https://www.doczj.com/doc/8a11542617.html, % All rights reserved %% ---------------------------------------------------------------% 输入参数列表 % G 地形图为01矩阵，如果为1表示障碍物 % Tau 初始信息素矩阵（认为前面的觅食活动中有残留的信息素） % K 迭代次数（指蚂蚁出动多少波） % M 蚂蚁个数（每一波蚂蚁有多少个） % S 起始点（最短路径的起始点） % E 终止点（最短路径的目的点） % Alpha 表征信息素重要程度的参数 % Beta 表征启发式因子重要程度的参数 % Rho 信息素蒸发系数 % Q 信息素增加强度系数 % % 输出参数列表 % ROUTES 每一代的每一只蚂蚁的爬行路线 % PL 每一代的每一只蚂蚁的爬行路线长度 % Tau 输出动态修正过的信息素 %% --------------------变量初始化---------------------------------- %load D=G2D(G); N=size(D,1);%N表示问题的规模（象素个数） MM=size(G,1); a=1;%小方格象素的边长 Ex=a*(mod(E,MM)-0.5);%终止点横坐标 if Ex==-0.5 Ex=MM-0.5; end Ey=a*(MM+0.5-ceil(E/MM));%终止点纵坐标 Eta=zeros(1,N);%启发式信息，取为至目标点的直线距离的倒数 %下面构造启发式信息矩阵 for i=1:N if ix==-0.5 ix=MM-0.5; 基于matlab的floyd算法 matlab计算最短路径function [d,path]=floyd(a,sp,ep) % floyd - 最短路问题 % % Syntax: [d,path]=floyd(a,sp,ep) % % Inputs: % a - 距离矩阵是指i到j之间的距离，可以是有向的 % sp - 起点的标号 % ep - 终点的标号 % % Outputs: % d - 最短路的距离 % path - 最短路的路径 % a =[ 0 50 inf; 50 0 15 ; Inf 15 0 ];% a(i,j)，从节点i到j之间的距离 % [d,path]=floyd(a,2,5) sp=3; ep=1; n=size(a,1); D=a; path=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n if D(i,j)~=inf path(i,j)=j; %j是i的后续点 end end end for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,j)>D(i,k)+D(k,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); path(i,j)=path(i,k); end end end end p=[sp]; mp=sp; for k=1:n if mp~=ep d=path(mp,ep); p=[p,d]; mp=d; end end d=D(sp,ep) path=p 试计算下图的最短路径，1.起点C点，终点A点。 2.起点A点，终点G点。 3.起点D点，终点F点。 试计算下图的最短路径， 1.起点F点，终点A点。 2. 起点E点，终点C点。 最短路径问题m a t l a b 求解详尽版 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 MATLAB 求最短路径 利用graphshortestpath 可以求最短路径，具体用法参考MATLAB帮助Examples： S=[1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 7 8]; %起始节点向量 E=[2 3 5 4 4 6 5 7 8 6 7 8 9 9 9]; %终止节点向量 W=[1 2 12 6 3 4 4 15 7 2 7 7 15 3 10]; %边权值向量，有向图， G(9,9)=0; 9个节点 G=sparse(S,E,W); %关联矩阵的稀疏矩阵表示 G(9,9)=0; P=biograph(G,[],'ShowWeights','on');%建立有向图对象P H=view(P);%显示各个路径权值 [Dist,Path]=graphshortestpath(G,1,9,'Method','Dijkstra') %求节点1到节点9的最短路径 set(Path),'Color',[1 ]);%以下三条语句用红色修饰最短路径edges=getedgesbynodeid(H,get(Path),'ID')); set(edges,'LineColor',[1 0 0]); set(edges,'LineWidth',; %以下是运行结果，节点1到节点9的最短路径为19 Dist = 19 Path = 1 3 4 5 7 9 利用graphallshortestpaths可以求出所有最短路径Dists=graphallshortestpaths(G) %求所有最短路径Dists = 0 1 2 5 9 6 16 12 19 Inf 0 Inf 6 10 8 17 13 20 Inf Inf 0 3 7 4 14 10 17 Inf Inf Inf 0 4 2 11 7 14 Inf Inf Inf Inf 0 Inf 7 Inf 10 Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf 7 15 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf 3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 10 139 §19. 利用Matlab 编程计算最短路径及中 位点选址 1、最短路问题 两个指定顶点之间的最短路径。 例如，给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。 以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的权和。问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。 求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。下面是该算法。 (i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。 (ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用 )} ()(),({min uv w u l v l i S u +∈ 代替)(v l 。计算)}({min v l i S v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令 140 } {11++=i i i u S S 。 (iii). 若1||-=V i ，停止；若1||- 效果展示： 开头输入的是点的序列号（表示第几个点），显示的是最短路径的走法（同样以点的序列号显示，表示途径的第几个点）。 %编写m文件 function [distance,path]=dijkstra(A,s,e) % [DISTANCE,PA TH]=DIJKSTRA(A,S,E) % returns the distance and path between the start node and the end node. % % A: adjcent matrix % s: start node % e: end node % initialize n=size(A,1); % node number D=A(s,:); % distance vector path=[]; % path vector visit=ones(1,n); % node visibility visit(s)=0; % source node is unvisible parent=zeros(1,n); % parent node % the shortest distance for i=1:n-1 % BlueSet has n-1 nodes temp=zeros(1,n); count=0; for j=1:n if visit(j) temp=[temp(1:count) D(j)]; else temp=[temp(1:count) inf]; end count=count+1; end [value,index]=min(temp); j=index; visit(j)=0; for k=1:n if D(k)>D(j)+A(j,k) D(k)=D(j)+A(j,k); parent(k)=j; end end end distance=D(e); % the shortest distance path if parent(e)==0 return; end path=zeros(1,2*n); % path preallocation t=e; path(1)=t; count=1; while t~=s && t>0 p=parent(t); path=[p path(1:count)]; t=p; count=count+1; end if count>=2*n error(['The path preallocation length is too short.',... 'Please redefine path preallocation parameter.']); 图论实验三个案例 单源最短路径问题 1.1 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点，记()l v 为顶点 v 到源点v 1的最短距离， ,i j v v V ?∈，若 (,)i j v v E ?，记i v 到j v 的权ij w =∞。 Dijkstra 算法： ① 1{}S v =,1()0l v =；1{}v V v ??-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-； ② S φ=，停止，否则转③； ③ ()min{(),(,)} j l v l v d v v =， j v S ∈，v S ?∈； ④ 存在 1 i v +，使 1()min{()} i l v l v +=，v S ∈； ⑤ 1{} i S S v +=U ， 1{} i S S v +=-，1i i =+，转②； 实际上，Dijkstra 算法也是最优化原理的应用：如果121n n v v v v -L 是从1v 到 n v 的最短路径，则 121 n v v v -L 也必然是从1v 到 1 n v -的最优路径。 在下面的MATLAB 实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i 行第j 行元 素表示顶点i v 到j v 的权ij w ，若i v 到j v 无边，则realmax ij w =，其中realmax 是 MATLAB 常量，表示最大的实数(1.7977e+308)。 function re=Dijkstra(ma) 硕士生考查课程考试试卷 考试科目： MATLAB教程 考生姓名：考生学号： 学院：专业： 考生成绩： 任课老师 (签名) 考试日期：20 年月日午时至时 《MATLAB 教程》试题： A 、利用MATLA B 设计遗传算法程序，寻找下图11个端点的最短路径，其中没有连接的端点表示没有路径。要求设计遗传算法对该问题求解。 a d e h k B 、设计遗传算法求解f (x)极小值，具体表达式如下： 3 21231(,,)5.12 5.12,1,2,3 i i i f x x x x x i =?=???-≤≤=? ∑ 要求必须使用m 函数方式设计程序。 C 、利用MATLAB 编程实现：三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全渡河？ D 、结合自己的研究方向选择合适的问题，利用MATLAB 进行实验。 以上四题任选一题进行实验，并写出实验报告。 选择题目： A 一、问题分析（10分） 1 4 10 11 如图如示，将节点编号，依次为1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11，由图论知识，则可写出其带权邻接矩阵为： 0 2 8 1 500 500 500 500 500 500 500 2 0 6 500 1 500 500 500 500 500 500 8 6 0 7 500 1 500 500 500 500 500 1 500 7 0 500 500 9 500 500 500 500 500 1 500 500 0 3 500 2 500 500 500 500 500 1 500 3 0 4 500 6 500 500 500 500 500 9 500 4 0 500 500 1 500 500 500 500 500 2 500 500 0 7 500 9 500 500 500 500 500 6 500 7 0 1 2 500 500 500 500 500 500 1 500 1 0 4 500 500 500 500 500 500 500 9 2 4 0 注：为避免计算时无穷大数吃掉小数，此处为令inf=500。 问题要求求出任意两点间的最短路径，Floyd 算法采用的是在两点间尝试插入顶点，比较距离长短的方法。我思考后认为，用遗传算法很难找到一个可以统一表示最短路径的函数，但是可以对每一对点分别计算，然后加入for 循环，可将相互之间的所有情况解出。观察本题可发现，所有节点都是可双向行走，则可只计算i 到j 的路径与距离，然后将矩阵按主对角线翻折即可得到全部数据。 二、实验原理与数学模型（20分） 实现原理为遗传算法原理： 按所选择的适应度函数并通过遗传中的复制、交叉及变异对个体进行筛选，使得适应度高的个体被保留下来，组成新的群体，新的群体既继承了上一代的信息，又优于上一代。这样周而复始，群体中个体适应度不断提高，直到满足一定的条件。 数学模型如下： 设图G 由非空点集合12{,...}n V V V V = 和边集合12{,...}m E e e e = 组成，其中 121221(,)e ,P ,)(P ,P ),i i i i i i i i e P P E P =∈≠且若（则G 为一个有向图； 又设i e 的值为 i a ，12{,...},m A a a a = 故G 可表示为一个三元组{,,}G P E A = 则求最短路径的数学模型可以描述为：MATLAB实验报告-遗传算法解最短路径以及函数最小值问题
最短路径算法_matlab程序[1]
基于遗传算法的最短路径问题及其MATLAB实现
最短路径法射线追踪的MATLAB实现
matlab 蚁群算法 机器人路径优化问题
蚁群算法最短路径通用Matlab程序(附图)
最短路径matlab计算机仿真
MATLAB解决最短路径问题代码
最短路径问题
蚁群算法最短路径matlab程序
基于matlab的floyd算法matlab计算最短路径
最短路径问题matlab求解详尽版
§19利用Matlab编程计算最短路径及中位点选址
暴强Dijkstra算法求任意两点间最短路径(matlab程序)
(完整word版)图论算法及matlab程序的三个案例
MATLAB实验报告-遗传算法解最短路径以及函数最小值问题
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