九年级上册数学
二次函数单元试卷（word版含答案）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1
236 25
S
S
=时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α
（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2
3
E'B的最小值．
【答案】（1）抛物线y＝﹣3
4
x2+
9
4
x+3，直线AB解析式为y＝﹣
3
4
x+3；（2）P（2，
3 2）；（3
410
【解析】
【分析】
（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出
6
5
PN
AN
=，以此列出方程求解即可解决问题；
（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝4
3
，构造相似三角形，可以证明AM′就是
E′A+2
3
E′B的最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），
则有
3
30 n
m m n
?
?
?++
＝
＝
，解得4
3
3
m
n
?
?
?
?
-
?
＝
＝
，
∴抛物线2
39
3
44
y x x
=-++，
令y＝0，得到2
39
3
44
x x
-++＝0，
解得：x＝4或﹣1，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则
3
40
b
k b
+
?
?
?
＝
＝
，
解得
3
3
4
k
b
?
-
?
?
??
＝
＝
，
∴直线AB解析式为y＝3
4
-x+3．
（2）如图1中，设P（m，2
39
3
44
m m
-++），则E（m，0），
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，1
2
36
25
S
S
＝，
∴6
5
PN
AN
=，
∵NE∥OB，
∴AN AE
AB OA
=，
∴AN＝5
4
5
4
5
4
5
4
（4﹣m），
∵抛物线解析式为y ＝239
34
4
x x -++， ∴PN ＝239344m m -
++﹣（34-m+3）＝3
4
-m 2+3m ， ∴23
364
55(4)4
m m
m -+=-， 解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，
3
2
）． （3）如图2中，在y 轴上 取一点M′使得OM′＝4
3
，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．
∵OE′＝2，OM′?OB ＝4
3
×3＝4， ∴OE′2＝OM′?OB ， ∴
OE OB
OM OE '=''
， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，
∴
M E OE BE OB '''='＝2
3
， ∴M′E′＝2
3BE′，
∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+2
3BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线
时），
最小值＝AM′2244()3
+410
． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知
识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是
AE′+
2
3
BE′的最小值，属于中考压
轴题．
2．如图，直线y＝1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣
3
2
x+c经过
A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；
（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当
3
2
MN
AN
=时，求点M的坐标；
（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣
3）或（1，﹣3）；（3）点P的坐标为：（﹣1，0）或（3
2
，﹣
25
8
）或（
17
3
，
50
9
）或
（3，﹣2）．【解析】【分析】
（1）根据题意直线y＝1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别
为：（0，-2）、（4，0），即可求解；
（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（1
2
m﹣
3
2
）x﹣2，则点N（
4
3
m-
，0），当
MN
AN
＝3
2
时，则
NH
ON
＝
3
2
，即
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
＝
3
2
，进行分析即可求解；
（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）直线y
＝1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：
（0，﹣2）、（4，0），
则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝1
2
，
故抛物线的表达式为：y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2①；
（2）设点M（m，1
2
m2﹣
3
2
m﹣2）、点A（0，﹣2），
将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线MA的表达式为：y＝（1
2
m﹣
3
2
）x﹣2，
则点N（
4
3
m-
，0），
当MN
AN
＝
3
2
时，则
NH
ON
＝
3
2
，即：
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
＝
3
2
，
解得：m＝5或﹣2或2或1，
故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，
则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，
联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），
故点P（﹣1，0）；
②当∠PAB＝∠OAB时，
当点P在AB上方时，无解；
当点P在AB下方时，
将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，
则sin∠H＝BO OA
HB HA
'
=，即：
2
4
44
x x
=
++，解得：x＝
8
3
，则点H（﹣
8
3
，0），．
则直线AH的表达式为：y＝﹣3
4
x﹣2③，
联立①③并解得：x＝3
2
，故点P（
3
2
，﹣
25
8
）；
③当∠PAB＝∠OBA时，
当点P在AB上方时，
则AH＝BH，
设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，
故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝3
2
，
故点H（3
2
，0），
则直线AH的表达式为：y＝4
3
x﹣2④，
联立①④并解得：x＝0或17
3
（舍去0），
故点P（17
3
，
50
9
）；
当点P在AB下方时，
同理可得：点P（3，﹣2）；
综上，点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258
）或（173，509）或（3，﹣2）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．
3．如图，过原点的抛物线y=﹣
12
x 2
+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；
（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2122
y x x =-
+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=
27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】
（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；
（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；
（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】
解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12
-
x 2
+bx+c ．
得040c b b c =?
?-++=?，
∴02c b =??=?
．
∴2211
2(2)222
y x x x =-
+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．
（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．
∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．
∵O′P=OP=m ． ∴C′D=
12O′P=1
2
m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（3
2m ，2
m ）．
当点O′在y=12
-x 2
+2x 上． 则?
12
m 2
+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12
-x 2
+2x 上， 则12-
×(32
m )2+2×3
2m ＝12m ，
解得：120
9
m =，20m =（舍去）． ∴m=
209
（3）存在n=27
，抛物线向左平移． 当m=
209时，点C′的坐标为（103
，10
9）．
如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．
以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″． 当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短． ∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A （4，0），点C′（103
，10
9），点B （2，2）． ∴点A′（
83，8
9
）． ∴点A″的坐标为（
83，289
）． 设直线OA″的解析式为y=kx ，将点A″代入得：8
283
9
k =， 解得：k=
76
． ∴直线OA″的解析式为y=76
x ． 将y=2代入得：7
6
x=2， 解得：x=
127
， ∴点B′得坐标为（12
7
，2）． ∴n=212277
-
=． ∴存在n=27
，抛物线向左平移． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
）以及点B′的坐标是解题的关键．
4．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数
()0k
y x x
=
>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”
（1）当1n =时．
①求线段AB 所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围． 【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当9
2
x =时，k 有最大值
8116
；当1x =时，k 有最小值2；（2）10
9n ≥；
【解析】 【分析】
（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则219
44
k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k
x
），则得到2210
44
n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b
a -
≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】
解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则
251a b a b +=??
+=?，解得：14
94a b ?=-????=??
， ∴19
44
y x =-
+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得19
44
y x =-
+， 设点P 为（x ，
k
x
），由点P 在线段AB 上则 1944
k x x =-+， ∴22191981
()444216
k x x x =-+=--+； ∵1
04
-
<， ∴当9
2x =
时，k 有最大值8116
； 当1x =时，k 有最小值2；
∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在9
2
x =
的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则
25a b a b n +=??
+=?，解得：24
104n a n b -?=???-?=??
， ∴21044
n n
y x --=
+， 设点P 为（x ，
k
x
），由点P 在线段AB 上则 2210
44
n n k x x --=
-， 当
2
04
n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意；
当n≠2时，则对称轴为：
10
10 4
2
24
2
n
n
x
n n
-
-
==
--；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．
即k在15
x
≤≤中，k随x的增大而增大；
当
2
4
n-
>时，有
∴
2
4
10
1
24
n
n
n
-
?
>
??
?
-
?≤
?-
?
，解得：
2
6
n
n
>
?
?
≥-
?
，
∴不等式组的解集为：2
n>；
当
2
4
n-
<时，有
∴
2
4
10
5
24
n
n
n
-
?
<
??
?
-
?≥
?-
?
，解得：
10
2
9
n
≤<，
∴综合上述，n的取值范围为：
10
9
n≥．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
5．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2
y ax bx c
=++经过、、
A B C三点，且其对称轴为1,
x=其中点()
0,3
C，点()
3,0
B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图（1），点D是直线CB上方抛物线上的动点，当四边形DCAB的面积取最大值时，求点D的坐标；
②如图（2），连接,
CA在抛物线上有一点,
M满足
1
2
MCB ACO
∠=∠，请直接写出点
M的横坐标．
【答案】（1）2
323
3
=
y x；（2）①D
353
24
，，②233+2【解析】
【分析】
（1）根据点(3
C，点()
3,0
B，利用待定系数法，可得函数解析式；
（2）①先求出直线BC的解析式，当直线m与抛物线只有一个交点时，点D到BC的距离最远，此时△BCD取最大值，故四边形DCAB有最大值，求出b的值代入原式即可得到答案；
②根据题干条件抛物线上有一点,
M满足
1
2
MCB ACO
∠=∠，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE的解析式，可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得：
1
2
0933
b
a
a b
?
-=
?
?
?=++
?
解得
323
a,
33
b
故抛物线的解析式是2
323
3
=++
y x x.
图（1） 图（2） （2）①设直线BC 的解析式为3. ∵直线BC 过点B （3，0）， ∴3则k=33
-
， 故直线BC 解析式为y=3
3 设直线m 解析式为3
y
x b ，且直线m ∥直线BC 当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值. 令23323b 3+=+
23-33333
0x x b
当2Δ
(-33)-43(333)0b 时
直线m 与抛物线有唯一交点 解之得：73
,b
代入原式可求得：32
x = ∴D 353
(2
图（3）
过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ，△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积，
∴D 3532? ??
②存在，点M 的横坐标为313+2 解题提示：如图3
符合条件的直线有两条： CM 1和CM 2（分别在CB 的上方和下方） ∵在Rt △ACO 中，∠ACO=30°，在Rt △COB 中，∠CBO=30°， ∴∠BCM 1=∠BCM 2=15° ∵△BCE 中，∠BCE=∠BEC 2=15° ∴BC=BE=23则E （33+0）
设直线CE 解析式为：3y kx =+ ∴0
(323)3k
解之得：32 ∴直线CE 解析式为：(32)3y
x
∴23233(32)3y x x y x ?=+?
??=?
解得：x 1=0，x 23－1
∵ 在Rt △OCF 中，∠CBO=30°，∠BCF=15° ∴在Rt △COF 中， ∠CFO=45° ∴3∴F 30）
∴直线CF
的解析式为-3y x
∴2323
3-3y x x y x ?=-
++???=+?
解之得：30x =（舍去），4
3+2x
即点M 的横坐标为：23-1或3+2 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．
6．如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）存在．P （﹣
34，1916
）．（3）1539(,)24M --
21139(,)24M - 3521
(,)24M
【解析】 【分析】
（1）将A,B,C 三点代入y ＝ax 2+bx+4求出a,b,c 值，即可确定表达式；
（2）在y 轴上取点G ，使CG ＝CD ＝3，构建△DCB ≌△GCB ，求直线BG 的解析式，再求直线BG 与抛物线交点坐标即为P 点，
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论. 【详解】
解：如图：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
∴
40
16440
a b
a b
-+=
?
?
++=
?
解得
1
3
a
b
=-
?
?
=
?
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：
y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣3
2
）2+
25
4
．
∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，
∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
连接CD，∴CD∥x轴，
∴∠DCB＝∠OBC＝45°，
∴∠DCB＝∠OCB，
在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，
再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）
∴∠DBC＝∠GBC．
设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得
k＝﹣1
4
，b＝1，
∴BP解析式为y BP＝﹣1
4
x+1．
y BP＝﹣1
4
x+1，y＝﹣x2+3x+4
当y＝y BP时，﹣1
4
x+1＝﹣x2+3x+4，
解得x1＝﹣3
4
，x2＝4（舍去），
∴y＝19
16
，∴P（﹣
3
4
，
19
16
）．
（3）
1
539 (,)
24
M--
2
1139 (,) 24
M-
3
521 (,) 24
M理由如下，如图
B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线
3
2
x=，
设N(3
2
，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)
第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,
∴4-3
2
=0-m，∴m=
5
2
-
∴﹣m2+3m+4=
39 4 -,
∴
1
539 (,)
24
M--；
或∴0-3
2
=4-m，
∴m=11 2
∴﹣m2+3m+4=
39 4 -,
∴
2
1139 (,) 24
M-；
第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，
∴3
22 2
m
∴m=5 2
∴﹣m2+3m+4=21 4
∴
3
521 (,) 24
M
综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为
1
539 (,)
24
M--
2
1139 (,) 24
M-
3
521 (,) 24
M.
【点睛】
本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）P的坐标，C的坐标；
（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（9
2
，﹣5）或
（21
2
，﹣5）
【解析】
【分析】
（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；
（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（5
3
，0），设直线PQ交x轴
于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点P（3，4），
令x＝0得到y＝﹣5，
∴C（0，﹣5）．
故答案为：（3，4），（0，﹣5）；
（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，
解得：x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有
5
34 b
k b
=-
?
?
+=
?
，
解得：
3
5 k
b
=
?
?
=-
?
，
∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，
设直线交x轴于D，则D（5
3
，0），
设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，
∵AD＝2
3
，
∴BE＝4
3
，
∴E（11
3
，0）或E′（
19
3
，0），
则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，
∴Q（9
2
，﹣5），
直线PE′的解析式为y＝﹣6
5
x+
38
5
，