概率论与数理统计第三章习题
0.7一射手对某目标进行了三次独立射击，现将观察这些次射击是否命中作为试验，试写出此试验的样本空间；试在样本空间上定义一个函数以指示射手在这三次独立射击中命中目标的次数；设已知射手每次射击目标的命中率为，试写出命中次数的概率分布。
1231231231231231231231231234567812345671,2,3
{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),
(,,),(,,),(,,)}{,,,,,,,}()3()()()2()()()1
i A i i A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ωωωωωωωωξξωξωξωξωξωξωξωξ==Ω=========解：设“第次射中”，则令代表击中目标的次数，则
，，83112323412356712338123()0
(3)()()(0.7)0.343(2)()()()3()
30.70.7(10.7)0.441
(1)()()()3()
30.7(10.7)(10.7)0.189
(0)(0)()(10.7)0.0P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A ωξωξωωωξωωωξω========++==???-===++==??-?-======-=270
123.0.0270.1890.4410.343ξ?? ???
所以，的分布列为
ξ 服从~(3,0.7)B ξ，在Excel 依次输入：
=binomdist （0，3，0.7，0）， =binomdist （1，3，0.7，0）， =binomdist （2，3，0.7，0）， =binomdist （3，3，0.7，0），
2.9311一批零件中有个合格品、个废品，安装机器时从这批零件中任取个来使用，若取得废品就不再放回而再取个，求在取得合格品之前已取出的废品数的概率分布。
1
911211391112111113921111211100123
9
(0)12
3927
(1)1211132
32954
(2)1211101320
C P C C C P C C C C C P C C C ξξξξξ===
==?=?=
==??=??=
解：令代表废品数，则可能取值为：，，，
1111392111111211109321954
(3)121110911880
C C C C P C C C C ξ==???=???=
.1188054132054132271293210
???
? ??的分布列为
所以，ξ
3.1023112设在个同类型的一堆产品内混有个废品，现从中任取件，每次取个，试分别就（）取后不放回；（）取后放回两种不同情况，求出取得废品数的概率分布。
.008.0096.0384.0512.03210
008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2
1013
1101
22
1101211018231101
22
1101
8133
1101831022183101228310383
10
2
2
18310122831038???
? ??=???
? ??===???? ?????? ??===???
?
?????
? ??===???? ??==????
? ?????==?====的分布列为
所以，，，，有
，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为
所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P
4.p 自动生产线经调整后出次品的概率是，若在生产过程中出现次品就立即要进行调整，试求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。
n
pq n n P n P pq P P p
P P =+========})1({)(}{)1(}{)0(件是次品次生产正品，第两次调整之间前正品，再是一件次品两次调整之间生产一件一件次品两次调整之间生产的是，则
解：令合格品数为ξξξξ
.1321032
p q pq pq pq pq
p n n
-=???
?
?
?，其中的分布列为
所以，
ξ
概率分布。
，试求击中目标次数的分别为概率次，甲、乙击中目标的对同一目标各射击甲、乙两人分别独立的21,1.5p p
???
?
?
?
-+---==-+-==--==212121212
1212121)
1()1()1)(1(210)2()1()1()1()1)(1()0(2
10p p p p p p p p p p P p p p p P p p P 的分布列为
所以，，，的取值为则为击中目标次数，
次，令立对同一目标各射击一解：甲、乙二人分别独ξξξξξξ
ξ12()1,2,,22()1,2,
3k
N a
P k k N
N
a c P k c k ξη===??
=== ???
所有的可能值是，，，，且已知
，试确定的值；（）试问下式的取何值能使
，为分布律。
111
1111
11()1111;222()113322213323lim 222311331
21.
2
N
N
N
k k k k
k
k k k n k n k a a
a
P k N a a N
N N
P k c c c c ξη===∞
∞
∞
===-∞→∞=====
===????
==== ? ?????
????-?? ?????????=== ???--
=∑∑∑∑∑∑∑解：（）由概率的规范性，可知，则，从而（）由概率的规范性，可知
，则， 而所以，＝，从而
。为偶数的概率的分布律，并求出次数序号，试写出验
表示首次取得成功的试，以成功的概率为设在某种试验中，试验p ξξξ4
3
.7 1
21
3
1233()1;44
1
231,2,33333
331
1
14444444
(2)(4)3333114444311444k k P k k k P P P ξξξξξξξ--??
==-? ?
??
?? ?
=?????? ?-?-?-?
? ? ? ???????
?
?
==+=+
????=-?+-?+ ? ?????
?=+?解：令代表首次取得成功的试验次数序号，从而的取值为，，所以，的分布列为
，为偶数时，3
5
2(1)
2
141111
443314lim .15445
116
14n n -→∞
?????++?? ? ????????
????-?? ???
????=?=?=??- ???
8.500100500n 一本页的书，共有个错别字，设每个错别字等可能的出现在页的任何一页上，现考察该书某一页上的错别字数，试用重贝努利试验描述之。
1499500500
1
~(100,
).500
p q B ξ==解：每个错别字以概率 出现在该页，而以概率 不出现在该页，由于错别字是否出现在该页对其他错别字是否出现没有影响，故该页上错别字字数 重贝努利试验描述之。
型的人数，试用人，考察带，要从该地区任意选出、、、依次为四种血型人数的百分比人群中这等四型，设已知某地区、、、人类的血型可粗分成n AB AB B A O 1005.025.03.04.0.9 ).
05.0,10(~1005.0B AB p AB p AB AB AB ξ血型的人数
重贝努利试验，带的成是成功概率为型的概率，而问题可说是任取一人，其血型为型。这样型或者非只有两个可能结果：每个人血型可不予区分，故在此时血型的人数，其他血型解：由于只关心=
）有多数设备在使用。
（个设备在使用；）至少有（个设备在使用；）最多有（个设备在使用；）恰有（的概率：
一时刻下列事件使用相互独立，求在同，又设各个设备是否被的概率是被使用设在任一时刻每个设备个同类型的供水设备，某建筑物内装有42322212.05.10
.
05792.094208.01)2(1)2(2543)4(26272
.0)8.0()2.0()8.0()2.0(1)
1()0(1)2()3(94208.0)8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()
2()1()0()2()2(2048
.0)8.0()2.0()2()1()
2.0,5(~521041155005322
541155005322
53225=-=≤-=>>=--==-=-=≥=++=====≤=??===ξξξξξξξξξξξξξξξP P C C P P P C C C P P P P C q p C P B ，从而
即，，，应取使用，故超过半数以上的设备在有多数设备在使用，即＋＋，由题意，显然，，，，＝代表设备使用的个数，解：设
0.331325A A 设事件在一次试验中发生的概率为，当在进行多次试验时，若发生次或更多次时，指示灯就要发出信号，求下列情况下，指示灯发出信号的概率：（）共进行次试验；（）共进行次试验。
3
3033324455~(,0.3)(1)(3)(3)
33(3)(0.3)(0.7)0.027
(2)(3)(3)(4)(5)
5345(3)(0.3)(0.7)(0.3)(0.7A B n P P A P C P P P P A P C C ξξξξξξξξξξ≥=====≥==+=+=≥=解：设代表事件发生的次数，由题意因为试验只进行次，要指示灯发出信号，则事件只能出现次
因为试验进行次，要指示灯发出信号，则事件可发生次、次和次
＋15505)(0.3)(0.7)0.16308
C =＋
~(5,0.3)B ξ，在Excel 中输入：=1-binomdist(2,5,0.3,1)得0.16308
秤不够用？
小时内平均有多少时间）的结果配秤，一天）若按（（合适？
）该店配备几台秤较为（互独立。试问：分钟，各人何时用秤相为内用秤的时间名售货员平均在一小时名售货员，据统计，每某商店有8121154.12
（小时）
＝间就为
小时内，秤不够用的时间内秤不够用，而在的时，那么还有台秤的平均使用率为，每小时，由题；
因秤不够用而影响业务秤过度闲臵，也不致常台秤，这样既不使，从而可配人的概率接近过故同时用秤的人数不超货员数，则代表一小时内用秤的售解：设4064.08)9492.01(81)9492.01(9492.02)1()2(295.029492
.0)2()1()0()2(2109.04341)2(4219.04341)1(3164.025*******)0()1()
41,4(~2
2
243
1
144
04?-?-==+=+==≤=??
? ????? ??===??
? ????? ??====
??
? ????? ??==ξξξξξξξξξP P P P C P C P C P B
件次品？为什么？
其中是否必有件来检验，问
取，今从其大批产品中任是
已知某厂产品的次品率11010
1
.13 件次品。
的机会会遇到有十件检查，约
，可见，如果经常任抽品的概率为件是次件产品其中任取，两者有区别，可算出产品中次品出现的频率率是在这十件
，任查十件产品的次品品的概率为解：任取一件产品为次1%74.383874.0)9.0)(1.0(11010
1
9110≈=C p
.
7447.0)7.0()3.0()7.0()3.0(1)1()0(1)2()
2(;2965.0)7.0()3.0(2)3.0,8;2(2))1((2.7.2)1()1()3.0,8(~83210711
88008622
8=--==-=-=≥===+==+C C P P P C p B p n ent k Th p n B ξξξξξξ次的可能性最大的值最大，故击中时，
，取，由二项分布的，显然，，，，，＝则代表击中目标的次数，解：设
，概率是多少？
）最大可能有几件次品（件次品的概率；
）至少有（件次品的概率；）只有（件产品中：，问在它生产的某厂产品的次品率为312111000005.0.15
1755
.0!
55)5(5)3(9933
.0!
051)0(1)1()2(0337
.0!
15
)1()1(5
)(~)0005.0,1000(~1000,,2,1,05
55
05≈==≈-==-=≥≈=====---e P e P P e P np P p n B ξξξξλλξξξξ件次品，其概率为最多可能有，很小，从而很大，显然，显然，代表产品为次品的件数解：设
次的概率。）求至少击中目标（；
大？并求出相应的概率）击中几次的可能性最（，试问：击中目标的概率均为次独立的射击，设每次进行2213.08.14
。时维修的概率不超过发生故障时不能得到及维护人员，才能使设备多少人去处理，则至少要配需台，每台发生故障时均）若有设备（概率；
的障而不能得到及时维修台设备，有设备发生故人负责维护）若由（立，试问：，各台设备情况相互独率是每台设备发生故障的概，人力资源），根据检验转，配多了会造成浪费有时会影响设备正常运的维修人员（配少了运转，需配备适当数量为了保证设备能够正常01.011002201101.0.16 .
01.049963.041009963
.0)4()3()2()1()0(0153
.0!
41)4(0613.0!31)3(1839.0!21)2(3679.0!11)1(3679.0!01)0(1
)(~10010100)2(01755
.0!
12.0!02.01)1()0(1)2(2
.0)(~201020)1(1
41
31211102.012.00概率不超过而不能得到及时维修的才能使得设备发生故障个维修人员，，所以应派在台同时发生故障的概率台设备中，有故在；
；；
；，
，显然，，，障的台数，台设备中，同时发生故代表设－，显然，，，，障的台数，台设备中，同时发生故代表一人负责的设解：==+=+=+=+=∴≈==≈==≈==≈==≈=====≈-==-=-=≥===-------ηηηηηηηηηηλληξηξξξλλξξξP P P P P e P e P e P e P e P np P e e P P P np P
的概率。
小于次数不次测量，求误差过大的，现在独立的进行了误差的概率是因而导致带过大测量测量，已知由于各种原设要对某一物理量进行310005.0.17 8753
02515051210135
050100100101005
25150.!
!!)
()()()(,,).,(~,,,=---≈=-=-=-=≥===---e e e P P P P np p n B ξξξξλξξξ故用泊松分布近似计算较小较大，由于显然，大测量误传的次数，次测量中，出现过分布代表解：设
最大。
为何值时，概率的泊松分布，问服从参数为设随机变量)(.18m P m =ξλξ
.
)(1)(][)()1()()1()()1()()2()()1()()1()1()()!
1()1(!
)(1
最大，同时使得或是整数时，最大；当，使非整数时，从而，当，，达到最大值；，＝，＝；，，，解：m P m m m P m k P k P k P k k P k P k P k k P k P k P k k
k P k P e k k P e k k P k k
=-====↓
=-=<=<=-==↑=-=>=>=
-==∴
-=
-===---ξλλλξλλξξξλξξξλξξξλλ
ξξλξλξλ
λ
.
111041.0.19ξξE 要调整设备的次数，求天表示件，就要调整设备，以次品多于产品进行检验，如发现件次，每次随机抽查，检验员每天抽检一产品的次品率为 0569
12642040569100490405430322670242101293100004900543022670421029310432100049
04054303226702421012931
00473580126420101432111010101014
3210144433422243144.............~.)]([)(.)()]([)(.)]([)]([)(.)]()[()(.)]([)())
(,(~.)()(.)()()(,,,).,(~,,,,=?===?????=?
??
?
??================-===-=-====np E E A P C P A P A P C P A P A P C P A P A P C P A P P A P B A P A P P P A P i i A B i i i i i i i i i i i i i ξξξξξξξξξηηηηηξξ或直接用＋＋＋＋所以，从而
则件，从而调整设备”，于次抽检时，抽出次品多“第令，，显然，，，＝数，次抽检中抽出次品的件代表令天要调整设备的次数，代表解：
20. 一长途客车沿途可停k 各站，规定途中只可下客不能上客，一个站若无人下客可不停。设始发时车上乘客数是参数为λ的泊松分布随机变量ξ，每个乘客在k 各车站中哪一站下车是等可能的，求有2个乘客在终点站下车的概率p 。 解：用X 表示终点站下车的人数，则有
{}{}
()()()
2
2
222
22
2
2
/{2}2|11e 1!!1e !2!2!1e 1
2!!1e 2n n n n n n n
n
n t
t t t k P X P X Y n P Y n C n k k n k n n k k t k k k λλ
λ
λλλλλ∞
=-∞
-=-∞
-=+∞
-=-=====????
=- ?
???
??
-=--=??
= ???
∑∑
∑
∑
21 某生产流水线一天出次品件数ξ为5λ=的泊松分布，若采用新工艺，则有0.75的可能使ξ称为3λ=的泊松分布，但也有0.25的可能无效。现采用新工艺生产，结果一天出了2件次品。问新工艺有效的概率多大？（令A =“新工艺有效”。）
解：设B 表示生产两件次品的事件，新工艺有效生产2件次品的概率
23
3(|)e 0.11202!
P B A -==
新工艺无效效生产2件次品的概率
25
5(|)e 0.04212!
P B A -==
由贝叶斯公式
()(|)
(|)()(|)()(|)
0.750.1120
0.88870.750.11200.250.0421
P A P B A P A B P A P B A P A P B A =
+?==?+?
22. 某设备一天故障次数τ服从泊松分布。已知一天内发生1次故障与发生2次故障的概率相同，求每天发生故障不超过1次的概率。 解：()e !
k
P k k λλτ-==
由(1)(2)P P ττ===得：
2
e
e 2!
λ
λλλ--=
解之得：2λ=
2
2
2
(1)(0)(1)
e 2e 3e
P P P τττ---≤==+==+?=?
223.2
10131
11336
3012314.
a a a
a E E ξξηξη--???????
?
=-已知的分布列为
试求：（）的值；（）；
（）的分布列；（）用两种方法算出
310
30118151051)1(610513)1(3
10
30118513307051)1()4(301151307518301~1)3(5
3
30113151151061)1(51)2()2(301115151615131
012~15
1
130113613)1(22
=
?+?+?-+?+?=-==
?+?+?+?-=????
??-∴-==
?+?+?+?-+?-=?
??? ??--==++++
ξηηηξηξξE E E E a a a a 因此，从而解：
22202~0.40.30.3(35).
E E E D ξξξξξ-??
???
+设已知
试求，，，
()()3
13
2
2221
22222(2)0.400.320.30.2
(2)0.400.320.3 2.8
(35)35 2.8513.4() 2.8(0.2) 2.76
i i i i i i E x p x E x p x E E D E E ξξξξξξξξξ=====-?+??=-===-?+??=+=+=+==-=--=∑∑解：＋＋
25.10p q p D ξξ??
?
??
设随机变量的分布列为
试问取何值时，使达到最大值。
.
4
1
214
1
)21()(0101max 222222==+--=-=-==?+?==?+?=ξξξξξξD p p p p E E D p
q p E p q p E 时，所以，当从而，解：
26.袋中有8个球，6个黑球、2个白球，每次从袋中取2个球，取出后不放回。在第3次取出球时，所得白球数为ξ，求E ξ
解：设i A 表示前两次取球后剩余(0,1,2)i i =的事件
前两次后剩下2个白球的概率为：40
622483
()14
C C P A C ==
，在此条件下 第三次取得0个白球的概率为：
02
2222
41
(0|)6
C C P A C ξ=== 第三次取得1个白球的概率为：
11222242
(1|)3
C C P A C ξ===
第三次取得2个白球的概率为：
202222
41
(2|)6
C C P A C ξ=== 前两次后剩下1个白球的概率为：31
6214
84
()7
C C P A C ==，在此条件下 第三次取得0个白球的概率为：
203112
41
(0|)2
C C P A C ξ=== 第三次取得1个白球的概率为：
11311241
(1|)2
C C P A C ξ===
第三次取得2个白球的概率为：
1(2|)0P A ξ==
前两次后剩下0个白球的概率为：226204
83
()14
C C P A C ==，在此条件下 第三次取得0个白球的概率为：
0(0|)1P A ξ==
第三次取得1个白球的概率为：
0(1|)0P A ξ==
第三次取得2个白球的概率为：
0(2|)0P A ξ==
根据全概率公式
001122(0)()(0|)()(0|)()(0|)
3141315
1146721428
P P B P B P B P B P B P B ξξξξ===+=+==?+?+?=
001122(1)()(1|)()(1|)()(1|)
324133014372147
P P B P B P B P B P B P B ξξξξ===+=+==?+?+?=
001122(2)()(2|)()(2|)()(2|)
314310014671428
P P B P B P B P B P B P B ξξξξ===+=+==
?+?+?=
2
1531
()0120.528728
i i E iP i ξξ=====?
+?+?=∑ 27.一台仪器有3个元件，各个元件发生故障与否相互独立，且发生故障的概率分别为0.2，0.3，0.4。求发生故障元件总数ξ的E ξ和D ξ
解：设A 表示第一个元件发生故障，B 表示第二个元件发生故障，C 表示第三个元件发生
故障。没有故障的概率为
(0)()()()()0.80.70.60.336P P ABC P A P B P C ξ====??=
(1)()()()
0.20.70.60.80.30.60.80.70.40.452P P ABC P ABC P ABC ξ==++=??+??+??=
(2)()()()
0.20.30.60.80.30.40.20.70.40.188
P P ABC P ABC P ABC ξ==++=??+??+??=
(3)()0.20.30.40.024P P ABC ξ===??=
3
()00.33610.45220.18830.0240.9i i E iP i ξξ=====?+?+?+?=∑
()()()()()3
2
2222
()
00.90.33610.90.45220.90.18830.90.0240.61
i D i E P i ξξξ==-==-?+-?+-?+-?=∑ 28.0.2510152332设一部机器在一天内发生故障的概率是，若一周个工作日无故障则机器可产生利润万元，发生次故障仍可生利万元，发生次故障就没有利润了，若发生次或次以上的故障就要亏损万元。试求一周利润的期望值。
51
4230,1,,5~(5,0.2)5(0)0.20.80.32768
05(1)0.20.80.4096
15(2)0.20.80.2048
2(3)1(0)(1)(2)0.05792
100.3276850.409600.B P P P P P P P E ξξξξξξξξξξξ=??
==?≈ ?????==?≈ ???
??
==?≈ ???
≥=-=-=-==∴=???解：令代表一周内机器发生故障的次数，，显然，
＋＋2048(2)0.05792 5.126().
-?=＋万元