第一章集合与简易逻辑
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●考点目标定位
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.
2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.
●复习方略指南
本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.
本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：
1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.
2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.
3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.
4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的.
5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.
1.1 集合的概念与运算
●知识梳理
1.集合的有关概念
2.元素与集合、集合与集合之间的关系
（1）元素与集合：“∈”或“?”.
（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.
3.集合的运算
（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.
（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.
（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A?S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为eS A，即eS A={x|x∈S且x?A}.
●点击双基
1.（2004年全国Ⅱ，1）已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N 等于
A.{x|x＜－2}
B.{x|x＞3}
C.{x|－1＜x＜2}
D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.（2005年北京西城区抽样测试题）已知集合A={x∈R|x＜5－2}，B={1，2，3，4}，
则（eR A）∩B等于
A.{1，2，3，4}
B.{2，3，4}
C.{3，4}
D.{4}
解析：eR A={x∈R|x≥5－2}，而5－2∈（3，4），∴（eR A）∩B={4}.
答案：D
3.（2004年天津，1）设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是
A.P∩Q=P
B.P∩Q Q
C.P∪Q=Q
D.P∩Q P
解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩Q P.
答案：D
4.设U是全集，非空集合P、Q满足P Q U，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集?，则这个运算表达式可以是_______________.
解析：构造满足条件的集合，实例论证.
U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，则（eU Q）=｛3｝，（eU P）={2，3}，易见
（eU Q ）∩P =?. 答案：（eU Q ）∩P
5.已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛x ｜x ∈A ，x ∈Ｎ*｝，C ＝｛x ｜x ?A ｝，则A 、B 、C 之间的关系是___________________.
解析：用列举法表示出B ＝｛1｝，C ＝｛?，｛1｝，｛0｝，A ｝，易见其关系.这里A 、B 、C 是不同层次的集合，C 以A 的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.
答案：B A ，A ∈C ，B ∈C ●典例剖析
【例1】 （2004年北京，8）函数f （x ）=??
?∈-∈,
,M x x
P x x
其中P 、M 为实数集R 的两
个非空子集，又规定f （P ）={y |y =f （x ），x ∈P }，f （M ）={y |y =f （x ），x ∈M }.给出下列四个判断，其中正确判断有
①若P ∩M =?，则f （P ）∩f （M ）=? ②若P ∩M ≠?，则f （P ）∩f （M ）≠? ③若P ∪M =R ，则f （P ）∪f （M ）=R ④若P ∪M ≠R ，则f （P ）∪f （M ）≠R
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 剖析：由题意知函数f （P ）、f （M ）的图象如下图所示
.
设P =［x 2，+∞），M =（－∞，x 1］，∵|x 2|＜|x 1|，f （P ）=［f （x 2），+∞），f （M ）=［f （x 1），+∞），则P ∩M =?.
而f （P ）∩f （M ）=［f （x 1），+∞）≠?，故①错误.同理可知②正确.设P =［x 1，+∞），M =（－∞，x 2］，∵|x 2|＜|x 1|，则P ∪M =R .
f （P ）=［f （x 1），+∞），f （M ）=［f （x 2），+∞）， f （P ）∪f （M ）=［f （x 1），+∞）≠R ，故③错误.同理可知④正确. 答案：B
【例2】 已知A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.
解：A ={x |－2＜x ＜－1或x ＞0}， 设B =［x 1，x 2］，由A ∩B =（0，2］知x 2＝2，且－1≤x 1≤0， ① 由A ∪B =（－2，+∞）知－2≤x 1≤－1. ②
由①②知x 1＝－1，x 2＝2，∴a ＝－（x 1＋x 2）＝－1，b ＝x 1x 2＝－2.
评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.
深化拓展
（2004年上海，19）记函数f （x ）=1
3
2++-
x x 的定义域为A ，g （x ）= lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .
（1）求A ；
（2）若B ?A ，求实数a 的取值范围.
提示：（1）由2－
1
3
++x x ≥0，得11+-x x ≥0，
∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）.
（2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0. ∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）. ∵B ?A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥2
1
或a ≤－2. 而a ＜1，∴
2
1
≤a ＜1或a ≤－2. 故当B ?A 时，实数a 的取值范围是（－∞，－2］∪［
2
1
，1）. 【例3】 （2004年湖北，10）设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是
A.P Q
B.Q P
C.P =Q
D.P ∩Q =Q 剖析：Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}， 对m 分类：①m =0时，－4＜0恒成立；
②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0. 综合①②知m ≤0，∴Q ={m ∈R |m ≤0}. 答案：A
评述：本题容易忽略对m =0的讨论，应引起大家足够的重视.
【例4】 已知集合A ={（x ，y ）|x 2+mx －y +2=0}，B ={（x ，y ）|x －y +1=0，0≤x ≤2}，如果A ∩B ≠?，求实数m 的取值范围.
剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x 2+mx －y +2=0与线段x －y +1=0（0≤x ≤2）有公共点，求实数m 的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.
解：由???≤≤=+-=+-+),
20(01,
022x y x y mx x 得x 2+（m －1）x +1=0. ①
∵A ∩B ≠?，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解. 首先，由Δ=（m －1）2－4≥0，得m ≥3或m ≤－1.
当m ≥3时，由x 1+x 2=－（m －1）＜0及x 1x 2=1知，方程①只有负根，不符合要求； 当m ≤－1时，由x 1+x 2=－（m －1）＞0及x 1x 2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
综上所述，所求m 的取值范围是（－∞，－1］.
评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x 2+mx －y +2=0与线段x －y +1=0（0≤x ≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值
范围建立关于m 的不等式来解.
深化拓展
设m ∈R ，A ={（x ，y ）|y =－3x +m }，B ={（x ，y ）|x =cos θ，y =sin θ，0＜θ＜2π}，且A ∩B ={（cos θ1，sin θ1），（cos θ2，sin θ2）}（θ1≠θ2），求m 的取值范围.
提示：根据题意，直线y =－3x +m 与圆x 2+y 2=1（x ≠1）交于两点， ∴
2
2
)
3(1||-+m ＜1且0≠－3×1+m .
∴－2＜m ＜2且m ≠3. 答案：－2＜m ＜2且m ≠3.
●闯关训练
夯实基础
1.集合A ={（x ，y ）|x +y =0}，B ={（x ，y ）|x －y =2}，则A ∩B 是 A.（1，－1）
B.?
??-==11y x
C.{（1，－1）}
D.{1，－1}
解析：???=-=+2
0y x y x ???
?-==.1,
1y x 答案：C
2.（2004年上海，3）设集合A ={5，log 2（a +3）}，集合B ={a ，b }.若A ∩B ={2}，则A ∪B =______________.
解析：∵A ∩B ={2}，∴log 2（a +3）=2.∴a =1.∴b =2. ∴A ={5，2}，B ={1，2}.∴A ∪B ={1，2，5}. 答案：{1，2，5}
3.设A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，若A B ，则a 的取值范围是___________________. 解析：A B 说明A 是B 的真子集，利用数轴（如下图）可知a ≤1.
a 1 2
答案：a ≤1
4.已知集合A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为__________________. 解析：若a =0，则x =－
2
1
.若a ≠0，Δ=4－4a =0，得a =1. 答案：a =0或a =1
5.（2004年全国Ⅰ，理6）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ?B ?I ，则下列各式中错误．．
的是 A.（
I A ）∪B =I
B.（I A ）∪（I B ）=I
C.A ∩（I B ）=
?
D.（I A ）∩（I B ）=I B
解析一：∵A 、B 、I 满足A ?B ?I ，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A 、C 、D 都
是正确的.
B A
I
解析二：设非空集合A 、B 、I 分别为A ={1}，B ={1，2}，I ={1，2，3}且满足A ?B ?I .根据设出的三个特殊的集合A 、B 、I 可判断出A 、C 、D 都是正确的.
答案：B
6.（2005年春季北京，15）记函数f （x ）=log 2（2x －3）的定义域为集合M ，函数g （x ）=
)1)(3(--x x 的定义域为集合N .求：
（1）集合M 、N ；
（2）集合M ∩N 、M ∪N .
解：（1）M ={x |2x －3＞0}={x |x ＞
2
3
}；N ={x |（x －3）（x －1）≥0}={x |x ≥3或x ≤1}. （2）M ∩N ={x |x ≥3}；M ∪N ={x |x ≤1或x ＞2
3
}.
培养能力
7.已知A ={x ∈R |x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R |x ＞0}=?，求实数p 的取值范围. 解：∵A ∩{x ∈R |x ＞0}=?，
∴（1）若A =?，则Δ=4－4p ＜0，得p ＞1； （2）若A ≠?，则A ={x |x ≤0}，
即方程x 2+2x +p =0的根都小于或等于0. 设两根为x 1、x 2，则
???
??≥=≤-=+≥-=.0,02,0442
121p x x x x p Δ ∴0≤p ≤1.综上所述，p ≥0. 8.已知P ={（x ，y ）|（x +2）2+（y －3）2≤4}，Q ={（x ，y ）|（x +1）2+（y －m ）2＜
4
1}，且P ∩Q =Q ，求m 的取值范围.
解：点集P 表示平面上以O 1（－2，3）为圆心，2为半径的圆所围成的区域（包括圆周）；点集Q 表示平面上以O 2（－1，m ）为圆心，
2
1
为半径的圆的内部.要使P ∩Q ＝Q ，应使⊙O 2内含或内切于⊙O 1.故有｜O 1O 2｜2≤（R 1－R 2）2，即（－1＋2）2＋（m －3）2≤（2－
2
1）2
.解得3－25≤m ≤3＋25.
评述：本题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题.
探究创新
9.若B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由.
解：∵B ={x |1＜x ＜2}，若存在实数a ，使A ∩B =A ，则A ={x |（x －a ）（x －a 2）＜0}.
（1）若a =a 2，即a =0或a =1时，此时A ={x |（x －a ）2＜0}=?，满足A ∩B =A ，∴a =0或a =1.
（2）若a 2＞a ，即a ＞1或a ＜0时，A ={x |0＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则???≤≥2
1
2a a ?1≤
a ≤2，∴1＜a ≤2.
（3）若a 2＜a ，即0＜a ＜1时，A ={x |a ＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则???≥≤1
22
a a ?1≤a ≤2，
∴a ∈?.
综上所述，当1≤a ≤2或a =0时满足A ∩B =A ，即存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x + a 3＜0}且A ∩B =A 成立.
●思悟小结
1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.
2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.
3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.
4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.
●教师下载中心 教学点睛
1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.
2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.
3.强化数形结合、分类讨论的数学思想. 拓展题例
【例1】 设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N ={x |x ∈M 且x ?N }，则M －（M －N ）等于
A.N
B.M ∩N
C.M ∪N
D.M 解析：M －N ={x |x ∈M 且x ?N }是指图（1）中的阴影部分.
(1) (2)
同样M －（M －N ）是指图（2）中的阴影部分.
答案：B
【例2】 设集合P ={1，a ，b }，Q ={1，a 2，b 2}，已知P =Q ，求1+a 2+b 2的值. 解：∵P =Q ，
∴?????==22,b b a a ① 或?????==.
,2
2
a b b a ② 解①得a =0或a =1，b =0或b =1.（舍去）
由②得a =b 2=a 4，∴a =1或a 3=1.a =1不合题意， ∴a 3=1（a ≠1）.∴a =ω，b =ω2，其中ω=－21+2
3i. 故1+a 2+b 2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2=0.
数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ?
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x
第一章集合与函数的概念 一、选择题 1 ．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= （ ） A ．{1,2,3,4,6} B ．{1,2,3,4,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2} 2 ．设集合A ={x |1 高三数学专题练习1 集合的概念与运算 小题基础练① 一、选择题 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝() A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 答案：C 解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C. 2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?R A＝() A．{x|－1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 答案：B 解析：因为A ＝{x |0 集合的概念与运算训练 一、选择题 1．（07浙江）设全集U ={1，3，5，6，8}，A ={1，6}，B ={5，6，8}，则(C U A )∩B =( ) A ．｛6｝ B ．{5，8} C ．{6，8} D ．{3，5，6，8} 2．（09山东）集合{0,2,}A a =,2{1,}B a =,若{0,1,2,4,16}A B = ,则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 3．（10湖北）设集合M ={1,2,4,8}，N ={x |x 是2的倍数}，则M ∩N =( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 4．（08安徽）若A 为全体正实数的集合，{2,1,1,2}B =--则下列结论中正确的是（） A ．{2,1}A B =-- B ．()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ．(){2,1}R C A B =-- 5．（06陕西）已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}, 则P ∩Q 等于( ) A ． {2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 6．（07安徽）若22 {|1},{|230}A x x B x x x ===--=，则A B ＝( ) A ．{3} B ．{1} C ．? D ．{1}- 7．（08辽宁）已知集合{31}M x x =-<<，{3}N x x =≤-，则M N = （） A ．? B ．{3}x x ≥- C ．{1}x x ≥ D ．{1}x x < 8．（06全国Ⅱ）已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N = ( ) A ．? B ．{|03}x x << C ．{|13}x x << D ．{|23}x x << 9．（09陕西）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N 为（） A ．[0，1） B ．（0，1） C ．[0，1] D ．（-1，0] 10．（07山东）已知集合11{11}| 242x M N x x +??=-=<<∈????Z ，，，，则M N = （） A ．{11}-， B ．{0} C ．{1}- D ．{10}-， 11．（11江西）已知集合{}? ?????≤-=≤+≤-=02,3121x x x B x x A ，则B A 等于（） A ．{10}x x -≤< B ．{01}x x <≤ C ．{02}x x ≤≤ D ．{01}x x ≤≤ 12．（07广东）已知集合1{10{0}1M x x N x x =+>=>-，，则M N = （） A ．{11}x x -<≤ B ．{1}x x > C ．{11}x x -<< D ．{1}x x -≥ 13．（08广东）届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（） A. A B ? B. B C ? C. B ∪C = A D. A∩B = C 14．（09广东）已知全集U =R ，则正确表示集合M = {-1，0，1}和N = {x |x 2+x =0}关系的韦恩（Venn ） 图是（） A ． B ． C ． D ． 1 集合的概念与运算（一） 目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质， 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法． 重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 基本知识点： 知识点1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属） （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 专题1.1 集合的概念及其基本运算【考纲解读】 内容 要求 5年统计 A B C 集合 集合及其表示√2017．1 2016．1 2015．1 2014．1 2013·4 子集√ 交集、并集、补集√ 【直击考点】 题组一常识题 1．【教材改编】设全集U＝{小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则?U(A∪B)＝________． 【答案】{7，8} 2．【教材改编】已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，则这样的集合B有________个．【答案】4 【解析】因为A∪B?B，A＝{a，b}，所以满足条件的B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以集合B有4个．学# 3．【教材改编】设全集U＝{1，2，3，4，5， 6，7，8，9}，?U(A∪B)＝{1，3}，A∩(?U B)＝{2，4}，则集合B＝________． 【答案】{5，6，7，8，9} 【解析】由?U(A∪B)＝{1，3}，得1，3?B；由A∩(?U B)＝{2，4}，得2，4?B，所以B＝{5，6，7，8，9}． 题组二常错题 4．设集合M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{(x，y)|y＝2x}，则集合M∩N的子集的个数为________．【答案】8 【解析】由函数y＝x2与y＝2x的图像可知，两函数的图像在第二象限有1个交点，在第一象限有2个交点(2，4)，(4，16)，故M∩N有3个元素，其子集个数为23＝8. 5．已知集合M＝{x︱x－a＝0}，N＝{x︱ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．【答案】0或1或－1 【解析】M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N?M，∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1. 6．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________． 第一节 集合 一．考试要求： 理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。 二．基本概念和性质 1．集合的基本概念： 某些指定的对象集在一起成为一个集合。其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。 2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来 表示集合要具体问题具体分析。 3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。 4．集合间的关系及运算 子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____; 真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____; 空集：____________________,记为_____ 补集：如果已知全集U ，集合A U ?，则U C A =_________________; 交集：A B =___________________;并集：A B =_____________________ 5.集合中常用运算性质 若,A B B A ??则______，若,A B B C ??则_______, ___A ?, 若,A ≠?则___A ?，___,__,__,__A A A A A A =?==?= __U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B === ____A B A B A B ??=?= 6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合： {}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________ (3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________ x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈ 7．特别注意： （1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。 （2）为了直观表示集合之间的关系，常用韦恩图来解决问题，另外要充分利用数轴和平面 直角坐标系来反映集合及其关系。 （3）解决有关集合问题，关键在于集合语言的转化。 三、例题选讲 1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A C I ∪B C I =（ ） A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，1，4} D ．{0，1，2，3，4} 2．方程组3231x y x y -=?? -=?的解的集合是（ ） A ．｛x =8,y=5｝ B ．｛8, 5｝ C ．｛(8, 5)｝ D ．Φ 3．有下列四个命题： ①{}0是空集； ②若Z a ∈，则a N -?； ③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x Q N x ??=∈∈???? 是有限集。 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 5．已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（ ） A ．M P = B ．M P ∈ C ．M ∩P =Φ D ． M ?P 6．设集合M=},21 4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（ ） A ．M =N B ． M ≠?N C ． N ≠?M D ．M ∩=N Φ 7．设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠?B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞,2 B ．(]1,∞- C ．[)+∞,1 D ．(]2,∞- 8．满足{1，2，3} ≠?M ≠?{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 9．如右图所示，I 为全集，M 、P 、S 为I 的子集。 则阴影部分所表示的集合为 A ．(M ∩P)∪S B ．(M ∩P)∩S C ．(M ∩P)∩(I S) D ．(M ∩P)∪(I S) 二、填空题： 1．已知{}2|1,R,R A y y x x y ==+∈∈，全集R U =，则() N U A =e ． 2．已知{},M a b =，{},,N b c d =，若集合P 满足P M 且P N ，则P 可是 ． 3．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e}，A ＝{a ，c ，d}，B ＝{b ，d ，e}， 则?UA∩?UB ＝________. 4．已知{}{}22|2013(2)400x x a x a +?++-==，则a = ． 三、解答题：(写出必要的计算步骤) 1．已知集合A ＝｛x ｜－1＜x ＜3}，A∩B＝Φ，A∪B＝R ，求集合B ． 第一章集合与常用逻辑用语 1．集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念． (2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． (4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． (5)理解全称量词和存在量词的意义． (6)能正确地对含一个量词的命题进行否定． 1．1 集合及其运算 1．集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________． (2)集合中元素的三个特性：______，______，_________. (3)集合常用的表示方法：________和________． 2 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a 不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________． (2)集合与集合之间的关系： 相等集合A与集合B中的所有元素都 相同 __________ ?A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________ 真子集 A中任意一个元素均为B中的元 素，且B中至少有一个元素不是A 中的元素 ________或________ 空集空集是任何集合的子集，是任何 ______的真子集 ??A，?B (B≠?) 结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个． 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________ Venn图表示(阴影部分) 意义 5.集合运算中常用的结论 (1)①A∩B________A；②A∩B________B； ③A∩A＝________；④A∩?＝________； ⑤A∩B________B∩A. (2)①A∪B________A; ②A∪B________B； ③A∪A＝________；④A∪?＝________； ⑤A∪B________B∪A. (3)①?U(?U A)＝________； ②?U U＝________； ③?U?＝________； ④A∩(?U A)＝________； ⑤A∪(?U A)＝________. (4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B； 第1讲集合的概念与运算 一、知识梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 表示 关系 自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即 若x∈A，则x∈B) A?B(或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A) 集合相等集合A，B中元素相同A＝B 集合的并集集合的交集集合的补集 图形语言 符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B ?U A＝{x|x∈U且x?A} 常用结论|三种集合运用的性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A． (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B． (3)补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A；?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)． 二、教材衍化 1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则() A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P 解析：选D．因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a?P.故选D． 2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．() (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A．() (3)若A B，则A?B且A≠B．() (4)N*N Z.() (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)× 二、易错纠偏 常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致错； (2)集合运算中端点取值致错； (3)忘记空集的情况导致出错． 高三数学一轮复习（集合、常用逻辑用语01） 【复习课题】集合的概念及运算(1) 【复习要求】 1．了解集合的概念，理解子集、交集、并集、补集的概念；明确子集、真子集相等的定义及它们之间的区别与联系；弄清元素与集合、集合与集合的关系。 2．了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义。 3．掌握有关的术语和符号，会用它们正确表示一些简单的集合。 【复习过程】 (1)一般地，我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做，简称． (2)集合中的元素有三个特点：①；②；③． (3)集合中元素与集合的关系分为和两种，分别用和来表示． 集合有三种表示方法：、、。 注意：区分集合中元素的形式：如：A＝{x|y＝2x＋2x＋1}；B＝{y|y＝2x＋2x＋1}；C＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1}；D＝{x|x＝2x＋2x＋1}；E＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1，x∈Z，y∈Z}；F＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1} 2．集合间的基本关系 (1)一般地，对于两个集合A、B，如，我们就说这两个集合有 包含关系，称集合A为集合B的子集，记作. (2)对于两个集合A、B，若且，则称集合A与集合B相等． (3)如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的， 记作. 注意：条件为A?B，在讨论的时候不要遗漏了A＝φ的情况． (4)不含任何元素的集合叫做，记作，并规定：空集是任何集合的子集． 思考：{0}与φ有什么区别？ (5)若A含有n个元素，则A的子集个数为个，A的非空子集个数为个，A的非 空真子集个数为个． 3．集合的基本运算 (1)一般地，由所有的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集， 记作A∪B，即：A∪B＝． (2)一般地，由的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 A∩B，即：A∩B＝． (3)如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为，通常 记作. (4)对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，记作?UA，即?UA＝． (5)A∩B＝A?，A∪B＝A?. 4．集合的运算性质 A∪φ＝，A∪A＝，A∪B＝， A∩φ＝， A∩A＝，A∩B＝， A∪(?UA)＝，A∩(?UA)＝，?U(?UA)＝. 1．由实数33 2, |, |, ,x x x x x- -组成的集合中，最多含有元素个 2．集合{x|x>1且x≤3，x∈N}中的元素有 3．已知集合S＝{x|x≤5 2}，又a＝3，则a与S的关系为 4．设集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋1，n∈Z}，则集合A，B的关系是 5．已知集合M＝{x|－3 集合的概念与运算 适用学科咼中数学适用年级高中一年级 适用区域通用课时（分钟）2课时 知识点 集合的概念，兀素与集合的关系及表示，集合的表示方法相等关系，包含关系，不 包含关系 教学目标 了解集合的含义，体会兀素与集合的属于关系； 能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体冋题；理解集合之间包含与相 等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义?教学重点兀素与集合的关系，集合兀素的特性；集合之间包含与相等的含义 教学难点集合之间包含与相等的含义，集合兀素的特性 主要以一元二次不等式，函数的定义域（特别是对数函数的定义域与带根号的函数的定义域） 与值域为背景进行考察，求解时，掌握一元二次不等式的解法及函数定义域值域的求法时正 确求解的关键 （2 ）本部分在高考中的题型以选择题为主，几乎历年一道必考送分，各位同学要抓住这个'相关知识 集合 q概念、一组对象的全体? x^A,x老A。兀素特点：互异性、无序性、确定性。 关系 子集x^A= B二A匸B。0匸A; A匸B, BG C= AG C n个兀 素集合子集数2n。 真子集x^ Aa x E B, Ex。E B,x o 更A二 A U B 相等A匸B,B匸A二A = B 运算 交集 A"B ={x|x^ A,且B}C U（A U B）=（C U A）D（C U B） C U（A D B）=（C U A）U（C U B） C u （C U A） = A 并集 AUB ={x|x^ A,或B} 补集 Cu A = {x|x^U 且x 更A 三、知识讲解 1?集合的含义 集合的交并补运算在高考中几乎是每年必考, §1.1集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2. (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 3．正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?. 题型一集合的基本概念 例1(1)下列集合中表示同一集合的是(B) 提能拔高限时训练1 集合的概念与运算 一、选择题 1.若集合M＝{0,1,2},N＝{(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x,y∈M},则N中元素的个数为( ) A.9 B.6 C.4 D.2 解析：由x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,得2y-1≤x≤2y+1,于是集合{(x,y)|x,y∈M}中共有4个元素,分别为(0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,1). 答案：C 2.若A、B、C为三个集合,A∪B＝B∩C,则一定有…( ) A.A?C B.C?A C.A≠C D.A＝?解析：由A∪B＝B∩C,知A∪B?B,A∪B?C, ∴A?B?C.故选A. 答案：A 3.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q＝{a+b|a∈P,b∈Q},若P＝{0,2,5},Q＝{1,2,6},则P+Q中元素的个数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析：本题考查集合的表示及元素的互异性.P+Q中元素分别是1,2,6,3,4,8,7,11. 答案：B 4.若集合A＝{1,2,x,4},B＝{x2,1},A∩B＝{1,4},则满足条件的实数x的值为（） A.4 B.2或-2 C.-2 D.2 解析：由A∩B＝{1,4},B＝{x2,1},得x2＝4,得x＝±2. 又由于集合元素互异，∴x＝-2. 答案：C 5.设集合S＝{-2，-1，0，1，2}，T＝{x∈R|x+1≤2},则(S∩T)等于（） A.? B.{2} C.{1,2} D.{0,1,2} 解析：由题意,知T＝{x|x≤1},∴S∩T＝{-2,-1,0,1}. ∴(S∩T)＝{2}. 答案：B 6设U为全集，M、P是U的两个子集，且（M）∩P＝P,则M∩P等于（） A.M B.P C.P D.? 解析：由（M）∩P＝P,知P?M,于是P∩M＝?.故选D. 答案：D 7.设集合M＝{x|x∈R且-1＜x＜2},N＝{x|x∈R且|x|≥a,a＞0}.若M∩N＝?,那么实数a的取值范围是（） A.a＜1 B.a≤-1 C.a＞2 D.a≥2 解析：M＝{x|-1＜x＜2},N＝{x|x≤-a或x≥a}. 若M∩N＝?,则-a≤-1且a≥2,即a≥1且a≥2. 综上a≥2. 答案：D 第1讲 集合的基本概念与运算 吴江市高级中学 李文静 一、高考要求 ①理解子集、补集、交集、并集的概念； ②了解空集和全集的意义；③了解属于、包含、相等关系的意义；④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 二、两点解读 重点：①集合的三大性质； ②集合的表示方法 ；③集合的子、交、并、补等运算． 难点：①新问题情境下集合概念的理解；②点集和数集的区别；③空集的考查． 三、课前训练 1．设集合A=｛1,2｝，B=｛1,2,3｝，C=｛2,3,4｝则=C B A Y I ）（（ ） ( A ) ｛1,2,3｝ ( B ) ｛1,2,4｝ ( C ) }4,3,2{ ( D ) }4,3,2,1{ 2．设集合}01{<<-=m m P ，044{2<-+∈=mx mx R m Q ，对任意的实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ） (A) P Q (B) Q P (C)Q P = (D)P Q =?I 3．已知集合}{2x y y A ==，}2{x y y B ==，则=B A I ____________． 4．设集合A={5，)3(log 2+a },集合B={a ，b }．若B A I ={2}，则B A Y = ． 四、典型例题 例1 设集合},412{Z k k x x M ∈+==，},2 1 4{Z k k x x N ∈+==, ,则（ ） (A) M N (B) N M (C)M N = (D)M N =?I 例2 设集合},,1),{(22R y R x y x y x M ∈∈=+=，},,1),{(2R y R x y x y x N ∈∈=-=，则集合N M I 中元素的个数为（ ） (A ) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 例3设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},|{Q b P a b a Q P ∈∈+=+，若},5,2,0{=P }6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______________． 例4 已知集合}06{2=-+=x x x M ，}01{=-=mx x N ，若M N ?，则实数m 的取值构成的集合为______________________． 例 5 已知R a ∈，二次函数a x ax x f 22)(2--=．设不等式0)(>x f 的解集为A ，又知集合 ? ≠ ? ≠ ? ≠ ? ≠ 高三数学集合复习资料大全 第1讲集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn二．【命题走向】 的直观性，注意运用Venn预测2010题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1（2 三．【要点精讲】 1 （1a的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA； （2 确定性：设x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此， 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系： （1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B 包含A），记作AB（或AB）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A 有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U； （2）若S是一个集合，AS，则，CS={x|xS且xA}称SA的补集； （3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=，CS=S 4．交集与并集： 第1讲 集合的概念和运算 【例1】?已知 a ∈R ， b ∈R ，若??????a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________. 答案 1 【训练1】 集合??????????x ∈N *??? 12x ∈Z 中含有的元素个数为( )． A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 答案 B 【例2】?已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1高三数学专题训练--集合的概念与运算
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