精心整理导数概念与运算
一、基本知识
1．概念：（ 1）定义：
（2）导数的几何意义：
（3）求函数在一点处导数的方法：
（4）导函数：
2．基本函数的导数：C'_____ （C为常数） (x n )' ______，n N (sin x)'______ (cos x)'_____ (e x)'______ (a x )'_____(ln x)'______ (log a x)' ____
3．运算法则：u(x)v( x) ' _______ u(x)v(x) ' _____u( x)'_______
v( x)
4．复合函数的导数：
二、典型例题
例 1．若函数 f(x)在 x=a 处的导数为 A,则lim f (a) f ( a x)
=，lim f (a4t ) f ( a5t )
x0x x 0t 例 2．求下列导函数
① y x 2 cos x ② y e x 1
③ y sin 3 2x ④y ln( x1x 2 )
e x1
⑤ y x 10sin 2 x⑥y ln sin x 3 1 2x 2
例 4．求函数y x 25x 4 （1）在 (0,4) 处的切线；（2）斜率为3的切线；（3）过 (0,3) 处的切线三、课堂练习
1．（ 2007 全国 II,8）已知曲线y x23ln x 的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（）
42
A．3B.2 C.1D.0.5 2．求导数（1）y x3x2 1 11
（2）
y
1
+
（）
(2 x3)( x 2)(3x 1)(1x)
x
x 2x3x x +3 3 y
x
3 f (x)x3 f '(1)x2x1则f ' ( 1)____, f (1) _____ . 4．求过原点且与曲线y x 9
相切的切线方程 .
x5
四、规范训练
1 曲线y x33x26x 10 的切线中，斜率最小的切线方程为——————
3．函数y3x x3，求过点P（2，-2）的切线方程.
4．（’ 07江西 11）设函数 f ( x)是R上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线y f (x) 在x 5 处的切线
的斜率为（）Ａ．1Ｂ． 0Ｃ．1
Ｄ． 5
55
5（．’ 06福建 11）已知对任意实
数x ，有 f ( x) f x() g( ，x)gx()，且 x0 时，f (x)0， g ( x)0 ，则 x0 时（） A．f (x)0，g (x)0B． f (x)0，g (x)0C．f (x)0，g(x)0D．f( x) 0， g ( x) 0
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2
1
6．（ ’ 07全国Ⅱ 8）已知曲线 y
x
3ln x 的一条切线的斜率为
2 ，则切点的横坐标为（）
4
A ．3
B ．2
C ．1
D ．
1
2
7．（ ’ 06湖南 13）曲线
y
1
和 y x 2 在它们的交点处的两条切线与
x 轴所围成的三角形的面积是
______ x
8．（ ’ 04重庆文 15）已知曲线
y
1 x 3 4
，则过点 P(2, 4) 的切线方程是 ______________ 3 x 3 3
9．（ ’ 07全国Ⅱ 22）已知函数 f ( x) x ．（1）求曲线 y f ( x) 在点 M (t ， f (t )) 处的切线方程；（ 2）
设 a 0，如果过点 (a ， b) 可作曲线 y f ( x) 的三条切线，证明： a b f (a) ．
导数的应用（单调性、极值、最值）
一、基本知识
设函数 y f (x )在区间 (a, b)内可导
1．利用导数判断函数的单调性的充分条件
如果在 内， 0, 则 f (x ) 在此区间是增函数；
(a,b)
f '(x )
如果在
内，
0,则 在此区间是减函数
(a,b) f '(x )
f (x )
（求单调区间的步骤：求定义域，求导数，解不等式） 2.利用导数研究函数的极值：
已知函数
y
f ( x )及其定义域内一点
x 0 , 对于存在一个包含
x 0的开区间内的所有点
x , 如果都有
f ( x )
f ( x 0 ),
则称函数
f (x )在点
x 0 处取极大值，记作
y 极大值
f (x 0 ), 并把
x 0 称为函数 f ( x )的一个
极大值点；如果都有
f (x ) f (x 0 ), 则称函数 f (x )在点 x 0处取极小值，记作
y 极小值 f (x 0 ), 并把
x 0 称作极小值点 .
（极值是局部概念，最值是整体概念；极大值可以小于极小值） （求极值的步骤：求导、解方程、判
断、结论） 3．利用导数研究函数的最值： （闭区间上的连续函数一定有最大和最小值）
①函数 f(x)在区间 [a,b] 上的最大值是函数 f(x)在区间 [a,b] 上的极大值与 f(a),f(b)中的最大者；②函数 f(x)在区间 [a,b] 上的最小值是函数 f(x)在区间 [a,b] 上的极小值与 f(a),f(b)中的最小者；（求最值的步骤：先求极值再与端点值比较）
二、典型例题
例 1（ 1）求函数 y x 3 3x 2 3x 5 的单调区间、极值 . （2）求函数 y 3x 3
9x 5 在 x
[ 2,2] 上的最大值与最小值
例 2．设 a 为实数 ,函数 f (x) x 3 x 2
x a. (Ⅰ) 求 f ( x) 的极值 .(Ⅱ )当 a 在什么范围内取值时 ,曲线
y f ( x)与x 轴仅有一个交点 .
例 3 已知 x 1 是函数 f ( x) mx 3
3(m 1)x 2 nx 1的一个极值点，其中 m,n
R,m 0 ，（I ）求 m 与
n 的关系式；（II ）求 f ( x) 的单调区间；
（III ）当 x 1,1 时，函数 y f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ，求 m 的取值范围 .
例 4．函数 f ( x)
4x ax 2
2 x 3
在区间 1,1 上增，求实数 a 的取值范围 .
3
例 5．设函数 f (x) ax 2 b ln x ，其中 ab 0 ．证明：当 ab 0 时，函数 f ( x) 没有极值点；当 ab 0
时，函数 f ( x) 有且只有一个极值点，并求出极值． 三、课堂练习
‘
1．在（ a ， b ）内， f （x ）>0 是 f （x ）在（ a, b) 内单调增加的（）
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
．可导函数
‘ 在 x 0 处取得极值的（）
（ x 0）=0 是函数
y f (x)
2 y f ( x) ， f
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件精心整理
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3．关于函数y f ( x) 在区间 [ a, b] 上的极值与最值，下列说法正确的是（）
A ．极大值一定大于极小 B.最大值一定是极大值 C．极小值一定不是最大值 D.最小值一定小于极
小值
4 已知f ( x)x3ax 2bx c ，当x1时取的极大值 7，当 x 3 时取得极小值，求极小值以及对应的 a,b,c
5．函数y ax3bx 2cx d 的图象与y轴的交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在 x=2 处取得极值0，试确定函数的解析式 .
6．已知函数 f ( x)x3 1 x2bx c ，若函数 f (x) 的图象有与x轴平行的切线.(1)求b的取值范围；
2
（2）若函数 f ( x)在 x=1 处取得极值，且x [ 1,2] 时， f (x)c2恒成立，求c的取值范围
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四．规范训练：
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定积分与微积分基本定理
一、基本知识
1．一般函数定积分的定义： （被积函数，积分上限，积分下限）
2.定积分的几何意义： 3．定积分的物理意义： 4．微积分基本定理：
5．定积分的性质：（1）
b b
cf (x)dx c f ( x)dx （ c 为常数）
a a
（2） f (x), g( x) 可积，则
b b f (x)dx
b
b c b
f ( x) g( x) dx
g (x)dx （ ）
f ( x)dx
f ( x)dx
f ( x) dx
a
a
a
3
a
a
c
6．常见函数的原函数：
①常数函数： f (x) c 的原函数为 F ( x) cx
c' （ c' 为任意常数）；
②幂函数： f (x) x
n (n
1) 的原函数为 F ( x)
x n 1 c' （ c' 为任意常数）；
n 1
③反比例函数： f ( x)
1
的原函数为 F ( x) ln | x |
c' （ c' 为任意常数）；
x
④指数函数： f (x)
a x ( a 0, a 1) 的原函数为 F (x) a x c '
（ c' 为任意常数）；
ln a ⑤正弦函数： ⑥余弦函数： ⑦对数函数： 二、典型例题
例 1．求下列定积分
3
（1）
(3x 2 2x
1)dx
1
（3）
2 1
dx
1
x
sin x 的原函数为 F ( x)
cos x
c' （ c' 为任意常数）；
cos x 的原函数为 F ( x) sin x c' （ c' 为任意常数）； ln x 的原函数为 F (x) xln x x c' （ c' 为任意常数）；
（2）
2 cos
xdx
例 2．求面积
（1） 曲线 y sin x 与 x 轴在区间 0,2 上所围成阴影部分的面积。
（2） 抛物线 y x 2 与直线 y 4 所围成的图形的面积。
(3)计算由 y
x 2 和 x y 2 所围成的图形
的面积。
2
x
2
xdx 例 4．求曲线 x
y 2
, x
y 2
所围成的面积。
例 3．计算
2
例 5．过坐标原点作曲线 y ln x 的切线 l ，该切线 l 与曲线 y
ln x 及 x 轴围成图形为 D 。（1）求
切线 l 的方程。（ 2）求区域 D 的面积 S 。
三、课堂练习 1．用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S （）
2．
3
1
dx ( 1 1
) A.
B. ln 3 ln 2
C. ln 2 ln 3
D. 不存在
2 x
3 2
3．求下列积分值：
1
1
1
| x | dx ；④
6 1)dx ；⑤
2 1
)dx
① dx ；②
xdx ；③
(x 2
( 2x
1
1
1
2
1
x
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f (x)
f (x) f (x)
4．计算y2x , x 1 所围成的图形的面积
2
四、规范训练
a
4 ，则a_________;若3 sin xdx 1 (a) ，则a ___ . 1．若x3dx
0a222
2．求下列积分值：22
sin xdx | x 1 |dx| x | dx
001
3．在曲线y x2 ( x0) 上某一点A处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为1
，试求：
（1）切点 A 的坐标；（2）过切点 A 的切线方程 .
12
4．已知f ( x)x22bt c) dt ( x R )且 g( x) f ( x) f ' (x) 是奇函数.(1)求 b,c 的值；（2）求(3t
g( x) 的单调区间与极值.
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《导数及其应用》 一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2 1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：
6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个 根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤 （“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f ①推广：1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±± ±=±± ±????
数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()
3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数
数学选修—导数及其应用 1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．' 0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ． 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 A ．7米/秒 B ． 6米/秒 C ． 5米/秒 D ． 8米/秒 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于 A ．19/3 B ．16/3 C ．13/3 D ．10/3 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_____；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为_____；3．函数sin x y x =的导数为_____；4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的 斜率是____，切线的方程为______；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是________。 1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线 3235y x x =+-相切的直线方程。 2．求函数()()()y x a x b x c =---的导数。 3．求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。 4．已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。 2．若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h →+--= A ．-3 B ．-6 C ．-9 D ．-12 4．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6．函数x x y ln =的最大值为（ ）A ．1-e B ．e C ．2e D ．10/3 1．函数2cos y x x =+在区间[0,]2 π上的最大值是 。 2．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为____________。 3．函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。 4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。 5．函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为______。 已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值。 3． 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。
高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
适用学科
高中数学
适用年级
适用区域 苏教版区域
课时时长(分钟)
知识点 １、函数的单调性与极值;
2、函数中含参数的单调性与极值、
高二 2 课时
教学目标 １、 能利用导数研究函数的单调性,会用导数法求函数的单调区间。
２、了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件、 ３、 会用导数求函数的极大值与极小值
教学重点 利用导数研究函数的单调性;函数极值的概念与求法 教学难点 用导数求函数单调区间的步骤;函数极值的求法
【知识导图】
教学过程
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节,是为了激发学生的学习兴趣,帮助学生尽快进入学习状
态、 导入的方法特不多,仅举两种方法: ① 情境导入,比如讲一个与本讲内容有关的生活现象; ② 温故知新,在知识体系中,从学生已有知识入手,揭示本节知识与旧知识的关系,帮学生
建立知识网络、 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的 快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特不重要的、通过研究函数的这些性质,我们能 够对数量的变化规律有一个基本的了解、函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化 情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?
用考导点数1求函导数函单数调判性的断步函骤数: 的单调性
（1）明确函数的定义域,并求函数的导函数; （2）若导函数时,并求对应的解集; （3）列表,确定函数的单调性; （4）下结论,写出函数的单调递增区间与单调递减区间、 注意:导函数看正负,原函数看增减。
用导数求函数极值的步骤: (１)明确函数的定义域,并求函数的导函数; （2）求方程的根; （3）检验在方程的根的左右的符号,假如在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数在这 个根处取得极大值,这个根叫做函数的极大值点;假如在根的右侧附近为正,左侧附近为负,那 么函数在这个根处取得极小值,这个根叫做函数的极小值点。
第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为()． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋1 x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝2 x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝1 x2＋2在点x＝1处的导数． 7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
8．设函数f(x)可导，则lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1) 3Δx等于()． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3f′(1) D．f′(3) 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________． 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用教材 习题点拨 新人教A 版选修2-2 教材问题解答 (问题) 如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )有什么特征？ 答：如果在某个区间上恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间上是常数函数． (思考) 请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系． 答：函数y ＝f (x )的平均变化率 f x 2－f x 1 x 2－x 1 的几何意义是经过(x 1，f (x 1))，(x 2， f (x 2))两点直线的斜率． 当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率f x 2－f x 1 x 2－x 1 ＞0；当导数为负值时， 函数单调递减，平均变化率 f x 2－f x 1 x 2－x 1 ＜0. (问题) 如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？ 答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性． 练习1 1．解：(1)因为f (x )＝x 2 －2x ＋4，所以f ′(x )＝2x －2. 当f ′(x )＞0，即x ＞1时，函数f (x )＝x 2 －2x ＋4单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜1时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4单调递减． (2)因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )＞0，即x ＞0时，函数f (x )＝e x －x 单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜0时，函数f (x )＝e x －x 单调递减． (3)因为f (x )＝3x －x 3 ，所以f ′(x )＝3－3x 2. 当f ′(x )＞0，即－1＜x ＜1时，函数f (x )＝3x －x 3 单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1或x ＜－1时，函数f (x )＝3x －x 3 单调递减． (4)因为f (x )＝x 3 －x 2 －x ，所以f ′(x )＝3x 2 －2x －1.
导数在实际生活中的应用 【教学目标】 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题. 【教学重点、难点】 解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题． 【教学过程】 一、复习引入： 导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决. 利用导数求函数的最值步骤: （1）求) (x f在(,) a b内的极值； （2）将) (x f的各极值与) (a f、) (b f比较得出函数) (x f在[,] a b上的最值. 二、例题分析： 例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
b 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？ 例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周CD BC AB l ++=最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . 例4、已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
例5、强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比） 例6、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x ， （1）如果632()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）如果()501000C x x =+，产品的单价()1000.01p x x =-，那么怎样定价可使利润最大？
2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用第11课时导数在实 际生活中的应用教案苏教版选修2-2 【教学目标】 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题. 【教学重点、难点】 解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题． 【教学过程】 一、复习引入： 导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决. 利用导数求函数的最值步骤: （1）求) (x f在(,) a b内的极值； （2）将) (x f的各极值与) (a f、) (b f比较得出函数) (x f在[,] a b上的最值. 二、例题分析： 例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
b 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？ 例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周CD BC AB l ++=最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . 例4、已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
例5、强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比） 例6、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x ， （1）如果632()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）如果()501000C x x =+，产品的单价()1000.01p x x =-，那么怎样定价可使利润最大？
第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.
题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.
第三章导数及其应用 备课人周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）及起跳后的时间t（单位：s）存在关系()10 =t t t h， - + 5.6 9.42+ 那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多
少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉 表格1 格2 0?t 时，在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时，-=v 13.051； 当=?t 0.01时，-=v 13.149； 当-=?t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=?t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=?t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=?t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=?t 0.000 01时， -=v 13.099 951； 当=?t 0.000 01时，-=v 13.100 049；
[自学目标]: 利用导数作为工具体会并研究导数在解决实际问题中的作用 掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题. [重点]: 会求函数的单调区间，极值，最大值最小值。 [难点]: 导数综合问题的处理 [教材助读]: （1）导数与函数单调性的关系（若函数 在某个区间上可导） 若 则 为____________ 若 则 为___ 若 则 为___ （2）可导函数的极值 [预习自测] A B )∞ C (0,2) D (2,)+∞ 3，已知函数()3 128f x x x =-+在区间[]3,3-上的最大值与最小值分别为M 和m, 则 M-m= ___ 同学探究解决。 [合作探究 展示点评] 探究一：导数在求区间极值最值中的应用 已知函数 () x f y =()0'>x f ()x f ()0'
1).求函数 的单调区间 2).求函数 的极值及对应 x 的值 3).求函数 在区间 上的最大值 探究二：导数在应用问题中的应用 用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? [当堂检测] 1．下列函数在()-+，∞∞内为单调函数的是（ ） ()x f y =()x f y =[] 3,2 -
课时作业12 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知自由落体运动的速度v ＝gt (g 是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.gt 20 3 B ．gt 2 C. gt 20 2 D.gt 20 6 解析：由定积分的物理意义，得所走的路程为 答案：C 2．曲线y ＝x 3 与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( ) A. ??-11 (x －x 3)d x B . ??-1 1 (x 3 －x )d x C ．2??01(x －x 3)d x D ．2??-1 0 (x －x 3 )d x 解析：由? ???? y ＝x y ＝x 3 求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3 的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，由于 两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2??0 1(x －x 3 )d x . 答案：C 3．如果某物体以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝4t 做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．13 解析：v (2)－v (0)＝??02a (t )d t ＝??0 24t d t ＝2t 2 | 2 0＝8.∴v (2)＝9. 答案：C 4．如图，两曲线y ＝3－x 2 与y ＝x 2 －2x －1所围成的图形面积是( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．3 解析：由? ???? y ＝3－x 2 y ＝x 2 －2x －1
解得交点(－1,2)，(2，－1)， 所以S ＝? ?2－1[(3－x 2)－(x 2 －2x －1)]d x ＝? ?2－1(－2x 2 ＋2x ＋4)d x ＝? ????－23x 3＋x 2＋4x ??? 2 －1 ＝9，故选B. 答案：B 5．一物体在力F (x )＝3x 2 －2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 解析：依题意F (x )做的功是W ＝∫10 5F (x )d x ＝(x 3 －x 2 ＋5x )| 105 ＝825(J)． 答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x . ∴W ＝∫0.12 050x d x ＝25x 2 | 0.12 0＝0.36(J)． 答案：0.36 J 7．由曲线y 2＝x ，y ＝x 2 所围图形的面积S ＝________. 解析：由??? ? ? y 2 ＝x ，y ＝x 2 ， 得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD ＝??01x d x －??0 1x 2 d x ＝23x 32| 10－13x 3| 1 0＝23－13＝13 . 答案：13 8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________． 解析：由速度—时间曲线得
适用学科
高中数学
适用区域
江苏省
知识点 1.分类讨论
2.参变分离
适用年级 课时时长（分钟）
教学目标 熟练掌握求含参数问题的两种方法：分类讨论、参变分离
高二 2 课时
教学重点 确立分类讨论标准、参变分离的适用范围
教学难点 正确选用分离讨论、参变分离
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状
态。 导入的方法很多，仅举两种方法： ① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； ② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学
生建立知识网络。
用导数研究函数 f (x) 恒成立问题的步骤： （1）明确函数 f (x) 的定义域，并求函数 f (x) 的导函数 f (x) ； （2）对表达式进行转化，建立参数和自变量之间的函数关系。 （3）对新建立的函数求导，并求对应的解集； （4）列表，确定新函数的单调性；
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（5）确定新函数在区间上的最值或极值。 二、知识讲解
已考知点函1数 f分(x类) 中讨含论参问数题。 1 求函数 f (x) 的导函数 f (x) ； 2 f (x) 0 ，函数 f (x) 在定义域内单调递增； 3 f (x) 0 ，函数 f (x) 在定义域内单调递减； 4 f (x) 0 ，是极值点。
注：（1）用导数研究函数，需要明确函数的定义域。
（2）已知函数 f (x) ax3 bx2 cx d （ b, c 不能同时为 0）的图像是中心对称图像， 且 f (x) 0 有两个根 x1 和 x2 ，当 a 0 时，有两个增区间和一个减区间， f (x1) 为极大值， f (x2 ) 为极小值；当 a 0 时，有两个减区间和一个增区间， f (x1) 为极小值， f (x2 ) 为极
大值。 （3）函数含参数的问题，需要根据上面的方法去研究，但是需要对参数分类讨论。
考点 2 参变分离问题 已知函数 f (x) ， 1 求函数 f (x) 的导函数 f (x) ； 2 f (x) 0 ，函数 f (x) 在定义域内单调递增； 3 f (x) 0 ，函数 f (x) 在定义域内单调递减； 4 f (x) 0 ，是极值点。
注：（1）通过函数的单调性来证明函数中的不等式问题。 （2）如果函数中含有参数，一般采用分类讨论。
类型三一、例参题变精分析离问题
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（数学选修1-1）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]及答案 一、选择题1．若函数()y f x 在区间(,)a b 内可导，且0 (,)x a b 则0 ()() lim h f x h f x h h 的值为（） A ．' 0() f x B ．' 02() f x C ． ' 02() f x D ．0 2．一个物体的运动方程为2 1t t s 其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ． 7米/秒B ． 6米/秒C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3 y x x =+的递增区间是（ ） A ．),0( B ．)1,( C ．) , (D ．) , 1(4．3 2 () 32f x ax x ,若' (1)4f ,则a 的值等于（ ） A ．319 B ． 316C ．3 13D ． 3 105．函数)(x f y 在一点的导数值为 0是函数)(x f y 在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 6．函数344 x x y 在区间 2,3上的最小值为（ ）A ． 72 B ．36 C ．12 D ．0 二、填空题 1．若3' 0() ,() 3f x x f x ，则0x 的值为_________________； 2．曲线x x y 43 在点(1,3)处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin x y x 的导数为_________________； 4．曲线x y ln 在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________， 切线的方程为_______________；
新课改高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)
新课改高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题 （ 时间120分钟，分值150分） 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 2．已知函数d cx bx ax x f +++=23 )(的图象与x 轴有三个 不同交点)0,(),0,0(1 x ，)0,(2 x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得 极值，则2 1 x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 3．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++ =22 13 1 )(2 3 ，当)1,0(∈x 取 得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则1 2 --a b 的取值范围是（ ）．
A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)4 1 ,21(- D ．)2 1,21(- 4．设 x x y sin 12 -= ，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ． x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin ) 1(sin 22-+- D ． x x x x sin ) 1(sin 22--- 5．设1 ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 6．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 )(32lim 3 --→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π的值域为（ ）． A ． ]2 1 ,21[2π e B ． )2 1,21(2π e C ．],1[2 π e
一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．设x x y sin 12 -=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin )1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且) (x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 1 31)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极 小值，则12 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2 ,0[π 的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2 π e C ．],1[2πe D ．),1(2πe 8．积分=-?-a a dx x a 22（ ）． A ． 24 1 a π B ． 22 1 a π C ．2a π D ．22a π 9．由双曲线122 22=-b y a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 （ ） A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．23 4 ab π 10．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18 B ．338 C ．3 16 D ．16 11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个纸花