突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍
函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段。本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。 一、函数与方程关系的应用
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y ＝0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是各地模考和历年高考的重点。
【例1】已知函数???≥-<+--=)
0)(1()
0(2)(2x x f x a x x x f ,且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点,则实数a 的取
值范围是__________________________.
【分析】根据题中所给函数的特征：一段为二次函数；另一段与之相关，所求函数的零点可转化为对应方程的根，即：令0y =，()f x x =，从而可转化为两函数图象的交点，两函数的图象何时有三个交点，则可求出a 的范围。
【点评】本题考查了函数的零点、方程的根以及函数图像与x 轴的交点之间存在相互转化关系。主要考察
学生对方程的根与函数零点关系的理解，以及利用函数图象确定函数零点的个数的方法。求零点问题也可转化为方程的根，进而将问题转化为两个函数的交点的情况。
【小试牛刀】已知函数1
1,1
()10ln 1,1
x x f x x x ?+≤?=??->?，则方程()f x ax =恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范
围是__________________. 【答案】2
11
(1,0][
,)10e -
二、函数与不等式关系的应用
函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的。函数是高中数学的主线，方程与不等式则是它的重要组成部分。在很多情况下函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而同时研究函数的性质，也离不开解不等式的应用。
【例2】已知函数21
3
,1()log , 1x x x f x x x ?-+≤?
=?>?? ，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有
12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为 .
【分析】根据题中条件：对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，将问题转化为max min ()()f x g x ≤。
再由题中所给两函数的特征：函数21
3,1()log , 1x x x f x x x ?-+≤?
=?>??是一确定的分段函数，由它的图象不难求出函数
的最大值max ()f x =
1
4
；而另一个函数()|||1|g x x k x =-+-中含有绝对值，由含有绝对值的不等式可求出它的最小值min ()|1|,g x k =-，即可得到不等式1
|1|4
k -≥，则可求出k 的取值范围。
【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质，主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：≤±≤-||||||b a b a ||||b a +对R b a ∈,是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识。且涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，它们是高考中考查的重点，所以在教学中我们应引引起高度的重视。
【小试牛刀】设函数()|2|f x x ax =--.当0a >时，不等式()20f x a +≥的解集为R ，求实数a 的取值范围为 . 【答案】]1,0(.
三、函数、方程和不等式关系的应用
函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在高中阶段，应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学习的基本指导思想，这也是高中数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，要高三的复习中，对这部分内容应予以足够的重视。 【例3】已知函数e ()ln ,()e x
x
f x mx a x m
g x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；
（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111
()()()()
f x f x
g x g x -<
-
恒成立，求a 的最小值；
（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成
立，求m 的取值范围．
【分析】(1)求()g x 的极值，就是先求出'()g x ，解方程'()0g x =，此方程的解把函数的定义域分成若干个区间，我们再确定在每个区间里'()g x 的符号，从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式
21()()f x f x -<
2111
()()
g x g x -恒成立的转化，由（1）可确定()f x 在[3,4]上是增函数，同样的方法（导数法）可确定函数
1
()
g x 在[3,4]上也是增函数，不妨设21x x >，这样题设绝对值不等式可变为2()f x - 1()f x <
21()g x 11
()
g x -，整理为212111()()()()f x f x g x g x -<-
，由此函数1()()()u x f x g x =-在区间[3,4]上为减函数，则2
1e (1)
()10e x a x u x x x
-'=--?≤在（3，4）上恒成立，要求a 的取值范围．采取分离参数法得11
e e
x x a x x ---+≥恒成立，于是问题转化为求11
e ()e x x v x x x
--=-+在[3,4]上的最大值；（3）由于0x 的任意性，我们可先求出()g x 在(0,]e 上的值域(0,1]，题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得1()f t =
2()f t 0()g x =成立”
，转化为函数()f x 在区间(0,]e 上不是单调函数，极值点为2m
（2
0e m <<），其次()1f e ≥，极小值2()0f m ≤，最后还要证明在2
(0,)m
上，存在t ，使()1f t ≥，由此可求出m 的范围.
【解析】（1）e(1)
()e x
x g x -'=
，令()0g x '=，得x = 1． 列表如下：
∵g (1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值．
设11
e ()e
x x v x x x --=-+
，∵11
2
e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133
e [()]e 1244
x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．
∴()v x 在[3，4]上的最大值为v (3) = 3 -22
e 3．
∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22
e 3
．
【点评】本题主要考查了导数的应用，求单调区间，极值，求函数的值域，以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想，在运算过程中要细心，不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系，还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现，要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值，然后进行比较，最大的函数值就是函数的最大值，最小的函数值就是函数的最小值. 【小试牛刀】不等式2
(1)
log a x x -<在(1,2)x ∈内恒成立，实数a 的取值范围为______________.
【答案】
(1,2]
【迁移运用】
1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()2
21,0
,0
x x f x x x x ->?=?
+≤?，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________．
【答案】1,04??
- ???
【解析】
试题分析：函数()()g x f x m =-有三个零点，即函数()y f x =的图象与直线y m =有三个交点，作出函数
()y f x =的图象和直线y m =，有三个交点，则必有1
04
m -
<≤．
2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知函数31
1,
,()11,,
x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程
()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．
【答案】1
(0,)2
【解析】
3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知()
f x 为定义在R 上的偶函数，当0
x ≥时，
()22
x f x =-，则不等式
()16
f x -≤的解集是 ▲ ．
【答案】[]2,4- 【解析】
试题分析：当0x ≥时，()22x f x =-单调递增，又()33226f =-= ()16|1|324f x x x ∴-?-≤?-≤≤≤
4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知函数2
+1, 1,
()(), 1,
a x x f x x a x ?-?=?->??≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
【答案】23a <≤ 【解析】
试题分析：()()0()1f x g x f x -=?=，所以要有4个零点，需满足2
1,1+11,
23(1)1,1,a a a a a ?>-≤??<≤?->>??
5. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当
()1,4x ∈-时，x x x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________.
【答案】605
6. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】 已知函数()133x x a
f x b +-+=+．
(1) 当1a b ==时，求满足()3x f x =的x 的取值； (2) 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在R t ∈，不等式()()
2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；
②若函数()g x 满足()()()
12333
x x
f x
g x -?+=-????，若对任意x R ∈,不等式 (2)()11g x m g x ?-≥恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】(1) 1x =- (2) ①()1,-+∞，②6 【解析】
试题解析：(1) 由题意，1
31331
x x
x +-+=+，化简得()2332310x x ?+?-= 解得()1
3133
x x
=-=
舍或 ， 所以1x =- ,
(2) 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++
化简并变形得：()()
333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且
解得：11
33a a b b ?==-????
==-???或，因为()f x 的定义域是R ，所以13a b =-??=-?舍去 所以1,3a b ==， 所以()131
33
x x f x +-+=+ ,
①()131********x x x f x +-+??
==-+ ?++??
对任意1212,,x x R x x ∈<有： ()()()()21
12
12
121222333331313131x x x x x x f x f x ??-??
?-=-=
? ?++++??
??
因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >， 因此()f x 在R 上递减．
因为()()
22
22f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，
即220t t k +-<在R t ∈时有解 所以440t ?=+>，解得：1t >-，
所以k 的取值范围为()1,-+∞ .
7. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】（本小题满分14分）已知函数()22
1f x x x kx =-++,且定
义域为()0,2.
（1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；
（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个的解12,x x ，求k 的取值范围.
【答案】(2)7
12
k -<<-. 【解析】
试题分析：(1)借助题设条件分类探求；(2)借助题设运用方程有解建立不等式组求解. 试题解析：
（1） ()()221,3f x x x kx f x kx =-++∴=+ ，即22
13x x -+=.当01x <≤时，
2222111x x x x -+=-+=，此时该方程无解. 当12x <<时，222121x x x -+=-，原方程等价于：
22x =综上可知：方程()3f x kx =+在()0,2
8．【2016届福建省三明一中高三第一次月考】已知函数f （x ）＝且关于x 的方程f （x ）
＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 【解析】
【方法点睛】本题考查方程的根与函数图象的交点的关系的应用，属于中档题；因为题中方程中涉及对数、指数与一次函数，无法直接求方程的根或函数的零点或判定其个数，可借助函数的图象，利用数形结合思
想转化为判定两函数图象的交点个数问题．
9．【2015-2016学年江苏省启东中学高一上期中】已知函
若
1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则
【答案】2 【解析】
【名师点晴】方程的根也就是与方程对应的函数零点，一方面判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解，另一方面与方程的根有关的问题，可能通过数形结合的思想方法找到根之间的关系，象本题，就是发现了1x 与2x 的关系，3x 与4x 的关系，从而得解．学科网
10．【2015-2016学年
浙江省余姚中学高一10月月考】
程
4个互异的实根，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】()()0,19, +∞． 【解析】
的函数图象如下图所示，则可知满足条件的实数a 的取值范围是()()0,19, +∞．
【思路点睛】函数与方程的应用主要表现在利用方程根的情况求参数范围，根据方程解的情况通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造函数，利用函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想应用． 11．【2016届山东师大附中高三上学期二模】知函数()2
ln f x x x x =-+
（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若对于任意的0x >，不等式a 的最小值． 【答案】（1）(1,)+∞；（2）2． 【解析】
大值为
所以当2a ≥时，()0h a <． 所以整数a 的最小值为2．
又2,≥∴∈a Z a （必要性）， 下面证明充分性，当2≥a 时，
所以不等式成立学科网
12．【2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中】已知函数322
()2f x x ax a x =+-+，0a >．
（1）若1x =-为()y f x =的极值点，求()f x 的单调区间；
（2）如果对于一切1x ，2x ，3[0,1]x ∈，总存在以1()f x ，2()f x ，3()f x 为三边长的三角形，试求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-
和
（2
【解析】
试题解析：（1）22
'()32f x x ax a =+-，由题意知'(1)0f -=，即2230a a +-=，有1a =（负值舍去）
当1a =时，令'()0f x =，得
x (,1)
-∞-
1-
'()f x + 0
-
+
()f x
增
极大值
减
极小值
增
从而()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和 由1
，又02a <
<，得而不等式2
立，所以()g a
为增函数，故当2）
综上所述，所求正数a 的取值范围为 13．【2016届浙江省瑞安市高三上学期第一次四校联考】已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．
（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间]2,0[上的最大值． 【答案】（Ⅰ）2a ≤-;（Ⅱ）()()()
max 3,30,3a a h x a +≥-??=?
<-??． 【解析】
（Ⅱ）????
???≤<--+=<≤++--=2
1,11,01
0,1)(22x a ax x x x a ax x x h
① 时，即0≥a ，1)0()1(max 2+==++--a h a ax x 3)2()1(max 2+==--+a h a ax x
此时，3)(max +=a x h
② 时，即02<≤-a ，3)2()1(max 2+==--+a h a ax x
此时3)(max +=a x h
14．【2016届江苏省歌风中学高三九月月考】已知函数2()(,)f x ax bx a b R =+∈，函数()ln g x x =． （1）当0=a 时，函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象有公共点，求实数b 的最大值； （2）当0b =时，试判断函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象的公共点的个数；
（3）函数)(x f 的图象能否恒在函数()y bg x =的图象的上方？若能，求出,a b 的取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】（1（2有两个公共点；（3）0,0a b =>或0,0a b >≥时函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方． 【解析】
试题分析：（1）0a =时()f x 是一次函数，图象为直线，因此题意直线与曲线ln y x =相切时斜率最大；（2）
问题转化为方程2
ln ax x =的解的个数，即的解的个数，又转化为直线y a =与函数（3）这个问题比较难，两个参数要分别讨论，0a <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，不可能恒在()g x 图象上方，0a =时，()f x bx =，问题为当0x >时，ln bx b x >恒成立，只有0b >才能满足题意，当0a >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，再按0,0,0b b b <=>分类讨论可得． 试题解析：（1）bx x f a =∴=)(0 ,
由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b取最大值，
设切点横坐标为
x ，
即实数b 的最大值为
15．【2016届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】已知函数ax
x
x
ax
x
f-
-
+
+
=2
3
)1
ln(
)
()
(R
a∈．