第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、定积分
问题举例 1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线、轴以及
两条直线、所围成,求其面积. ①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分
点，用直线将曲边梯形分成个小曲边梯形，用表示第个曲边梯形的
面积; ②．常代变(近似代替)：在第个窄曲边梯形的底上任取，有. ③．近似和(求和)：④．取极限：令，则
2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度在时间间隔上连
续，且，求在运动时间内物体所经过的路程①．大化小(分割)：在区间
内任意插入个分点，将它分成个小段，用表示物体第个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第个小段上经过的路程任取，有. ③．近似和
(求和)：④．取极限：令，则这两个具体
问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的
极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念 1．定积分 :设函数在区间上有界，若在区间内任意插
入，任取，记，只要和式极限总存在，则称此极限为在上的定积分,记作，即，
此时也称在区间上黎曼可积. 注：1°.引例中，曲边梯形的面积；路程
2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无
关, 即3°.在定积分定义中，要求积分上限大于积分下限，为了方便起见，规定：当时，；当时，. 4°.定积分定义中意味着区间的分割越来越细.时必有小区间的个数并
不能保证(不等分的时候，当等分的时候5°.若已知在上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如等分) (例如取或)来计算定积分
2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必
要条件：定理1.若在上可积，则在上有界反之未必，例如：狄利
克雷函数在上有界，但不可积, 分和的极限不总存在. (2). 充分条件：
定理2. 若在上连续，则在上可积反之未必，例如在上可积，但在
上有一个间断点定理3. 若在上有界，并且只有有限个间断点，则在上
可积. 定理4. 若在上单调且有界，则在上可积. 例1. 利用定义计算定积分解：将区间进行等分, 分点为则，于
是，，取，，
所以例2. 用定积分表示下列极限 1.. 2. .
三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性性质1. ( k为常数) 性质2. 2.积分区间的
可加性性质3. 设，则有 3.保序性性质4. 若
在，，则性质5. 若在，，则 4.绝对不等式性
性质6. 5.介值性性质7.设和是在上的
最大值和最小值，则. 性质8. 6.中值性
性质9.(积分中值定理) 若在上连续，则至少存在一点，使得 .
证明：设在上的最大值和最小值为和，则由介值性
得， . 再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少
存在一点，使注：1°.积分中值定理对或的情形都成立. 2°.
称为在上的平均值. 因为，故它
是有限个数的平均值概念的推广3°.积分中值定理的几何意义: 以为曲
边的曲边梯形的面积等于同底的且以为的矩形的面积第二节微积分基本公式一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系
在变速直线运动中, 已知位臵函数与速度函数之间满足：，即的原函数
又物体在时间间隔内经过的路程为，即速度函数区间上的定积
分等于的原函数在上的增量这种定积分与原函数的关系在一定
条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数 1.积分上限函数：若函数区间上可积，则称函数分上限函数，或变上限积分注：积分上限函数在上连续推导：，有，
当，即在上连续 2.积分上限函数的导数：定理1.若函数在区间上连续，则积分上限函数在
并且 . 证明: ，则有 (积分中值定理)，
又在上连续，故有 . 若，取，可证；若，取，可证. 注：其它
变限积分求导: 1°；2°； 3. .
3.原函数存在定理：定理2.若函数在区间上连续，则积分上限函数
在上的一个原函数注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在
性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路例1.
例2.设在内连续且，证明在内单调增加证明：由于
(积分中值定理，所以在内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可
积的关系： (1).函数存在原函数，但不一定可积例如：对函数，
由于，令，即函数在区间上具有原函数，但由于在无界，所以
在不可积，事实上，取，有，即在无界
(2).函数可积，但不一定存在原函数例如：函数在除了一个间断点
外都连续，所以在可积，但在上不存在原函数 (3).存在
既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数：三、微积分基
本公式——牛顿—莱布尼茨公式定理3. (微积分基本定理)设函数在区
间上连续，若函数是在上的任一原函数，则
证明：由于积分上限函数是的一个原函数，故，令，得，因此；
再令，得注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积
函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数在上的定积分等于它的任意一
个原函数在上的增量微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算
定积分的公式，若函数在上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式：
定理3’ 设函数在区间上有界，且有有限多个间断点，若存在连续函数，
的间断点外，有，则证明：假设在不连续，不满足，，有在区间上连续，且满足，从而有，由的连续，
有 . 例3. .
例4.例5. . . 例6.计算正弦曲线在与
轴所围成的平面图形的面积. 解：例7.用
微积分基本定理证明积分中值定理：若在，使得证明：因
为连续，故具有原函数，设为它的一个原函数，即，由牛顿—莱布尼茨公式有由在上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少存一点，使
得，故第三节定积分的换元积分法和分部积分法
一、定积分的换元法：定理1.设函数在区间上连续，函数满足：
(1). , ，并且当从变到时，对应的单调地从变到； (2). 函数在或上具有
连续导数，则有证明：所证等式两边被积函数都连
续，因此积分都存在，且它们的原函数也存在. 设的一个原函数，则是的原函数，于是由牛顿—莱布尼茨公式，有 . 注：1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回. 2°.换元公式也可以
这样使用, 即凑元法，换.这相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算 . 解：令，则，当时，；时，，于
是 .
例 .
例3.
例4.计算 . . 解：令，
则，，且当时，；当时，，于是 .
另解： + 例5. 设为上的连
续函数， (1). 若，则.(偶倍 (2). 若，则.(奇零证明: 由于，对积分作变换，令，则有，
于是例6.若在上连续，证明
(1). ；，并由此计算 (2). 证明： (1).令，则，且当时，；当时，，于
是 . (2). 令，则，且当时，；当时，，于
是整理得
由此例7. 设是连续的周期函数，周期为，证明： (1). (2). ,并由此计算证明： (1).记，则，即与无关，因，于是(2).由
于，又由(1)知，因
此由于是以为周期的周期函数，于是 (令
例8. 计算. 解：由于，令，，；时，，
则，.当于是 (偶倍奇
零) . 例9.设函数，计算解：设，则，且当时，；时，，于
是 ) (由于
二、定积分的分部积分法定理2. 设函数、在区间上连续，则有定积分
的分部积分公式：证明：由于，两端在
上积分得，，整理得
例10. 计算
解：
. 例11. 计算解：令，则，，于是
思考题：. 提示: 令，则
第四节反常积分一、无穷积分 1.引例：曲线和直线及轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作，其含义可理解为将
记作，因其积分区间时无穷区间，故称其为无穷积分. 2.无穷积分：设函数在区间上连续，取，若极限为在无穷区间上无穷积分,记作
存在此时也称为无穷积分可类似定
义：，收敛；若上述极限不存在,则称无穷积分在无穷区间上的无穷积分： . 在无穷区间上的无穷积分：
注：上述定义中若出现，并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也
称为第一类反常积分 3.无穷积分的计算：设是在上的一个原函数，引入
记号 ; 则有类似牛——莱公式的计算表达式: 例 1.
计算反常积分
解：；；
. 另解： . 注：
是否正确？因为，故原积分发散，所以对反常积分, 使用“偶倍奇零”的性质, 否则会出现错误
例2. 计算反常积分.
解：
. 当时收敛; 时发散. 证明：当
时，有，例3. 证明积分当时，有
因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散二、瑕积分 1.
引例：曲线与轴及轴和直线所围成的开口曲边梯形的面积可记作，其含义可理解为将记作，因其被积函数在积分区间内无界，也称为无界函数的反常积分
易知左端点是被积函数的无界间断点，称其为被积函数的瑕点，因此无界函
数的反常积分也称为瑕积分 2.瑕点：若函数在点的任意邻域内都无界，
则称为的无界间断点，又称为瑕点. 3.瑕积分：设函数在区间上连续，点为的瑕点，取，若存在，则称此极限为在区间上的瑕积分记
作，此时也
称瑕积分收敛；若上述极限不存在,就称瑕积分发散，可
类似定义：若在区间内连续，为的瑕点，则有： .
若在区间上除了点外连续，为的瑕点，则有：
注：若出现，并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积
分. 注：1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则
本质上是常义积分, . 常积分. 例如: 2°.有时通过换
元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如
(令 (令) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分
积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算：设是的一个原函数，则有类似牛——莱公式的计算表达式: 若为瑕点, 则
若为瑕点, 则 . 若和都为瑕点, 则
思考题：若瑕点，则提示：和不一定相等.
例 . 例5. 讨论反常积分的收敛性. 解：由
于，所以反常积分发
散. 例6. 证明反常积分当时收敛; 时发散. 证
明：当时，为被积函数的瑕点，有，当时，有
因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散例7. 计算反
常积分解：注意到这是一个无穷限和瑕点都出现
的反常积分令，则，，当时，；当时，，于
是 . 再令，，，，当时，；
当，于是 . 三.两类反常
积分之间的关系：瑕积分积分可转化为无穷积分，例如：设函数在区间上连续，为的瑕点，由定义有，令，有
第五节反常积分的审敛法函数一、无穷积分的审敛法由于无穷
积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题，于是根据函数极限的
理论，不难得出无穷积分的收敛准则： 1.柯西收敛准则：定理1. 收敛的充要条件是：对，，当成立
下面讨论无穷积分2.有界审敛法：的另外几种收敛判别法，首先考虑
非负函数的无穷积分定理2. 设非负函数在区间上连续，若函数在
收敛证明：由于，则在上单调增加且有上界，根据极限收敛准则知
存在 , 收敛由此定理，可得下面的比较审敛法： 3．比较审敛法：定理3.设函数、在区间上连续，且，有， (1). 若(2). 收敛，则收敛；发散证明：设，由于，有. (1). 收敛，则有，即
单调递增且有上界, 由定理1知收敛 (2).用反证法：则由知，发散
注：大的收敛，保证小的收敛；小的发散，导致大的发散由于反常
积分当时，收敛；当时，发散，故通常取作为比较函数，即有下面的柯
西审敛法： 4．柯西审敛法：定理4.设非负函数在区间上连续，对常
数，记， (1). 当时，若，, 有，则收敛； (2).
当时，若，, 有则发散例1.
的敛散性解：由于
收敛，故收敛在比较审敛法的基础上，可以
得到应用更方便的极限审敛法： 5．极限审敛法：定理5.设非负函数
在区间上连续，对常数，记， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，
则证明：收敛；发散 (1). 当时，若，则由极限定义知：
对任意给定的，当时，必有，即收
敛 (2). 当时, 若, 则由极限定义，可取，使，当充分大时，必有，
即，由比较审敛法知发散，由若，则对任意，当充分大时，，即发散例2. 的敛散性收敛，故解法(一)：由于，而
收敛解法(二)：由于
收敛例3. 的敛散性. 解：由于
发散. 例4. 的敛散性. 发散.
解：由于，极限审敛法知的概念以及绝对收敛定理. 6．绝对审敛法： (1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛：设反常积分若
收敛，收敛，则称发散，则称绝对收敛；条件收敛； (2)．绝对审敛法：定理6.若函数在区间上连续，且
收敛，则收敛证明：令，则，由于，故敛，而，
又例5. 判断反常积分故收敛
为常数，的敛散性解:由于，而再由绝对收敛定理知二、瑕积分的审敛法收敛，根据比较审敛原理知收敛
由于瑕积分可转化为无穷积分，故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中
来. 1.柯西收敛准则：定理7. (为的瑕点)收敛的充要条件
是：对，成立 2．比较审敛法：定理8.设非负函
数、在区间上连续，为、的瑕点，且，有， (1). 若(2). 收
敛，则收敛；发散利用反常积分当时
收敛; 敛法和极限审敛法： 3．柯西审敛法：定理9.设非负函数在区间上连续，为的瑕点， (1). 若，当时，,
有，则收敛； (2).若，当时，, 有4．极限
审敛法：发散定理10.设非负函数在区间上
连续，为的瑕点，对常数，， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，则例6. 判别反常积分收敛；发散
的敛散性. 解：易知是被积函数的瑕点，由于，
由极限判别法知瑕积分例7.判定椭圆积分发散.
的敛散性解：易知是被积函数的瑕点，由
于
，故由极限判别法知5．绝对审敛法：收敛. (1).
瑕积分的绝对收敛与条件收敛：设瑕积分(为的瑕点)收敛，若收敛，则称绝对收敛；若发散，则称条件收敛；
(2)．绝对审敛法：定理11.若函数在区间上连续上连续，且收敛，则
收敛例8.判定反常积分的敛散
性. ，而收敛，根据比较审敛解:易知是被积函数的瑕
点，由于法知收敛. ，再由绝对收敛定理知例9.判
定反常积分的敛散性解: 易知是被积函数的瑕点，由于,
从而，即收敛. 收敛，从而三、函数 1. 函数：称参变量的反常积分为为函数，记作
2. 函数的收敛性：收敛证明：由定义式可知，
函数可分解为当时，为定积分；
当时，为瑕积分，为瑕点，此时，由于，
又由于时，瑕积分对无穷积分收敛，于是收
敛，由于，从而收敛综上
可得收敛 3. 函数的性质： (1). 递推公式：. 证明：应
用分部积分法，有
当介于两个整数之间时，则当为正整数时，
则，而，所以 (2). 当时，. 证明：由于且，又当时连续(可证)，于是 .
(3). 余元公式: 注： (4). 函数的其它形式：
推导：对函数注： 1. ，令得， . 推导：令，则，，于是
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转）） 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面） 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间 习题7-1 1. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 习题7-2 1. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, ?2, 3); B (2, 3, ?4); C (2, ?3, ?4); D (?2, ?3, 1). 解A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, ?1, 0). 解在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 3. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , ?c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为 (?a, b, c); 点(a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, ?b, c). (2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, ?b, ?c); 点(a, b, c)关于y轴的对称点为(?a, b, ?c); 点(a, b, c)关于z轴的对称点为(?a, ?b, c). (3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为(?a, ?b, ?c). 4.自点P 0(x , y , z )分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y , 0)、(0, y , z )和(x , 0, z ). 在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y , 0)和(0, 0, z ). 5.过点P 0(x , y , z )分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐 标各有什么特点？ 解在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y , z); 在所作的平行于xOy面的平面上, 点的坐标为(x, y, z ). 6. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 7.已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2 (1, ?1, 0). 试用坐标表示式表示向量及 11.在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, ?2, ?2)和C(0, 5, 1)等距离 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点 ．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +? 习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为 0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ; (6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立: 同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x) 同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); 1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0， 第一章 函数与极限 一、要求： 函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限， 间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 2112 ++-=x x y 的定义域 ；答：2x ≥-且1x ≠±； 2. 函数y = 是由： 复合而成的； 答：2 ln ,,sin y u v v w w x ====； 3. 设 ,112 2 x x x x f +=??? ? ?+ 则()f x = ；答：22x -； 4. 已知)10f x x x ?? =+≠ ??? ，则()f x = ； 答： ( )11f x x x = +=+ ()0x ≠； 5.11lim 1 n x x x →--= ，答：n ； !lim 1 n n n →∞ += ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(), 0, x e x f x a x x ?<=? +≥?在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )； A.(3)x x -， B.()6(3)x x --， C.()6(3)x x +-， D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin n n n →∞ =（ B ）； A.0 ， B.1， C.+∞， D.-∞； 9.1x =是函数2 2 1 ()32 x f x x x -= -+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点； 10. |sin | ()cos x f x x xe -=是（ A ）； A.奇函数， B.周期函数， C.有界函数， D.单调函数； 11.下列正确的是( A ) A.1lim sin 0x x x →∞ =，B.1lim sin 0x x x →∞ =， C.0 1lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x →∞ =； 12. 1x =是函数)1,13, 1 x x f x x x -≤?=? ->?的（ D ）(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
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