图2
2018年奉贤区初三数学二模卷 2018.04
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是（▲）
（A ）2a ； （B ）a 2； （C ）a 4； （D ）a +4．
2．某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有7名学生报名参加班级选拔赛，他们的选拔赛成绩各不相同，现取其中前3名参加学校比赛．小红要判断自己能否参加学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这7名学生成绩的（▲） （A ）众数； （B ）中位数； （C ）平均数； （D ）方差．
3．下列四个不等式组中，其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表示如图1所示，这个不等式组是（▲）
（A ）???->≥；，32x x （B ）???-<≤；，32x x （C ）???-<≥；，32x x （D ）???->≤.
32x x ，
4．如果将直线l 1：22-=x y 平移后得到直线l 2：x y 2=，那么下列平移过程正确的是（▲） （A ）将l 1向左平移2个单位； （B ）将l 1向右平移2个单位； （C ）将l 1向上平移2个单位； （D ）将l 1向下平移2个单位． 5.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC 按如图2所 示的位置放置，如果∠CDE =40°,那么∠BAF 的大小为（▲） （A ）10°； （B ）15°； （C ）20°； （D ）25°.
6.直线AB 、CD 相交于点O ，射线 OM 平分∠AOD ，点P 在射线OM 上（点P 与点O 不重 合），如果以点P 为圆心的圆与直线AB 相离，那么圆P 与直线CD 的位置关系是（▲） （A ）相离； （B ）相切； （C ）相交； （D ）不确定.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
图1
7．计算：
=-a
a 211▲． 8．如果822=-
b a ，且4=+b a ，那么b a -的值是▲．
9．方程242=-x 的根是▲． 10．已知反比例函数)0(≠=
k x
k
y ，在其图像所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而减 小，那么它的图像所在的象限是第▲象限．
11．如果将抛物线22y x =平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（1，2），那么所得新抛物线
的表达式是 ▲．
12．将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度是9厘米．如果将这样相同厚度的书叠起来的
高度是42厘米，那么这些书有▲本．
13．从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，任意抽取一个数，这个数恰好是合数的概率是▲．
14．某校为了了解学生双休日参加社会实践活动的情况，随机抽取了100名学生进行调查，并绘成如图3所示的频数分布直方图．已知该校共有1000名学生，据此估计，该校双休 日参加社会实践活动时间在2~2.5小时之间的学生数大约是全体学生数的▲（填百分数） ． 15．如图4，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC=2AD ，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，设a AD =， b AB =，那么EF 等于 ▲（结果用a 、b 的线性组合表示）． 16．如果一个矩形的面积是40，两条对角线夹角的正切值是
3
4
，那么它的一条对角线长是▲． 17．已知正方形ABCD ，AB =1，分别以点A 、C 为圆心画圆，如果点B 在圆A 外，且圆A
与圆C 外切，那么圆C 的半径长r 的取值范围是▲．
18．如图5，将△ABC 的边AB 绕着点A 顺时针旋转)900(?<
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
图4
A B D
F
E C
图3
8 10 24
30 0.5 1 1.5 2 2.5 3
人数
B
C
图5
A
B ′
C ′
19．（本题满分10分）
计算：121
2
)33(82
31)12(--+++-．
20．（本题满分10分） 解方程组：???=++=+.
12,222
2
y xy x y x
21.（本题满分10分，每小题满分各5分）
已知：如图6，在△ABC 中，AB =13，AC=8，135
cos =∠BAC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ． (1) 求EAD ∠的余切值； (2) 求
BF
CF
的值．
22.（本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分）
某学校要印刷一批艺术节的宣传资料，在需要支付制版费100元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件．甲印刷厂提出：所有资料的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过200份的，超过部分的印刷费可按8折收费．
（1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料x 份，支付甲印刷厂的费用为y 元，写出y 关于
x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择哪家印刷厂比较优惠？
23．（本题满分12分，每小题满分各6分）
已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ， 点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ． （1）求证：B 是EC 的中点；
（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若EC DC AC ?=2，
求证：FC AC AF AD ::=．
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
图6
A
B C
D E F
A
C
D E
图7
B
已知平面直角坐标系xOy （如图8），抛物线)0(3222>++-=m m mx x y 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴 为直线l ，过点C 作直线l 的垂线，垂足为点E ，联结DC 、
（1）当点C （0，3）时，
① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； ② 求证：∠DCE=∠BCE ；
（2）当CB 平分∠DCO 时，求m 的值．
25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分4分）
已知：如图9，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 在半径OB 上，AC 的垂直平分线交OA 于点D ，交弧AB 于点E ，联结BE 、CD ． （1）若C 是半径OB 中点，求∠OCD 的正弦值； （2）若E 是弧AB 的中点，求证：BC BO BE ?=2；
（3）联结CE ，当△DCE 是以CD 为腰的等腰三角形时，求CD 的长．
图8
图9
A B
C
D O E
备用图
A
B
O
备用图
A
B O
2018年奉贤区初三数学二模卷答案 201804
一 、选择题：（本大题共8题，满分24分）
1．C ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．A ； 6．A ． 二、填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．a
21
； 8．2； 9．4=x ； 10．一、三； 11．2)1(22
+-=x y ； 12．28； 13．8
3； 14．28%；
15．
+21； 16．10； 17．21-2< 1 a ． 三．（本大题共7题，满分78分） 19． （本题满分10分） 计算：121 2 )33(82 31)12(--+++-． 解原式=32223223-+-+-． ……………………………………………各2分 =23-． ……………………………………………………………………………2分 20．（本题满分10分） 解方程组：?? ?=++=+② ①.12,222 2 y xy x y x 解：将方程②变形为1)2=+y x （，得 1=+y x 或1-=+y x …………………………3分 由此，原方程组可以化为两个二元一次方程组：?? ?=+=+；1, 22y x y x ?? ?-=+=+. 1, 22y x y x ………3分 分别解这两个二元一次方程组，得到原方程组的解是：???==；0,111y x ???-==.4, 32 2y x ………4分 21. （本题满分10分，每小题满分各5分） （1）∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°． 在Rt △ADB 中，135 cos =∠BAC ，AB =13， ∴513 5 13cos =?=∠?=BAC AB AD ．………………………………………………2分 ∴1222=-= AD AB BD ．……………………………………………………………1分 ∵E 是BD 的中点，∴DE=6． 在Rt △ADE 中，6 5 cot ==∠DE AD EAD ． …………………………………………2分 即EAD ∠的余切值是 6 5． （2）过点D 作DQ //AF ，交边BC 于点Q ， ………………………………………1分 ∵AC =8， AD =5， ∴CD =3． ∵DQ//AF ，∴5 3==AD CD FQ CQ ．………………………………………………………2分 ∵E 是BD 的中点，EF //DQ ，∴BF =FQ ． ……………………………………1分 ∴8 5=CF BF ．……………………………………………………………………………1分 22．（本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分） 解：（1）由题意可知， %903.0100?+=x y ，……………………………………2分 ∴y 与x 之间的函数关系式是：x y 27.0100+=，………………………………1分 它的定义域是：0>x 且x 为整数．…………………………………………………1分 （2）当600=x 时，支付甲印刷厂的费用：26260027.0100=?+=y （元）．…2分 支付乙印刷厂的费用为：256400%803.02003.0100=??+?+（元）．………3分 ∵256<262， ∴当该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份时，应该选择乙印刷厂比较优惠．…1分 23．（本题满分12分，每小题满分各6分） 证明：（1）∵DC ∥AB ，∴∠DCB =∠CAB . ……………………………………………1分 ∵AC 平分∠BCD ，∴∠DCB =∠BCA . ∴∠CAB =∠BCA . ………………………………………………………………………1分 ∴BC =BA . ………………………………………………………………………………1分 ∵EA ⊥AC ，∴∠CAB +∠BAE=90°，∠BCA +∠E=90°. ∴∠BAE =∠E . …………1分 ∴BA =BE . …………………………………………………………………………………1分 ∴BC =BE ，即B 是EC 的中点. ………………………………………………………1分 （2）∵EC DC AC ?=2，∴AC EC DC AC ::=. ∵∠DCA =∠ACE ，∴△DCA ∽△ACE . ………………………………………………2分 ∴EC AC AE AD ::=.……………………………………………………………………1分 ∵∠FCA =∠ECA ，AC=AC ，∠F AC =∠EAC ，∴△FCA ≌△ECA . …………………2分 ∴AE =AF ，EC =FC . ∴FC AC AF AD ::=. …………………………………………………………………1分 24．（本题满分12分，每小题4分） （1）①由抛物线)0(3222>++-=m m mx x y 经过点C （0，3）可得：332=m ， ∴ 1±=m （负数不符合题意，舍去）．………………………………………………1分 ∴抛物线的表达式：322++-=x x y ．………………………………………………1分 ∴顶点坐标D （1，4）．…………………………………………………………………2分 ②由抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧）， 可得B （3，0），对称轴l 是直线1=x ，………………………………………………1分 ∵CE ⊥直线l ，∴E （1，3），即DE=CE=1． ∴在Rt △DEC 中，1tan == ∠CE DE DCE ． ∵在Rt △BOC 中，1tan ==∠BO CO OBC ， ∴OBC DCE ∠=∠=45°．………………………………………………………………2分 ∵CE //OB ，∴OBC BCE ∠=∠． ∴∠DCE=∠BCE ． ………………………………………………………………………1分 (2) 由抛物线)0(3222>++-=m m mx x y 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，可得：)4,(2m m D ，)3,0(2m C ，)0,3(m B ，)3,(2m m E ． ∴2m DE =，m CE =，23m CO =，m BO 3=．…………………………………1分 在Rt △DEC 中，m m m CE DE DCE ===∠2 tan ． 在Rt △BOC 中，m m m BO CO OBC ===∠33tan 2 ． ∵∠DCE 、∠OBC 都是锐角，∴∠DCE =∠OBC ．…………………………………1分 ∵CE //OB ，∴OBC BCE ∠=∠． ∴∠DCB=2∠BCE=2∠OBC ． ∵CB 平分∠DCO ， ∴∠OCB=∠DCB=2∠OBC ． ∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠OBC=30°．……………………………………………1分 ∴33tan =∠OBC ，∴3 3 =m . …………………………………………………1分 25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） （1）∵C 是半径OB 中点，BO =2，∴OC=1． ∵DE 垂直平分AC ，∴AD=CD ．………………………………………………………1分 设AD =a ，则a DO -=2，a DC =， 在Rt △DOC 中，222DC OC DO =+，即2221)2a a =+-（.解得：4 5 =a ． …2分 ∴4 3452=- =DO ． 在Rt △DOC 中，5 3 sin ==∠DC DO OCD ．……………………………………………2分 即∠OCD 的正弦值是5 3． （2）联结AE 、EC 、EO . ∵E 是弧AB 的中点，∴AE=BE ． ……………………………………………………1分 ∵DE 垂直平分AC ，∴AE=EC ． ……………………………………………………1分 ∴BE=EC ． ∴∠EBC =∠ECB ． ∵OE=OB ， ∴∠EBC =∠OEB ． ……………………………………………………1分 ∴∠ECB=∠OEB ． 又∵∠CBE =∠EBO ，∴△BCE ∽△BEO . ……………………………………………1分 ∴BO BE BE BC = ．∴BC BO BE ?=2． ……………………………………………………1分 （3）联结AE 、OE ，由△DCE 是以CD 为腰的等腰三角形可得： ①当CD=ED 时，∵CD=AD ，∴ED=AD ．∴∠DAE =∠DEA ． ∵OA=OE ，∴∠DAE =∠OEA ．∴点D 与点O 重合，点C 与点B 重合． ∴CD=BO=2． …………………………………………………………………………2分 ②当CD=CE 时，∵CD=AD ，CE =AE ，∴CD=AD =CE =AE ． ∴四边形ADCE 是菱形，∴AD//EC ． ∵∠AOB=90°，∴∠COE=90°． 设CD =a ，在Rt △COE 中，22224a EC EO CO -=-=． 在Rt △DOC 中，22222)2(a a DO CD CO --=-=． ∴222)2(4a a a --=-． 整理得 0842=-+a a ，解得 232-±=a （负数舍去）． ∴CD =232-． ………………………………………………………………………2分 综上所述，当CD 的长是2或232-时，△DCE 是以CD 为腰的等腰三角形．
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